Schläfli sembolü - Schläfli symbol - Wikipedia

dodecahedron Schläfli sembolü {5,3} olan normal bir çokyüzlüdür, 3 beşgenler her birinin etrafında tepe.

İçinde geometri, Schläfli sembolü {formunun bir gösterimidirp,q,r, ...} tanımlayan düzenli politoplar ve mozaikler.

Schläfli sembolü, 19. yüzyıl İsviçreli matematikçinin adını almıştır. Ludwig Schläfli,[1]:143 kim genelleştirdi Öklid geometrisi üç boyuttan fazlasına ulaştı ve dört boyutta oluşan altı tanesi de dahil olmak üzere tüm dışbükey düzenli politoplarını keşfetti.

Tanım

Schläfli sembolü bir yinelemeli açıklama,[1]:129 {ile başlayanp} için p-taraflı normal çokgen yani dışbükey. Örneğin, {3} bir eşkenar üçgen, {4} bir Meydan, {5} bir dışbükey düzenli beşgen ve benzeri.

Düzenli yıldız çokgenleri dışbükey değildir ve Schläfli sembolleri {p/q} içerir indirgenemez kesirler p/q, nerede p köşe sayısıdır ve q onların dönüş numarası. Aynı şekilde, {p/q}, {p}, her biri bağlandı q. Örneğin, {52} bir beş köşeli yıldız; {​51} bir Pentagon.

Bir düzenli çokyüzlü var q düzenli p-taraflı çokgen yüzler her birinin etrafında tepe {p,q}. Örneğin, küp her köşe etrafında 3 kareye sahiptir ve {4,3} ile temsil edilir.

Düzenli 4 boyutlu politop, ile r {p,q} normal çok yüzlü hücreler her bir kenarın etrafında {p,q,r}. Örneğin, bir tesseract, {4,3,3}, 3'e sahiptir küpler, {4,3}, bir kenar çevresinde.

Genel olarak bir normal politop {p,q,r,...,y,z} vardır z {p,q,r,...,y} yönler her etrafında zirve zirvenin olduğu yerde tepe bir polihedronda, 4-politopta bir kenar, bir yüz 5-politopta, bir hücre 6-politopta ve bir (n-3) -yüz içinde n-polytop.

Özellikleri

Normal bir politopun düzenli köşe figürü. Normal bir politopun tepe şekli {p,q,r,...,y,z} dır-dir {q,r,...,y,z}.

Normal politoplar sahip olabilir yıldız çokgen gibi öğeler beş köşeli yıldız {sembolü ile52}, bir Pentagon ancak dönüşümlü olarak bağlanmıştır.

Schläfli sembolü sonlu bir dışbükey çokyüzlü, sonsuz mozaikleme nın-nin Öklid uzayı veya sonsuz bir mozaik hiperbolik boşluk, bağlı olarak açı kusuru inşaatın. Pozitif bir açı kusuru, tepe şeklinin kat daha yüksek bir boyuta ve bir politop olarak kendi içine geri döner. Sıfır açılı bir kusur, yüzlerle aynı boyuttaki uzayı mozaikler. Olağan uzayda negatif açı hatası olamaz, ancak hiperbolik uzayda inşa edilebilir.

Genellikle, bir faset veya köşe figürünün sonlu bir politop olduğu varsayılır, ancak bazen kendisi bir mozaikleme olarak kabul edilebilir.

Normal bir politopun ayrıca bir ikili politop temsil eden Schläfli sembolü ters sırada öğeler. Kendinden ikili düzenli bir politopun simetrik bir Schläfli sembolü olacaktır.

Öklid politoplarını açıklamaya ek olarak, küresel politopları veya küresel petekleri tanımlamak için Schläfli sembolleri kullanılabilir.[1]:138

Tarih ve varyasyonlar

Schläfli'nin çalışması yaşamı boyunca neredeyse bilinmiyordu ve politopları tanımlamaya yönelik notasyonu, diğerleri tarafından bağımsız olarak yeniden keşfedildi. Özellikle, Thorold Gosset yazdığı Schläfli sembolünü yeniden keşfetti | p | q | r | ... | z | Schläfli'nin yaptığı gibi parantez ve virgül yerine.[1]:144

Gosset'in formu daha büyük bir simetriye sahiptir, bu nedenle boyutların sayısı dikey çubukların sayısıdır ve sembol tam olarak faset ve tepe şekli için alt sembolleri içerir. Gosset kabul | p işleç olarak uygulanabilen | q | ... | z | ile bir politop üretmek pköşe şekli olan köşeli yüzler | q | ... | z |.

