Hiperbolik uzayda tek tip petekler - Uniform honeycombs in hyperbolic space

İçinde hiperbolik geometri, bir hiperbolik boşlukta tek tip bal peteği bir üniforma mozaikleme nın-nin tekdüze çok yüzlü hücreler. 3 boyutlu olarak hiperbolik boşluk dokuz tane var Coxeter grubu kompakt aileleri dışbükey tek tip petekler, olarak oluşturuldu Wythoff yapıları ve temsil eden permütasyonlar nın-nin yüzükler of Coxeter diyagramları her aile için.

Matematikte çözülmemiş problem: Tüm hiperbolik tek tip petek setini bulun (matematikte daha fazla çözülmemiş problem)

Dört kompakt düzenli hiperbolik petek

{5,3,4}	{5,3,5}
{4,3,5}	{3,5,3}
Poincaré top modeli projeksiyonlar

Hiperbolik tek tip bal peteği aileleri

Petekler, aşağıdaki şekilde tanımlanan kompakt ve parakompakt formlar arasında bölünmüştür: Coxeter grupları birinci kategori yalnızca sonlu hücreleri ve köşe şekillerini (sonlu alt gruplar) içerir ve ikincisi afin alt grupları içerir.

Kompakt tek tip bal peteği aileleri

Dokuz kompakt Coxeter grupları burada onların listesi ile Coxeter diyagramları,^[1] göreceli hacimlerine göre temel simpleks alanları.^[2]

Bu 9 aile, toplam 76 benzersiz tek tip petek üretir. Hiperbolik tek tip peteklerin tam listesi kanıtlanmamıştır ve bilinmeyen sayıda Wythoffian olmayan form mevcuttur. Aşağıda {3,5,3} ailesi ile bilinen bir örnek verilmiştir. Sadece iki aile, ayna kaldırma yarılanmasıyla ilişkilidir: [5,3^1,1] ↔ [5,3,4,1⁺].

Endeksli	Temel basit Ses[3]	Witt sembol	Coxeter gösterim	Komütatör alt grup	Coxeter diyagram	Petek
H1	0.0358850633	${displaystyle {ar {BH}} _ {3}}$	[5,3,4]	[(5,3)+,4,1+] = [5,31,1]+		15 form, 2 normal
H2	0.0390502856	${displaystyle {ar {J}} _ {3}}$	[3,5,3]	[3,5,3]+		9 form, 1 normal
H3	0.0717701267	${displaystyle {ar {DH}} _ {3}}$	[5,31,1]	[5,31,1]+		11 form (7 [5,3,4] ailesiyle örtüşüyor, 4'ü benzersiz)
H4	0.0857701820	${displaystyle {widehat {AB}} _ {3}}$	[(4,3,3,3)]	[(4,3,3,3)]+		9 form
H5	0.0933255395	${displaystyle {ar {K}} _ {3}}$	[5,3,5]	[5,3,5]+		9 form, 1 normal
H6	0.2052887885	${displaystyle {widehat {AH}} _ {3}}$	[(5,3,3,3)]	[(5,3,3,3)]+		9 form
H7	0.2222287320	${displaystyle {widehat {BB}} _ {3}}$	[(4,3)[2]]	[(4,3+,4,3+)]		6 form
H8	0.3586534401	${displaystyle {widehat {BH}} _ {3}}$	[(3,4,3,5)]	[(3,4,3,5)]+		9 form
H9	0.5021308905	${displaystyle {widehat {HH}} _ {3}}$	[(5,3)[2]]	[(5,3)[2]]+		6 form

Çift sıralı dallarla diğer tüm aynalar tarafından ayrılan iki veya daha fazla aynadan oluşan bir setin kaldırılmasıyla oluşturulabilen, benzetmeyen alanlara sahip sadece iki radikal alt grup vardır. Biri [(4,3,4,3^*)], Coxeter diyagramları ile gösterilir bir indeks 6 alt grubu ile üç köşeli trapezohedron temel alan ↔ , bir aynayı geri yükleyerek genişletilebilir . Diğeri [4, (3,5)^*], bir ile dizin 120 on iki yüzlü temel alan.

Parakompakt hiperbolik tek tip petekler

Ayrıca 23 tane var parakompakt Coxeter grupları sonsuz veya sınırsız olan parakompakt tek tip petekler üreten 4. seviye yönler veya köşe figürü, dahil olmak üzere ideal köşeler sonsuzda.

