Eşdoğrusallık - Collinearity

İçinde geometri, doğrusallık bir dizi nokta, tek bir noktaya yalan söylemelerinin özelliğidir. hat.^[1] Bu özelliğe sahip bir dizi nokta olduğu söyleniyor doğrusal (bazen şu şekilde yazılır eşdoğrusal^[2]). Daha genel olarak, terim hizalanmış nesneler, yani "bir satırda" veya "arka arkaya" olan şeyler için kullanılmıştır.

Bir çizgi üzerindeki noktalar

Herhangi bir geometride, bir çizgi üzerindeki nokta kümesinin şöyle olduğu söylenir doğrusal. İçinde Öklid geometrisi bu ilişki sezgisel olarak "düz bir çizgi" üzerinde üst üste yatan noktalarla görselleştirilir. Bununla birlikte, çoğu geometride (Öklid dahil) bir hat tipik olarak bir ilkel (tanımsız) nesne türü, bu nedenle bu tür görselleştirmeler mutlaka uygun olmayacaktır. Bir model Çünkü geometri, noktaların, çizgilerin ve diğer nesne türlerinin birbiriyle nasıl ilişkili olduğuna dair bir yorum sunar ve doğrusallık gibi bir kavram bu model bağlamında yorumlanmalıdır. Örneğin küresel geometri, standart modelde çizgilerin bir kürenin büyük daireleriyle temsil edildiği yerde, aynı büyük daire üzerinde eşdoğrusal nokta kümeleri bulunur. Bu tür noktalar Öklid anlamında "düz bir çizgi" üzerinde yer almaz ve öyle olduğu düşünülmez. arka arkaya.

Çizgileri çizgilere gönderen bir geometrinin kendisine eşlenmesine sıralama; doğrusallık özelliğini korur. doğrusal haritalar (veya doğrusal fonksiyonlar) nın-nin vektör uzayları, geometrik haritalar olarak görüntülenen, çizgileri çizgilere eşleyin; yani, eşdoğrusal nokta kümelerini eşdoğrusal nokta kümelerine eşlerler ve bu yüzden, eşdoğrusal nokta kümeleridir. İçinde projektif geometri bu doğrusal eşlemelere homografiler ve sadece bir tür kolinasyondur.

Öklid geometrisinde örnekler

üçgenler

Herhangi bir üçgende aşağıdaki nokta kümeleri eşdoğrusaldır:

diklik merkezi, çevreleyen, centroid, Exeter noktası, de Longchamps noktası ve merkezi dokuz noktalı daire eşdoğrusaldır, tümü Euler hattı.
De Longchamps noktasında ayrıca diğer doğrular.
Herhangi bir tepe noktası, karşı tarafın teğeti ile bir çember, ve Nagel noktası a denilen bir çizgide eşdoğrusal ayırıcı üçgenin.
Herhangi bir kenarın orta noktası, üçgenin sınırı boyunca her iki yönde de eşit uzaklıkta olan nokta (yani bu iki nokta çevreyi ikiye bölmek ), ve Spieker dairesinin merkezi a denilen bir çizgide aynı çizgide balta üçgenin. ( Spieker daire ... incircle of orta üçgen, ve onun merkezi ... kütle merkezi of çevre üçgenin.)
Herhangi bir tepe noktası, karşı tarafın incircle ile teğeti ve Gergonne noktası doğrudur.
Herhangi bir noktadan Çevrel çember üçgenin üç geniş kenarının her birindeki en yakın noktalar eşdoğrusaldır. Simson hattı çember üzerindeki noktanın.
Ayaklarını birleştiren çizgiler Rakımlar zıt tarafları eşdoğrusal noktalarda kesişir.^[3]^{:s. 1999}
Bir üçgenin merkezinde orta nokta rakım ve ilgili tarafın temas noktası ile çember bu tarafa göre eşdoğrusaldır.^[4]^{:s. 120, # 78}
Menelaus teoremi üç nokta olduğunu belirtir ${ displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}}$ yanlarda (bazıları Genişletilmiş ) köşeleri zıt bir üçgenin ${ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}}$ Sırasıyla eşdoğrusaldır, ancak ve yalnızca aşağıdaki segment uzunluklarının ürünleri eşitse:^[3]^{:s. 147}