Vakalar

Simetri grupları

Schläfli sembolleri yakından ilişkilidir (sonlu) yansıma simetri grupları, sonluya tam olarak karşılık gelen Coxeter grupları ve aynı dizinler ile belirtilmiştir, ancak bunun yerine köşeli parantezler [p,q,r, ...]. Bu tür gruplar genellikle oluşturdukları normal politoplarla adlandırılır. Örneğin, [3,3], yansıtıcı için Coxeter grubudur dört yüzlü simetri, [3,4] yansıtıcıdır sekiz yüzlü simetri ve [3,5] yansıtıcıdır ikozahedral simetri.

Düzenli çokgenler (düzlem)

Schläfli sembolleri ile etiketlenmiş 3 ila 12 köşeli düzenli dışbükey ve yıldız çokgenler

Bir (dışbükey) Schläfli sembolü normal çokgen ile p kenarlar {p}. Örneğin, normal Pentagon {5} ile temsil edilmektedir.

İçin (konveks olmayan) yıldız çokgenleri, yapıcı gösterim {pq} kullanılır, nerede p köşe sayısıdır ve q - 1, yıldızın her bir kenarını çizerken atlanan köşelerin sayısıdır. Örneğin, {52} temsil etmek beş köşeli yıldız.

Normal çokyüzlüler (3 boyut)

Düzenli bir Schläfli sembolü çokyüzlü dır-dir {p,q} eğer onun yüzler vardır p-gons ve her köşe aşağıdakilerle çevrilidir: q yüzler ( köşe figürü bir q-gen).

Örneğin, {5,3} normal dodecahedron. Beşgen (5 kenar) yüzleri ve her köşe etrafında 3 beşgen vardır.

5 dışbükey bakın Platonik katılar 4 konveks olmayan Kepler-Poinsot çokyüzlü.

Topolojik olarak, normal bir 2 boyutlu mozaikleme (3 boyutlu) bir çokyüzlü ile benzer olarak kabul edilebilir, ancak açısal kusur sıfırdır. Bu nedenle, Schläfli sembolleri aynı zamanda normal mozaikler nın-nin Öklid veya hiperbolik polihedra ile benzer şekilde boşluk. Analoji daha yüksek boyutlar için geçerlidir.

Örneğin, altıgen döşeme {6,3} ile temsil edilmektedir.

Normal 4-politop (4 boyut)

Düzenli bir Schläfli sembolü 4-politop {biçimindedirp,q,r}. (İki boyutlu) yüzleri düzgün p-gon ({p}), hücreler {p,q}, köşe rakamları {q,r} ve kenar rakamları düzgün r-gons (tür {r}).

Altıya bakın dışbükey düzenli ve 10 normal yıldız 4-politoplar.

Örneğin, 120 hücreli {5,3,3} ile temsil edilmektedir. Dan yapılmıştır dodecahedron hücreler {5,3} ve her kenarın etrafında 3 hücre vardır.

Öklid 3-uzayının bir düzenli mozaiklemesi vardır: kübik petek, {4,3,4} Schläfli sembolü ile, kübik hücrelerden ve her kenarın etrafında 4 küpten yapılmıştır.

Ayrıca, {5,3,4} dahil olmak üzere 4 normal kompakt hiperbolik mozaik vardır, hiperbolik küçük oniki yüzlü bal peteği ile boşluğu dolduran dodecahedron hücreler.

Düzenli n-polytoplar (daha yüksek boyutlar)

Daha yüksek boyutlu için normal politoplar Schläfli sembolü özyinelemeli olarak {p1, p2,...,pn − 1} Eğer yönler Schläfli sembolüne sahip {p1,p2,...,pn − 2} ve köşe figürleri Schläfli sembolüne sahip {p2,p3,...,pn − 1}.

Bir politopun bir yönünün bir köşe şekli ile aynı politopun bir köşe şeklinin bir yönü aynıdır: {p2,p3,...,pn − 2}.

5 boyut ve üzerinde yalnızca 3 normal politop vardır: basit, {3,3,3, ..., 3}; çapraz politop, {3,3, ..., 3,4}; ve hiperküp, {4,3,3, ..., 3}. 4 boyutun üzerinde dışbükey olmayan normal politoplar yoktur.