Hiperbolik parakompakt grup özeti

Tür	Coxeter grupları
Doğrusal grafikler	| | | | | |
Tridental grafikler	| |
Döngüsel grafikler	| | | | | | | |
Döngü-n-kuyruk grafikleri	| | |

Diğer parakompakt Coxeter grupları şu şekilde mevcuttur: Vinberg politop bunlar dahil temel alanlar üçgen çift piramit temel alanlar (çift tetrahedra) paralel aynalar dahil 5. sıra grafikler olarak. Tek tip bal peteği, bu grafiklerde halkaların tüm permütasyonları olarak mevcuttur ve en az bir düğümün sonsuz sıralı dallarda halkalanması zorunluluğu vardır.

[3,5,3] aile

Halka permütasyonlarının oluşturduğu 9 form vardır. Coxeter grubu: [3,5,3] veya

Bir ilgili wythoffian olmayan form, 4 köşesi (dört yüzlü olarak düzenlenmiş) çıkarılmış olarak {3,5,3} tepe figüründen oluşturulmuştur, bu da beşgen antiprizmalar ve dodecahedra olarak adlandırılan boşlukları doldurur. dört yüzlü olarak azalmış dodekahedron.^[4]

Bitruncated ve runcinated formlar (5 ve 6) iki düzenli çarpık çokyüzlüler: {4,10 | 3} ve {10,4 | 3}.

#	Petek adı Coxeter diyagramı ve Schläfli semboller	Hücre sayıları / tepe ve bal peteği içindeki pozisyonlar				Köşe şekli	Resim
		0	1	2	3
1	ikosahedral t0{3,5,3}				(12) (3.3.3.3.3)
2	düzeltilmiş ikosahedral t1{3,5,3}	(2) (5.5.5)			(3) (3.5.3.5)
3	kesik ikosahedral t0,1{3,5,3}	(1) (5.5.5)			(3) (5.6.6)
4	konsollu ikosahedral t0,2{3,5,3}	(1) (3.5.3.5)	(2) (4.4.3)		(2) (3.5.4.5)
5	yıpranmış ikosahedral t0,3{3,5,3}	(1) (3.3.3.3.3)	(5) (4.4.3)	(5) (4.4.3)	(1) (3.3.3.3.3)
6	bitruncated ikosahedral t1,2{3,5,3}	(2) (3.10.10)			(2) (3.10.10)
7	kantitruncated ikosahedral t0,1,2{3,5,3}	(1) (3.10.10)	(1) (4.4.3)		(2) (4.6.10)
8	kesik kesik ikosahedral t0,1,3{3,5,3}	(1) (3.5.4.5)	(1) (4.4.3)	(2) (4.4.6)	(1) (5.6.6)
9	omnitruncated ikosahedral t0,1,2,3{3,5,3}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.6)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.10)

#	Petek adı Coxeter diyagramı ve Schläfli semboller	Hücre sayıları / tepe ve bal peteği içindeki pozisyonlar					Köşe şekli	Resim
		0	1	2	3	Alt
[77]	kısmen küçülmüş ikosahedral pd {3,5,3}[5]				(12) (3.3.3.5)	(4) (5.5.5)
Üniform olmayan	omnisnub ikosahedral ht0,1,2,3{3,5,3}	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) +(3.3.3)

[5,3,4] aile

Halka permütasyonlarının oluşturduğu 15 form vardır. Coxeter grubu: [5,3,4] veya .

Bu aile [5,3^1,1] yarı simetriyle [5,3,4,1⁺] veya ↔ , 4. dereceden dallanmadan sonraki son ayna devre dışı olduğunda veya üçüncü ayna devre dışı ise alternatif olarak ↔ .

