Dalga paketi - Wave packet

Dağılımsız bir dalga paketi (gerçek veya hayali kısım)

Dağılımlı bir dalga paketi

Fizikte bir dalga paketi (veya dalga treni) kısa bir "patlama" veya "zarf "Bir birim olarak hareket eden yerel dalga eylemi. Bir dalga paketi sonsuz bir bileşen kümesi içinde analiz edilebilir veya buradan sentezlenebilir. sinüzoidal dalgalar farklı wavenumbers, uzayın sadece küçük bir bölgesine yapıcı bir şekilde ve başka bir yere yıkıcı bir şekilde müdahale edecek şekilde fazlar ve genliklerle.^[1] Her bileşen dalga fonksiyonu ve dolayısıyla dalga paketi, bir dalga denklemi. Dalga denklemine bağlı olarak, dalga paketinin profili sabit kalabilir (hayır dağılım, şekle bakın) veya yayılırken değişebilir (dağılım).

Kuantum mekaniği dalga paketine özel bir önem atfediyor; olarak yorumlanır olasılık genliği, onun norm kare tanımlayan olasılık yoğunluğu belirli bir durumdaki bir partikül veya partiküllerin belirli bir pozisyon veya momentuma sahip olacak şekilde ölçülecek. Dalga denklemi bu durumda Schrödinger denklemi. Çıkarım yapmak mümkündür zaman evrimi bir kuantum mekanik sistemin sürecine benzer Hamiltoniyen içinde biçimcilik Klasik mekanik. Schrödinger denkleminin çözümlerinin dağıtıcı karakteri reddetmede önemli bir rol oynamıştır. Schrödinger'in orijinal yorumu ve kabul etmek Doğuş kuralı.^{[kaynak belirtilmeli ]}

Dalganın koordinat temsilinde (örneğin Kartezyen koordinat sistemi ), fiziksel nesnenin yerelleştirilmiş olasılığının konumu, paket çözümünün konumu ile belirlenir. Dahası, uzamsal dalga paketi ne kadar dar olursa ve bu nedenle dalga paketinin konumu ne kadar iyi yerelleştirilirse, yayılma o kadar büyük olur. itme dalganın. Konumdaki yayılma ile momentumdaki yayılma arasındaki bu değiş tokuş, Heisenberg belirsizlik ilkesi ve aşağıda gösterilecektir.

Tarihsel arka plan

1900'lerin başında, klasik mekaniğin bazı büyük başarısızlıkları olduğu ortaya çıktı. Isaac Newton başlangıçta ışığın ayrı paketler halinde geldiği fikrini ortaya attı. cisimler, ancak birçok ışık fenomeninin dalga benzeri davranışı, bilim insanlarını hızla elektromanyetizma. 1930'lara kadar ışığın parçacık doğası gerçekten fizikte geniş çapta kabul görmeye başladı. Kuantum mekaniğinin gelişimi - ve kafa karıştırıcı deneysel sonuçları açıklamadaki başarısı - bu kabulün kökenindeydi. Bu nedenle, kuantum mekaniğinin formülasyonundaki temel kavramlardan biri, ışığın ayrık demetler halinde gelmesidir. fotonlar. Bir fotonun enerjisi, frekansının bir fonksiyonudur.

${ displaystyle E = h nu.}$^[2]

Fotonun enerjisi eşittir Planck sabiti, hfrekansıyla çarpılır, ν. Bu, klasik fizikte adı verilen bir sorunu çözdü. ultraviyole felaketi.

Kuantum mekaniğinin fikirleri 20. yüzyıl boyunca geliştirilmeye devam etti. Geliştirilen resim, tüm fenomenler ve ayrı ayrı parçacıklardan oluşan ve onlarla etkileşime giren madde ile parçacıklı bir dünyaydı; ancak bu parçacıklar bir olasılık dalgasıyla tanımlandı. Etkileşimler, konumlar ve tüm fizik, bu olasılık genliklerinin hesaplamalarına indirgenecektir.

