Ikisinin tamamlayıcısı - Twos complement - Wikipedia

Ikisinin tamamlayıcısı bir matematiksel operasyon açık ikili sayılar ve bir örnek temel tamamlayıcı. Kullanılır bilgi işlem yöntemi olarak imzalı sayı gösterimi.

İkisinin bir tamamlayıcısı Nbitlik sayı, Tamamlayıcı göre 2^N; bir sayının ve ikisinin tümleyicisinin toplamı 2^N. Örneğin, 010 üç bitlik sayı için, ikinin tamamlayıcısı 110'dur, çünkü 010 + 110 = 8 eşittir 2³. İkinin tamamlayıcısı, bitleri ters çevirip bir tane ekleyerek hesaplanır.

İkinin tamamlayıcısı, işaretli ifadeyi temsil etmenin en yaygın yöntemidir. tamsayılar bilgisayarlarda,^[1] ve daha genel olarak, sabit noktalı ikili değerler. Bu şemada, ikili sayı 010 ise₂ işaretli tamsayıyı kodlar 2₁₀, sonra ikisinin tümleyicisi, 110₂, tersini kodlar: −2₁₀. Başka bir deyişle, bu şemadaki çoğu tamsayının (biri hariç tümü) işaretini tersine çevirmek için, ikisinin ikili temsilinin tamamlayıcısını alabilirsiniz.^[2] Sağdaki tablolar bu özelliği göstermektedir.

İşaretli sayıları temsil eden diğer sistemlerle karşılaştırıldığında (Örneğin., birinin tamamlayıcısı ), ikinin tümleyicisi, temel aritmetik işlemlerinin avantajına sahiptir. ilave, çıkarma, ve çarpma işlemi işaretsiz ikili sayılar için olanlarla aynıdır (girişler çıkışla aynı sayıda bit ile temsil edildiği sürece ve herhangi bir taşma bu bitlerin ötesinde sonuçtan çıkarılır). Bu özellik, sistemin özellikle yüksek hassasiyetli aritmetik için uygulanmasını kolaylaştırır. Birlerin tamamlayıcı sistemlerinden farklı olarak, ikinin tümleyeni için temsili yoktur. negatif sıfır ve dolayısıyla ilişkili zorluklardan muzdarip değildir.

Elverişli bir şekilde, ikisinin bir sayının tümlemesini bulmanın başka bir yolu, birlerin tümleyenlerini alıp bir eklemektir: Bir sayının ve birlerin tamamlayıcısının toplamı "1" bitidir veya 2^N − 1; ve tanım gereği, bir sayının toplamı ve iki tamamlayıcı 2^N.

Tarih

tamamlayıcılar yöntemi ondalık sayılarda çıkarma yapmak için uzun süredir kullanılıyordu makine eklemek ve mekanik hesap makineleri. John von Neumann 1945'te ikisinin tamamlayıcı ikili temsilinin kullanımını önerdi EDVAC ile ilgili İlk Rapor Taslağı elektronik olarak depolanmış bir dijital bilgisayar için öneri.^[3] 1949 EDSAC esinlenen İlk taslak, ikinin ikili sayıların tamamlayıcı temsilini kullandı.

Dahil olmak üzere birçok eski bilgisayar CDC 6600, LINC, PDP-1 ve UNIVAC 1107'yi kullanın birinin tamamlayıcısı gösterim; UNIVAC 1107'nin torunları, UNIVAC 1100/2200 serisi yapmaya devam edin. IBM 700/7000 serisi bilimsel makineler, ikinin tamamlayıcısı olan dizin kayıtları dışında işaret / büyüklük gösterimi kullanır. İlk ticari ikisinin tamamlayıcı bilgisayarları şunları içerir: Digital Equipment Corporation PDP-5 ve 1963 PDP-6. Sistem / 360 tarafından 1964'te tanıtıldı IBM, daha sonra bilgisayar endüstrisindeki baskın oyuncu, ikisinin tamamlayıcısı, bilgisayar endüstrisinde en yaygın olarak kullanılan ikili gösterimi yaptı. İlk mini bilgisayar, PDP-8 1965'te tanıtıldı, 1969'da olduğu gibi ikinin tümleyen aritmetiğini kullanır Veri Genel Nova, 1970 PDP-11 ve hemen hemen tüm sonraki tüm mini bilgisayarlar ve mikro bilgisayarlar.

