Uygun grup - Amenable group

İçinde matematik, bir uygun grup bir yerel olarak kompakt topolojik grup G sınırlı fonksiyonlar üzerinde bir tür ortalama alma işlemi taşıyan değişmez grup elemanlarına göre çeviri altında. Orijinal tanım, sonlu toplamsal değişmez ölçü (veya ortalama) açısından alt kümeleri üzerinde Gtarafından tanıtıldı John von Neumann 1929'da Almanca yanıt olarak "messbar" (İngilizce "ölçülebilir") adı Banach-Tarski paradoksu. 1949'da Mahlon M. Day, görünüşe göre bir kelime oyunu olarak "amenable" İngilizce çevirisini tanıttı.anlamına gelmek".^[1]

yatkınlık mülkiyet çok sayıda eşdeğer formülasyona sahiptir. Nın alanında analiz, tanım açısından doğrusal işlevler. Bu sürümü anlamanın sezgisel bir yolu, destek of düzenli temsil tüm alanı indirgenemez temsiller.

İçinde ayrık grup teorisi, nerede G var ayrık topoloji daha basit bir tanım kullanılır. Bu durumda, bir grup, ne kadarının ne oranda olduğunu söyleyebiliyorsa uygundur. G herhangi bir alt küme yer alır.

Bir grupta Følner dizisi o zaman otomatik olarak kabul edilebilir.

Yerel olarak kompakt gruplar için tanım

İzin Vermek G olmak yerel olarak kompakt Hausdorff grup. O zaman benzersiz, ölçeğe göre sola (veya sağa) dönme değişmez, önemsiz halka ölçüsüne sahip olduğu iyi bilinmektedir. Haar ölçüsü. (Bu bir Borel düzenli ölçü ne zaman G dır-dir ikinci sayılabilir; hem sol hem de sağ önlemler vardır G kompakttır.) Banach alanı L^∞(G) nın-nin esasen sınırlı bu ölçü uzayında ölçülebilir fonksiyonlar (açıkça Haar ölçüsünün ölçeğinden bağımsızdır).

Tanım 1. Hom'da doğrusal bir işlevsel Λ (L^∞(G), R) olduğu söyleniyor anlamına gelmek Λ norm 1'e sahipse ve negatif değilse, yani f ≥ 0 a.e. (f) ≥ 0.

Tanım 2. Hom cinsinden bir ortalama Λ (L^∞(G), R) olduğu söyleniyor solda değişmeyen (resp. sağda değişmeyen) eğer Λ (g·f) = Λ (f) hepsi için g içinde G, ve f içinde L^∞(G) sol (sırasıyla sağ) kaydırma hareketine göre g·f(x) = f(g⁻¹x) (resp. f·g(x) = f(xg⁻¹) ).

Tanım 3. Yerel olarak kompakt bir Hausdorff grubu denir uygun sol (veya sağ) değişmez bir ortalama kabul ederse.

Uygunluk için eşdeğer koşullar

İskele (1984) ikinci bir sayılabilir yerel olarak kompakt gruptaki koşulların kapsamlı bir hesabını içerir G amenabiliteye eşdeğer olan:^[2]