Dünyanın parçacık benzeri doğası, yüzyılı aşkın deneyle doğrulanırken, dalga benzeri fenomen, kuantum parçacıklarının dalga paketi yönünün sonuçları olarak nitelendirilebilir (bkz. dalga-parçacık ikiliği ). Göre tamamlayıcılık ilkesi dalga benzeri ve parçacık benzeri özellikler asla aynı anda, yani aynı deneyde kendini göstermez; Bununla birlikte, bkz. Afshar deneyi ve etrafındaki canlı tartışma.

Temel davranışlar

Merkezlenmiş bir potansiyel duvarda periyodik Kuantum Tüneli yaşayan sonsuz bir potansiyel kuyusunda hapsolmuş başlangıçta Gauss halindeki konum uzay olasılık yoğunluğu.

Dağılmayan

Yayılma örneği olarak dağılma olmadan, aşağıdakilere dalga çözümlerini düşünün dalga denklemi itibaren klasik fizik

${ displaystyle { kısmi ^ {2} u fazla kısmi t ^ {2}} = c ^ {2} { nabla ^ {2} u},}$

nerede c belirli bir ortamda dalganın yayılma hızıdır.

Fizik zaman kuralını kullanarak, exp (-iωt)dalga denklemi var düzlem dalga çözümler

${ displaystyle u ( mathbf {x}, t) = e ^ {ben {( mathbf {k cdot x}} - omega t)}}$

nerede

${ displaystyle omega ^ {2} = | mathbf {k} | ^ {2} c ^ {2}}$, ve ${ displaystyle | mathbf {k} | ^ {2} = k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2}.}$

Arasındaki bu ilişki ω ve k Düzlem dalgasının dalga denklemine bir çözüm olması için geçerli olması gerekir. A denir dağılım ilişkisi.

Basitleştirmek için, yalnızca bir boyutta yayılan dalgaları düşünün (üç boyuta genişletme basittir). O zaman genel çözüm şudur:

${ displaystyle u (x, t) = Ae ^ {i (kx- omega t)} + Be ^ {- i (kx + omega t)},}$

alabileceğimiz ω = kc. İlk terim, pozitif yönde yayılan bir dalgayı temsil eder. xyön çünkü bir işlevi x - ct sadece; ikinci terim, bir fonksiyonu olarak x + ct, negatif yönde yayılan bir dalgayı temsil eder xyön.

Bir dalga paketi, birçok farklı paketin toplamından kaynaklanan yerel bir rahatsızlıktır. dalga formları. Paket güçlü bir şekilde lokalize ise, lokalizasyon bölgesinde yapıcı süperpozisyona ve bölgenin dışında yıkıcı süperpozisyona izin vermek için daha fazla frekansa ihtiyaç vardır. Tek boyuttaki temel çözümlerden, bir dalga paketinin genel bir formu şu şekilde ifade edilebilir:

${ displaystyle u (x, t) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ {, infty} A (k) ~ e ^ {i (kx- omega (k) t)} dk.}$

Düzlem dalga durumunda olduğu gibi, dalga paketi sağa doğru hareket eder. ω (k) = kc, dan beri u (x, t) = F (x - ct)ve sola ω (k) = −kc, dan beri u (x, t) = F (x + ct).

Faktör¹⁄_√2π gelen Fourier dönüşümü sözleşmeler. Genlik Bir (k) düzlem-dalga çözümlerinin doğrusal üstüste binme katsayılarını içerir. Bu katsayılar sırayla bir fonksiyonu olarak ifade edilebilir u (x, t) değerlendirildi t = 0 yukarıdaki Fourier dönüşüm ilişkisini ters çevirerek:

${ displaystyle A (k) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ {, infty} u (x, 0) ~ e ^ {- ikx} dx.}$

Örneğin, seçme

${ displaystyle u (x, 0) = e ^ {- x ^ {2} + ik_ {0} x},}$

elde ederiz

${ displaystyle A (k) = { frac {1} { sqrt {2}}} e ^ {- { frac {(k-k_ {0}) ^ {2}} {4}}},}$

ve sonunda

${ displaystyle { başlar {hizalı} u (x, t) & = e ^ {- (x-ct) ^ {2} + ik_ {0} (x-ct)} & = e ^ {- ( x-ct) ^ {2}} left [ cos left (2 pi { frac {x-ct} { lambda}} sağ) + i sin left (2 pi { frac { x-ct} { lambda}} sağ) sağ]. end {hizalı}}}$

Bu dalga paketinin gerçek veya hayali kısmının dağınık olmayan yayılımı yukarıdaki animasyonda sunulmuştur.