#	Petek adı Coxeter diyagramı	Konuma göre hücreler ve tepe noktası başına sayı				Köşe şekli	Resim
		0	1	2	3
10	sıra-4 onik yüzlü ↔	-	-	-	(8) (5.5.5)
11	düzeltilmiş düzen-4 onik yüzlü ↔	(2) (3.3.3.3)	-	-	(4) (3.5.3.5)
12	düzeltilmiş düzen-5 kübik ↔	(5) (3.4.3.4)	-	-	(2) (3.3.3.3.3)
13	sipariş-5 kübik	(20) (4.4.4)	-	-	-
14	kesik düzen-4 dodekahedral ↔	(1) (3.3.3.3)	-	-	(4) (3.10.10)
15	bitruncated order-5 kübik ↔	(2) (4.6.6)	-	-	(2) (5.6.6)
16	kesilmiş düzen-5 kübik	(5) (3.8.8)	-	-	(1) (3.3.3.3.3)
17	konsollu düzen-4 dodekahedral ↔	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)	-	(2) (3.4.5.4)
18	konsollu düzen-5 kübik	(2) (3.4.4.4)	-	(2) (4.4.5)	(1) (3.5.3.5)
19	runcinated order-5 kübik	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (4.4.5)	(1) (5.5.5)
20	cantitruncated order-4 dodekahedral ↔	(1) (4.6.6)	(1) (4.4.4)	-	(2) (4.6.10)
21	cantitruncated order-5 kübik	(2) (4.6.8)	-	(1) (4.4.5)	(1) (5.6.6)
22	Runcitruncated order-4 dodecahedral	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.4.4)	(2) (4.4.10)	(1) (3.10.10)
23	Runcitruncated order-5 kübik	(1) (3.8.8)	(2) (4.4.8)	(1) (4.4.5)	(1) (3.4.5.4)
24	omnitruncated order-5 kübik	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.10)	(1) (4.6.10)

#	Petek adı Coxeter diyagramı	Konuma göre hücreler ve tepe noktası başına sayı					Köşe şekli	Resim
		0	1	2	3	Alt
[34]	alternatif sıra-5 kübik ↔	(20) (3.3.3)			(12) (3.3.3.3.3)
[35]	cantic order-5 kübik ↔	(1) (3.5.3.5)	-	(2) (5.6.6)	(2) (3.6.6)
[36]	runcic düzen-5 kübik ↔	(1) (5.5.5)	-	(3) (3.4.5.4)	(1) (3.3.3)
[37]	runcicantic order-5 kübik ↔	(1) (3.10.10)	-	(2) (4.6.10)	(1) (3.6.6)
Üniform olmayan	kalkık düzeltilmiş düzen-4 dodekahedral	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3)	-	(2) (3.3.3.3.5)	(4) +(3.3.3)	Irr. üç yüzlü ikosahedron
Üniform olmayan	runcic kalkık düzeltilmiş düzen-4 dodekahedral	(3.4.4.4)	(4.4.4.4)	-	(3.3.3.3.5)	+(3.3.3)
Üniform olmayan	omnisnub sipariş-5 kübik	(1) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3.4)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) +(3.3.3)

[5,3,5] aile

Halka permütasyonlarının oluşturduğu 9 form vardır. Coxeter grubu: [5,3,5] veya

Bitruncated ve runcinated formlar (29 ve 30) iki düzenli çarpık çokyüzlüler: {4,6 | 5} ve {6,4 | 5}.

#	Petek adı Coxeter diyagramı	Konuma göre hücreler ve tepe noktası başına sayı				Köşe şekli	Resim
		0	1	2	3
25	(Düzenli) Sipariş-5 onik yüzlü t0{5,3,5}				(20) (5.5.5)
26	düzeltilmiş düzen-5 dodekahedral t1{5,3,5}	(2) (3.3.3.3.3)			(5) (3.5.3.5)
27	kesilmiş düzen-5 dodekahedral t0,1{5,3,5}	(1) (3.3.3.3.3)			(5) (3.10.10)
28	konsollu düzen-5 onik yüzlü t0,2{5,3,5}	(1) (3.5.3.5)	(2) (4.4.5)		(2) (3.5.4.5)
29	Runcinated order-5 dodekahedral t0,3{5,3,5}	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (4.4.5)	(1) (5.5.5)
30	bitruncated düzen-5 onik yüzlü t1,2{5,3,5}	(2) (5.6.6)			(2) (5.6.6)
31	kantitruncated düzen-5 dodekahedral t0,1,2{5,3,5}	(1) (5.6.6)	(1) (4.4.5)		(2) (4.6.10)
32	Runcitruncated order-5 onik yüzlü t0,1,3{5,3,5}	(1) (3.5.4.5)	(1) (4.4.5)	(2) (4.4.10)	(1) (3.10.10)
33	omnitruncated order-5 on iki yüzlü t0,1,2,3{5,3,5}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.6.10)

#	Petek adı Coxeter diyagramı	Konuma göre hücreler ve tepe noktası başına sayı					Köşe şekli	Resim
		0	1	2	3	Alt
Üniform olmayan	omnisnub düzen-5 dodekahedral ht0,1,2,3{5,3,5}	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) +(3.3.3)

[5,3^1,1] aile

11 form vardır (ve yalnızca 4'ü [5,3,4] ailesiyle paylaşılmamıştır), bunların halka permütasyonları tarafından oluşturulmuştur. Coxeter grubu: [5,3^1,1] veya . Dal halkası durumları eşleşirse, genişletilmiş bir simetri [5,3,4] ailesini ikiye katlayabilir, ↔ .