İkinin tümleyen temsilinden dönüştürme

İkiye tümleyen sayı sistemi, ikili sayı gösteriminde pozitif ve negatif sayıları kodlar. Her bitin ağırlığı, iki kuvvettir. en önemli kısım, ağırlığı ikiye karşılık gelen gücün negatifidir.

Değerw bir N-bit tamsayı ${ displaystyle a_ {N-1} a_ {N-2} noktalar a_ {0}}$ aşağıdaki formülle verilir:

${ displaystyle w = -a_ {N-1} 2 ^ {N-1} + toplam _ {i = 0} ^ {N-2} a_ {i} 2 ^ {i}}$

En önemli bit, sayının işaretini belirler ve bazen işaret biti. Aksine işaret ve büyüklük gösterimi, işaret bitinin ağırlığı da vardır −(2^N − 1) Yukarıda verilen. Kullanma N bit, tüm tam sayılar −(2^N − 1) -e 2^N − 1 − 1 temsil edilebilir.

İkinin tümleyen temsiline dönüştürme

İkinin tümleyen gösteriminde, bir negatif olmayan sayı, sıradan ile temsil edilir ikili gösterim; bu durumda, en önemli bit 0'dır. Bununla birlikte, temsil edilen sayıların aralığı işaretsiz ikili sayılarla aynı değildir. Örneğin, 8 bitlik işaretsiz bir sayı, 0 ila 255 (11111111) değerlerini temsil edebilir. Bununla birlikte, bir ikinin tamamlayıcı 8 bitlik sayısı, yalnızca 0'dan 127'ye (01111111) pozitif tamsayıları temsil edebilir, çünkü en önemli bit olan '1' gibi bit kombinasyonlarının geri kalanı, -1'den -128'e kadar negatif tam sayıları temsil eder.

İkisinin tümleme işlemi, toplamsal ters işlem, dolayısıyla negatif sayılar, ikisinin tamamlayıcısı ile temsil edilir. mutlak değer.

Birinin tamamlayıcısından

Negatif bir ikili sayının ikisinin tamamlayıcısını elde etmek için, bitler kullanılarak ters çevrilir veya "çevrilir" bitsel DEĞİL operasyon; 1'in değeri daha sonra sonuçtaki değere eklenir ve ikinin tümleyicisi 0 alındığında ortaya çıkan taşma yok sayılır.

Örneğin, 1 bayt (= 8 bit) kullanarak, ondalık sayı 5 ile temsil edilir

0000 0101₂

En önemli bit 0'dır, bu nedenle desen negatif olmayan bir değeri temsil eder. İkinin tümleyen gösteriminde -5'e dönüştürmek için, önce bitler ters çevrilir, yani: 0, 1 olur ve 1, 0 olur:

1111 1010₂

Bu noktada temsil, birinin tamamlayıcısı ondalık değerin -5. İkinin tamamlayıcısını elde etmek için sonuca 1 eklenir ve şunu verir:

1111 1011₂

Sonuç, ikiye tümleyen formda −5 ondalık değerini temsil eden işaretli bir ikili sayıdır. En önemli bit 1'dir, dolayısıyla temsil edilen değer negatiftir.

Negatif bir sayının ikisinin tamamlayıcısı, tek bir özel durum dışında, karşılık gelen pozitif değerdir. Örneğin, −5'in (yukarıda) bitlerini ters çevirmek şunu verir:

0000 0100₂

Ve bir tane eklemek son değeri verir:

0000 0101₂

Benzer şekilde, ikinin sıfır tamamlayıcısı sıfırdır: tersine çevirmek tüm birleri verir ve birini eklemek birleri sıfıra dönüştürür (çünkü taşma yok sayılır).

İkisinin gösterilebilir en negatif sayının tamamlayıcısı (örneğin, en anlamlı bit olarak bir ve diğer tüm bitler sıfır) kendisidir. Bu nedenle, ikinin tümlemesinin olumsuzluk vermediği bir 'ekstra' negatif sayı vardır, bkz. § En negatif sayı altında.