Dağıtıcı

Boş uzayda minimum belirsiz, sabit momentumda tek boyutta hareket eden başlangıçta Gauss halinin konum uzay olasılık yoğunluğu.

Buna karşılık, şimdi bir yayılma örneği olarak dağılım ileyerine, Schrödinger denklemi (Pauli 2000, m ve ħ bire eşit olarak ayarlayın),

${ displaystyle i { kısmi psi üzeri kısmi t} = - { frac {1} {2}} { nabla ^ {2} psi},}$

dağılım ilişkisini veren

${ displaystyle omega = { frac {1} {2}} | mathbf {k} | ^ {2}.}$

Bir kez daha, dikkati bir boyuta sınırlayarak, başlangıç ​​koşulunu sağlayan Schrödinger denkleminin çözümü ${ displaystyle ~ psi (x, 0) = { sqrt [{4}] {2 / pi}} exp ({- x ^ {2} + ik_ {0} x})}$başlangıçta uzayda lokalize bir dalga paketini temsil eden,

${ displaystyle { begin {align} psi (x, t) & = { frac { sqrt [{4}] {2 / pi}} { sqrt {1 + 2it}}} e ^ {- { frac {1} {4}} k_ {0} ^ {2}} ~ e ^ {- { frac {1} {1 + 2it}} left (x - { frac {ik_ {0}} {2}} sağ) ^ {2}} & = { frac { sqrt [{4}] {2 / pi}} { sqrt {1 + 2it}}} e ^ {- { frac {1} {1 + 4t ^ {2}}} (x-k_ {0} t) ^ {2}} ~ e ^ {i { frac {1} {1 + 4t ^ {2}}} left ((k_ {0} + 2tx) x - { frac {1} {2}} tk_ {0} ^ {2} sağ)} ~. end {hizalı}}}$

Olasılık yoğunluğuna bakılarak bu dalga paketinin dağılma davranışına ilişkin bir izlenim elde edilir:

${ displaystyle | psi (x, t) | ^ {2} = { frac { sqrt {2 / pi}} { sqrt {1 + 4t ^ {2}}}} ~ e ^ {- { frac {2 (x-k_ {0} t) ^ {2}} {1 + 4t ^ {2}}}} ~.}$

Bu dağınık dalga paketinin, sabit grup hızı k_Ö, hızla yerelleşiyor: Genişlik zamanla artan √ 1 + 4t² → 2t, bu yüzden sonunda sınırsız bir alana yayılır.^{[nb 1]}

Momentum profili Bir (k) değişmez kalır. olasılık akımı dır-dir

${ displaystyle j = rho v = { frac {1} {2i}} ( psi ^ {*} nabla psi - psi nabla psi ^ {*}) = rho sol (k_ { 0} + { frac {4t (x-k_ {0} t)} {1 + 4t ^ {2}}} sağ).}$

Kuantum mekaniğinde Gauss dalgası paketleri

Yayılırken sağa doğru yayılan kuantum Gauss dalga paketini (kırmızı) oluşturmak için toplanan 1 boyutlu düzlem dalgalarının (mavi) üst üste binmesi. Mavi noktalar her bir düzlem dalganın faz hızını takip ederken kırmızı çizgi merkezi grup hızını takip eder.

Merkezlenmiş bir potansiyel duvarda periyodik Kuantum Tüneli yaşayan sonsuz bir potansiyel kuyusunda hapsolmuş başlangıçta Gauss halindeki konum uzay olasılık yoğunluğu.

