Pisagor virgül - Pythagorean comma

C üzerinde Pisagor virgül (531441: 524288)

C kullanarak Pisagor virgül Ben Johnston gösterimi. Asa üzerinde daha düşük olarak gösterilen not (B♯+++ ) perde olarak biraz daha yüksektir (C♮).

Pisagor virgül (PC) içinde tanımlanmıştır Pisagor akort yarım tonlar arasındaki fark (A1 - m2) veya aralık armonik olarak eşdeğer notlar (D'den♭ C'ye♯). azalmış saniye aynı genişliğe ancak ters yöne sahiptir (C'den C'ye♯ D'ye♭).

İçinde müzikal akort, Pisagor virgül (veya ditonik virgül^[a]), eski matematikçi ve filozofun adını almıştır Pisagor, küçük mü Aralık (veya virgül ) içinde mevcut Pisagor akort ikisi arasında armonik olarak eşdeğer C ve B gibi notlar♯ (Oyna (Yardım ·bilgi )) veya D♭ ve C♯.^[1] Eşittir frekans oranı ^(1.5)¹²⁄_2⁷ = ⁵³¹⁴⁴¹⁄₅₂₄₂₈₈ ≈ 1.01364 veya yaklaşık 23.46 sent, kabaca çeyrek yarım ton (75:74 ile 74:73 arasında^[2]). Virgül, hangi müzikal mizaçlar genellikle tavlamaya atıfta bulunur, Pisagor virgüldür.^[3]

Pisagor virgül, aynı zamanda bir Pisagor apotomu ve bir Pisagor limması^[4] (yani, bir kromatik ve bir diyatonik arasında yarım ton Pisagor ayarında belirlendiği gibi) veya on iki arasındaki fark sadece mükemmel beşte ve yedi oktavlar veya üç Pisagor arasındaki fark ditonlar ve bir oktav (Pisagor virgülüne aynı zamanda bir oktav da denmesinin nedeni budur) ditonik virgül).

azalmış saniye, Pisagor ayarında, limma ve apotom arasındaki fark olarak tanımlanır. Bu nedenle, Pisagor virgülünün zıttıyla çakışır ve bir Azalan Pisagor virgül (örneğin, C♯ D'ye♭), yaklaşık -23,46 sente eşittir.

Türetme

Giriş bölümünde açıklandığı gibi, Pisagor virgül birçok şekilde türetilebilir:

İkisi arasındaki fark armonik olarak eşdeğer C ve B gibi Pisagor ölçeğinde notlar♯ (Oyna (Yardım ·bilgi )) veya D♭ ve C♯ (görmek altında ).
Arasındaki fark Pisagor apotomu ve Pisagor limması.
On iki sadece arasındaki fark mükemmel beşli ve yedi oktavlar.
Üç Pisagor Arasındaki Fark ditonlar (büyük üçte biri ) ve bir oktav.

Sadece mükemmel bir beşte bir frekans oranı arasında 3: 2. Pisagor akortlamasında, oktavla birlikte, belirli bir ilk notaya göre başka herhangi bir notanın frekans oranını tanımlamak için bir ölçüt olarak kullanılır.

Apotome ve limma iki türdür yarım tonlar Pisagor ayarlamasında tanımlanmıştır. Yani apotome (yaklaşık 113.69 sent, örneğin C'den C'ye♯), kromatik yarı ton veya artırılmış birlik (A1) iken, limma (yaklaşık 90,23 sent, örneğin C'den D'ye♭) diyatonik yarım ton veya küçük ikinci (m2).

Bir diton (veya büyük üçüncü ) ikiden oluşan bir aralıktır majör tonlar. Pisagor ayarında, ana tonun boyutu yaklaşık 203,9 senttir (frekans oranı 9: 8), bu nedenle bir Pisagor ditonu yaklaşık 407,8 senttir.

Oktavlar (7 × 1200 = 8400) ve beşincilere (12 × 701.96 = 8423.52), Cuisenaire çubuklar (1200 için kırmızı (2), 701.96 için siyah (7) kullanılır).

Oktavlar (1 × 1200 = 1200) ve ditonlar (3 × 407,82 = 1223,46) ile gösterildiği gibi Cuisenaire çubuklar (1200 için kırmızı (2), 407,82 için macenta (4) kullanılır).