{ displaystyle P_ {1} A_ {2} cdot P_ {2} A_ {3} cdot P_ {3} A_ {1} = P_ {1} A_ {3} cdot P_ {2} A_ {1} cdot P_ {3} A_ {2}.}

Eğim merkezi, ağırlık merkezi ve Spieker dairesinin merkezi eşdoğrusaldır.
Çevreleyen Brocard orta noktası, ve Lemoine noktası bir üçgenin çizgisi doğrudur.^[5]
İki Dikey çizgiler kesişen diklik merkezi bir üçgenin her biri üçgenin her biriyle kesişir. genişletilmiş taraflar. Bu kesişme noktalarının üç tarafındaki orta noktalar, Droz-Farny hattı.

Dörtgenler

Dışbükey dörtgen ABCD karşı tarafları kesişen E ve F, orta noktalar nın-nin AC, BD, ve EF eşdoğrusaldır ve aralarındaki çizgi denir Newton hattı (bazen olarak bilinir Newton-Gauss hattı^{[kaynak belirtilmeli ]}). Dörtgen bir teğetsel dörtgen, o zaman onun teşvikçisi de bu çizgide yatıyor.^[6]
Dışbükey bir dörtgende yarı orto-merkez H, "alan merkezi" Gve quasicircumcenter Ö bu sırayla aynı doğrultudadır ve HG = 2GİT.^[7] (Görmek Dörtgen # Dışbükey dörtgen içinde dikkat çekici noktalar ve çizgiler.)

A'nın diğer doğruları teğetsel dörtgen verilir Teğetsel dörtgen # Eşdoğrusal noktalar.
İçinde döngüsel dörtgen, çevreleyen, köşe ağırlık merkezi (iki bimedyenin kesişimi) ve merkez üssü doğrudur.^[8]
Döngüsel bir dörtgende, alan merkezi, köşe ağırlık merkezi ve köşegenlerin kesişimi eşdoğrusaldır.^[9]
İçinde teğet yamuk, teğet incircle iki taban, eğim ile aynı doğrultudadır.
Teğetsel bir yamukta, bacakların orta noktaları incenter ile aynı doğrultudadır.

Altıgenler

Pascal teoremi (Hexagrammum Mysticum Teoremi olarak da bilinir), bir üzerinde rastgele altı nokta seçildiğinde konik kesit (yani elips, parabol veya hiperbol ) ve herhangi bir sırayla çizgi parçalarıyla birleştirilerek bir altıgen, daha sonra altıgenin üç çift zıt kenarı (gerekirse uzatılır), altıgenin Pascal çizgisi adı verilen düz bir çizgi üzerinde uzanan üç noktada buluşur. Sohbet de doğrudur: Braikenridge-Maclaurin teoremi bir altıgenin zıt kenarlarından geçen üç çizginin üç kesişme noktasının bir çizgi üzerinde olması durumunda, altıgenin altı köşesinin bir konik üzerinde uzandığını ve aşağıdaki gibi dejenere olabileceğini belirtir. Pappus'un altıgen teoremi.

Konik bölümler

Tarafından Monge teoremi, herhangi üçü için daireler hiçbiri tamamen diğerlerinden birinin içinde olmayan bir düzlemde, her biri dairelerin ikisine dıştan teğet olan üç çizgi çiftinin üç kesişme noktası eşdoğrusaldır.
Bir elips, merkez, iki odaklar ve ikisi köşeler en küçüğü ile Eğri yarıçapı eşdoğrusaldır ve merkez ile en büyük eğrilik yarıçapına sahip iki köşe eşdoğrusaldır.
İçinde hiperbol, merkez, iki odak ve iki köşe eşdoğrusaldır.

Koniler

kütle merkezi bir konik katı Düzgün yoğunluk, tabanın merkezinden tepe noktasına kadar olan yolun dörtte biri, ikisini birleştiren düz çizgi üzerindedir.

Tetrahedronlar

Bir tetrahedronun ağırlık merkezi, onun arasındaki orta noktadır. Monge noktası ve çevreleyen. Bu noktalar, Euler hattı benzer dört yüzlü Euler hattı bir üçgenin. Merkezi tetrahedron'un on iki noktalı küresi Euler hattında da yatıyor.