Karmaşık düzlemde gösterilen 1D Gauss dalgası paketi, a= 2 ve k=4

Yukarıdaki dağınık Gauss dalgası paketi, normalleştirilmemiş ve sadece başlangıç ​​noktasında ortalanmış, t= 0, artık 3D olarak yazılabilir, şimdi standart birimlerde:^[3][4]

${ displaystyle psi ( mathbf {r}, 0) = e ^ {- mathbf {r} cdot mathbf {r} / 2a},}$

nerede a pozitif bir gerçek sayıdır, dalga paketinin genişliğinin karesi,

${ displaystyle a = 2 langle mathbf {r} cdot mathbf {r} rangle / 3 langle 1 rangle = 2 ( Delta x) ^ {2}.}$

Fourier dönüşümü, dalga sayısı açısından da bir Gauss'tur, t= 0, k-vektör, (ters genişlikte,

${ displaystyle 1 / a = 2 langle mathbf {k} cdot mathbf {k} rangle / 3 langle 1 rangle = 2 ( Delta p_ {x} / hbar) ^ {2},}$

Böylece

${ displaystyle Delta x Delta p_ {x} = hbar / 2,}$

yani doyurur belirsizlik ilişkisi ),

${ displaystyle psi ( mathbf {k}, 0) = (2 pi a) ^ {3/2} e ^ {- a mathbf {k} cdot mathbf {k} / 2}.}$

Her ayrı dalga, zaman içinde yalnızca faz-döner, böylece zamana bağlı Fourier-dönüştürülmüş çözüm

${ displaystyle { begin {align} Psi ( mathbf {k}, t) & = (2 pi a) ^ {3/2} e ^ {- a mathbf {k} cdot mathbf {k } / 2} e ^ {- iEt / hbar} & = (2 pi a) ^ {3/2} e ^ {- a mathbf {k} cdot mathbf {k} / 2-i ( hbar ^ {2} mathbf {k} cdot mathbf {k} / 2m) t / hbar} & = (2 pi a) ^ {3/2} e ^ {- (a + i hbar t / m) mathbf {k} cdot mathbf {k} /2}.end{aligned}}}$

Ters Fourier dönüşümü hala bir Gauss dönüşümüdür, ancak şimdi parametre a karmaşık hale geldi ve genel bir normalleştirme faktörü var.^[5]

${ displaystyle Psi ( mathbf {r}, t) = sol ({a üzerinde bir + i hbar t / m} sağ) ^ {3/2} e ^ {- { mathbf {r} cdot mathbf {r} over 2 (a + i hbar t / m)}}.}$

Ayrılmaz Ψ tüm uzay değişmez, çünkü uzay Ψ sonsuz dalga boyuna sahip bir dalga olan sıfır enerji durumunda, uzayın sabit bir fonksiyonudur. Herhangi enerji özdurumu η(x)iç çarpım

${ displaystyle langle eta | psi rangle = int eta ( mathbf {r}) psi ( mathbf {r}) d ^ {3} mathbf {r},}$

sadece zamanda basit bir şekilde değişir: fazı, enerji tarafından belirlenen bir frekansla döner. η. Ne zaman η sonsuz dalgaboyu dalgası gibi sıfır enerjiye sahiptir, hiç değişmez.

İntegral ∫|Ψ|²d³r aynı zamanda, olasılığın korunumunun bir ifadesi olan değişmezdir. Açıkça,

${ displaystyle P (r) = | Psi | ^ {2} = Psi ^ {*} Psi = sol ({a { sqrt {a ^ {2} + ( hbar t / m) üzerinde ^ {2}}} sağ) ^ {3} ~ e ^ {- {a , mathbf {r} cdot mathbf {r} a ^ {2} + ( hbar t / m) üzerinden ^ {2}}},}$

içinde √a genişliği P (r) -de t = 0; r başlangıç ​​noktasına olan uzaklıktır; parçacığın hızı sıfırdır; ve zaman kaynağı t = 0 keyfi olarak seçilebilir.

Gauss'un genişliği, olasılık yoğunluğundan okunabilen ilginç miktardır. |Ψ|²,

${ displaystyle { sqrt {a ^ {2} + ( hbar t / m) ^ {2} a}} üzerinden.}$

Bu genişlik, zaman içinde doğrusal olarak büyür. ħt / (m√a)gösteren dalga paketi yayılması.

