Üç boşluk teoremi - Three-gap theorem

Matematikte üç boşluk teoremi, üç mesafe teoremiveya Steinhaus varsayımı eğer bir yer varsa n bir daire üzerinde, açılarında θ, 2θ, 3θ ... başlangıç ​​noktasından itibaren, çemberin etrafındaki bitişik konumlarda bulunan nokta çiftleri arasında en fazla üç farklı mesafe olacaktır. Üç mesafe olduğunda, üçten en büyüğü her zaman diğer ikisinin toplamına eşittir.[1] Sürece θ rasyonel bir katıdır πayrıca en az iki farklı mesafe olacaktır.

Bu sonuç tarafından tahmin edildi Hugo Steinhaus ve 1950'lerde Vera T. Sós, János Surányi [hu ], ve Stanisław Świerczkowski. Uygulamaları, bitki büyümesi ve müzikal ayarlama sistemlerinin çalışmasını ve Sturmian kelimeler.

Başvurular

Bir bitki sapının, birbirini izleyen yaprakların altın açı

İçinde filotaksis (bitki büyümesi teorisi), birçok bitkinin saplarında birbirini izleyen her yaprağın, bir önceki yapraktan altın açı, yaklaşık 137,5 °. Bu açının bitkinin yapraklarının güneş toplama gücünü maksimize ettiği öne sürülmüştür.[2] Bu şekilde büyüyen bir bitki sapına uçtan bakıldığında, bu uçtan görünüşte verilen döngüsel sırada birbirini izleyen iki yaprak arasında en fazla üç farklı açı olacaktır.[3] Şekilde bu üç açının en büyüğü, 3 ve 6 numaralı yapraklar arasında, 4 ile 7 numaralı yapraklar arasında ve 5 ile 8 numaralı yapraklar arasında olmak üzere üç kez meydana gelir. İkinci en büyük açı, 6 ve 1 numaralı yapraklar arasında beş kez oluşur. 9 ve 4, 7 ve 2, 10 ve 5 ve 8 ve 3. Ve en küçük açı yalnızca iki kez, 1 ile 9 arasındaki yapraklar arasında ve 2 ile 10 arasındaki yapraklar arasında meydana gelir. (Bu fenomenin, altın Oran; Bir daire üzerindeki ardışık noktalar arasında yalnızca üç farklı boşluğa sahip olma aynı özellik, yalnızca altın açı için değil, başka herhangi bir dönüş açısı için de olur.)[3]

Renk tonlarının geometrik görünümü Pisagor akort bir daire üzerinde noktalar olarak Pisagor virgül (yolun ilk ve son noktaları arasındaki boşluk), bu ayarlama sisteminin normal bir noktaya yaklaşmakta başarısız olduğu miktar olarak dodecagram. Çemberin noktaları arasındaki kenarlar, mükemmel beşte Bu ayar sisteminin yapıldığı yer.

İçinde müzik Teorisi, bu teorem, eğer bir ayar sistemi dır-dir oluşturulmuş belirli bir sayıdaki ardışık katlarla Aralık, iki tonun tam sayılarına göre farklılık gösterdiğinde eşdeğer olduğu düşünülerek döngüsel bir sıraya indirgenir. oktavlar ölçeğin ardışık tonları arasında en fazla üç farklı aralık vardır.[4][5] Örneğin, Pisagor akort bu şekilde bir mükemmel beşinci. Onu temsil eden yalnızca iki farklı aralığı vardır. yarım tonlar,[6] ancak bir adım daha uzatılsaydı, tonları arasındaki aralık dizisi üçüncü bir daha kısa aralığı içerecekti, Pisagor virgül.[7]

Teorisinde Sturmian kelimeler teorem, belirli bir uzunluktaki kelimelerin n belirli bir Sturmian kelime içinde görünen en fazla üç farklı frekansa sahiptir. Üç frekans varsa, bunlardan biri diğer ikisinin toplamına eşit olmalıdır.[8]

Tarih ve kanıt

Üç boşluk teoremi tarafından varsayılmıştır Hugo Steinhaus ve ilk kanıtları 1950'lerin sonunda Vera T. Sós,[9] János Surányi [hu ],[10] ve Stanisław Świerczkowski.[11] Daha sonraki birkaç kanıt da yayınlandı.[12][13][14][15][16]

Aşağıdaki basit kanıt Frank Liang'a aittir. Bir boşluk tanımlayın (verilen kümenin bitişik noktaları arasındaki dairenin bir yayı) katı bu boşluğu bir açıyla döndürüyorsa θ aynı uzunlukta başka bir boşluk oluşturmaz. Her dönüş θ noktaların yerleştirme sıralamasında boşluk uç noktalarının konumunu arttırır ve böyle bir artış sonsuza kadar tekrar edilemez, bu nedenle her boşluk bir rijit boşlukla aynı uzunluğa sahiptir. Ancak, bir boşluğun sert olmasının tek yolu, iki uç noktasından birinin yerleştirme sırasındaki son nokta olması (böylece karşılık gelen noktanın döndürülmüş boşluktan eksik olması) veya başka bir noktanın döndürülmüş kopyasına inmesidir. Bir uç nokta yalnızca, boşluk yerleştirme sıralamasındaki son noktanın her iki tarafındaki iki boşluktan biriyse eksik olabilir. Ve bir nokta, yalnızca yerleştirme sıralamasında ilk nokta ise döndürülmüş kopya içinde inebilir. Yani en fazla üç katı boşluk ve en fazla üç uzunlukta boşluk olabilir. Ek olarak, üç olduğunda, içinde ilk noktaya sahip olan sert bir boşluğun döndürülmüş kopyası, bu nokta tarafından daha küçük iki boşluğa bölünür, yani bu durumda, en uzun boşluk uzunluğu diğer ikisinin toplamıdır.[17][18]