Cebir

Koordinatları verilen noktaların doğrusallığı

İçinde koordinat geometrisi, içinde n-boyutlu uzay, üç veya daha fazla farklı nokta kümesi eşdoğrusaldır, ancak ve ancak, bu vektörlerin koordinatlarının matrisi, sıra 1 veya daha az. Örneğin, üç nokta verildiğinde X = (x₁, x₂, ... , x_n), Y = (y₁, y₂, ... , y_n), ve Z = (z₁, z₂, ... , z_n), Eğer matris

{ displaystyle { begin {bmatrix} x_ {1} & x_ {2} & dots & x_ {n} y_ {1} & y_ {2} & dots & y_ {n} z_ {1} & z_ {2 } & noktalar ve z_ {n} end {bmatrix}}}

-den sıra 1 veya daha az, noktalar eşdoğrusaldır.

Eşdeğer olarak, üç noktanın her alt kümesi için X = (x₁, x₂, ... , x_n), Y = (y₁, y₂, ... , y_n), ve Z = (z₁, z₂, ... , z_n), Eğer matris

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & x_ {1} & x_ {2} & dots & x_ {n} 1 & y_ {1} & y_ {2} & dots & y_ {n} 1 & z_ {1} & z_ {2 } & noktalar ve z_ {n} end {bmatrix}}}

-den sıra 2 veya daha az, noktalar eşdoğrusaldır. Özellikle düzlemdeki üç nokta için (n = 2), yukarıdaki matris karedir ve noktalar eşdoğrusaldır ancak ve ancak belirleyici sıfırdır; çünkü 3 × 3 determinantı artı veya eksi iki katıdır bir üçgenin alanı bu üç noktanın tepe noktası olması durumunda, bu, üç noktanın eşdoğrusal olduğu ifadesine eşdeğerdir, ancak ve ancak bu noktalara sahip üçgenin köşeler olarak sıfır alanı vardır.

İkili mesafeleri verilen noktaların doğrusallığı

En az üç farklı noktadan oluşan bir set denir Düz yani, tüm noktaların eşdoğrusal olduğu anlamına gelir, ancak ve ancak bu noktalardan her üçü için Bir, B, ve Caşağıdaki belirleyici bir Cayley-Menger belirleyicisi sıfırdır (ile d(AB) arasındaki mesafe anlamına gelir Bir ve B, vb.):

{ displaystyle det { begin {bmatrix} 0 & d (AB) ^ {2} & d (AC) ^ {2} & 1 d (AB) ^ {2} & 0 & d (BC) ^ {2} & 1 d (AC) ^ {2} & d (BC) ^ {2} & 0 & 1 1 & 1 & 1 & 0 end {bmatrix}} = 0.}

Bu belirleyici, Heron formülü, kenar uzunlukları olan bir üçgenin alanının karesinin −16 katına eşittir d(AB), d(M.Ö), ve d(AC); bu nedenle, bu determinantın sıfıra eşit olup olmadığını kontrol etmek, köşeli üçgenin Bir, B, ve C sıfır alana sahiptir (bu nedenle köşeler eşdoğrusaldır).

Aynı şekilde, en az üç farklı noktadan oluşan bir dizi, bu noktaların her üçü için ancak ve ancak Bir, B, ve C ile d(AC) her birinden büyük veya eşit d(AB) ve d(M.Ö), üçgen eşitsizliği d(AC) ≤ d(AB) + d(M.Ö) eşitlikle tutar.

Sayı teorisi

İki numara m ve n değiller coprime —Yani, 1'den farklı bir ortak faktörü paylaşırlar — ancak ve ancak bir dikdörtgen üzerine çizilen bir dikdörtgen için kare kafes köşeleri (0, 0), (m, 0), (m, n) ve (0,n), en az bir iç nokta (0, 0) ve (m, n).

