Tacnode - Tacnode

(İle tanımlanan eğrinin başlangıcındaki bir taknodx2+y2 −3x)2−4x2(2 − x) = 0

İçinde klasik cebirsel geometri, bir tacnode (ayrıca a salınım noktası veya çift ​​sivri uç)[1] bir çeşit bir eğrinin tekil noktası. İki (veya daha fazla) nokta olarak tanımlanır. salınımlı daireler o noktadaki eğriye teğet. Bu, eğrinin iki dalının çift noktada olağan teğete sahip olduğu anlamına gelir.[1]

Kanonik örnek

Rasgele bir eğrinin tak düğümü daha sonra bu örnekten bir öz-teğet noktası olarak tanımlanabilir. yerel olarak diffeomorfik bu eğrinin başlangıcındaki noktaya. Bir taknode için başka bir örnek, bağlantılar eğrisi şekilde gösterilmiştir, denklem ile

Daha genel arka plan

Bir düşünün pürüzsüz gerçek değerli işlev iki değişkenler, söyle f(x, y) nerede x ve y vardır gerçek sayılar. Yani f düzlemden çizgiye bir fonksiyondur. Tüm bu tür pürüzsüz işlevlerin alanı oynadı yanında grup nın-nin diffeomorfizmler düzlem ve çizginin diffeomorfizmleri, yani diffeomorfik değişiklikler koordinat ikisinde de kaynak ve hedef. Bu eylem bütünü böler işlev alanı yukarı denklik sınıfları yani yörüngeler grup eyleminin.

Bu tür bir denklik sınıfları ailesi şu şekilde gösterilir: Birk±, nerede k olumsuz değildir tamsayı. Bu gösterim, V. I. Arnold. Bir işlev f tip olduğu söyleniyor Birk± yörüngesindeyse x2 ± yk+1, yani kaynakta ve hedefte farklı bir koordinat değişikliği var f bu biçimlerden birine. Bu basit formlar x2 ± yk+1 verdikleri söyleniyor normal formlar tip için Birk± tekillikler.

Denklemli bir eğri f = 0 bir tacnode'a sahip olacaktır, diyelim ki başlangıçta, eğer ve ancak f bir türü var Bir3−- başlangıçta tekillik.

Dikkat edin a düğüm (x2 − y2 = 0) bir türe karşılık gelir Bir1−tekillik. Bir taknode, bir türe karşılık gelir Bir3−tekillik. Aslında her tür Bir2n+1−tekillik, nerede n ≥ 0 bir tamsayıdır, kendisiyle kesişen bir eğriye karşılık gelir. Gibi n kendi kendine kesişme artışlarının sırasını artırır: enine geçiş, olağan teğet, vb.

Tip Bir2n+1+- tekilliklerin gerçek sayılar üzerinde hiçbir önemi yoktur: hepsi ayrı bir nokta verir. Karmaşık sayılar türü üzerinde Bir2n+1+tekillikler ve tip Bir2n+1−tekillikler eşdeğerdir: (x,y) → (x, iy) normal formların gerekli diffeomorfizmini verir.

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ a b Schwartzman Steven (1994), Matematik Kelimeleri: İngilizce'de Kullanılan Matematiksel Terimlerin Etimolojik Bir Sözlüğü MAA Spektrumu, Amerika Matematik Derneği, s. 217, ISBN  978-0-88385-511-9.

Dış bağlantılar