Dualite (projektif geometri) - Duality (projective geometry)

İçinde geometri çarpıcı bir özelliği projektif uçaklar ... simetri tarafından oynanan rollerin puan ve çizgiler tanımlarda ve teoremlerde ve (uçak ) ikilik bu kavramın resmileştirilmesidir. Dualite konusuna iki yaklaşım vardır, biri dil yoluyla (§ Dualite ilkesi ) ve diğeri, özel olarak daha işlevsel bir yaklaşım eşlemeler. Bunlar tamamen eşdeğerdir ve her iki tedavi de başlangıç ​​noktası olarak aksiyomatik söz konusu geometrilerin versiyonu. İşlevsel yaklaşımda, ilgili geometriler arasında bir harita vardır. ikilik. Böyle bir harita pek çok şekilde oluşturulabilir. Düzlem ikiliği kavramı, herhangi bir sonlu boyutlu uzaydaki ikililiğin ötesine kolayca uzanır. projektif geometri.

Dualite ilkesi

Bir projektif düzlem C aksiyomatik olarak bir insidans yapısı, bir küme cinsinden P nın-nin puan, bir set L nın-nin çizgiler, ve bir insidans ilişkisi ben bu, hangi noktaların hangi çizgilerde olduğunu belirler. Bu setler, bir düzlem ikili yapı.

"Noktalar" ve "çizgiler" in rolünü değiştirin

C = (P, L, BEN)

elde etmek için ikili yapı

C^∗ = (L, P, BEN^∗),

nerede ben^∗ ... ters ilişki nın-nin ben. C^∗ aynı zamanda projektif bir düzlemdir. çift ​​düzlem nın-nin C.

Eğer C ve C^∗ izomorfikse C denir öz-ikili. Projektif düzlemler PG (2, K) herhangi bir alan için (veya daha genel olarak, her alan için) bölme halkası (skewfield) çiftine izomorfik) K öz-ikili. Özellikle, sonlu düzenin Desarguezyen düzlemleri her zaman öz-ikilidir. Ancak, var Desarguezyen olmayan uçaklar Hall düzlemleri gibi self-dual olmayan ve bazıları, örneğin Hughes uçakları.

Yansıtmalı bir düzlemde, "nokta" ve "çizgi" sözcüklerini değiştirerek ve gerekli olan gramer ayarlamalarını yaparak, bu tür başka bir ifadeden elde edilen, aralarında noktalar, çizgiler ve görülme sıklığı içeren bir ifadeye, düzlem ikili deyimi ilk. "İki nokta benzersiz bir çizgide" nin düzlem ikili ifadesi "İki çizgi benzersiz bir noktada buluşuyor" dur. Bir ifadenin düzlem ikilisini oluşturmak, ikileme ifade.

Projektif düzlemde bir ifade doğruysa C, o zaman bu ifadenin düzlem duali ikili düzlemde doğru olmalıdır C^∗. Bu, ispattaki her bir ifadenin "in" C"ispatın karşılık gelen ifadesini verir" C^∗".

düzlem ikiliği ilkesi herhangi bir teoremi kendiliğinden ikili projektif düzlemde ikileştirmenin C geçerli başka bir teoremi üretir C.^[1]

Yukarıdaki kavramlar, "noktalar" ve "düzlemler" terimlerinin birbirinin yerine geçtiği (ve çizgiler doğru olarak kaldığı) uzay ikiliği hakkında konuşmak için genelleştirilebilir. Bu yol açar uzay ikiliği ilkesi.^[1]

Bu ilkeler, insidans ilişkisi için "simetrik" bir terim kullanmayı tercih etmek için iyi bir neden sağlar. Bu nedenle, "bir nokta bir doğru üzerinde yer alır" demek yerine, "bir nokta bir doğru ile olaydır" demelidir, çünkü ikincisini ikileştirmek yalnızca nokta ve çizgiyi değiştirmeyi içerir ("bir çizgi, bir noktayla olaydır").^[2]

Düzlem ikiliği ilkesinin geçerliliği, projektif düzlemin aksiyomatik tanımından kaynaklanır. Bu tanımın üç aksiyomu, bir yansıtmalı düzlemin ikiliğinin aynı zamanda bir yansıtmalı düzlem olduğunu ima eden öz-ikili ifadeler olacak şekilde yazılabilir. Bir projektif düzlemdeki gerçek ifadenin ikilisi, bu nedenle, ikili projektif düzlemde gerçek bir ifadedir ve bunun anlamı, kendiliğinden ikili düzlemler için, o düzlemdeki gerçek ifadenin ikilisinin de o düzlemde gerçek bir ifadedir.^[3]

Çift teoremler

Olarak gerçek yansıtmalı düzlem, PG (2, R), öz-çifttir, birbirinin ikilisi olan iyi bilinen sonuçların bir dizi çifti vardır. Bunlardan bazıları:

• Desargues teoremi ⇔ Desargues teoreminin tersi
• Pascal teoremi ⇔ Brianchon teoremi
• Menelaus teoremi ⇔ Cava teoremi

Çift konfigürasyonlar

Çift konfigürasyonlar

Yalnızca ifadeler değil, aynı zamanda nokta ve çizgi sistemleri de ikiye bölünebilir.