Eşzamanlılık (düzlem ikili)

Çeşitliliğinde düzlem geometrileri Aralarındaki ilişkiyi korurken "nokta" ve "çizgilerin" rollerini değiş tokuş etme fikrine düzlem ikiliği. Bir dizi eşdoğrusal nokta verildiğinde, düzlem ikiliği ile tümü ortak bir noktada buluşan bir dizi doğru elde ederiz. Bu çizgi dizisinin sahip olduğu özelliğe (ortak bir noktada buluşma) denir eşzamanlılıkve çizgiler olduğu söyleniyor eşzamanlı çizgiler. Bu nedenle, eşzamanlılık, eşdoğrusallığın düzlem ikili kavramıdır.

Doğrusallık grafiği

Verilen bir kısmi geometri P, iki noktanın en fazla bir çizgiyi belirlediği yerde, doğrusallık grafiği nın-nin P bir grafik kimin köşe noktaları P, iki köşenin olduğu komşu ancak ve ancak bir hat belirlerlerse P.

İstatistik ve ekonometride kullanım

İçinde İstatistik, doğrusallık ikisi arasındaki doğrusal bir ilişkiyi ifade eder açıklayıcı değişkenler. İki değişken mükemmel uyumlu ikisi arasında kesin bir doğrusal ilişki varsa, aralarındaki korelasyon 1 veya -1'e eşittir. Yani, ${ displaystyle X_ {1}}$ ve ${ displaystyle X_ {2}}$ parametreler varsa mükemmel bir şekilde doğrusaldır ${ displaystyle lambda _ {0}}$ ve ${ displaystyle lambda _ {1}}$ öyle ki, tüm gözlemler için ben, sahibiz

{ displaystyle X_ {2i} = lambda _ {0} + lambda _ {1} X_ {1i}.}

Bu, çeşitli gözlemlerin (X_1ben, X_2ben ) (X₁, X₂) düzlem, bu noktalar bu makalenin önceki bölümlerinde tanımlanan anlamda eşdoğrusaldır.

Mükemmel çoklu bağlantı bir durumu ifade eder k (k ≥ 2) a'daki açıklayıcı değişkenler çoklu regresyon modele göre mükemmel doğrusal olarak ilişkilidir.

{ displaystyle X_ {ki} = lambda _ {0} + lambda _ {1} X_ {1i} + lambda _ {2} X_ {2i} + dots + lambda _ {k-1} X_ { (k-1), i}}

tüm gözlemler için ben. Pratikte, bir veri kümesinde nadiren mükemmel çoklu bağlantıyla karşılaşıyoruz. Daha yaygın olarak, çoklu bağlantı sorunu, iki veya daha fazla bağımsız değişken arasında "güçlü bir doğrusal ilişki" olduğunda ortaya çıkar, yani

{ displaystyle X_ {ki} = lambda _ {0} + lambda _ {1} X_ {1i} + lambda _ {2} X_ {2i} + dots + lambda _ {k-1} X_ { (k-1), i} + varepsilon _ {i}}

varyans nerede ${ displaystyle varepsilon _ {i}}$ nispeten küçüktür.

Kavramı yanal doğrusallık bu geleneksel görüşü genişletir ve açıklayıcı ve ölçüt (yani açıklanmış) değişkenler arasındaki eşdoğrusallığı ifade eder.^[10]

Diğer alanlarda kullanım

Anten dizileri

Dört eşdoğrusal yönlü diziye sahip bir anten direği.

İçinde telekomünikasyon, bir eşdoğrusal (veya eş doğrusal) anten dizisi bir dizi nın-nin çift kutuplu antenler her birinin karşılık gelen elemanları olacak şekilde monte edilmiştir. anten paralel ve hizalıdır, yani ortak bir çizgi veya eksen boyunca yer alırlar.

Fotoğrafçılık

doğrusallık denklemleri kullanılan iki denklem kümesidir. fotogrametri ve bilgisayar stereo görüşü, ilişkilendirmek koordinatlar bir görüntüde (sensör ) düzlem (iki boyutlu) koordinatlara (üç boyutlu). Fotoğraf ortamında denklemler dikkate alınarak elde edilir. merkezi izdüşüm bir noktadan nesne içinden optik merkez of kamera görüntü (sensör) düzlemindeki görüntüye. Üç nokta, nesne noktası, görüntü noktası ve optik merkez her zaman eşdoğrusaldır. Bunu söylemenin bir başka yolu, nesne noktalarına görüntü noktalarıyla birleştiren çizgi parçalarının hepsinin optik merkezde eşzamanlı olmasıdır.^[11]