2'den çıkarma^N

Bir sayının toplamı ve birlerin tamamlayıcısı bir N- 1 bitin tümü ile bit kelime, ki bu (işaretsiz bir ikili sayı olarak okunur) 2^N − 1. Sonra ikisinin tamamlayıcı sonuçlarına bir sayı eklemek N en düşük bitler 0'a ayarlanır ve taşıma biti 1'e ayarlanır; burada ikincisi, ağırlığa sahiptir (işaretsiz ikili sayı olarak okur) 2^N. Dolayısıyla, işaretsiz ikili aritmetiğinde ikinin tamamlayıcı negatif sayısının değeri x* olumlu x eşitliği sağlar x* = 2^N − x.^[4]

Örneğin, −5'in 4 bitlik temsilini bulmak için (alt simgeler, temsilin temeli ):

x = 5₁₀ bu nedenle x = 0101₂

Dolayısıyla N = 4:

x* = 2^N − x = 2⁴ − 5₁₀ = 16₁₀ - 5₁₀ = 10000₂ − 0101₂ = 1011₂

Hesaplama tamamen 10 bazında yapılabilir ve sonunda 2 tabana dönüştürülür:

x* = 2^N − x = 2⁴ − 5₁₀ = 11₁₀ = 1011₂

LSB'den MSB'ye doğru çalışmak

El ile dönüştürmek için bir kısayol ikili numara ikisinin tamamlayıcısına, En az anlamlı bit (LSB) ve ilk 1'e ulaşılana kadar LSB'den en anlamlı bite (MSB) doğru çalışarak tüm sıfırları kopyalayın; sonra bu 1'i kopyalayın ve kalan tüm bitleri çevirin (İlk sayı işaret ve büyüklük gösterimindeyse MSB'yi 1 olarak bırakın). Bu kısayol, bir kişinin bir sayıyı önce birlerin tamamlayıcısını oluşturmadan ikisinin tümlemesine dönüştürmesine olanak tanır. Örneğin: ikinin tümleyen gösteriminde, "0011 1100" olumsuzlaması "1100 0100", altı çizili rakamlar kopyalama işlemi tarafından değiştirilmemiştir (rakamların geri kalanı ters çevrilirken).

Bilgisayar devresinde, bu yöntem "tamamla ve bir ekle" yönteminden daha hızlı değildir; her iki yöntem de mantık değişikliklerini yayarak sağdan sola sırayla çalışmayı gerektirir. Birini tamamlama ve ekleme yöntemi, bir standart ile hızlandırılabilir ileriye dönük toplayıcı taşı devre; LSB, MSB yöntemine benzer bir mantık dönüşümü ile hızlandırılabilir.

İşaret uzantısı

Belirli sayıda bit içeren bir ikinin tümleyen sayısını daha fazla bit içeren bir sayıya dönüştürürken (örneğin, 1 baytlık bir değişkenden 2 baytlık bir değişkene kopyalarken), en önemli bit tüm ekstra bitlerde tekrarlanmalıdır . Bazı işlemciler bunu tek bir talimatla yapar; diğer işlemcilerde, ilgili bitleri veya baytları ayarlamak için bir koşul ve ardından kod kullanılmalıdır.

Benzer şekilde, ikiye tümleyen bir sayı sağa kaydırıldığında, büyüklük ve işaret bilgisini içeren en anlamlı bit korunmalıdır. Bununla birlikte, sola kaydırıldığında, bir 0 kaydırılır. Bu kurallar, sola kaydırmanın sayıyı ikiyle çarptığı ve sağa kaydırmanın sayıyı ikiye böldüğü genel anlamını korur.

Hassasiyeti hem kaydırma hem de iki katına çıkarma, bazı çarpma algoritmaları için önemlidir. Toplama ve çıkarmadan farklı olarak, genişlik genişletme ve sağa kaydırmanın işaretli ve işaretsiz sayılar için farklı şekilde yapıldığını unutmayın.

En negatif sayı

Yalnızca bir istisna dışında, ikinin tümleyen temsilinde herhangi bir sayı ile başlayarak, tüm bitler çevrilir ve 1 eklenirse, bu sayının negatifinin ikiye tümleyen gösterimi elde edilir. Pozitif 12 negatif 12 olur, pozitif 5 negatif 5 olur, sıfır sıfır olur (+ taşma) vb.

Aralıktaki minimum sayının ikisinin tümlemesini almak, sayıyı olumsuzlama gibi istenen etkiye sahip olmayacaktır. Örneğin, 8 bitlik bir sistemde ikisinin −128 tümleyeni −128'dir. −128'in olumsuzlanmasından beklenen sonuç +128 olmasına rağmen, 8 bitlik ikinin tümleyen sistemiyle +128'in temsili yoktur ve dolayısıyla olumsuzlamayı temsil etmek aslında imkansızdır. İkinin tamamlayıcısının aynı sayı olduğu için bir taşma koşulu olarak algılandığına dikkat edin, çünkü en anlamlı bit içine bir taşıma olduğu halde dışında değil.