Çift politoplar

N ≥ 2 boyutlu bir politopun Schläfli sembolü {p1,p2, ..., pn − 1} sonra onun çift Schläfli sembolüne sahip {pn − 1, ..., p2,p1}.

Eğer sıra ise palindromik, yani aynı ileri ve geri, politop öz-ikili. 2 boyuttaki (poligon) her normal politop kendi kendine ikilidir.

Prizmatik politoplar

Düzgün prizmatik politoplar olarak tanımlanabilir ve adlandırılabilir Kartezyen ürün ("×" operatörü ile) düşük boyutlu düzenli politoplar.

  • 0D'de bir nokta () ile temsil edilir. Onun Coxeter diyagramı boş. Onun Coxeter gösterimi simetri] [.
  • 1D'de bir çizgi segmenti {} ile temsil edilmektedir. Onun Coxeter diyagramı dır-dir CDel düğümü 1.png. Simetrisi [] 'dir.
  • 2B'de bir dikdörtgen {} × {} olarak temsil edilir. Onun Coxeter diyagramı dır-dir CDel düğümü 1.pngCDel 2.pngCDel düğümü 1.png. Simetrisi [2] 'dir.
  • 3D olarak, bir pköşeli prizma {} × {olarak temsil edilirp}. Coxeter diyagramı CDel düğümü 1.pngCDel 2.pngCDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel node.png. Simetrisi [2,p].
  • 4B'de üniforma {p,q} -yüzlü prizma, {} × {olarak temsil edilirp,q}. Coxeter diyagramı CDel düğümü 1.pngCDel 2.pngCDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png. Simetrisi [2,p,q].
  • 4D'de bir üniforma p-q duoprism {olarak temsil edilirp} × {q}. Coxeter diyagramı CDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel düğümü 1.pngCDel q.pngCDel node.png. Simetrisi [p,2,q].

Prizmatik ikililer veya çift ​​piramitler bileşik semboller olarak temsil edilebilir, ancak ilave operatör, "+".

  • 2B'de bir eşkenar dörtgen {} + {} olarak temsil edilir. Coxeter diyagramı CDel düğümü f1.pngCDel 2x.pngCDel düğümü f1.png. Simetrisi [2] 'dir.
  • 3D olarak, bir p-gonal bipiramid, {} + {olarak temsil edilirp}. Coxeter diyagramı CDel düğümü f1.pngCDel 2x.pngCDel düğümü f1.pngCDel p.pngCDel node.png. Simetrisi [2,p].
  • 4B'de bir {p,q} -hedral bipiramid, {} + {p,q}. Coxeter diyagramı CDel düğümü f1.pngCDel 2x.pngCDel düğümü f1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png. Simetrisi [p,q].
  • 4B'de bir p-q duopyramid {olarak temsil edilirp} + {q}. Coxeter diyagramı CDel düğümü f1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel düğümü f1.pngCDel q.pngCDel node.png. Simetrisi [p,2,q].

Dikey olarak ofset köşeleri içeren piramidal politoplar bir birleştirme operatörü "∨" kullanılarak gösterilebilir. Birleştirilen şekiller arasındaki her köşe çifti kenarlarla birbirine bağlanır.

2B'de bir ikizkenar üçgen () ∨ {} = () ∨ [() ∨ ()] olarak temsil edilebilir.

3B olarak:

4D'de:

  • Bir p-q-hedral piramidi () ∨ {olarak temsil edilirp,q}.
  • Bir 5 hücreli () ∨ [() ∨ {3}] veya [() ∨ ()] ∨ {3} = {} ∨ {3} olarak temsil edilir.
  • Kare piramit şeklindeki bir piramit () ∨ [() ∨ {4}] veya [() ∨ ()] ∨ {4} = {} ∨ {4} olarak temsil edilir.

Operatörleri karıştırırken, operasyonların sırası en yüksekten en düşüğe doğru ×, +, ∨.

Paralel öteleme hiper düzlemlerinde köşeleri içeren eksenel politoplar, || Şebeke. Tek tip bir prizma {n}||{n} ve antiprizm {n}||r{n}.

Schläfli sembollerinin uzantısı

Çokgenler ve daire döşemeleri

Kesik bir düzgün çokgen yanlarda ikiye katlanır. Düz kenarlı normal bir çokgen yarıya indirilebilir. Değiştirilmiş bir çift taraflı normal 2n-gon, bir yıldız figürü bileşik, 2 {n}.