#	Petek adı Coxeter diyagramı	Konuma göre hücreler (ve her köşe etrafında sayın)				köşe figürü	Resim
		0	1	0'	3
34	alternatif sıra-5 kübik ↔	-	-	(12) (3.3.3.3.3)	(20) (3.3.3)
35	cantic order-5 kübik ↔	(1) (3.5.3.5)	-	(2) (5.6.6)	(2) (3.6.6)
36	runcic düzen-5 kübik ↔	(1) (5.5.5)	-	(3) (3.4.5.4)	(1) (3.3.3)
37	runcicantic order-5 kübik ↔	(1) (3.10.10)	-	(2) (4.6.10)	(1) (3.6.6)

#	Petek adı Coxeter diyagramı ↔	Konuma göre hücreler (ve her köşe etrafında sayın)				köşe figürü	Resim
		0	1	3	Alt
[10]	Düzen-4 dodekahedral ↔	(4) (5.5.5)	-	-
[11]	düzeltilmiş düzen-4 onik yüzlü ↔	(2) (3.5.3.5)	-	(2) (3.3.3.3)
[12]	düzeltilmiş düzen-5 kübik ↔	(1) (3.3.3.3.3)	-	(5) (3.4.3.4)
[15]	bitruncated order-5 kübik ↔	(1) (5.6.6)	-	(2) (4.6.6)
[14]	kesik düzen-4 dodekahedral ↔	(2) (3.10.10)	-	(1) (3.3.3.3)
[17]	konsollu düzen-4 dodekahedral ↔	(1) (3.4.5.4)	(2) (4.4.4)	(1) (3.4.3.4)
[20]	cantitruncated order-4 dodekahedral ↔	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.4)	(1) (4.6.6)
Üniform olmayan	kalkık düzeltilmiş düzen-4 dodekahedral ↔	(2) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3)	(2) (3.3.3.3.3)	(4) +(3.3.3)	Irr. üç yüzlü ikosahedron

[(4,3,3,3)] aile

Halka permütasyonlarının oluşturduğu 9 form vardır. Coxeter grubu:

Bitruncated ve runcinated formlar (41 ve 42), iki düzenli çarpık çokyüzlüler: {8,6 | 3} ve {6,8 | 3}.

#	Petek adı Coxeter diyagramı	Konuma göre hücreler (ve her köşe etrafında sayın)					köşe figürü	Resim
		0	1	2	3	Alt
38	dört yüzlü kübik {(3,3,3,4)}	(4) (3.3.3)	-	(4) (4.4.4)	(6) (3.4.3.4)
39	dört yüzlü-oktahedral {(3,3,4,3)}	(12) (3.3.3.3)	(8) (3.3.3)	-	(8) (3.3.3.3)
40	siklotruncated tetrahedral-cubic ct {(3,3,3,4)}	(3) (3.6.6)	(1) (3.3.3)	(1) (4.4.4)	(3) (4.6.6)
41	siklotruncated küp-tetrahedron ct {(4,3,3,3)}	(1) (3.3.3)	(1) (3.3.3)	(3) (3.8.8)	(3) (3.8.8)
42	siklotruncated dörtyüzlü-oktahedral ct {(3,3,4,3)}	(4) (3.6.6)	(4) (3.6.6)	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3)
43	doğrultulmuş dörtyüzlü-kübik r {(3,3,3,4)}	(1) (3.3.3.3)	(2) (3.4.3.4)	(1) (3.4.3.4)	(2) (3.4.4.4)
44	kesik dörtyüzlü-kübik t {(3,3,3,4)}	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.3.4)	(1) (3.8.8)	(2) (4.6.8)
45	kesik dörtyüzlü-oktahedral t {(3,3,4,3)}	(2) (4.6.6)	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.6.6)
46	omnitruncated tetrahedral-cubic tr {(3,3,3,4)}	(1) (4.6.6)	(1) (4.6.6)	(1) (4.6.8)	(1) (4.6.8)
Üniform olmayan	omnisnub tetrahedral-cubic sr {(3,3,3,4)}	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3.3.4)	(4) +(3.3.3)

[(5,3,3,3)] aile

Halka permütasyonlarının oluşturduğu 9 form vardır. Coxeter grubu:

Bitruncated ve runcinated formlar (50 ve 51) iki düzenli çarpık çokyüzlüler: {10,6 | 3} ve {6,10 | 3}.