Örneğin, bir elektron dalgası paketi başlangıçta atom boyutlarının bir bölgesinde (yani, 10⁻¹⁰ m) daha sonra paketin genişliği yaklaşık iki katına çıkar 10⁻¹⁶ s. Açıkçası, parçacık dalgası paketleri gerçekten çok hızlı yayılır (boş alanda):^[6] Örneğin, sonra 1 ms, genişlik yaklaşık bir kilometreye çıkmış olacak.

Bu doğrusal büyüme (zamanla değişmeyen) momentum belirsizliğinin bir yansımasıdır: dalga paketi, dar bir Δx=√a/2ve dolayısıyla belirsiz bir momentuma sahiptir ( belirsizlik ilkesi ) miktarına göre ħ/√2ahızda bir yayılma ħ / m√2ave dolayısıyla gelecekteki pozisyonda ħt / m√2a. O halde belirsizlik ilişkisi, doygunluktan çok uzak, katı bir eşitsizliktir! İlk belirsizlik ΔxΔp = ħ/2 şimdi bir faktör arttı ħt / ma (büyük için t).

Airy dalga treni

Yukarıdaki Gauss dalgası paketinin aksine,^[7] temel alan belirli bir dalga işlevi Airy fonksiyonları, şeklini koruyarak, zarf dağılımı olmaksızın serbestçe yayılır. Kuvvet alanı olmadığında bozulmadan hızlanır: ψ= Ai (B(x−B³t ²)) exp (iB³t(x−2B³t²/3)). (Basitlik için, ħ=1, m= 1/2 ve B sabittir, cf. boyutsuzlaştırma.)

Faz uzayında Airy cephesi için zaman gelişiminin kesik görünümü. (Canlandırmak için tıklayın.)

Bununla birlikte, hiçbir uyumsuzluk yoktur. Ehrenfest teoremi bu kuvvet içermeyen durumda, çünkü durum hem normalleştirilemez hem de tanımlanmamış (sonsuz) ⟨x⟩ her zaman için. (Tanımlanabildiği ölçüde, ⟨p⟩ = 0 öndeki görünür ivmeye rağmen her zaman için.)

İçinde faz boşluğu bu, saf hal Wigner quasiprobability dağılımı şeklindeki bu dalga dizisinin x ve p zaman ilerledikçe değişmez, ancak özellikleri hızlanan parabollerde sağa doğru hızlanır B(x−B³t ²) + (p / B − tB²)² = 0,^[8]

${ displaystyle { başlar {hizalı} W (x, p; t) & = W (xB ^ {3} t ^ {2}, pB ^ {3} t; 0) & = {1 2'den fazla ^ {1/3} pi B} ~ mathrm {Ai} left (2 ^ {2/3} left (Bx + {p ^ {2} over B ^ {2}} - 2Bpt sağ) sağa). end {hizalı}}}$

Tümünün integralini alarak elde edilen momentum dağılımına dikkat edin. x sabittir. Bu olduğundan momentum uzayında olasılık yoğunluğu dalga fonksiyonunun kendisinin normalleştirilebilir olmadığı açıktır.

2018 yılında, Airy dalga paketlerini hızlandırmanın kübik fazının ilk deneysel gözlemi İsrail, Alman ve Amerikan üniversitelerinden araştırmacıların bir işbirliği ile gerçekleştirildi.^[9]

Ücretsiz yayıcı

Tartışılan Gauss dalga paketi çözümünün dar genişlik sınırı, yayıcı çekirdek K. Diğer diferansiyel denklemler için buna genellikle Green fonksiyonu denir,^[10] ancak kuantum mekaniğinde, Green'in işlevini Fourier dönüşümü için ayırmak gelenekseldir. K.

Basitlik için tek boyuta dönüyoruz m ve ħ bire eşit olduğunda a sonsuz küçük miktardır ε, Gauss başlangıç ​​koşulu, integrali bir olacak şekilde yeniden ölçeklendirildi,

${ displaystyle psi _ {0} (x) = {1 over { sqrt {2 pi epsilon}}} e ^ {- {x ^ {2} over 2 epsilon}} ,}$

olur delta işlevi, δ (x), böylece zamanın evrimi,

${ displaystyle K_ {t} (x) = {1 over { sqrt {2 pi (it + epsilon)}}} e ^ {- x ^ {2} over 2it + epsilon} ,}$

yayıcıyı verir.