FormSchläfli sembolüSimetriCoxeter diyagramıÖrnek, {6}
Düzenli{p}[p]CDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel node.pngNormal çokgen 6 açıklamalı.svgAltıgenCDel düğümü 1.pngCDel 6.pngCDel node.png
Kesildit {p} = {2p}[[p]] = [2p]CDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel düğümü 1.png = CDel düğümü 1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngNormal çokgen 12 açıklamalı.svgKesik altıgen
(Dodecagon)
CDel düğümü 1.pngCDel 6.pngCDel düğümü 1.png = CDel düğümü 1.pngCDel 12.pngCDel node.png
Değiştirilmiş ve
Holosnubbed
a {2p} = β {p}[2p]CDel düğümü h3.pngCDel p.pngCDel düğümü h3.png = CDel düğümü h3.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngHexagram.svgDeğiştirilmiş altıgen
(Heksagram)
CDel düğümü h3.pngCDel 3.pngCDel düğümü h3.png = CDel düğümü h3.pngCDel 6.pngCDel node.png
Yarım ve
Snubbed
h {2p} = s {p} = {p}[1+, 2p] = [p]CDel düğümü h.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png = CDel düğümü h.pngCDel p.pngCDel düğümü h.png = CDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel node.pngNormal çokgen 3 açıklamalı.svgYarım altıgen
(Üçgen)
CDel düğümü h.pngCDel 6.pngCDel node.png = CDel düğümü h.pngCDel 3.pngCDel düğümü h.png = CDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.png

Polyhedra ve döşemeler

Coxeter Schläfli sembolünün kullanımını şu şekilde genişletti: düzensiz çokyüzlüler sembole dikey bir boyut ekleyerek. Daha genel olana doğru bir başlangıç ​​noktasıydı. Coxeter diyagramı. Norman Johnson dikey semboller için gösterimi bir r önek. T-gösterimi en genel olanıdır ve doğrudan Coxeter diyagramının halkalarına karşılık gelir. Sembollerin karşılık gelen dönüşüm, değiştirme yüzükler ile delikler Coxeter diyagramında ve h ön ek yarımİnşaat, komşu dalların eşit sıralı olması gerekliliği ile sınırlıdır ve simetri düzenini yarıya indirir. İlgili bir operatör, a için değişmiş, iç içe geçmiş iki delikle gösterilmiştir, orijinal tam simetriyi koruyan, her iki alternatif yarıya sahip bir bileşik çokyüzlüyü temsil eder. Bir küçümsemek bir yarım kesmenin bir biçimidir ve bir holosnub, dönüşümlü bir kesmenin her iki yarısıdır.

FormSchläfli sembolleriSimetriCoxeter diyagramıÖrnek, {4,3}
Düzenli{p, q}t0{p, q}[p, q]
veya
[(p, q, 2)]
CDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngHexahedron.pngKüpCDel düğümü 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Kesildit {p, q}t0,1{p, q}CDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel düğümü 1.pngCDel q.pngCDel node.pngKesilmiş hexahedron.pngKesilmiş küpCDel düğümü 1.pngCDel 4.pngCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Bitruncation
(Kesilmiş ikili)
2t {p, q}t1,2{p, q}CDel düğümü 1.pngCDel q.pngCDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel düğümü 1.pngCDel q.pngCDel düğümü 1.pngKesilmiş octahedron.pngKesik oktahedronCDel node.pngCDel 4.pngCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.png
Düzeltilmiş
(Quasiregular )
r {p, q}t1{p, q}CDel düğümü 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel düğümü 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCuboctahedron.pngKüpoktahedronCDel node.pngCDel 4.pngCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Birektifikasyon
(Normal ikili)
2r {p, q}t2{p, q}CDel düğümü 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel düğümü 1.pngOctahedron.pngOktahedronCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.png
Konsollu
(Düzeltilmiş düzeltilmiş )
rr {p, q}t0,2{p, q}CDel node.pngCDel split1-pq.pngCDel düğümleri 11.pngCDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel düğümü 1.pngKüçük rhombicuboctahedron.pngRhombicuboctahedronCDel düğümü 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.png
Kısaltılmış
(Kesilmiş düzeltilmiş)
tr {p, q}t0,1,2{p, q}CDel düğümü 1.pngCDel split1-pq.pngCDel düğümleri 11.pngCDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel düğümü 1.pngCDel q.pngCDel düğümü 1.pngGreat rhombicuboctahedron.pngKesik küpoktahedronCDel düğümü 1.pngCDel 4.pngCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.png

Alternatifler, çeyrekler ve küçümsemeler

Alternatifler Coxeter gruplarının simetrisinin yarısına sahiptir ve doldurulmamış halkalarla temsil edilir. Köşelerin yarısının alındığı iki seçenek vardır, ancak sembol hangisinin alındığı anlamına gelmez. Çeyrek formlar burada iki bağımsız alternatif olduklarını ima etmek için içi boş bir halkanın içinde + ile gösterilmektedir.