#	Petek adı Coxeter diyagramı	Konuma göre hücreler (ve her köşe etrafında sayın)				köşe figürü	Resim
		0	1	2	3
47	dörtyüzlü on iki yüzlü	(4) (3.3.3)	-	(4) (5.5.5)	(6) (3.5.3.5)
48	dörtyüzlü-ikosahedral	(30) (3.3.3.3)	(20) (3.3.3)	-	(12) (3.3.3.3.3)
49	siklotrunced tetrahedral-ondecahedral	(3) (3.6.6)	(1) (3.3.3)	(1) (5.5.5)	(3) (5.6.6)
52	rektifiye dört yüzlü-oniki yüzlü	(1) (3.3.3.3)	(2) (3.4.3.4)	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)
53	kesik dörtyüzlü-on iki yüzlü	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.3.4)	(1) (3.10.10)	(2) (4.6.10)
54	kesik dörtyüzlü-ikosahedral	(2) (4.6.6)	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.5.4)	(1) (5.6.6)

#	Petek adı Coxeter diyagramı	Konuma göre hücreler (ve her köşe etrafında sayın)			köşe figürü	Resim
		0,1	2,3	Alt
50	siklotruncated oniki yüzlü-tetrahedral	(2) (3.3.3)	(6) (3.10.10)
51	siklotrunced dörtyüzlü-ikosahedral	(10) (3.6.6)	(2) (3.3.3.3.3)
55	omnitruncated dört yüzlü-onik yüzlü	(2) (4.6.6)	(2) (4.6.10)
Üniform olmayan	omnisnub dört yüzlü-on iki yüzlü	(2) (3.3.3.3.3)	(2) (3.3.3.3.5)	(4) +(3.3.3)

[(4,3,4,3)] aile

Halka permütasyonlarının oluşturduğu 6 form vardır. Coxeter grubu: . Halkaların simetrisine bağlı olarak 4 genişletilmiş simetri mümkündür: , , , ve .

Bu simetri ailesi aynı zamanda radikal bir alt grupla ilgilidir, indeks 6, ↔ , inşa eden [(4,3,4,3^*)] ve bir üç köşeli trapezohedron temel alan.

Kesilmiş formlar (57 ve 58) iki kişinin yüzünü içerir düzenli çarpık çokyüzlüler: {6,6 | 4} ve {8,8 | 3}.

#	Petek adı Coxeter diyagramı	Konuma göre hücreler (ve her köşe etrafında sayın)				köşe figürü	Resimler
		0	1	2	3
56	kübik oktahedral	(6) (3.3.3.3)	-	(8) (4.4.4)	(12) (3.4.3.4)
60	kesik kübik oktahedral	(1) (4.6.6)	(1) (3.4.4.4)	(1) (3.8.8)	(2) (4.6.8)

#	Petek adı Coxeter diyagramı	Konuma göre hücreler (ve her köşe etrafında sayın)			köşe figürü	Resim
		0,3	1,2	Alt
57	siklotruncated oktahedral-kübik	(6) (4.6.6)	(2) (4.4.4)
Üniform olmayan	siklosnub oktahedral-kübik	(4) (3.3.3.3.3)	(2) (3.3.3)	(4) +(3.3.3.3)

#	Petek adı Coxeter diyagramı	Konuma göre hücreler (ve her köşe etrafında sayın)		köşe figürü	Resim
		0,1	2,3
58	siklotruncated kübik oktahedral	(2) (3.3.3.3)	(6) (3.8.8)

#	Petek adı Coxeter diyagramı	Konuma göre hücreler (ve her köşe etrafında sayın)		köşe figürü	Resim
		0,2	1,3
59	doğrultulmuş kübik oktahedral	(2) (3.4.3.4)	(4) (3.4.4.4)