Boyut

Pisagor virgülünün boyutu sent, dır-dir

{ displaystyle { hbox {apotome}} - { hbox {limma}} yaklaşık 113,69-90,23 yaklaşık 23,46 ~ { hbox {sent}} !}

veya daha doğrusu, açısından frekans oranları:

{ displaystyle { frac { hbox {apotome}} { hbox {limma}}} = { frac {3 ^ {7} / 2 ^ {11}} {2 ^ {8} / 3 ^ {5} }} = { frac {3 ^ {12}} {2 ^ {19}}} = { frac {531441} {524288}} = 1,0136432647705078125 !}

12 uçlu bir yıldızın kapanmamasına neden olan boşluk olarak gösterilen Pisagor virgülü (sağ tarafta), yıldız Pisagor ölçeğini temsil eder; her satır sadece mükemmel bir beşliyi temsil ediyor. Bu boşluğun 7.038 derecelik bir merkezi açıya sahip olması, 30 derecenin% 23.46'sıdır.

Beşliler çemberi ve harmonik değişim

Ben Johnston notasyonunda on iki tam olarak ayarlanmış mükemmel beşte olarak Pisagor virgül.

Pisagor virgül, aynı zamanda on iki sayı arasındaki tutarsızlık olarak da düşünülebilir. adil ayarlanmış mükemmel beşte (oran 3: 2) (Oyna (Yardım ·bilgi )) ve yedi oktav (oran 2: 1):

{ displaystyle { frac { hbox {on iki beşte}} { hbox {yedi oktav}}} = sol ({ tfrac {3} {2}} sağ) ^ {12} ! ! { Büyük /} , 2 ^ {7} = { frac {3 ^ {12}} {2 ^ {19}}} = { frac {531441} {524288}} = 1.0136432647705078125 !}

Mükemmel beşli ile yükselen
Not	Beşinci	Frekans oranı	Ondalık oran
C	0	1 : 1	1
G	1	3 : 2	1.5
D	2	9 : 4	2.25
Bir	3	27 : 8	3.375
E	4	81 : 16	5.0625
B	5	243 : 32	7.59375
F♯	6	729 : 64	11.390625
C♯	7	2187 : 128	17.0859375
G♯	8	6561 : 256	25.62890625
D♯	9	19683 : 512	38.443359375
Bir♯	10	59049 : 1024	57.6650390625
E♯	11	177147 : 2048	86.49755859375
B♯ (≈ C)	12	531441 : 4096	129.746337890625

Oktavlarla artan
Not	Oktav	Frekans oranı
C	0	1 : 1
C	1	2 : 1
C	2	4 : 1
C	3	8 : 1
C	4	16 : 1
C	5	32 : 1
C	6	64 : 1
C	7	128 : 1

Aşağıdaki tabloda müzikal ölçekler içinde beşinci daire Pisagor virgül, ör. F♯ ve G♭.

The 6♭ ve 6♯ ölçekler * aynı değildir - üzerinde olsalar bile piyano klavyesi - ama ♭ ölçekler bir Pisagor virgülünden daha düşüktür. Bu farkı göz ardı etmek, harmonik değişim.

* 7♭ ve 5♯sırasıyla 5♭ ve 7♯ ölçekler aynı şekilde bir Pisagor virgülüyle farklılık gösterir. İle ölçeklenir yedi kaza nadiren kullanılır, çünkü beş tesadüfi armonik ölçekler eşdeğer olarak değerlendirilir.

Bu aralığın, çeşitli ayarlama Şemaları kromatik ölçek çünkü Batı müziğinde 12 mükemmel beşte ve yedi oktav aynı aralık olarak değerlendirilir. Eşit mizaç, bugün Batı'da kullanılan en yaygın ayar sistemi, bunu her beşte birini Pisagor virgülünün on ikide biri kadar (yaklaşık 2 sent) düzleştirerek ve böylece mükemmel oktavlar üreterek uzlaştırdı.

Bunu ifade etmenin başka bir yolu da, beşincinin (tonikle karşılaştırıldığında) 3: 2 veya 1.5 ile 1 arasında bir frekans oranına sahip olmasıdır, oysa yedinci yarı ton (bir oktavın 12 eşit logaritmik bölünmesine dayanan) yedinci kuvvettir. ikinin on ikinci kökü veya 1.4983 ... ila 1, ki bu tamamen aynı değil (yaklaşık% 0.1 oranında). Sadece beşinci ile on ikinci kuvveti alın, sonra yedi oktav çıkarın ve Pisagor virgülünü elde edin (yaklaşık% 1,4 fark).