Üç boşluk teoremi olarak da adlandırılan yakından ilişkili ancak daha önceki bir teorem, eğer Bir dairenin herhangi bir yayı ise tamsayı dizisi katları θ o iniş Bir sıra değerleri arasında en fazla üç boşluk vardır. Yine, üç boşluk varsa, biri diğer ikisinin toplamıdır.[19][20]

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003), "2.6 Üç Uzaklık Teoremi", Otomatik Diziler: Teori, Uygulamalar, Genellemeler, Cambridge University Press, s. 53–55, ISBN  9780521823326
  2. ^ Adam, John A. (2011), Matematiksel Doğa Yürüyüşü, Princeton University Press, s. 35–41, ISBN  9781400832903
  3. ^ a b van Ravenstein, Tony (1987), "Sayı dizileri ve filotaksis", Avustralya Matematik Derneği Bülteni, 36 (2): 333, doi:10.1017 / s0004972700026605
  4. ^ Carey, Norman (2007), "İyi biçimlendirilmiş ve ikili olarak iyi biçimlendirilmiş ölçeklerde tutarlılık ve aynılık", Matematik ve Müzik Dergisi, 1 (2): 79–98, doi:10.1080/17459730701376743
  5. ^ Narushima, Terumi (2017), Mikrotonalite ve Erv Wilson'ın Ayarlama Sistemleri: Harmonik Spektrumun Haritalanması, Müzik Teorisinde Routledge Çalışmaları, Routledge, s. 90–91, ISBN  9781317513421
  6. ^ Strohm, Reinhard; Blackburn, Bonnie J., eds. (2001), Geç Ortaçağda Kavram ve Uygulama Olarak Müzik, Cilt 3, Bölüm 1, Yeni Oxford müzik tarihi, Oxford University Press, s. 252, ISBN  9780198162056
  7. ^ Benson, Donald C. (2003), Daha Düzgün Bir Çakıl: Matematiksel Araştırmalar Oxford University Press, s. 51, ISBN  9780198032977
  8. ^ Lothaire, M. (2002), "Sturmian Kelimeler", Kelimelerde Cebirsel Kombinatorik, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-81220-7, Zbl  1001.68093
  9. ^ Sós, V. T. (1958), "Dizinin 1. dağıtım modundayken ", Ann. Üniv. Sci. Budapeşte, Eötvös Tarikatı. Matematik., 1: 127–134
  10. ^ Surányi, J. (1958), "Über die Anordnung der Vielfachen einer reelen Zahl mod 1", Ann. Üniv. Sci. Budapeşte, Eötvös Tarikatı. Matematik., 1: 107–111
  11. ^ Świerczkowski, S. (1959), "Bir çemberin çevresinde bir yayın ardışık ayarlarında", Fundamenta Mathematicae, 46 (2): 187–189, doi:10.4064 / fm-46-2-187-189, BAY  0104651
  12. ^ Halton, John H. (1965), "Dizinin dağılımı ", Proc. Cambridge Philos. Soc., 61 (3): 665–670, doi:10.1017 / S0305004100039013, BAY  0202668
  13. ^ Slater, Noel B. (1967), "Sekans için boşluklar ve adımlar ", Proc. Cambridge Philos. Soc., 63 (4): 1115–1123, doi:10.1017 / S0305004100042195, BAY  0217019
  14. ^ van Ravenstein, Tony (1988), "Üç boşluk teoremi (Steinhaus varsayımı)", Avustralya Matematik Derneği Dergisi, Seri A, 45 (3): 360–370, doi:10.1017 / S1446788700031062, BAY  0957201
  15. ^ Mayero, Micaela (2000), "Üç boşluk teoremi (Steinhaus varsayımı)", İspat ve Program Türleri: International Workshop, TYPES'99, Lökeberg, İsveç, 12–16 Haziran 1999, Seçilmiş Makaleler, Bilgisayar Bilimleri Ders Notları, 1956, Springer, s. 162–173, arXiv:cs / 0609124, doi:10.1007/3-540-44557-9_10, ISBN  978-3-540-41517-6
  16. ^ Marklof, Jens; Strömbergsson, Andreas (2017), "Üç boşluk teoremi ve kafeslerin uzayı", American Mathematical Monthly, 124 (8): 741–745, arXiv:1612.04906, doi:10.4169 / amer.math.monthly.124.8.741, hdl:1983 / b5fd0feb-e42d-48e9-94d8-334b8dc24505, BAY  3706822
  17. ^ Liang, Frank M. (1979), " uzaklık teoremi ", Ayrık Matematik, 28 (3): 325–326, doi:10.1016 / 0012-365X (79) 90140-7, BAY  0548632
  18. ^ Shiu, Peter (2018), "Üç boşluk teoremine bir dipnot", American Mathematical Monthly, 125 (3): 264–266, doi:10.1080/00029890.2018.1412210, BAY  3768035
  19. ^ Slater, N. B. (1950), "Tam sayıların dağılımı hangisi için ", Proc. Cambridge Philos. Soc., 46 (4): 525–534, doi:10.1017 / S0305004100026086, BAY  0041891
  20. ^ Florek, K. (1951), "Une remarque sur la répartition des nombres ", Colloq. Matematik., 2: 323–324