Çok dar bir ilk dalga paketinin anında sonsuz genişliğe ulaştığını, ancak büyük değerlerde daha hızlı salınan bir fazla birlikte olduğunu unutmayın. x. Bu tuhaf görünebilir - çözüm bir noktada yerelleştirilmekten şu noktada "her yerde" olmaya kadar gider tüm sonraki zamanlar, ama bu muazzam bir yansıması momentum belirsizliği yukarıda açıklandığı gibi lokalize bir parçacığın

Ayrıca dalga fonksiyonunun normunun sonsuz olduğuna dikkat edin, bu da doğrudur, çünkü a'nın karesi delta işlevi aynı şekilde farklıdır.

İçeren faktör ε integrallerin üzerinde olduğundan emin olmak için var olan sonsuz küçük bir niceliktir. K iyi tanımlanmıştır. Sınırda ε→0, K tamamen salınımlı hale gelir ve integralleri K kesinlikle yakınsak değildir. Bu bölümün geri kalanında, niyet sıfıra ayarlanmalıdır, ancak ara durumlar üzerindeki tüm entegrasyonların iyi tanımlanması için sınır ε→ 0, yalnızca son durum hesaplandıktan sonra alınacaktır.

Yayıcı, noktaya ulaşma genliğidir x zamanda tbaşlangıç ​​noktasından başlarken, x= 0. Çeviri değişmezliği ile, bir noktaya ulaşma genliği x noktadan başlarken y aynı işlevdir, yalnızca şimdi çevrilmiştir,

${ displaystyle K_ {t} (x, y) = K_ {t} (xy) = {1 over { sqrt {2 pi it}}} e ^ {i (xy) ^ {2} over 2t } ,.}$

Sınırda ne zaman t küçükse, yayıcı elbette bir delta işlevine gider,

${ displaystyle lim _ {t rightarrow 0} K_ {t} (x-y) = delta (x-y) ~,}$

ama sadece anlamında dağıtımlar: Bu miktarın keyfi bir türevlenebilir ile çarpılan integrali test işlevi sıfırda test fonksiyonunun değerini verir.

Bunu görmek için, tüm uzay üzerindeki integralin K her zaman 1'e eşittir,

${ displaystyle int K_ {t} (x) dx = 1 ,,}$

çünkü bu integral, K düzgün dalga fonksiyonu ile. Ancak üsteki faz faktörü, başlangıç ​​noktası dışında her yerde sıfır olmayan bir uzamsal türeve sahiptir ve bu nedenle zaman küçük olduğunda, bir nokta dışında tüm hızlı faz iptalleri olur. Bu, sınır olduğunda kesinlikle doğrudur ε→ En sonunda 0 alınır.

Dolayısıyla yayılma çekirdeği, bir delta fonksiyonunun (gelecekteki) zaman evrimidir ve bir anlamda süreklidir: küçük zamanlarda ilk delta fonksiyonuna gider. İlk dalga fonksiyonu, pozisyonda sonsuz dar bir sivri uçsa y,

${ displaystyle psi _ {0} (x) = delta (x-y) ,,}$

salınımlı dalga olur,

${ displaystyle psi _ {t} (x) = {1 over { sqrt {2 pi it}}} e ^ {i (x-y) ^ {2} / 2t} ,.}$

Şimdi, her işlev bu kadar dar sivri uçların ağırlıklı toplamı olarak yazılabileceğinden,

${ displaystyle psi _ {0} (x) = int psi _ {0} (y) delta (x-y) dy ,,}$

zamanın evrimi her işlev ψ₀ bu yayılma çekirdeği tarafından belirlenir K,

Bu nedenle, bu, temel çözüm veya genel çözüm. Bu ifadenin yorumu, bir parçacığın noktasında bulunan genliğinin x zamanda t başladığı genlik y, çarptığı genlik çarpı y -e x, olası tüm başlangıç ​​noktalarının toplamı. Başka bir deyişle, bu bir kıvrım çekirdeğin K keyfi başlangıç ​​koşulu ile ψ₀,