• Sol (veya sağ) değişmez bir anlamın varlığı L^∞(G). Bağlı olan orijinal tanım seçim aksiyomu.
• Solda değişmeyen durumların varlığı. Sınırlı sürekli fonksiyonların herhangi bir ayrılabilir solda değişmeyen ünital C * alt cebirinde solda değişmez bir durum vardır. G.
• Sabit nokta özelliği. Grubun sürekli olarak yaptığı herhangi bir eylem afin dönüşümler bir kompakt dışbükey alt küme bir (ayrılabilir) yerel dışbükey topolojik vektör uzayı sabit bir noktaya sahiptir. Lokal olarak kompakt değişmeli gruplar için, bu özellik, Markov-Kakutani sabit nokta teoremi.
• İndirgenemez ikili. İndirgenemez tüm temsiller, sol düzenli temsil λ üzerinde zayıf bir şekilde L²(G).
• Önemsiz temsil. Önemsiz temsili G sol düzenli temsilde zayıf bir şekilde yer almaktadır.
• Godement koşulu. Her sınırlı pozitif-kesin ölçüm μ G μ (1) ≥ 0'ı karşılar. Valette (1998) her sürekli pozitif-tanımlı kompakt olarak desteklenen işlev için bunu sormanın yeterli olduğunu göstererek bu kriteri geliştirmiştir. f açık Gfonksiyon Δ^–½f Haar ölçüsüne göre negatif olmayan integrale sahiptir, burada mod modüler fonksiyonu belirtir.
• Günün asimptotik değişmezlik koşulu. Bir dizi entegre edilebilir negatif olmayan fonksiyon vardır φ_n integral 1 açık G öyle ki λ (g) φ_n - φ_n zayıf topolojide 0'a meyillidir L¹(G).
• Reiter'in durumu. Her sonlu (veya kompakt) alt küme için F nın-nin G İntegral 1 ile negatif olmayan bir integral fonksiyonu vardır, öyle ki λ (g) φ - φ keyfi olarak küçüktür L¹(G) için g içinde F.
• Dixmier'in durumu. Her sonlu (veya kompakt) alt küme için F nın-nin G birim vektör var f içinde L²(G) öyle ki λ (g)f − f keyfi olarak küçük L²(G) için g içinde F.
• Glicksberg − Reiter koşulu. Herhangi f içinde L¹(G), 0 ile kapalı dışbükey gövde arasındaki mesafe L¹(G) of the left çevirir (g)f eşittir | ∫f|.
• Følner durumu. Her sonlu (veya kompakt) alt küme için F nın-nin G ölçülebilir bir alt küme var U nın-nin G sonlu pozitif Haar ölçümü ile m(U Δ gU) / m (U) keyfi olarak küçüktür g içinde F.
• Leptin'in durumu. Her sonlu (veya kompakt) alt küme için F nın-nin G ölçülebilir bir alt küme var U nın-nin G sonlu pozitif Haar ölçümü ile m(FU Δ U) / m (U) keyfi olarak küçüktür.
• Kesten'in durumu. Sol kıvrım açık L²(G) simetrik olasılık ölçüsü ile G Operatör norm 1'i verir.
• Johnson'ın kohomolojik durumu. Banach cebiri Bir = L¹(G) dır-dir Banach cebiri olarak uygun, yani herhangi bir sınırlı türevi Bir Banach'ın ikiliğine Bir-bimodül içtir.

Ayrık gruplar durumu

Sorumluluğun tanımı, bir ayrık grup,^[3] yani, ayrık topoloji ile donatılmış bir grup.^[4]

Tanım. Ayrık bir grup G dır-dir uygun sonlu bir katkı varsa ölçü (ortalama olarak da adlandırılır) - her bir alt kümeye atayan bir işlev G 0 ile 1 arasında bir sayı — öyle ki

1. Ölçü bir olasılık ölçüsü: tüm grubun ölçüsü G 1'dir.
2. Ölçü sonlu katkı: sonlu sayıda ayrık alt kümesi verildiğinde Gsetlerin birliğinin ölçüsü, ölçülerin toplamıdır.
3. Ölçü solda değişmeyen: bir alt küme verildiğinde Bir ve bir element g nın-nin Gölçüsü Bir ölçüsüne eşittir gA. (gA elemanlar kümesini belirtir ga her eleman için a içinde Bir. Yani, her bir unsur Bir tarafından solda çevrilmiştirg.)

Bu tanım şu şekilde özetlenebilir: G Sonlu-toplamalı bir sol-değişmez olasılık ölçüsüne sahipse uygundur. Bir alt küme verildiğinde Bir nın-nin GÖlçü, şu soruyu yanıtlıyor olarak düşünülebilir: rastgele bir öğenin G içinde Bir?

Şu bir gerçektir ki bu tanım, tanımına denktir.L^∞(G).

Μ ölçüsüne sahip olmak G sınırlı fonksiyonların entegrasyonunu tanımlamamıza izin verirG. Sınırlı bir işlev verildiğinde f : G → R, integral

${ displaystyle int _ {G} f , d mu}$

olduğu gibi tanımlanır Lebesgue entegrasyonu. (Ölçümüz sadece sonlu toplamsal olduğundan, Lebesgue integralinin bazı özelliklerinin burada başarısız olduğuna dikkat edin.)

