Supersingular eliptik eğri - Supersingular elliptic curve

İçinde cebirsel geometri, supersingular eliptik eğriler belirli bir sınıf oluşturmak eliptik eğriler üzerinde alan karakteristik p Alışılmadık derecede büyük olan> 0 endomorfizm halkaları. Tekil olmayan bu tür alanlar üzerindeki eliptik eğrilere sıradan ve bu iki eliptik eğri sınıfı birçok açıdan temelde farklı davranır. Hasse (1936) Riemann'ın eliptik eğriler için hipotezi üzerine yaptığı çalışmada, pozitif karakteristik eliptik eğrilerin alışılmadık derecede büyük 4. sıra endomorfizm halkalarına sahip olabileceğini gözlemleyerek, supersingular eliptik eğrileri keşfetti ve Deuring (1941) temel teorilerini geliştirdiler.

"Supersingular" teriminin aşağıdakilerle hiçbir ilgisi yoktur: tekil eğri noktaları ve tüm süperingüler eliptik eğriler tekil değildir. "tekil değerler j değişmezinin "değerleri için kullanılır j değişmez karmaşık bir eliptik eğrinin olduğu karmaşık çarpma. Karmaşık çarpma içeren karmaşık eliptik eğriler, endomorfizm halkasının maksimum olası rank 2'ye sahip olduğu eğrilerdir. karakteristik endomorfizm halkasının daha da büyük olması mümkündür: sipariş içinde kuaterniyon cebiri Boyut 4, bu durumda eliptik eğri tekil üstüdür. P karakteristiğindeki her süperingüler eliptik eğri, asal alt alan üzerinde tanımlanabilecek şekilde p asalları ${ displaystyle F_ {p}}$ ziyade ${ displaystyle F_ {p ^ {m}}}$ arandı supersingular asal sayılar.

Tanım

Supersingular eliptik eğrileri tanımlamanın birçok farklı ama eşdeğer yolu vardır. Bunları tanımlamanın yollarından bazıları aşağıda verilmiştir. İzin Vermek ${ displaystyle K}$ alan olmak cebirsel kapanış ${ displaystyle { overline {K}}}$ ve E bir eliptik eğri bitmiş K.

• ${ displaystyle { overline {K}}}$değerli noktalar ${ displaystyle E ({ overline {K}})}$ yapısına sahip olmak değişmeli grup. Her n için bir çarpım haritamız var ${ displaystyle [n]: E ila E}$. Çekirdeği şu şekilde gösterilir: ${ displaystyle E [n]}$. Şimdi, karakteristiğinin K dır-dir p > 0. O zaman biri bunu gösterebilir

${ displaystyle E [p ^ {r}] ({ overline {K}}) cong { begin {case} 0 & { mbox {or}} mathbb {Z} / p ^ {r} mathbb {Z} end {case}}}$

için r = 1, 2, 3, ... İlk durumda, E denir supersingular. Aksi takdirde denir sıradan. Başka bir deyişle, bir eliptik eğri tekil üstüdür, ancak ve ancak geometrik sıralama noktaları grubu p önemsizdir.

• Supersingular eliptik eğrilerin cebirsel kapanış üzerinde birçok endomorfizmi vardır. ${ displaystyle { overline {K}}}$ bir eliptik eğrinin süpersingüler olması anlamında, ancak ve ancak endomorfizm cebiri ( ${ displaystyle { overline {K}}}$) bir kuaterniyon cebirindeki bir sıradır. Böylece, endomorfizm cebiri (üzerinden ${ displaystyle { overline {K}}}$) 4. sırada yer alırken, diğer her eliptik eğrinin endomorfizm grubu yalnızca 1. veya 2. sırada yer alır. K endomorfizm halkasının derecesini yapmak için 4. Özellikle, eliptik eğri süper tekil olsa bile, bir asal mertebeden bir alan üzerindeki eliptik bir eğrinin endomorfizm halkası asla 4. sırada değildir.
• İzin Vermek G ol resmi grup ilişkiliE. Dan beri K olumlu özelliktedir, onu tanımlayabiliriz yükseklik ht (G), ancak ve ancak E süperingüler ve diğer 1 ise 2'dir.
• Biz var Frobenius morfizmi ${ displaystyle F: E ila E}$, kohomolojide bir harita ortaya çıkarır

${ displaystyle F ^ {*}: H ^ {1} (E, { mathcal {O}} _ {E}) ila H ^ {1} (E, { mathcal {O}} _ {E} )}$.

Eliptik eğri E süper tekildir ancak ve ancak ${ displaystyle F ^ {*}}$ eşittir 0.

• Biz var Verschiebung operatörü ${ displaystyle V: E ila E}$, küresel 1 formlarında bir harita oluşturur

${ displaystyle V ^ {*}: H ^ {0} (E, Omega _ {E} ^ {1}) ila H ^ {0} (E, Omega _ {E} ^ {1})}$.

Eliptik eğri E süper tekildir ancak ve ancak ${ displaystyle V ^ {*}}$ eşittir 0.