${ displaystyle psi _ {t} = K * psi _ {0} ,.}$

Seyahat edilecek genlikten beri x -e y Bir süre sonra t+t'iki aşamada düşünülebilir, propagatör kompozisyon kimliğine uyar,

${ displaystyle int K (x-y; t) K (y-z; t ') dy = K (x-z; t + t') ~,}$

aşağıdaki gibi yorumlanabilir: seyahat edilecek genlik x -e z zamanında t+t'seyahat edilecek genliğin toplamıdır x -e y zamanında t, seyahat edilecek genlik ile çarpılır y -e z zamanında t', özetlendi tüm olası ara durumlar y. Bu, keyfi bir kuantum sisteminin bir özelliğidir ve zamanı birçok bölüme bölerek, zaman evriminin bir yol integrali.^[11]

Difüzyonun analitik devamı

Kuantum mekaniğinde dalga paketlerinin yayılması, doğrudan olasılık yoğunluklarının yayılmasıyla ilgilidir. yayılma. Olan bir parçacık için rastgele yürümek, herhangi bir noktada olasılık yoğunluğu işlevi, difüzyon denklemi (ayrıca bkz. ısı denklemi ),

${ displaystyle { kısmi fazla kısmi t} rho = {1 2} { kısmi ^ {2} üzerinden kısmi x ^ {2}} rho ~,}$

zaman veya uzay yeniden ölçeklendirilerek kaldırılabilen 2 faktörü sadece kolaylık sağlamak içindir.

Bu denklemin bir çözümü yayılan Gauss'tur,

${ displaystyle rho _ {t} (x) = {1 over { sqrt {2 pi t}}} e ^ {- x ^ {2} over 2t} ~,}$

ve integralinden beri ρ_t küçük zamanlarda genişlik daralırken sabittir, bu işlev bir delta işlevine yaklaşır t=0,

${ displaystyle lim _ {t rightarrow 0} rho _ {t} (x) = delta (x) ,}$

yine sadece dağılımlar anlamında, böylece

${ displaystyle lim _ {t rightarrow 0} int _ {x} f (x) rho _ {t} (x) = f (0) ,}$

herhangi bir pürüzsüzlük için test işlevi f.

Yayılan Gauss, difüzyon denkleminin yayılma çekirdeğidir ve kıvrım Kimlik,

${ displaystyle K_ {t + t '} = K_ {t} * K_ {t'} ,,}$

bu, difüzyonun bir yol integrali olarak ifade edilmesine izin verir. Yayıcı, bir operatörün üstelidir H,

${ displaystyle K_ {t} (x) = e ^ {- tH} ,,}$

sonsuz küçük difüzyon operatörü olan

${ displaystyle H = - { nabla ^ {2} 2} üzerinde ,.}$

Bir matrisin sürekli uzayda bir fonksiyonu yapan iki indeksi vardır. x ve x'. Bu durumda, çevirme değişmezliği nedeniyle matris öğesi K yalnızca konum farkına bağlıdır ve gösterimin uygun şekilde kötüye kullanılması, operatöre, matris öğelerine ve aynı adla farkın işlevine atıfta bulunmaktır:

${ displaystyle K_ {t} (x, x ') = K_ {t} (x-x') ,.}$

Çeviri değişmezliği, sürekli matris çarpımının,

${ displaystyle C (x, x '') = int _ {x '} A (x, x') B (x ', x' ') ,,}$

esasen evrişimdir,

${ displaystyle C ( Delta) = C (x-x '') = int _ {x '} A (x-x') B (x'-x '') = int _ {y} A ( Delta -y) B (y) ,.}$

Üstel, bir aralıkta tanımlanabilir tYayılma çekirdeği üzerindeki integraller yakınsak kaldığı sürece karmaşık değerler içeren s,

${ displaystyle K_ {z} (x) = e ^ {- zH} ,.}$

Gerçek parçası olduğu sürece z pozitif, büyük değerler için x, K üssel olarak azalıyor ve integraller fazla K gerçekten de kesinlikle yakınsak.