Bu fenomen temelde ikili sayıların matematiği ile ilgilidir, ikinin tamamlayıcısı olarak temsilin ayrıntıları ile değil. Matematiksel olarak bu, 0'ın negatifinin yine 0 olduğu gerçeğini tamamlar. Verilen bit sayısı için k çift ​​sayıda ikili sayı vardır 2^k, negatif almak bir grup eylemi (2. sıra grubunun) ikili sayılarda ve yörünge sıfırın sırası 1'e sahiptir, en az bir başka sayının yörünge sıralarının kümenin sırasına kadar toplanması için 1. dereceden bir yörüngeye sahip olması gerekir. Bu nedenle, başka bir sayı, negatif alma durumunda değişmez olmalıdır (resmi olarak, yörünge sabitleyici teoremi ). Geometrik olarak, biri görüntülenebilir k-bit ikili sayılar döngüsel grup ${ displaystyle mathbb {Z} / 2 ^ {k}}$, daire olarak görselleştirilebilir (veya düzgün bir şekilde 2^k-gon) ve negatifleri almak, 2: 0 ve zıt noktayı bölen sıralama öğelerini veya görsel olarak zenit ve nadire sabitleyen bir yansımadır.

En negatif sayının varlığı, sonucun beklenmedik bir işarete sahip olduğu veya beklenmedik bir taşma istisnasına yol açtığı veya tamamen garip davranışlara yol açtığı beklenmedik programlama hatalarına yol açabilir. Örneğin,

• tekli olumsuzlama operatörü, sıfır olmayan bir sayının işaretini değiştiremez. örneğin, - (- 128) → −128.

• bir uygulaması mutlak değer negatif bir sayı döndürebilir.^[5] ör. abs (-128) → -128.

• Benzer şekilde, −1 ile çarpma da beklendiği gibi çalışmayabilir. ör. (−128) × (−1) → −128.

• -1'e bölmek bir istisnaya neden olabilir (0'a bölmenin neden olduğu gibi).^[6] Kalanı (veya moduloyu) -1 ile hesaplamak bile bu istisnayı tetikleyebilir.^[7] örneğin, (−128) ÷ (−1) → kilitlenme, (−128)% (−1) → kilitlenme.

İçinde C ve C ++ programlama dilleri, yukarıdaki davranışlar Tanımsız ve sadece garip sonuçlar döndürmekle kalmaz, derleyici programcının tanımsız hesaplamaların asla yapılmamasını sağladığını varsaymakta özgürdür ve bu varsayımdan çıkarımlar yapar.^[7] Bu, bir dizi optimizasyona olanak sağlar, ancak bu tür tanımlanmamış programlarda bir dizi garip hataya da yol açar.

İkinin tümleyenindeki en negatif sayı bazen "tuhaf sayı" olarak adlandırılır çünkü tek istisnadır.^[8][9] Sayı bir istisna olsa da, normal ikinin tamamlayıcı sistemlerinde geçerli bir sayıdır. Tüm aritmetik işlemler onunla hem bir işlenen hem de (bir taşma olmadığı sürece) bir sonuç olarak çalışır.

Neden işe yarıyor

Mümkün olan bir dizi N-bit değerleri, alt yarıyı (ikili değere göre) 0'dan tamsayılar olacak şekilde atayabiliriz. (2^N − 1 − 1) kapsayıcı ve üst yarısı −2^N − 1 −1 dahil. Üst yarı (yine ikili değere göre), negatif tam sayıları temsil etmek için kullanılabilir. −2^N − 1 −1'e çünkü ek modulo altında 2^N bu negatif tam sayılarla aynı şekilde davranırlar. Bu demek ki çünkü ben + j mod 2^N = ben + (j + 2^N) mod 2^N kümedeki herhangi bir değer { j + k 2^N | k bir tamsayıdır} yerine kullanılabilirj.^[10]

Örneğin, sekiz bit ile, işaretsiz baytlar 0 ila 255'tir. Üst yarıdan (128'den 255'e) 256 çıkarmak, işaretli baytları -128'den -1'e verir.

İkinin tümleyeni ile olan ilişki şunu not ederek gerçekleşir: 256 = 255 + 1, ve (255 − x) ... birinin tamamlayıcısı nın-ninx.