• Eliptik bir eğri tekil üstüdür ancak ve ancak Hasse değişmez 0'dır.
• Eliptik bir eğri tekil üstüdür ancak ve ancak sıra noktalarının grup şeması p bağlandı.
• Eliptik bir eğri tekil üstüdür, ancak ve ancak Frobenius haritasının ikilisi tamamen ayrılmazsa.
• Eliptik bir eğri tekil üstüdür, ancak ve ancak "ile çarpma" p"harita tamamen ayrılamaz ve j- eğrinin değişmezi, asal alanının ikinci dereceden bir uzantısında bulunur. K, sonlu bir düzen alanı p².
• Varsayalım E içinde Legendre formu, denklem tarafından tanımlanan ${ displaystyle y ^ {2} = x (x-1) (x- lambda)}$, ve p garip. Sonra E süper tekildir ancak ve ancak toplamı

${ displaystyle toplam _ {i = 0} ^ {n} {n {i}} ^ {2} lambda ^ {i}} seçin$

kaybolur, nerede ${ displaystyle n = (p-1) / 2}$. Bu formülü kullanarak, üzerinde yalnızca sonlu sayıda süperingüler eliptik eğri olduğunu gösterebilir. K (izomorfizme kadar).

• Varsayalım E homojen bir kübik polinom ile verilen projektif düzlemde kübik bir eğri olarak verilir f(x,y,z). Sonra E süper tekildir ancak ve ancak katsayısı (xyz)^p–1 içinde f^p–1 sıfırdır.
• Alan K sonlu bir düzen alanıdır q, sonra eliptik bir eğri üzerinden K süper tekildir ancak ve ancak q-güç Frobenius endomorfizmi sıfır modülo ile uyumludur p.

Ne zaman q=p 3'ten büyük bir asaldır bu, Frobenius izinin sıfıra eşit olmasına eşdeğerdir ( Hasse bağlı ); bu geçerli değil p= 2 veya 3.

Örnekler

• Eğer K karakteristik 2'nin bir alanıdır, her eğri formun bir denklemi ile tanımlanır

${ displaystyle y ^ {2} + a_ {3} y = x ^ {3} + a_ {4} x + a_ {6}}$

ile a₃ sıfır olmayan bir supersingular eliptik eğridir ve tersine her supersingular eğri bu formlardan birine izomorfiktir (bkz. Washington 2003, s. 122).

• 2 elemanlı alan üzerinde herhangi bir supersingular eliptik eğri tam olarak supersingular eliptik eğrilerden birine izomorftur.

${ displaystyle y ^ {2} + y = x ^ {3} + x + 1}$

${ displaystyle y ^ {2} + y = x ^ {3} +1}$

${ displaystyle y ^ {2} + y = x ^ {3} + x}$

1, 3 ve 5 puanla. Bu, farklı sayıda noktaya sahip bir asal alan üzerinde tekil üstü eliptik eğrilere örnekler verir.

• Karakteristik 2'nin cebirsel olarak kapalı bir alanı üzerinde (izomorfizme kadar) tam olarak bir supersingular eliptik eğri vardır.

${ displaystyle y ^ {2} + y = x ^ {3}}$,

ile j-invariant 0. Endomorfizm halkası, Hurwitz kuaterniyonları, iki otomorfizm tarafından oluşturulan ${ displaystyle x sağ x + omega}$ ve ${ displaystyle y rightarrow y + x + omega, x rightarrow x + 1}$ nerede ${ displaystyle omega ^ {2} + omega + 1 = 0}$ birliğin ilkel küp köküdür. Otomorfizm grubu, 24. mertebeye sahip olan Hurwitz kuaterniyonlarının birimler grubudur ve 8 mertebeden izomorfik normal bir alt grup içerir. kuaterniyon grubu ve ikili dört yüzlü grup

• Eğer K karakteristik 3'ün bir alanıdır, her eğri formun bir denklemi ile tanımlanır

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + a_ {4} x + a_ {6}}$

ile a₄ sıfır olmayan bir supersingular eliptik eğridir ve tersine her supersingular eğri bu formlardan birine izomorfiktir (bkz. Washington 2003, s. 122).

• 3 elemanlı alan üzerinde herhangi bir supersingular eliptik eğri tam olarak supersingular eliptik eğrilerden birine izomorftur.

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -x}$

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -x + 1}$

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -x + 2}$

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + x}$

• Karakteristik 3'ün cebirsel olarak kapalı bir alanı üzerinde (izomorfizme kadar) tam olarak bir süperingüler eliptik eğri vardır.

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -x}$,

ile j-değişmeyen 0. Endomorfizm halkası, formun kuaterniyonları halkasıdır. a+bj ile a ve b Eisenstein tamsayıları. , iki otomorfizm tarafından oluşturulan ${ displaystyle x rightarrow x + 1}$ ve ${ displaystyle y rightarrow iy, x rightarrow -x}$ nerede ben birliğin ilkel dördüncü köküdür. Otomorfizm grubu, bu kuaterniyonların birimler grubudur; bu, 12. sıraya sahiptir ve 3. dereceden normal bir alt grup ile 4. dereceden bir döngüsel grup içerir.