Alternatifler
FormSchläfli sembolleriSimetriCoxeter diyagramıÖrnek, {4,3}
Dönüşümlü (yarı) düzenlih {2p, q}ht0{2p, q}[1+, 2p, q]CDel düğümü h1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png = CDel labelp.pngCDel şubesi 10ru.pngCDel split2-qq.pngCDel node.pngTetrahedron.pngDemicube
(Tetrahedron )
CDel düğümü h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Normal kalkıks {p, 2q}ht0,1{p, 2q}[p+, 2q]CDel düğümü h.pngCDel p.pngCDel düğümü h.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node.png
Çift normals {q, 2p}ht1,2{2p, q}[2p, q+]CDel düğümü h.pngCDel q.pngCDel düğümü h.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel düğümü h.pngCDel q.pngCDel düğümü h.pngDüzgün polyhedron-43-h01.svgSnub oktahedron
(Icosahedron )
CDel node.pngCDel 4.pngCDel düğümü h.pngCDel 3.pngCDel düğümü h.png
Alternatif düzeltilmiş
(p ve q çifttir)
sa {p, q}ht1{p, q}[p, 1+, q]CDel düğümü h1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel düğümü h1.pngCDel q.pngCDel node.png
Alternatif düzeltilmiş düzeltilmiş
(p ve q çifttir)
hrr {p, q}ht0,2{p, q}[(p, q, 2+)]CDel node.pngCDel split1-pq.pngCDel şube hh.pngCDel label2.pngCDel düğümü h.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel düğümü h.png
Dörde bölünmüş
(p ve q çifttir)
q {p, q}ht0ht2{p, q}[1+, p, q, 1+]CDel node.pngCDel split1-pq.pngCDel düğümleri h1h1.pngCDel düğümü h1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel düğümü h1.png
Snub düzeltildi
Snub quasiregular
sr {p, q}ht0,1,2{p, q}[p, q]+CDel düğümü h.pngCDel split1-pq.pngCDel düğümleri hh.pngCDel düğümü h.pngCDel p.pngCDel düğümü h.pngCDel q.pngCDel düğümü h.pngSnub hexahedron.pngKalkık küpoktahedron
(Snub küp)
CDel düğümü h.pngCDel 4.pngCDel düğümü h.pngCDel 3.pngCDel düğümü h.png

Değiştirilmiş ve holosnubbed

Değiştirilmiş ve holosnubbed formlar Coxeter grubunun tam simetrisine sahiptir ve çift dolgusuz halkalarla temsil edilir, ancak bileşikler olarak temsil edilebilir.

Değiştirilmiş ve holosnubbed
FormSchläfli sembolleriSimetriCoxeter diyagramıÖrnek, {4,3}
Düzenli olarak değiştirildia {p, q}-de0{p, q}[p, q]CDel düğümü h3.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png = CDel labelp-2.pngCDel şubesi 10ru.pngCDel split2-qq.pngCDel node.pngCDel labelp-2.pngCDel şubesi 01rd.pngCDel split2-qq.pngCDel node.pngİki tetrahedra.png bileşiğiYıldız şeklinde oktahedronCDel düğümü h3.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Holosnub çift normalß {q, p}ß {q, p}-de0,1{q, p}[p, q]CDel düğümü h3.pngCDel q.pngCDel düğümü h3.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel düğümü h3.pngCDel q.pngCDel düğümü h3.pngUC46-2 icosahedra.pngİki icosahedra bileşiğiCDel node.pngCDel 4.pngCDel düğümü h3.pngCDel 3.pngCDel düğümü h3.png
ß, yunan mektubuna benziyor beta (β), Alman alfabesi harfidir Eszett.