Misal

Bu alt bölümde, ondalık sayıların sonuna bir ondalık nokta "" eklenir.

Örneğin, 8 bitlik bir sayı yalnızca -128'den itibaren her tamsayıyı temsil edebilir. 127'ye kadar. dahil, çünkü (2^8 − 1 = 128.). 95. modulo 256. 161'e eşdeğerdir. çünkü

−95. + 256.

= −95. + 255. + 1

= 255. − 95. + 1

= 160. + 1.

= 161.

   1111 1111 255. - 0101 1111 - 95. =========== ===== 1010 0000 (birlerin tamamlayıcısı) 160. + 1 + 1 =========== ===== 1010 0001 (ikinin tümleyicisi) 161.

Temel olarak, sistem geriye doğru sayarak negatif tam sayıları temsil eder ve etrafı sarmak. Pozitif ve negatif sayılar arasındaki sınır keyfidir, ancak ortak düşünce tüm negatif sayıların en sol biti vardır (en önemli kısım ) biri. Bu nedenle, en pozitif 4 bitlik sayı 0111 (7.) ve en negatif olan 1000'dir (-8.). İşaret biti olarak en soldaki bit kullanılması nedeniyle, en negatif sayının (| −8. | = 8.) mutlak değeri gösterilemeyecek kadar büyüktür. Bir ikinin tümleyen sayısını olumsuzlamak basittir: Tüm bitleri ters çevirin ve sonuca bir ekleyin. Örneğin, 1111'i reddedersek 0000 + 1 = 1. Bu nedenle, ikili olarak 1111, ondalık olarak -1'i temsil etmelidir.^[11]

Sistem, bilgisayar donanımında aritmetiğin uygulanmasını basitleştirmede kullanışlıdır. İlk başta 0011 (3.) 'ü 1111'e (-1.) Eklemek 10010'un yanlış cevabını veriyor gibi görünüyor. Ancak, donanım 0010 (2)' nin doğru cevabını vermek için en soldaki biti yok sayabilir. 0100 ve 0100 toplamı gibi işlemleri yakalamak için hala taşma kontrolleri mevcut olmalıdır.

Bu nedenle sistem, bir çıkarma devresi veya bir sayının işaretini algılayan bir devre olmadan negatif işlenenlerin eklenmesine izin verir. Dahası, bu toplama devresi, yalnızca ek bir döngü veya kendi toplayıcı devresini gerektiren bir sayının ikisinin tümlemesini alarak (aşağıya bakınız) çıkarma işlemini de gerçekleştirebilir. Bunu gerçekleştirmek için, devre yalnızca en soldaki fazladan 1 biti varmış gibi çalışır.

Aritmetik işlemler

İlave

İkinin tümleyen sayılarının toplanması, işlenenlerin zıt işaretleri olsa bile özel bir işlem gerektirmez: sonucun işareti otomatik olarak belirlenir. Örneğin, 15 ve −5 ekleyerek:

  11111 111 (taşıma) 0000 1111 (15) + 1111 1011 (−5) =========== 0000 1010 (10)

Bu işlem, 8 bitlik hassasiyetle sınırlandırılmasına bağlıdır; 9. en anlamlı bitin (var olmayan) 9'uncu bitine taşıma göz ardı edilir ve 10'un aritmetik olarak doğru sonucuyla sonuçlanır.₁₀.

Son iki biti Taşımak satır (sağdan sola okuma) hayati bilgileri içerir: hesaplamanın bir aritmetik taşma ikili sistemin gösteremeyeceği kadar büyük bir sayı (bu durumda 8 bitten büyük). Bu son iki bit birbirinden farklı olduğunda bir taşma koşulu vardır. Yukarıda bahsedildiği gibi, sayının işareti sonucun MSB'sinde kodlanmıştır.

Diğer bir deyişle, soldaki iki taşıma biti (bu örneklerde en üst satırın en solundakiler) hem 1 hem de 0 ise, sonuç geçerlidir; soldaki iki taşıma biti "1 0" veya "0 1" ise, bir işaret taşması meydana gelmiştir. Uygun bir şekilde ÖZELVEYA bu iki bit üzerindeki işlem, bir taşma koşulunun olup olmadığını hızla belirleyebilir. Örnek olarak, 7 ve 3'ün işaretli 4 bit eklemesini düşünün:

  0111 (taşıma) 0111 (7) + 0011 (3) ====== 1010 (−6) geçersiz!