Bir grubun sol-değişmez bir ölçüsü varsa, otomatik olarak iki-değişmez bir ölçüye sahip olur. Solda değişmeyen bir ölçü μ verildiğinde, μ fonksiyonu⁻(Bir) = μ (Bir⁻¹) sağa değişmeyen bir ölçüdür. Bu ikisini birleştirmek, iki değişmez bir ölçü verir:

${ displaystyle nu (A) = int _ {g içinde G} mu sol (Ag ^ {- 1} sağ) , d mu ^ {-}.}$

Karşılaşılabilirlik için eşdeğer koşullar, sayılabilir ayrık bir grup Γ durumunda da daha basit hale gelir. Böyle bir grup için aşağıdaki koşullar eşdeğerdir:^[5]

• Γ uygundur.
• Eğer Γ bir (ayrılabilir) Banach uzayında izometrilerle hareket ediyorsa E, zayıf kapalı bir dışbükey alt küme bırakarak C kapalı birim topunun E* değişmez, sonra Γ sabit bir noktaya sahiptir C.
• ℓ üzerinde solda değişmeyen norm-sürekli işlevsel μ vardır^∞(Γ) ile μ (1) = 1 (bu, seçim aksiyomu ).
• Solda değişmeyen bir var durum μ herhangi bir sol değişmeyen ayrılabilir ünital üzerinde C * alt cebir / ℓ^∞(Γ).
• Bir dizi olasılık ölçüsü vardır μ_n üzerinde Γ öyle ki ||g · Μ_n - μ_n||₁ her biri için 0 eğilimindedir g Γ (M.M. Günü) olarak.
• Birim vektörler var x_n ℓ içinde²(Γ) öyle ki ||g · x_n − x_n||₂ her biri için 0 eğilimindedir g Γ (J. Dixmier).
• Sonlu alt kümeler var S_n arasında Γ öyle ki |g · S_n Δ S_n| / |S_n| her biri için 0 eğilimindedir g Γ (Følner) olarak.
• Μ, Γ üreten destek ile Γ üzerinde simetrik bir olasılık ölçüsü ise, μ ile evrişim, ℓ üzerinde norm 1 işlecini tanımlar.²(Γ) (Kesten).
• Eğer Γ bir (ayrılabilir) Banach uzayında izometrilerle hareket ediyorsa E ve f ℓ içinde^∞(Γ, E*) sınırlı bir 1-eş döngüdür, yani f(gh) = f(g) + g·f(h), sonra f 1 ortak sınırdır, yani f(g) = g· Φ - φ bazıları için φ E* (B.E. Johnson).
• indirgenmiş grup C * -algebra (görmek indirgenmiş grup C * -algebra C_r*(G) ) dır-dir nükleer.
• indirgenmiş grup C * -algebra kuasidiagonaldir (J. Rosenberg, A. Tikuisis, S. White, W. Winter).
• von Neumann grubu cebiri (görmek gruplarla ilişkili von Neumann cebirleri ) / Γ hiperfinite (A. Connes).

A. Connes'in ayrıca herhangi bir bağlı yerel kompakt grubun von Neumann grubu cebirinin hiperfinite, bu nedenle son koşul artık bağlı gruplar durumunda geçerli değildir.

Amenability ile ilgilidir spektral teori bazı operatörlerin. Örneğin, kapalı bir Riemann manifoldunun temel grubu, ancak ve ancak spektrumun alt kısmı Laplacian üzerinde L2 alanı Manifoldun evrensel kapağı 0'dır.^[6]

Özellikleri

• Sorumlu bir grubun her (kapalı) alt grubu uygundur.
• Uygun bir grubun her bölümü uygundur.
• Bir grup uzantısı Sorumlu bir grup tarafından uygun bir grubun yeniden kabul edilebilir olması. Özellikle, sonlu direkt ürün Sonsuz ürünlerin olması gerekmese de, uygun grupların% 'si uygundur.
• Sorumlu grupların doğrudan sınırları uygundur. Özellikle, bir grup, uygun alt grupların yönlendirilmiş bir birleşimi olarak yazılabiliyorsa, o zaman uygundur.
• Uygun gruplar birleştirilebilir; sohbet açık bir sorundur.
• Sayılabilir ayrık uygun gruplar, Ornstein izomorfizm teoremi.^[7][8]