Tarih

531441: 524288 virgül oranından ilk söz eden Öklid Pisagor akortunun tüm tonunu 9: 8 oranında, oktavı 2: 1 oranında ve bir A = 262144 oranında esas alan. Bu sayıyı altı tam ton yükseltmenin bir değer verdiği sonucuna varır. Bir oktav (A'nın iki katı) yükselterek elde edilenden daha büyük olan G. G'yi 531441 olarak verir.^[5] Gerekli hesaplamalar şu şekildedir:

G'nin hesaplanması:

{ displaystyle 262144 cdot sol ( textstyle { frac {9} {8}} sağ) ^ {6} = 531441}

A'nın çiftinin hesaplanması:

{ displaystyle 262144 cdot sol ( textstyle { frac {2} {1}} sağ) ^ {1} = 524288}

Çinli matematikçiler Pisagor virgülünün MÖ 122 kadar erken bir tarihte farkındaydılar (hesaplaması, Huainanzi ) ve MÖ 50 dolaylarında, Ching Fang Eğer mükemmel beşliler döngüsü 12'den 53'e kadar devam ederse, bu 53. adım ile başlangıç perdesi arasındaki farkın Pisagor virgülünden çok daha küçük olacağını keşfetti. Bu çok daha küçük aralık daha sonra Mercator virgül (görmek: 53 eşit mizaç tarihi ).

George Russell'da Lidya Kromatik Tonal Organizasyon Kavramı (1953) Lidya Toniği ile ♭Onun Altered Major ve Minor Auxiliary Diminished Blues ölçeklerindeki 2, teorik olarak Pisagor virgülünün aralığına dayanmaktadır.^[6]

Ayrıca bakınız

Notlar

^ ile karıştırılmaması diyatonik virgül, daha çok syntonic virgül, 81:80 frekans oranına eşit veya yaklaşık 21,51 sent. Bakınız: Johnston B. (2006). "Maksimum Netlik" ve Müzik Üzerine Diğer YazılarBob Gilmore tarafından düzenlenmiştir. Urbana: Illinois Üniversitesi Yayınları. ISBN 0-252-03098-2.

Referanslar

^ Apel Willi (1969). Harvard Müzik Sözlüğü, s. 188. ISBN 978-0-674-37501-7. "... Pisagor ölçeğinin iki yarım tonu arasındaki fark ..."
^ Ginsburg, Jekuthiel (2003). Scripta Mathematica, s. 287. ISBN 978-0-7661-3835-3.
^ Coyne Richard (2010). Mekan Ayarlaması: Sosyal Alanlar ve Yaygın Dijital Medya, s. 45. ISBN 978-0-262-01391-8.
^ Kottick, Edward L. (1992). Harpsichord Sahibi Kılavuzu, s. 151. ISBN 0-8078-4388-1.
^ Öklid: Katatome kanonos (enlem. Sectio canonis). Engl. çeviri içinde: Andrew Barker (Ed.): Yunan Müzikal Yazıları. Cilt 2: Harmonik ve Akustik Teori, Cambridge Mass .: Cambridge University Press, 2004, s. 190–208, burada: s. 199.
^ Russell, George (2001) [1953]. George Russell's Lidya kromatik ton organizasyonu kavramı. Cilt Bir: Tonal yerçekimi sanatı ve bilimi (Dördüncü (İkinci baskı, düzeltilmiş, 2008) ed.). Brookline, Massachusetts: Concept Publishing Company. sayfa 17, 57-59. ISBN 0-9703739-0-2.

[1] rıştırılmaması diyatonik virgül, daha çok syntonic virgül, 81:80 frekans oranına eşit veya yaklaşık 21,51 sent. Bakınız: Johnston B. (2006). "Maksimum Netlik" ve Müzik Üzerine Diğer YazılarBob Gilmore tarafından düzenlenmiştir. Urbana: Illinois Üniversitesi Yayınları. ISBN 0-252-03098-2.

[2] Apel Willi (1969). Harvard Müzik Sözlüğü, s. 188. ISBN 978-0-674-37501-7. "... Pisagor ölçeğinin iki yarım tonu arasındaki fark ..."

[3] Ginsburg, Jekuthiel (2003). Scripta Mathematica, s. 287. ISBN 978-0-7661-3835-3.

[4] Coyne Richard (2010). Mekan Ayarlaması: Sosyal Alanlar ve Yaygın Dijital Medya, s. 45. ISBN 978-0-262-01391-8.

[5] Kottick, Edward L. (1992). Harpsichord Sahibi Kılavuzu, s. 151. ISBN 0-8078-4388-1.

[6] Öklid: Katatome kanonos (enlem. Sectio canonis). Engl. çeviri içinde: Andrew Barker (Ed.): Yunan Müzikal Yazıları. Cilt 2: Harmonik ve Akustik Teori, Cambridge Mass .: Cambridge University Press, 2004, s. 190–208, burada: s. 199.

[7] Russell, George (2001) [1953]. George Russell's Lidya kromatik ton organizasyonu kavramı. Cilt Bir: Tonal yerçekimi sanatı ve bilimi (Dördüncü (İkinci baskı, düzeltilmiş, 2008) ed.). Brookline, Massachusetts: Concept Publishing Company. sayfa 17, 57-59. ISBN 0-9703739-0-2.

[a]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]