Bu durumda, en soldaki iki (MSB) taşıma biti "01" dir, bu da ikiye tamamlayıcı toplama taşması olduğu anlamına gelir. Yani 1010₂ = 10₁₀ izin verilen −8 ila 7 aralığının dışında. İşaretsiz tamsayı olarak kabul edilirse sonuç doğru olacaktır.

Genel olarak herhangi ikisi N-bit sayılar eklenebilir olmadan taşma, önce işaret genişleterek her ikisini de N + 1 bit ve sonra yukarıdaki gibi ekleyerek. N + 1 bit sonucu, olası herhangi bir toplamı temsil edecek kadar büyüktür (N = 5 ikinin tümleyenleri -16 ila 15) aralığındaki değerleri temsil edebilir, böylece taşma asla meydana gelmez. Bu durumda, istenirse, sonucu tekrar 'kısaltmak' mümkündür. N değeri korurken bitler, ancak ve ancak atılan bit, tutulan sonuç bitlerinin uygun bir işaret uzantısı ise. Bu, taşma tespitine yönelik başka bir yöntem sağlar - bu, taşıma bitlerini karşılaştırma yöntemine eşdeğerdir - ancak bazı durumlarda uygulanması daha kolay olabilir, çünkü eklemenin iç kısımlarına erişim gerektirmez.

Çıkarma

Bilgisayarlar genellikle tamamlayıcılar yöntemi çıkarma uygulamak için. Çıkarma için tümleyicileri kullanmak, negatif sayıları temsil etmek için tümleyicileri kullanmakla yakından ilgilidir, çünkü kombinasyon işlenenlerin ve sonuçların tüm işaretlerine izin verir; doğrudan çıkarma, ikiye tümleyen sayılarla da çalışır. Ekleme gibi, ikinin tümlemesini kullanmanın avantajı, toplama veya çıkarma işleminin gerekli olup olmadığını belirlemek için işlenenlerin işaretlerini incelemenin ortadan kaldırılmasıdır. Örneğin, −5'i 15'ten çıkarmak gerçekte 5'i 15'e eklemektir, ancak bu ikinin tümleyen temsili tarafından gizlenmiştir:

  111100000 (ödünç) 0000 1111 (15) - 1111 1011 (−5) =========== 0001 0100 (20)

Taşma, toplama işlemiyle aynı şekilde, ödünç alanların en soldaki (en önemli) bitini inceleyerek tespit edilir; farklı iseler taşma meydana gelmiştir.

Başka bir örnek, sonucun negatif olduğu bir çıkarma işlemidir: 15 - 35 = −20:

  11100000 (ödünç) 0000 1111 (15) - 0010 0011 (35) =========== 1110 1100 (−20)

Eklemeye gelince, her iki girişi de ekstra bir bit ile ilk işaret genişleterek çıkarmadaki taşma önlenebilir (veya işlemden sonra saptanabilir).

Çarpma işlemi

İkisinin ürünü N-bit sayılar gerektirir 2N olası tüm değerleri içeren bitler.^[12]

İkinin tümlemesini kullanan iki işlenenin kesinliği çarpmadan önce iki katına çıkarılırsa, doğrudan çarpma (bu kesinliğin ötesindeki fazla bitleri atarak) doğru sonucu sağlayacaktır.^[13] Örneğin, al 6 × −5 = −30. İlk olarak, hassasiyet dört bitten sekize çıkarılır. Daha sonra sayılar çarpılır ve sekizinci bitin ötesindeki bitler atılır ("x"):

     00000110 (6) * 11111011 (−5) ============ 110 1100 00000 110000 1100000 11000000 x10000000 + xx00000000 ============ xx11100010

Bu çok verimsizdir; hassasiyeti önceden iki katına çıkararak, tüm eklemeler çift hassasiyetli olmalıdır ve bilgisayarlarda fiilen uygulanan daha verimli algoritmalara göre en az iki kat daha fazla kısmi ürün gerekir. Bazı çarpma algoritmaları, özellikle ikinin tamamlayıcısı için tasarlanmıştır. Booth'un çarpma algoritması. İşaret büyüklüğü sayılarını çarpma yöntemleri, uyarlama olmadan ikinin tamamlayıcı sayılarıyla çalışmaz. Çarpım (çarpımı oluşturmak için tekrar tekrar eklenen) negatif olduğunda genellikle bir sorun yoktur; sorun, çarpan negatif olduğunda ürünün başlangıç ​​bitlerini doğru bir şekilde ayarlamaktır. Algoritmaları ikinin tamamlayıcı sayısını işleyecek şekilde uyarlamak için iki yöntem yaygındır:

• Önce çarpanın negatif olup olmadığını kontrol edin. Eğer öyleyse, olumsuzla (yani, çarpmadan önce her iki işlenenin ikisinin tümleyicisini alın. Çarpan daha sonra pozitif olacaktır, böylece algoritma çalışacaktır. Her iki işlenen de olumsuzlandığından, sonuç yine de doğru işarete sahip olacaktır.
• Diğer kısmi ürünler gibi eklemek yerine MSB'den (sözde işaret biti) kaynaklanan kısmi ürünü çıkarın. Bu yöntem, çarpanın işaret bitinin, sağa kaydırma eylemleri sırasında korunarak bir konum kadar uzatılmasını gerektirir.^[14]

İkinci yönteme örnek olarak, çarpma için ortak ekleme ve değiştirme algoritmasını ele alalım. Kalem ve kağıtla yapıldığı gibi kısmi ürünleri sola kaydırmak yerine, biriken ürün sağa, sonunda ürünün en az önemli yarısını tutacak ikinci bir kütüğe kaydırılır. Beri en az önemli bitler hesaplandıktan sonra değiştirilmezlerse, eklemeler tek bir kesinlik olabilir ve sonuçta ürünün en önemli yarısını tutacak olan kayıt defterinde birikir. Aşağıdaki örnekte, yine 6 ile −5 çarpıldığında, iki kayıt ve genişletilmiş işaret biti "|" ile ayrılır:

  0 0110 (6) (genişletilmiş işaret bitli çarpan) × 1011 (−5) (çarpan) = | ==== | ==== 0 | 0110 | 0000 (ilk kısmi çarpım (en sağdaki bit 1)) 0 | 0011 | 0000 (sağa kaydır, genişletilmiş işaret bitini koruyarak) 0 | 1001 | 0000 (ikinci kısmi ürün ekle (sonraki bit 1'dir)) 0 | 0100 | 1000 (sağa kaydır, genişletilmiş işaret bitini koruyarak) 0 | 0100 | 1000 (ekle üçüncü kısmi çarpım: 0 yani değişiklik yok) 0 | 0010 | 0100 (sağa kaydır, genişletilmiş işaret bitini koruyarak) 1 | 1100 | 0100 (işaret bitinden olduğu için son kısmi çarpımı çıkar) 1 | 1110 | 0010 (sağa kaydır, genişletilmiş koruyarak işaret biti) | 1110 | 0010 (son cevabı veren genişletilmiş işaret bitini atın, −30)

Karşılaştırma (sıralama)

Karşılaştırma genellikle bilgisayarın içindeki bayrakların olduğu bir kukla çıkarma ile uygulanır. durum kaydı kontrol edilir, ancak ana sonuç göz ardı edilir. sıfır bayrak iki değerin eşit olup olmadığını gösterir. Münhasır veya işaret ve taşma bayraklar 1'dir, çıkarma sonucu sıfırdan küçüktür, aksi takdirde sonuç sıfır veya daha büyüktür. Bu kontroller genellikle şartlı şube Talimatlar.

İşaretsiz ikili sayılar basit bir sözlüksel sıralama, burada bit değeri 0, bit değeri 1'den daha küçük olarak tanımlanır. İkinin tamamlayıcı değerleri için, en önemli bitin anlamı tersine çevrilir (yani 1, 0'dan küçüktür).

Aşağıdaki algoritma (bir n-bit ikinin tümleyen mimarisi), sonuç yazmacını R'yi A B ise + 1'e ve A ve B eşitse 0'a ayarlar:

// işaret bitinin ters karşılaştırmasıEğer Bir(n-1) == 0 ve B(n-1) == 1 sonra    R := +1    kırmakBaşka Eğer Bir(n-1) == 1 ve B(n-1) == 0 sonra    R := -1    kırmakson // kalan bitlerin karşılaştırmasıiçin ben = n-2...0 yapmak    Eğer Bir(ben) == 0 ve B(ben) == 1 sonra        R := -1        kırmak    Başka Eğer Bir(ben) == 1 ve B(ben) == 0 sonra        R := +1        kırmak    sonson R := 0

İkinin tümleyen ve 2-adic sayılar