Sınır düğüm yöntemi - Boundary knot method

Sayısal matematikte, sınır düğüm yöntemi (BKM) alternatif bir sınır tipi ağ içermeyen mesafe fonksiyonu sıralama şeması olarak önerilmiştir.

Son yıllarda, standartta bir ağın inşasından bu yana, ağ içermeyen sayısal PDE tekniklerinde bir araştırma patlamasına tanık olunmuştur. sonlu eleman yöntemi ve sınır öğesi yöntemi özellikle hareketli sınır ve daha yüksek boyutlu problemler için önemsiz değildir. Sınır düğüm yöntemi, diğer yöntemlerden farklıdır. temel çözümler, gibi sınır öğesi yöntemi, temel çözüm yöntemi ve tekil sınır yöntemi çünkü ilki, tekilliği iyileştirmek için özel teknikler gerektirmez. BKM gerçekten ağsız, spektral yakınsak (sayısal gözlemler), simetrik (kendi kendine eşlenik PDE'ler), entegrasyon içermez ve öğrenmesi ve uygulaması kolaydır. Yöntem, Helmholtz, difüzyon, konveksiyon-difüzyon ve Possion denklemlerinde çok düzensiz 2D ve 3D alanlarla başarıyla test edilmiştir.

Açıklama

BKM temelde mesafe fonksiyonu, tekil olmayan genel çözüm ve ikili karşılıklılık yönteminin (DRM) bir kombinasyonudur. Mesafe fonksiyonu, DRM aracılığıyla homojen olmayan terimleri yaklaştırmak için BKM'de kullanılırken, kısmi diferansiyel denklemin tekil olmayan genel çözümü, homojen çözelti için yalnızca sınır formülasyonuna yol açar. Tekil temel çözüm olmadan BKM, temel çözümler yöntemindeki tartışmalı yapay sınırı ortadan kaldırır. Bazı ön sayısal deneyler, BKM'nin çeşitli doğrusal ve doğrusal olmayan problemler için nispeten az sayıda düğümle mükemmel sonuçlar üretebileceğini göstermektedir.

Formülasyon

Aşağıdaki sorunları düşünün,

(1) ${ Displaystyle Lu = f sol (x, y sağ), sol (x, y sağ) Omega'da}$

(2) ${ displaystyle u = g sol (x, y sağ), sol (x, y sağ) in kısmi Omega _ {D}}$

(3) ${ displaystyle { frac { kısmi u} { kısmi n}} = h sol (x, y sağ), h sol (x, y sağ) in kısmi Omega _ {N }}$

nerede ${ displaystyle L}$ diferansiyel operatördür, ${ displaystyle Omega}$ hesaplama alanını temsil eder, ${ displaystyle kısmi Omega _ {D}}$ ve ${ displaystyle kısmi Omega _ {N}}$ sırasıyla Dirichlet ve Neumann sınırlarını ifade eder, memnun ${ displaystyle kısmi Omega _ {D} fincan kısmi Omega _ {N} = kısmi Omega}$ ve ${ displaystyle kısmi Omega _ {D} cap kısmi Omega _ {N} = varnothing}$BKM, operatörün tekil olmayan genel çözümünü kullanır. ${ displaystyle L}$ sayısal çözüme aşağıdaki gibi yaklaşmak,

(4) ${ displaystyle u ^ {*} sol (x, y sağ) = toplam sınırları _ {i = 1} ^ {N} alfa _ {i} phi sol (r_ {i} sağ) }$

nerede ${ displaystyle r_ {i} = sol | sol (x, y sağ) - sol (x_ {i}, y_ {i} sağ) sağ | _ {2}}$ Öklid mesafesini gösterir, ${ displaystyle phi sol ( cdot sağ)}$ genel çözüm tatmin oldu mu