Örnekler

• Sonlu gruplar uygundur. Kullan sayma ölçüsü ayrık tanım ile. Daha genel olarak, kompakt gruplar uygundur. Haar ölçüsü değişmez bir ortalamadır (toplam ölçü 1 alan benzersiz).
• Grubu tamsayılar uygundur (sonsuzluğa eğilimli uzunluk aralıkları dizisi bir Følner dizisidir). Grup üzerinde vardiya-değişmez, sonlu toplamsal olasılık ölçüsünün varlığı Z ayrıca kolayca takip eder Hahn-Banach teoremi Bu taraftan. İzin Vermek S üzerinde vardiya operatörü olun sıra alanı ℓ^∞(Z), tarafından tanımlanan (Sx)_ben = x_ben+1 hepsi için x ∈ ℓ^∞(Z) ve izin ver sen ∈ ℓ^∞(Z) sabit sıra olmak sen_ben = 1 hepsi için ben ∈ Z. Herhangi bir öğe y ∈ Y: = aralık (S − ben) 1'den büyük veya 1'e eşit bir mesafeye sahiptir sen (aksi takdirde y_ben = x_{i + 1} - x_ben pozitiftir ve sıfırdan uzaklaşır, dolayısıyla x_ben sınırlanamaz). Bu, alt uzayda iyi tanımlanmış bir norm-bir doğrusal form olduğunu gösterir. Rsen+ Y alma tu + y -e t. Hahn-Banach teoremine göre, ikincisi, ℓ üzerinde bir norm-bir doğrusal genişlemeyi kabul eder.^∞(Z), bu yapı gereği bir vardiya-değişmez sonlu toplamsal olasılık ölçüsüdür. Z.
• Yerel olarak kompakt bir gruptaki her bir eşlenik sınıfının kompakt bir kapanışı varsa, grup uygundur. Bu özelliğe sahip grupların örnekleri, kompakt grupları, yerel olarak kompakt değişmeli grupları ve sonlu eşlenik sınıflarına sahip ayrık grupları içerir.^[9]
• Yukarıdaki doğrudan limit özelliğine göre, bir grup, tümünün sonlu oluşturulmuş alt gruplar vardır. Yani, yerel olarak uygun gruplar uygundur.
  • Tarafından sonlu üretilmiş değişmeli grupların temel teoremi bunu takip eder değişmeli gruplar uygundur.
• Yukarıdaki uzatma özelliğinden, bir grubun sonlu bir değeri varsa uygun olduğu sonucu çıkar. indeks uygun alt grup. Yani, neredeyse uygun gruplar uygundur.
• Dahası, hepsinin çözülebilir gruplar uygundur.

Yukarıdaki tüm örnekler temel uygun. Aşağıdaki birinci sınıf örnekler, grupların varlığı sayesinde temel olmayan uygun örnekleri sergilemek için kullanılabilir. orta büyüme.

• Sonlu oluşturulmuş gruplar alt üst büyüme uygundur. Uygun bir top alt dizisi bir Følner dizisi sağlayacaktır.^[10]

• Sonlu oluşturulmuş sonsuz basit gruplar temel uygun grupları oluşturmak için kullanılan önyükleme yapıları ile elde edilemez. Juschenko nedeniyle uygun olan bu kadar basit gruplar olduğu için ve Monod,^[11] bu yine temel olmayan uygun örnekler sağlar.