Polychora ve petekler

Doğrusal aileler
FormSchläfli sembolüCoxeter diyagramıÖrnek, {4,3,3}
Düzenli{p, q, r}t0{p, q, r}CDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.pngSchlegel wireframe 8-cell.pngTesseractCDel düğümü 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Kesildit {p, q, r}t0,1{p, q, r}CDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel düğümü 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.pngSchlegel yarı katı kesilmiş tesseract.pngKesilmiş tesseractCDel düğümü 1.pngCDel 4.pngCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Düzeltilmişr {p, q, r}t1{p, q, r}CDel node.pngCDel p.pngCDel düğümü 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.pngSchlegel yarı katı rektifiye edilmiş 8 hücreli.pngRektifiye tesseractCDel node.pngCDel 4.pngCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel düğümü 1.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.pngCDel 3b.pngCDel nodeb.png
Bitruncated2t {p, q, r}t1,2{p, q, r}CDel node.pngCDel p.pngCDel düğümü 1.pngCDel q.pngCDel düğümü 1.pngCDel r.pngCDel node.pngSchlegel yarı katı bitruncated 16 hücreli.pngBitruncated tesseractCDel node.pngCDel 4.pngCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Birektifiye
(Düzeltilmiş ikili)
2r {p, q, r} = r {r, q, p}t2{p, q, r}CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel düğümü 1.pngCDel r.pngCDel node.pngSchlegel yarı katı düzeltilmiş 16 hücreli.pngDüzeltilmiş 16 hücreliCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel düğümü 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
Tritruncated
(Kesilmiş ikili)
3t {p, q, r} = t {r, q, p}t2,3{p, q, r}CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel düğümü 1.pngCDel r.pngCDel düğümü 1.pngSchlegel yarı katı kesik 16 hücreli.pngBitruncated tesseractCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.png
Üçlü
(Çift)
3r {p, q, r} = {r, q, p}t3{p, q, r} = {r, q, p}CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel düğümü 1.pngSchlegel tel kafes 16 hücre.png16 hücreliCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.png
Konsollurr {p, q, r}t0,2{p, q, r}CDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel düğümü 1.pngCDel r.pngCDel node.pngSchlegel yarı katı cantellated 8-cell.pngKonsollu tesseractCDel düğümü 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel split1-43.pngCDel düğümleri 11.pngCDel 3b.pngCDel nodeb.png
Kısaltılmıştr {p, q, r}t0,1,2{p, q, r}CDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel düğümü 1.pngCDel q.pngCDel düğümü 1.pngCDel r.pngCDel node.pngSchlegel yarı katı cantitruncated 8 hücreli.pngCantitruncated tesseractCDel düğümü 1.pngCDel 4.pngCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel düğümü 1.pngCDel split1-43.pngCDel düğümleri 11.pngCDel 3b.pngCDel nodeb.png
Runcinated
(Genişletilmiş )
e3{p, q, r}t0,3{p, q, r}CDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel düğümü 1.pngSchlegel yarı katı runcinated 8-cell.pngRuncinated tesseractCDel düğümü 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.png
Runcitruncatedt0,1,3{p, q, r}CDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel düğümü 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel düğümü 1.pngSchlegel yarı katı Runcitruncated 8-cell.pngRunkitruncated tesseractCDel düğümü 1.pngCDel 4.pngCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.png
Omnitruncatedt0,1,2,3{p, q, r}CDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel düğümü 1.pngCDel q.pngCDel düğümü 1.pngCDel r.pngCDel düğümü 1.pngSchlegel yarı katı omnitruncated 8 hücreli.pngOmnitruncated tesseractCDel düğümü 1.pngCDel 4.pngCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.png