#	Petek adı Coxeter diyagramı	Konuma göre hücreler (ve her köşe etrafında sayın)		köşe figürü	Resim
		0,1,2,3	Alt
61	omnitruncated kübik oktahedral	(4) (4.6.8)
Üniform olmayan	omnisnub kübik-oktahedral	(4) (3.3.3.3.4)	(4) +(3.3.3)

[(4,3,5,3)] aile

Halka permütasyonlarının oluşturduğu 9 form vardır. Coxeter grubu:

Kesilmiş formlar (65 ve 66) iki kişinin yüzünü içerir. düzenli çarpık çokyüzlüler: {10,6 | 3} ve {6,10 | 3}.

#	Petek adı Coxeter diyagramı	Konuma göre hücreler (ve her köşe etrafında sayın)				köşe figürü	Resim
		0	1	2	3
62	oktahedral-dodekahedral	(6) (3.3.3.3)	-	(8) (5.5.5)	(1) (3.5.3.5)
63	kübik-ikosahedral	(30) (3.4.3.4)	(20) (4.4.4)	-	(12) (3.3.3.3.3)
64	siklotruncated oktahedral-oniki yüzlü	(3) (4.6.6)	(1) (4.4.4)	(1) (5.5.5)	(3) (5.6.6)
67	rektifiye edilmiş oktahedral-onik yüzlü	(1) (3.4.3.4)	(2) (3.4.4.4)	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)
68	kesik oktahedral-onik yüzlü	(1) (4.6.6)	(1) (3.4.4.4)	(1) (3.10.10)	(2) (4.6.10)
69	kesik kübik-onik yüzlü	(2) (4.6.8)	(1) (3.8.8)	(1) (3.4.5.4)	(1) (5.6.6)

#	Petek adı Coxeter diyagramı	Konuma göre hücreler (ve her köşe etrafında sayın)			köşe figürü	Resim
		0,1	2,3	Alt
65	siklotruncated oniki yüzlü-oktahedral	(2) (3.3.3.3)	(8) (3.10.10)
66	siklotruncated kübik-ikosahedral	(10) (3.8.8)	(2) (3.3.3.3.3)
70	omnitruncated oktahedral-oniki yüzlü	(2) (4.6.8)	(2) (4.6.10)
Üniform olmayan	omnisnub oktahedral-oniki yüzlü	(2) (3.3.3.3.4)	(2) (3.3.3.3.5)	(4) +(3.3.3)

[(5,3,5,3)] aile

Halka permütasyonlarının oluşturduğu 6 form vardır. Coxeter grubu: . Halkaların simetrisine bağlı olarak 4 genişletilmiş simetri mümkündür: , , , ve .

Kesik formlar (72 ve 73) iki kişinin yüzünü içerir. düzenli çarpık çokyüzlüler: {6,6 | 5} ve {10,10 | 3}.

#	Petek adı Coxeter diyagramı	Konuma göre hücreler (ve her köşe etrafında sayın)					köşe figürü	Resim
		0	1	2	3	Alt
71	oniki yüzlü-ikosahedral	(12) (3.3.3.3.3)	-	(20) (5.5.5)	(30) (3.5.3.5)
72	siklotruncated ikosahedral-oniki yüzlü	(3) (5.6.6)	(1) (5.5.5)	(1) (5.5.5)	(3) (5.6.6)
73	siklotruncated oniki yüzlü-ikosahedral	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(3) (3.10.10)	(3) (3.10.10)
74	düzeltilmiş onik yüzlü-ikosahedral	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)
75	kesik onik yüzlü-ikosahedral	(1) (5.6.6)	(1) (3.4.5.4)	(1) (3.10.10)	(2) (4.6.10)
76	omnitruncated oniki yüzlü-ikosahedral	(1) (4.6.10)	(1) (4.6.10)	(1) (4.6.10)	(1) (4.6.10)
Üniform olmayan	omnisnub onik yüzlü-ikosahedral	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) +(3.3.3)

Kompakt tek tip peteklerin özet numaralandırması

Bu 76 Wythoffian tek tip peteklerin tam numaralandırmasıdır. dönüşümler tamlık için listelenir, ancak çoğu tek tip değildir.