Örnek olmayanlar

Sayılabilir bir ayrık grup bir (değişmeli olmayan) içeriyorsa Bedava iki jeneratördeki alt grup, o zaman uygun değil. Bu ifadenin tersi sözde von Neumann varsayımı Olshanskii tarafından 1980 yılında kendi Tarski canavarları. Adyan daha sonra bunun özgür olduğunu gösterdi Burnside grupları kabul edilemez: çünkü onlar periyodik, iki jeneratörde serbest grubu içeremezler. Bu gruplar sonlu olarak oluşturulur, ancak sonlu olarak sunulmaz. Ancak 2002'de Sapir ve Olshanskii bulundu sonlu sunulmuş karşı örnekler: uygun olmayan sonlu sunulan gruplar tamsayılar bölümüyle periyodik normal bir alt grubu olan.^[12]

Sonlu olarak oluşturulmuş doğrusal gruplar Ancak von Neumann varsayımı, Göğüs alternatifi:^[13] her alt grubu GL(n,k) ile k bir alan ya normal çözülebilir bir sonlu indis alt grubuna sahiptir (ve bu nedenle uygundur) ya da iki üretici üzerindeki serbest grubu içerir. olmasına rağmen Göğüsler 'kanıt kullanıldı cebirsel geometri Guivarc'h daha sonra aşağıdakilere dayanan analitik bir kanıt buldu: V. Oseledets ' çarpımsal ergodik teorem.^[14] Göğüsler alternatifinin analogları, diğer birçok grup sınıfı için kanıtlanmıştır. temel gruplar 2 boyutlu basit kompleksler nın-nin pozitif olmayan eğrilik.^[15]

Ayrıca bakınız

• Düzgün sınırlı temsil
• Kazhdan'ın mülkü (T)
• Von Neumann varsayımı

Notlar

Referanslar

Bu makale, Amenable grubundan materyalleri içermektedir. PlanetMath altında lisanslı olan Creative Commons Atıf / Benzer Paylaşım Lisansı.

• Brooks, Robert (1981), "Laplacianın temel grubu ve spektrumu", Yorum Yap. Matematik. Helv., 56: 581–598, doi:10.1007 / bf02566228
• Dixmier, Jacques (1977), C * -algebras (Francis Jellett tarafından Fransızcadan çevrilmiştir), Kuzey Hollanda Matematik Kitaplığı, 15, Kuzey-Hollanda
• Greenleaf, F.P. (1969), Topolojik Gruplarda Değişmez Ortalamalar ve Uygulamaları, Van Nostrand Reinhold
• Juschenko, Kate; Monod, Nicolas (2013), "Cantor sistemleri, parçalı çeviriler ve basit uygun gruplar", Matematik Yıllıkları, 178 (2): 775–787, arXiv:1204.2132, doi:10.4007 / yıllıklar.2013.178.2.7
• Leptin, H. (1968), "Zur harmonischen Analyze klassenkompakter Gruppen", İcat etmek. Matematik., 5 (4): 249–254, Bibcode:1968Mat ... 5..249L, doi:10.1007 / bf01389775
• İskele, Jean-Paul (1984), Uygun yerel olarak kompakt gruplar, Saf ve Uygulamalı Matematik, Wiley, Zbl  0621.43001
• Runde, V. (2002), Amenability üzerine DerslerMatematik Ders Notları, 1774Springer, ISBN  9783540428527
• Sunada, Toshikazu (1989), "Temel grupların üniter temsilleri ve çarpık Laplacians spektrumu", Topoloji, 28 (2): 125–132, doi:10.1016/0040-9383(89)90015-3
• Alıraki, M. (2001), Operatör Cebirleri Teorisi ISpringer, ISBN  9783540422488
• Alıraki, M. (2002), Operatör Cebirleri Teorisi IISpringer, ISBN  9783540429142
• Alıraki, M. (2013), Operatör Cebirleri Teorisi IIISpringer, ISBN  9783662104538
• Valette, Alain (1998), "Godement'ın şefkatle ilgili nitelendirmesi üzerine" (PDF), Boğa. Austral. Matematik. Soc., 57: 153–158, doi:10.1017 / s0004972700031506
• von Neumann, J (1929), "Zur allgemeinen Theorie des Maßes" (PDF), Fon, sermaye. Matematik., 13 (1): 73–111, doi:10.4064 / fm-13-1-73-116

Dış bağlantılar

• Kabul edilebilirlik üzerine bazı notlar tarafından Terry Tao