Alternatifler, çeyrekler ve küçümsemeler

Alternatifler
FormSchläfli sembolüCoxeter diyagramıÖrnek, {4,3,3}
Alternatifler
Yarım
p hatta
h {p, q, r}ht0{p, q, r}CDel düğümü h1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.pngSchlegel tel kafes 16 hücre.png16 hücreliCDel düğümü h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Çeyrek
p ve r bile
q {p, q, r}ht0ht3{p, q, r}CDel düğümü h1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel düğümü h1.png
Snub
q çift
s {p, q, r}ht0,1{p, q, r}CDel düğümü h.pngCDel p.pngCDel düğümü h.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.pngOrtho solid 969-uniform polychoron 343-snub.png24 hücreli snubCDel düğümü h.pngCDel 3.pngCDel düğümü h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Snub düzeltildi
hatta
sr {p, q, r}ht0,1,2{p, q, r}CDel düğümü h.pngCDel p.pngCDel düğümü h.pngCDel q.pngCDel düğümü h.pngCDel r.pngCDel node.pngOrtho solid 969-uniform polychoron 343-snub.png24 hücreli snubCDel düğümü h.pngCDel 3.pngCDel düğümü h.pngCDel 3.pngCDel düğümü h.pngCDel 4.pngCDel node.png = CDel düğümü h.pngCDel split1.pngCDel düğümleri hh.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
Alternatif duoprisms {p} s {q}ht0,1,2,3{p, 2, q}CDel düğümü h.pngCDel p.pngCDel düğümü h.pngCDel 2x.pngCDel düğümü h.pngCDel q.pngCDel düğümü h.pngHarika duoantiprism.pngBüyük ikili antiprizmaCDel düğümü h.pngCDel 5.pngCDel düğümü h.pngCDel 2x.pngCDel düğümü h.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel düğümü h.png

Çatallanan aileler

Çatallanan aileler
FormGenişletilmiş Schläfli sembolüCoxeter diyagramıÖrnekler
Quasiregular{p, q1,1}t0{p, q1,1}CDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel split1-qq.pngCDel nodes.pngSchlegel tel kafes 16 hücre.png16 hücreliCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
Kesildit {p, q1,1}t0,1{p, q1,1}CDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel düğümü 1.pngCDel split1-qq.pngCDel nodes.pngSchlegel yarı katı kesik 16 hücreli.png16 hücreli kesilmişCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
Düzeltilmişr {p, q1,1}t1{p, q1,1}CDel node.pngCDel p.pngCDel düğümü 1.pngCDel split1-qq.pngCDel nodes.pngSchlegel wireframe 24-cell.png24 hücreliCDel node.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
Konsollurr {p, q1,1}t0,2,3{p, q1,1}CDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel split1-qq.pngCDel düğümleri 11.pngSchlegel yarı katı cantellated 16 hücreli.pngDirsekli 16 hücreliCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel düğümleri 11.png
Kısaltılmıştr {p, q1,1}t0,1,2,3{p, q1,1}CDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel düğümü 1.pngCDel split1-qq.pngCDel düğümleri 11.pngSchlegel yarı katı cantitruncated 16 hücreli.pngBölünmüş 16 hücreliCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.pngCDel split1.pngCDel düğümleri 11.png
Snub düzeltildisr {p, q1,1}ht0,1,2,3{p, q1,1}CDel düğümü h.pngCDel p.pngCDel düğümü h.pngCDel split1-qq.pngCDel düğümleri hh.pngOrtho solid 969-uniform polychoron 343-snub.png24 hücreli snubCDel düğümü h.pngCDel 3.pngCDel düğümü h.pngCDel split1.pngCDel düğümleri hh.png
Quasiregular{r, / q , p}t0{r, / q , p}CDel düğümü 1.pngCDel r.pngCDel node.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.pngCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.png
Kesildit {r, / q , p}t0,1{r, / q , p}CDel düğümü 1.pngCDel r.pngCDel düğümü 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.pngCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.png
Düzeltilmişr {r, / q , p}t1{r, / q , p}CDel node.pngCDel r.pngCDel düğümü 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.png
Konsollurr {r, / q , p}t0,2,3{r, / q , p}CDel düğümü 1.pngCDel r.pngCDel node.pngCDel split1-pq.pngCDel düğümleri 11.pngCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel düğümleri 11.png
Kısaltılmıştr {r, / q , p}t0,1,2,3{r, / q , p}CDel düğümü 1.pngCDel r.pngCDel düğümü 1.pngCDel split1-pq.pngCDel düğümleri 11.pngCDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.pngCDel split1-43.pngCDel düğümleri 11.png
Snub düzeltildisr {p, / q, r}ht0,1,2,3{p, / q , r}CDel düğümü h.pngCDel r.pngCDel düğümü h.pngCDel split1-pq.pngCDel düğümleri hh.pngCDel düğümü h.pngCDel 3.pngCDel düğümü h.pngCDel split1-43.pngCDel düğümleri hh.png

Tessellations

Küresel

Düzenli

Yarı düzenli

Hiperbolik

Referanslar

  1. ^ a b c d Coxeter, H.S.M. (1973). Normal Politoplar (3. baskı). New York: Dover.

Kaynaklar

Dış bağlantılar