Bir dizi m puan ve n çizgiler denir (m_c, n_d) konfigürasyon Eğer c of n çizgiler her noktadan geçer ve d of m noktalar her satırda yer alır. İkili (m_c, n_d) konfigürasyon, bir (n_d, m_c) yapılandırma. Böylece, bir dörtgenin ikilisi, a (4₃, 6₂) dört nokta ve altı çizginin konfigürasyonu, bir dörtgendir, a (6₂, 4₃) altı nokta ve dört çizgi konfigürasyonu.^[4]

Bir çizgi üzerindeki tüm noktaların kümesi, a projektif aralık ikili bir kurşun kalem, bir noktadaki tüm çizgilerin kümesi.

Eşleştirme olarak dualite

Düzlem ikilemleri

Bir düzlem ikiliği bir haritadır projektif düzlem C = (P, L, BEN) onun için çift ​​düzlem C^∗ = (L, P, BEN^∗) (görmek § Dualite ilkesi yukarıda) koruyan olay. Yani bir düzlem ikiliği σ noktaları çizgilere ve çizgileri noktalara eşler (P^σ = L ve L^σ = P) öyle bir şekilde Q bir hatta m (ile gösterilir Q ben m) sonra Q ben m ⇔ m^σ ben^∗Q^σ. Bir izomorfizm olan bir düzlem ikiliği, ilişki.^[5] Bir korelasyonun varlığı, projektif düzlemin C dır-dir öz-ikili.

Projektif düzlem C bu tanımda bir Desarguezyen düzlem. Ancak, eğer öyleyse, C = PG (2, K) ile K a bölme halkası (skewfield), ardından bir dualite, aşağıda genel olarak tanımlandığı gibi projektif uzaylar, bir düzlem ikiliği verir C bu yukarıdaki tanımı karşılamaktadır.

Genel olarak yansıtmalı alanlarda

Bir ikilik δ bir projektif uzay bir permütasyon alt uzaylarından PG (n, K) (ayrıca belirtilir KPⁿ) ile K a alan (veya daha genel olarak bir çarpık alan (bölme halkası )) dahil etmeyi tersine çeviren,^[6] yani:

S ⊆ T ima eder S^δ ⊇ T^δ tüm alt alanlar için S, T nın-nin PG (n, K).^[7]

Sonuç olarak, bir dualite boyut nesnelerini değiştirir r boyut nesneleriyle n − 1 − r ( = eş boyut r + 1). Yani, yansıtmalı bir boyut alanında nnoktalar (boyut 0) karşılık gelir hiper düzlemler (eş boyut 1), iki noktayı (boyut 1) birleştiren çizgiler, iki hiper düzlemin (eş boyut 2) kesişimine karşılık gelir, vb.

Dualitelerin sınıflandırılması

çift V^∗ sonlu boyutlu (sağ) vektör uzayının V bir çarpık alanın üzerinde K üzerinde aynı boyutun (sağ) vektör uzayı olarak kabul edilebilir karşıt çarpık alan K^Ö. Dolayısıyla, yansıtmalı alanlar arasında dahil etme-tersine çevirme bir bijeksiyon vardır. PG (n, K) ve PG (n, K^Ö). Eğer K ve K^Ö izomorfikse o zaman bir ikilik var PG (n, K). Tersine, eğer PG (n, K) bir ikiliği kabul ediyor n > 1, sonra K ve K^Ö izomorfiktir.

İzin Vermek π ikiliği olmak PG (n, K) için n > 1. Eğer π arasındaki doğal izomorfizmden oluşur PG (n, K) ve PG (n, K^Ö), kompozisyon θ arasındaki bijeksiyonu koruyan bir olaydır PG (n, K) ve PG (n, K^Ö). Tarafından Projektif geometrinin temel teoremi θ tarafından indüklenir yarı doğrusal harita T: V → V^∗ ilişkili izomorfizm ile σ: K → K^Ö, bir anti-atomorfizm nın-nin K. Klasik literatürde π bir mütekabiliyet genel olarak ve eğer σ = id buna bir ilişki (ve K mutlaka bir alan ). Bazı yazarlar, doğal izomorfizmin rolünü bastırır ve θ bir ikilik.^[8] Bu yapıldığında, bir dualite, bir sıralama özel olarak ilişkili bir çift yansıtmalı uzay arasında ve karşılıklılık olarak adlandırılır. Bu sıralama bir projektivite o zaman buna korelasyon denir.