• İçin ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ p> 3 ile tanımlanan eliptik eğri ${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} +1}$ ile j-invariant 0 supersingulardır ancak ve ancak ${ displaystyle p eşdeğeri 2 { metni {(mod 3)}}}$ ve ile tanımlanan eliptik eğri ${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + x}$ ile j-değişken 1728 tekilden üstündür ancak ve ancak ${ displaystyle p eşdeğeri 3 { metni {(mod 4)}}}$ (bkz. Washington 2003, 4.35).
• Tarafından verilen eliptik eğri ${ displaystyle y ^ {2} = x (x-1) (x + 2)}$ tekil değil ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ için ${ displaystyle p neq 2,3}$. P = 23 için tekil ve her biri için sıradan ${ displaystyle p leq 73}$ (bkz. Hartshorne1977, 4.23.6).
• modüler eğri X₀(11) vardır j-değişmeyen −2¹²11⁻⁵31³ve eğriye göre izomorfiktir y² + y = x³ − x² − 10x - 20. Asal sayılar p süper tekil olduğu için katsayısı olanlar q^p η (τ) cinsinden²η (11τ)² mod kaybolur pve liste tarafından verilir

2, 19, 29, 199, 569, 809, 1289, 1439, 2539, 3319, 3559, 3919, 5519, 9419, 9539, 9929,... OEIS: A006962

• Rasyonellerin üzerindeki bir eliptik eğri karmaşık çarpıma sahipse, süper tekil olduğu asalların yoğunluğu 1/2 olur. Karmaşık çarpma içermiyorsa, o zaman Serre süperingüler olduğu asal setinin yoğunluğunun sıfır olduğunu gösterdi. Elkies (1987) rasyonellerin üzerinde tanımlanan herhangi bir eliptik eğrinin sonsuz sayıda asal sayı için tekil olduğunu gösterdi.

Sınıflandırma

Her pozitif özellik için yalnızca sınırlı sayıda olası j-Süperingüler eliptik eğrilerin değişkenleri Cebirsel olarak kapalı bir alan üzerinde K eliptik bir eğri onun tarafından belirlenir j-değişmeyen, yani yalnızca sınırlı sayıda süper tekil eliptik eğri vardır. Bu tür eğrilerin her biri 1 / | Aut (E) | o zaman supersingular eğrilerin toplam ağırlığı (p–1) / 24. Eliptik eğrilerin otomorfizm grupları vardır. j-invariant 0 veya 1728'dir, bu nedenle supersingular eliptik eğriler aşağıdaki şekilde sınıflandırılır. ⌊p/ 12⌋ supersingular eliptik eğriler, 2. sıra otomorfizm grupları ile. Ek olarak eğer p≡3 mod 4 bir supersingular eliptik eğri vardır ( j-değişken 1728), otomorfizm grubu döngüsel veya sıra 4 değilse p= 3 bu durumda 12 mertebesine sahiptir ve eğer p≡2 mod 3 süperingüler bir eliptik eğri vardır ( j-invariant 0) otomorfizm grubu 6 mertebeden döngüsel olan p= 2 bu durumda 24 mertebesine sahiptir.

Huş ve Kuyk (1975) hepsinden bir tablo ver j- 307'ye kadar olan asal sayılar için supersingular eğrilerin değişkenleri. İlk birkaç asal için supersingular eliptik eğriler aşağıdaki gibi verilmiştir. 0 veya 1728 dışındaki j'nin süper tekil değerlerinin sayısı, (p − 1) / 12'nin tamsayı kısmıdır.

Ayrıca bakınız

• Supersingular asal

Referanslar

• Huş ağacı, B. J.; Kuyk, W., ed. (1975), "Tablo 6", Tek değişkenli modüler fonksiyonlar. IVMatematik Ders Notları, 476, Berlin, New York: Springer-Verlag, s. 142–144, doi:10.1007 / BFb0097591, ISBN  978-3-540-07392-5, BAY  0376533, Zbl  0315.14014
• Deuring, Max (1941), "Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkörper", Abh. Matematik. Sem. Üniv. Hamburg, 14: 197–272, doi:10.1007 / BF02940746, BAY  0005125
• Elkies, Noam D. (1987), "Q üzerindeki her eliptik eğri için sonsuz sayıda supersingular asal sayısının varlığı", Buluşlar Mathematicae, 89 (3): 561–567, doi:10.1007 / BF01388985, ISSN  0020-9910, BAY  0903384, Zbl  0631.14024
• Robin Hartshorne (1977), Cebirsel GeometriSpringer. ISBN  1-4419-2807-3
• Hasse (1936), "Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper I. Die Struktur der Gruppe der Divisorenklassen endlicher Ordnung. II. Automorphismen und Meromorphismen. Das Additionstheorem. III. Die Struktur des Meromorphismenrings. Die Riemannsche Vermutung.", J. Reine Angew. Matematik., 175: 55–62, 69–88, 193–208
• Joseph H. Silverman (2009), Eliptik Eğrilerin AritmetiğiSpringer. ISBN  0-387-09493-8
• Lawrence C. Washington (2003), Eliptik Eğriler, Chapman & Hall. ISBN  1-58488-365-0