Ayrıca bakınız

Notlar

^ Konsept her geometride geçerlidir Dembowski (1968), sf. 26), ancak genellikle yalnızca belirli bir geometri tartışması içinde tanımlanır Coxeter (1969), sf. 178), Brannan, Esplen ve Grey (1998, sf. 106)
^ Colinear (Merriam-Webster sözlüğü)
^ ^a ^b Johnson, Roger A., İleri Öklid Geometrisi, Dover Yay., 2007 (orig. 1929).
^ Altshiller-Court, Nathan. Üniversite Geometrisi, Dover Yayınları, 1980.
^ Scott, J. A. "Üçgen geometride alan koordinatlarının kullanımına ilişkin bazı örnekler", Matematiksel Gazette 83, Kasım 1999, 472–477.
^ Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, IMO Özeti, Springer, 2006, s. 15.
^ Myakishev, Alexei (2006), "Dörtgene İlişkin İki Dikkate Değer Doğru" (PDF), Forum Geometricorum, 6: 289–295.
^ Honsberger, Ross (1995), "4.2 Döngüsel dörtgenler", Ondokuzuncu ve Yirminci Yüzyıl Öklid Geometrisinde Bölümler, Yeni Matematiksel Kütüphane, 37, Cambridge University Press, s. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
^ Bradley Christopher (2011), Döngüsel Dörtgen tarafından oluşturulan Üç Centroid (PDF)
^ Kock, N .; Lynn, G. S. (2012). "Yanal doğrusallık ve yanıltıcı sonuçlar varyans tabanlı SEM'de: Bir örnek ve öneriler" (PDF). Bilgi Sistemleri Derneği Dergisi. 13 (7): 546–580.
^ Bu denklemlere şu şekilde değinmek matematiksel olarak daha doğaldır: eşzamanlılık denklemleriancak fotogrametri literatürü bu terminolojiyi kullanmaz.

Referanslar

Brannan, David A .; Esplen, Matthew F .; Gri, Jeremy J. (1998), Geometri, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-59787-0
Coxeter, H.S.M. (1969), Geometriye Giriş, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50458-0
Peter Dembowski (1968), Sonlu geometriler, Ergebnisse der Mathematik ve ihrer Grenzgebiete, Grup 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, BAY 0233275

[1] Konsept her geometride geçerlidir Dembowski (1968), sf. 26), ancak genellikle yalnızca belirli bir geometri tartışması içinde tanımlanır Coxeter (1969), sf. 178), Brannan, Esplen ve Grey (1998, sf. 106)

[2] Colinear (Merriam-Webster sözlüğü)

[Johnson-3] Johnson, Roger A., İleri Öklid Geometrisi, Dover Yay., 2007 (orig. 1929).

[AC-4] Altshiller-Court, Nathan. Üniversite Geometrisi, Dover Yayınları, 1980.

[5] Scott, J. A. "Üçgen geometride alan koordinatlarının kullanımına ilişkin bazı örnekler", Matematiksel Gazette 83, Kasım 1999, 472–477.

[6] Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, IMO Özeti, Springer, 2006, s. 15.

[Myakishev-7] Myakishev, Alexei (2006), "Dörtgene İlişkin İki Dikkate Değer Doğru" (PDF), Forum Geometricorum, 6: 289–295.

[Honsberger-8] Honsberger, Ross (1995), "4.2 Döngüsel dörtgenler", Ondokuzuncu ve Yirminci Yüzyıl Öklid Geometrisinde Bölümler, Yeni Matematiksel Kütüphane, 37, Cambridge University Press, s. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0

[9] Bradley Christopher (2011), Döngüsel Dörtgen tarafından oluşturulan Üç Centroid (PDF)

[10] Kock, N .; Lynn, G. S. (2012). "Yanal doğrusallık ve yanıltıcı sonuçlar varyans tabanlı SEM'de: Bir örnek ve öneriler" (PDF). Bilgi Sistemleri Derneği Dergisi. 13 (7): 546–580.

[11] Bu denklemlere şu şekilde değinmek matematiksel olarak daha doğaldır: eşzamanlılık denklemleriancak fotogrametri literatürü bu terminolojiyi kullanmaz.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]