İzin Vermek T_w = T(w) belirtmek doğrusal işlevsel nın-nin V^∗ vektörle ilişkili w içinde V. Formu tanımlayın φ: V × V → K tarafından:

${ displaystyle varphi (v, w) = T_ {w} (v).}$

φ dejenere değil sesquilineer form eşlik eden antiautomorphism ile σ.

Herhangi bir ikiliği PG (n, K) için n > 1 alttaki vektör uzayında dejenere olmayan bir sesquilineer form (eşlik eden bir anti-atomorfizm ile) tarafından indüklenir ve tersine.

Homojen koordinat formülasyonu

Homojen koordinatlar dualitelerin cebirsel bir tanımını vermek için kullanılabilir. Bu tartışmayı basitleştirmek için şunu varsayacağız: K bir alan ama her şey aynı şekilde yapılabilir K çarpma işleminin bir sayı olması gerekmediği gerçeğine dikkat edildiği sürece çarpık bir alandır. değişmeli operasyon.

Noktaları PG (n, K) sıfırdan farklı vektörler olarak alınabilir (n + 1)-boyutlu vektör alanı bitmiş K, skaler bir faktörle farklılık gösteren iki vektörü tanımladığımız yer. Bunu ifade etmenin başka bir yolu da, nboyutlu yansıtmalı uzay 1 boyutlu vektördür alt uzaylar başlangıç ​​noktasından geçen çizgiler olarak görselleştirilebilir Kⁿ⁺¹.^[9] Ayrıca n- (vektör) boyutlu alt uzayları Kⁿ⁺¹ temsil etmek (n − 1) - (geometrik) boyutlu yansıtmalı hiper düzlemler nboşluk bitti Kyani PG (n, K).

Sıfır olmayan bir vektör sen = (sen₀, sen₁, ..., sen_n) içinde Kⁿ⁺¹ ayrıca bir (n − 1) - geometrik boyutlu alt uzay (hiper düzlem) H_sen, tarafından

H_sen = {(x₀, x₁, ..., x_n) : sen₀x₀ + ... + sen_nx_n = 0}.

Ne zaman bir vektör sen bu şekilde bir hiper düzlem tanımlamak için kullanılır. sen_H, kullanacağımız bir noktayı belirtiyorsa sen_P. Bunlar olarak anılırlar nokta koordinatları veya hiper düzlem koordinatları sırasıyla (önemli iki boyutlu durumda, hiper düzlem koordinatları denir çizgi koordinatları). Bazı yazarlar, bir vektörün nasıl yorumlanacağını, alt düzlem koordinatlarını yatay (satır) vektörler olarak yazarken, nokta koordinatları dikey (sütun) vektörler olarak yazarak ayırt ederler. Böylece, eğer sen sahip olacağımız bir sütun vektörü sen_P = sen süre sen_H = sen^T. Her zamanki gibi nokta ürün, H_sen = {x_P : sen_H ⋅ x_P = 0}. Dan beri K bir alandır, iç çarpım simetriktir, yani sen_H ⋅ x_P = sen₀x₀ + sen₁x₁ + ... + sen_nx_n = x₀sen₀ + x₁sen₁ + ... + x_nsen_n = x_H ⋅ sen_P.

Temel bir örnek

Basit bir karşılıklılık (aslında bir korelasyon) şu şekilde verilebilir: sen_P ↔ sen_H noktalar ve hiper düzlemler arasında. Bu, iki noktanın oluşturduğu çizgi ile bu tür iki hiper düzlemin kesişimi vb. Arasında bir karşılıklılığa kadar uzanır.

Özellikle, projektif düzlem, PG (2, K), ile K bir alan, şu şekilde verilen korelasyona sahibiz: homojen koordinatlar (a, b, c) ↔ denklemli çizgiler balta + tarafından + cz = 0. Projektif bir alanda, PG (3, K), bir korelasyon şu şekilde verilir: homojen koordinatlardaki noktalar (a, b, c, d) ↔ denklemli uçaklar balta + tarafından + cz + dw = 0. Bu korelasyon aynı zamanda iki nokta ile belirlenen bir çizginin haritasını çıkarır. (a₁, b₁, c₁, d₁) ve (a₂, b₂, c₂, d₂) iki düzlemin denklemlerle kesiştiği çizgiye a₁x + b₁y + c₁z + d₁w = 0 ve a₂x + b₂y + c₂z + d₂w = 0.