Bu ifadenin sınırı z saf hayali eksene yaklaşmak, karşılaşılan yukarıdaki Schrödinger yayıcısıdır,

${ displaystyle K_ {t} ^ { rm {Schr}} = K_ {it + epsilon} = e ^ {- (it + epsilon) H} ,,}$

Gauss'luların yukarıdaki zaman evrimini gösteren.

Üs alma veya yol entegrasyonunun temel kimliğinden,

${ displaystyle K_ {z} * K_ {z '} = K_ {z + z'} ,}$

tüm kompleksler için tutar z integrallerin mutlak yakınsak olduğu ve böylece işleçlerin iyi tanımlandığı değerler.

Böylece, karmaşık difüzyon çekirdeği olan bir Gauss'un kuantum evrimi K,

${ displaystyle psi _ {0} (x) = K_ {a} (x) = K_ {a} * delta (x) ,}$

zamanla gelişen duruma karşılık gelir,

${ displaystyle psi _ {t} = K_ {it} * K_ {a} = K_ {a + it} ,.}$

Bu, karmaşık Gauss çözümlerinin yukarıdaki dağınık biçimini gösterir.

${ displaystyle psi _ {t} (x) = {1 over { sqrt {2 pi (a + it)}}} e ^ {- {x ^ {2} over 2 (a + it) }} ,.}$

Ayrıca bakınız

Uyarılar

Notlar

Referanslar

• Einstein, Albert (1905), "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (Işığın Üretimi ve Dönüşümü ile İlgili Sezgisel Bir Bakış Açısı Üzerine)" (PDF), Annalen der Physik, 17 (6): 132–148, Bibcode:1905AnP ... 322..132E, doi:10.1002 / ve s.19053220607 Bu annus mirabilis fotoelektrik etkisi ile ilgili kağıt tarafından alındı Annalen der Physik 18 Mart 1905.
• Schiff, Leonard I. (1968), Kuantum mekaniği (üçüncü baskı), Londra: McGraw-Hill
• Sevinç Görgü (2000), Kuantum Fiziği: Giriş, CRC Press, s. 53–56, ISBN  978-0-7503-0720-8
• Pauli, Wolfgang (2000), Dalga Mekaniği: Pauli Fizik Dersleri 5. Cilt, Fizik Kitapları, Dover Yayınları, ISBN  978-0486414621
• Abers, E .; Pearson, Ed (2004), Kuantum mekaniği, Addison Wesley, Prentice-Hall Inc., ISBN  978-0-13-146100-0
• Richard Fitzpatrick, Salınımlar ve Dalgalar
• Berry, M. V .; Balazs, N. L. (1979), "Yayılmayan dalga paketleri", Am J Phys, 47 (47): 264–267, Bibcode:1979 AmJPh..47..264B, doi:10.1119/1.11855
• Jackson, J. D. (1975), Klasik Elektrodinamik (2. baskı), New York: John Wiley & Sons, Inc., ISBN  978-0-471-43132-9
• Feynman, R. P.; Hibbs, A.R. (1965), Kuantum Mekaniği ve Yol İntegralleri, New York: McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-020650-2 (Dover, 2010, ISBN  0-486-47722-3.)
• Wheeler, Nicholas (2004), Gauss dalga paketinin enerjetiği

Dış bağlantılar

• İle ilgili öğrenme materyalleri dalga paket hareketi Wikiversity'de
• Sözlük tanımı dalga paketi Vikisözlük'te
• Google'da 1d Wave paketi grafiği
• Google'da 1d dalga treni ve olasılık yoğunluğu grafiği
• Google'da 2d Wave paketi grafiği
• Google'da 2d Dalga tren grafiği
• Google'da 2d olasılık yoğunluk grafiği
• 2D dalga paketinin simülasyonu (FOURIER-Synthesis in 2D'ye göre)
• Curtright, T.L., Zamana Bağlı Wigner İşlevleri
• Web-Schödinger: Etkileşimli 2D dalga paket dinamiği simülasyonu