(5)${ displaystyle L phi = 0}$

Sınır koşullarını (2) ve (3) sağlamak için sıralama tekniğini kullanarak,

(6)${ displaystyle { start {align} & g left (x_ {k}, y_ {k} right) = sum limits _ {i = 1} ^ {N} alpha _ {i} phi sol (r_ {i} right), qquad k = 1, ldots, m_ {1} & h left (x_ {k}, y_ {k} right) = sum limits _ {i = 1 } ^ {N} alpha _ {i} { frac { kısmi phi left (r_ {i} sağ)} { kısmi n}}, qquad k = m_ {1} +1, ldots , m uç {hizalı}}}$

nerede ${ displaystyle sol (x_ {k}, y_ {k} sağ) | _ {k = 1} ^ {m_ {1}}}$ ve ${ displaystyle sol (x_ {k}, y_ {k} sağ) | _ {k = m_ {1} +1} ^ {m}}$ Sırasıyla Dirichlet sınırında ve Neumann sınırında bulunan sıralama noktalarını gösterir. Bilinmeyen katsayılar ${ displaystyle alpha _ {i}}$ yukarıdaki Denklem ile benzersiz bir şekilde belirlenebilir. (6). Daha sonra hesaplama alanının herhangi bir yerindeki BKM çözümü, formülasyon (4) ile değerlendirilebilir.

Tarih ve son gelişmeler

Uzun zamandır not edilmiştir sınır öğesi yöntemi (BEM) alternatif bir yöntemdir sonlu eleman yöntemi (FEM) ve sonlu hacim yöntemi (FVM) sonsuz alan, ince duvarlı yapılar için ve ters problemler Boyutsal indirgenebilirliği sayesinde. Bununla birlikte, BEM'in ana darboğazları, tekil temel çözümün entegrasyonunu değerlendirmek ve yüzey ağı veya yeniden ağ oluşturmak için hesaplama açısından pahalıdır. Temel çözüm yöntemi (MFS)^[1] son on yılda bu dezavantajları hafifletmek ve artan ilgi görmek için ortaya çıktı. MFS entegrasyonsuz, spektral yakınsama ve ağ içermeyen bir sistemdir.

Adından da anlaşılacağı gibi, yönetim denklemlerinin temel çözümü, MFS'de temel fonksiyon olarak kullanılır. Temel çözümün tekilliğinden kaçınmak için, fiziksel alanın dışındaki yapay sınır gereklidir ve bu tür hayali sınırlar hesaplama istikrarsızlığına neden olabileceğinden, MFS'nin geniş kullanımı için büyük bir darboğaz olmuştur. BKM, ağ ve yapay sınır kullanmadan bir tür sınır tipi ağ içermeyen yöntem olarak sınıflandırılır.

BKM o zamandan beri geniş çapta test edilmiştir. İçinde,^[2] BKM, Laplace denklemini, Helmholtz Denklemini ve değişken parametreli Helmholtz denklemlerini çözmek için kullanılır; içinde^[3] Fasshauer'in Hermite RBF interpolasyonuna benzer şekilde, karışık sınır koşullarının varlığında simetrik bir BKM şeması önerilmektedir; içinde,^[4] Homojen Helmholtz, modifiye Helmholtz ve konveksiyon-difüzyon problemlerinin analizinde BKM'nin yakınsaması üzerine sayısal araştırmalar yapılmıştır; içinde^[5] BKM, iki ve üç boyutlu Helmholtz'un karmaşık geometrisi ve konveksiyon-difüzyon problemleriyle uğraşmak için kullanılır; içinde^[6] karışık tipte sınır koşulları altında membran titreşimi simetrik sınır düğüm yöntemi ile incelenmiştir; içinde^[7] BKM bazı ters Helmholtz problemlerine uygulanır; içinde^[8] BKM, Poisson denklemlerini çözer; içinde^[9] BKM, Cauchy ters homojen olmayan Helmholtz denklemlerini hesaplar; içinde^[10] BKM anizotropik problemleri jeodezik mesafe aracılığıyla simüle eder; içinde^[11][12] koşul numarası, etkin durum numarası ve düzenlileştirmeler arasındaki ilişkiler araştırılır; içinde^[13] doğrusal olmayan fonksiyonel olarak derecelendirilmiş malzemede ısı iletimi BKM tarafından incelenir; içinde^[14] BKM ayrıca doğrusal olmayan Eikonal denklemini çözmek için kullanılır.

Ayrıca bakınız

• Temel çözüm yöntemi
• Düzenli ağ içermeyen yöntem
• Sınır parçacık yöntemi
• Tekil sınır yöntemi

Referanslar

İlgili web sitesi

• Sınır düğüm yöntemi
• Örnek Matlab kodları ve geometrik konfigürasyonlar