Dizin	Coxeter grubu	Genişletilmiş simetri	Petek		Kiral Genişletilmiş simetri	Dönüşümlü petekler
H1	${displaystyle {ar {BH}} _ {3}}$ [4,3,5]	[4,3,5]	15	| | | | | | | | | | | |	[1+,4,(3,5)+]	(2)	(= )
					[4,3,5]+	(1)
H2	${displaystyle {ar {J}} _ {3}}$ [3,5,3]	[3,5,3]	6	| | | | |
		[2+[3,5,3]]	5	| |	[2+[3,5,3]]+	(1)
H3	${displaystyle {ar {DH}} _ {3}}$ [5,31,1]	[5,31,1]	4	| | |
		[1[5,31,1]]=[5,3,4] ↔	(7)	| | | | | |	[1[5,31,1]]+ =[5,3,4]+	(1)
H4	${displaystyle {widehat {AB}} _ {3}}$ [(4,3,3,3)]	[(4,3,3,3)]	6	| | | | |
		[2+[(4,3,3,3)]]	3	| |	[2+[(4,3,3,3)]]+	(1)
H5	${displaystyle {ar {K}} _ {3}}$ [5,3,5]	[5,3,5]	6	| | | | |
		[2+[5,3,5]]	3	| |	[2+[5,3,5]]+	(1)
H6	${displaystyle {widehat {AH}} _ {3}}$ [(5,3,3,3)]	[(5,3,3,3)]	6	| | | | |
		[2+[(5,3,3,3)]]	3	| |	[2+[(5,3,3,3)]]+	(1)
H7	${displaystyle {widehat {BB}} _ {3}}$ [(3,4)[2]]	[(3,4)[2]]	2	|
		[2+[(3,4)[2]]]	1
		[2+[(3,4)[2]]]	1
		[2+[(3,4)[2]]]	1		[2+[(3+,4)[2]]]	(1)
		[(2,2)+[(3,4)[2]]]	1		[(2,2)+[(3,4)[2]]]+	(1)
H8	${displaystyle {widehat {BH}} _ {3}}$ [(5,3,4,3)]	[(5,3,4,3)]	6	| | | | |
		[2+[(5,3,4,3)]]	3	| |	[2+[(5,3,4,3)]]+	(1)
H9	${displaystyle {widehat {HH}} _ {3}}$ [(3,5)[2]]	[(3,5)[2]]	2	|
		[2+[(3,5)[2]]]	1
		[2+[(3,5)[2]]]	1
		[2+[(3,5)[2]]]	1
		[(2,2)+[(3,5)[2]]]	1		[(2,2)+[(3,5)[2]]]+	(1)

Ayrıca bakınız

• Hiperbolik düzlemde tek tip eğimler
• Düzenli politopların listesi # Hiperbolik 3-uzay mozaiği

Notlar

Referanslar

• James E. Humphreys, Yansıma Grupları ve Coxeter Grupları, Cambridge ileri matematik çalışmaları, 29 (1990)
• Geometrinin Güzelliği: On İki Deneme (1999), Dover Yayınları, LCCN  99-35678, ISBN  0-486-40919-8 (Bölüm 10, Hiperbolik Uzayda Normal Petek )
• Coxeter, Normal Politoplar, 3 üncü. ed., Dover Yayınları, 1973. ISBN  0-486-61480-8. (Tablo I ve II: Normal politoplar ve petekler, sayfa 294-296)
• Jeffrey R. Weeks The Shape of Space, 2. baskı ISBN  0-8247-0709-5 (Bölüm 16–17: Üç Katmanlı Geometriler I, II) [3]
• Hiperbolik Tetrahedranın Coxeter Ayrışımları, arXiv /PDF, A. Felikson, Aralık 2002
• C. W.L. Garner, Hiperbolik Üç Uzayda Düzenli Eğik Polihedra Yapabilmek. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. PDF [4]
• Norman Johnson, Geometriler ve Dönüşümler (2018), Bölüm 11,12,13
• N. W. Johnson, R. Kellerhals, J. G. Ratcliffe, S.T. Tschantz, Hiperbolik bir Coxeter simpleksinin boyutu, Dönüşüm Grupları 1999, Cilt 4, Sayı 4, s. 329–353 [5]
• N.W. Johnson, R. Kellerhals, J.G. Ratcliffe, S.T. Tschantz, Hiperbolik Coxeter gruplarının karşılaştırılabilirlik sınıfları H³: s130. [6]
• Klitzing, Richard. "Hiperbolik bal peteği H3 kompakt".