Transfinite sayı - Transfinite number

İçinde matematik, sonsuz sayılar sayılardır "sonsuz "her şeyden daha büyük olmaları anlamında sonlu sayılar, henüz zorunlu değil kesinlikle sonsuz. Bunlar şunları içerir: transfinite kardinaller, hangileri Kardinal sayılar sonsuz kümelerin boyutunu ölçmek için kullanılır ve sonsuz sıra sayısı, hangileri sıra sayıları sonsuz kümelerin sıralanmasını sağlamak için kullanılır.^[1][2][3] Dönem transfinite tarafından icat edildi Georg Cantor 1915'te^[4] kelimenin bazı etkilerinden kaçınmak isteyen sonsuz bu nesnelerle bağlantılı olarak, ancak yine de sonlu. Çok az çağdaş yazar bu nitelikleri paylaşıyor; artık transfinite'ye atıfta bulunmak için kullanım kabul edildi kardinaller ve sıra sayıları "sonsuz" olarak. Bununla birlikte, "transfinite" terimi de kullanımda kalmaktadır.

Tanım

Herhangi bir sonlu sayı en az iki şekilde kullanılabilir: sıra olarak ve bir kardinal olarak. Kardinal sayılar setlerin boyutunu belirtir (örneğin, beş bilyeli bir torba), sıralı sayılar ise bir üyenin sıralı bir set içindeki sırasını belirtir.^[5] (ör. "soldan üçüncü adam" veya "Ocak ayının yirmi yedinci günü "). Sonsuz sayılara genişletildiğinde, bu iki kavram birbirinden ayrı hale gelir. Sonsuz büyük bir kümenin boyutunu tanımlamak için bir sonlu kardinal sayı kullanılır,^[3] sıralı sonsuz büyüklükte bir küme içindeki konumu tanımlamak için sonsuz bir sıra kullanılır.^[5] En dikkate değer sıra ve kardinal sayılar sırasıyla şunlardır:

• ${ displaystyle omega}$ (Omega ): en düşük transfinite sıra sayısı. Aynı zamanda sipariş türü of doğal sayılar olağan doğrusal sıralamaları altında.
• ${ displaystyle aleph _ {0}}$ (Alef yok ): ilk sonlu kardinal sayı. Aynı zamanda kardinalite of sonsuz küme doğal sayıların. Eğer seçim aksiyomu tutar, bir sonraki daha yüksek kardinal sayı alef-bir, ${ displaystyle aleph _ {1}.}$ Değilse, alef-bir ile karşılaştırılamaz ve alef-birden daha büyük olan başka kardinaller olabilir. Her iki durumda da, alef-naught ile alef-bir arasında kardinal yoktur.

süreklilik hipotezi arasında ara kardinal sayıların bulunmadığı önermesidir ${ displaystyle aleph _ {0}}$ ve sürekliliğin temel niteliği (kümesinin asallığı gerçek sayılar ):^[3] veya eşdeğer olarak ${ displaystyle aleph _ {1}}$ gerçek sayılar kümesinin önemidir. İçinde Zermelo – Fraenkel küme teorisi ne süreklilik hipotezi ne de onun olumsuzlaması tutarlılığı bozmadan kanıtlanamaz.

P. Suppes ve J. Rubin de dahil olmak üzere bazı yazarlar terimi kullanır sonsuz kardinal a'nın asallığına atıfta bulunmak Dedekind-sonsuz küme bunun "sonsuz kardinal" ile eşdeğer olmayabileceği bağlamlarda; yani, sayılabilir seçim aksiyomu varsayılmıyor veya tuttuğu bilinmiyor. Bu tanım göz önüne alındığında, aşağıdakilerin tümü eşdeğerdir:

• ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ sonsuz bir kardinaldir. Yani, bir Dedekind sonsuz küme vardır ${ displaystyle A}$ öyle ki asallığı ${ displaystyle A}$ dır-dir ${ displaystyle { mathfrak {m}}.}$
• ${ displaystyle { mathfrak {m}} + 1 = { mathfrak {m}}.}$
• ${ displaystyle aleph _ {0} leq { mathfrak {m}}.}$
• Bir kardinal var ${ displaystyle { mathfrak {n}}}$ öyle ki ${ displaystyle aleph _ {0} + { mathfrak {n}} = { mathfrak {m}}.}$

Örnekler

Cantor'un sıra sayıları teorisinde, her tam sayı bir ardıla sahip olmalıdır.^[6] Tüm normal sayılardan sonra bir sonraki tam sayı, yani ilk sonsuz tamsayı adlandırılır ${ displaystyle omega}$. Bu içerikte, ${ displaystyle omega +1}$ daha büyük ${ displaystyle omega}$, ve ${ displaystyle 2 omega}$, ${ displaystyle omega ^ {2}}$ ve ${ displaystyle omega ^ { omega}}$ hala daha büyük. Aritmetik ifadeler içeren ${ displaystyle omega}$ sıralı bir sayı belirtir ve bu sayıya kadar tüm tam sayıların kümesi olarak düşünülebilir. Belirli bir sayının genellikle kendisini temsil eden birden çok ifadesi vardır, ancak benzersiz bir Kantor normal formu bu onu temsil ediyor^[6], esasen azalan kuvvetlerin katsayılarını veren sonlu bir basamak dizisi ${ displaystyle omega}$.

Bununla birlikte, sonsuz tam sayıların tümü bir Cantor normal formu ile temsil edilemez ve ilk veremeyen tam sayı limit tarafından verilir ${ displaystyle omega ^ { omega ^ { omega ^ {...}}}}$ ve adlandırılır ${ displaystyle epsilon _ {0}}$.^[6] ${ displaystyle epsilon _ {0}}$ en küçük çözümdür ${ displaystyle omega ^ { epsilon} = epsilon}$ve aşağıdaki çözümler ${ displaystyle epsilon _ {1}, ..., epsilon _ { omega}, ..., epsilon _ { epsilon _ {0}}, ...}$ daha büyük sıralar verin ve sınıra ulaşıncaya kadar takip edilebilir ${ displaystyle epsilon _ { epsilon _ { epsilon _ {...}}}}$için ilk çözüm olan ${ displaystyle epsilon _ { alpha} = alpha}$. Bu, tüm sonsuz tamsayıları belirtebilmek için, sonsuz bir isim dizisi düşünmek gerektiği anlamına gelir: çünkü eğer biri tek bir en büyük tamsayı belirtecek olsaydı, o zaman her zaman onun büyük halefinden bahsedilebilirdi. Ancak Cantor'un belirttiği gibi,^[6] bu bile sadece birinin en düşük sınıftaki sonlu sayılara ulaşmasına izin verir: kümelerinin büyüklüğü kardinal sayıya karşılık gelenler ${ displaystyle aleph _ {0}}$.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Kaynakça

• Levy, Azriel, 2002 (1978) Temel Küme Teorisi. Dover Yayınları. ISBN  0-486-42079-5
• O'Connor, J. J. ve E. F. Robertson (1998) "Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor," MacTutor Matematik Tarihi arşivi.
• Rubin, Jean E., 1967. "Matematikçi için Küme Teorisi". San Francisco: Holden Günü. Cezalı Morse-Kelley küme teorisi.
• Rudy Rucker, 2005 (1982) Sonsuzluk ve Akıl. Princeton Üniv. Basın. Öncelikle Cantor'un cennetinin felsefi çıkarımlarının bir keşfi. ISBN  978-0-691-00172-2.
• Patrick Suppes, 1972 (1960) "Aksiyomatik Küme Teorisi ". Dover. ISBN  0-486-61630-4. Cezalı ZFC.