Bu korelasyon için ilişkili sesquilineer form şudur:

φ(sen, x) = sen_H ⋅ x_P = sen₀x₀ + sen₁x₁ + ... + sen_nx_n,

refakatçi antiautomorfizm nerede σ = id. Bu nedenle bir iki doğrusal form (Bunu not et K alan olmalıdır). Bu, aşağıdaki gibi matris biçiminde (standart temele göre) yazılabilir:

φ(sen, x) = sen_H G x_P,

nerede G ... (n + 1) × (n + 1) kimlik matrisi, konvansiyonu kullanarak sen_H bir satır vektörüdür ve x_P bir sütun vektörüdür.

Korelasyon şu şekilde verilir:

${ displaystyle pi ( mathbf {x} _ {P}) = (G mathbf {x} _ {P}) ^ { mathsf {T}} = ( mathbf {x} _ {P}) ^ { mathsf {T}} = mathbf {x} _ {H}.}$

Gerçek projektif düzlemde geometrik yorumlama

Bu korelasyon durumunda PG (2, R) kullanılarak geometrik olarak tanımlanabilir model of gerçek yansıtmalı düzlem "antipotlu birim küre"^[10] tanımlanmış "veya eşdeğer olarak, vektör uzayının orijini boyunca doğrular ve düzlemlerin modeli R³. Orijinden geçen herhangi bir çizgi ile, çizgiye dik (ortogonal) olan orijinden geçen benzersiz düzlemi ilişkilendirin. Modelde, bu çizgiler nokta ve düzlemler olarak kabul edildiğinde, projektif düzlemin çizgileri PG (2, R)bu ilişki, yansıtmalı düzlemin bir korelasyonu (aslında bir kutupluluk) haline gelir. Küre modeli, orijinden geçen doğruların ve düzlemlerin orijinde merkezlenmiş bir birim küre ile kesişmesiyle elde edilir. Çizgiler küre ile zıt noktalarda buluşur ve daha sonra projektif düzlemin bir noktasını elde etmek için tanımlanmalıdır ve düzlemler küre ile harika çevreler bunlar, yansıtmalı düzlemin çizgileridir.

Bu ilişkinin insidansı "koruduğu", en kolay şekilde çizgiler ve düzlemler modelinden görülebilir. Projektif düzlemde bir çizgi ile bir nokta olayı, modeldeki orijinden geçen bir düzlemde yatan orijinden geçen bir çizgiye karşılık gelir. İlişkilendirme uygulandığında düzlem, ilişkili olduğu düzleme dik olan başlangıç ​​noktasından geçen bir çizgi haline gelir. Bu görüntü çizgisi, başlangıç ​​noktasından geçen düzlemin her çizgisine, özellikle de orijinal çizgiye (projektif düzlemin noktası) diktir. Başlangıçtaki orijinal çizgiye dik olan tüm çizgiler, orijinal çizgiye ortogonal olan benzersiz düzlemde, yani ilişkilendirmenin altındaki görüntü düzleminde yer alır. Böylece, görüntü çizgisi görüntü düzleminde uzanır ve ilişki görülme sıklığını korur.

Matris formu

Yukarıdaki örnekte olduğu gibi, matrisler dualiteleri temsil etmek için kullanılabilir. İzin Vermek π ikiliği olmak PG (n, K) için n > 1 ve izin ver φ ilişkili sesquilineer form (tamamlayıcı antiautomorphism ile) σ) temelde (n + 1) boyutlu vektör uzayı V. Bir temel verildiğinde { e_ben } nın-nin V, bu formu şu şekilde temsil edebiliriz:

${ displaystyle varphi ( mathbf {u}, mathbf {x}) = mathbf {u} ^ { mathsf {T}} G ​​( mathbf {x} ^ { sigma}),}$

nerede G tekil değildir (n + 1) × (n + 1) matris bitti K ve vektörler sütun vektörleri olarak yazılır. Gösterim x^σ anti-atomorfizmin σ vektörün her koordinatına uygulanır x.

Şimdi dualiteyi nokta koordinatları cinsinden tanımlayın:

${ displaystyle pi ( mathbf {x}) = (G ( mathbf {x} ^ { sigma})) ^ { mathsf {T}}.}$

Polarite

Bir ikilik olan evrim (ikinci sıraya sahiptir) a polarite. Genel yansıtmalı uzayların kutupları ile düzlem dualitesinin biraz daha genel tanımından ortaya çıkan kutuplar arasında ayrım yapmak gerekir. Ayrıca bir durum söz konusu olduğunda daha kesin ifadeler vermek de mümkündür. sonlu geometri, bu nedenle sonlu projektif düzlemlerdeki sonuçları vurgulayacağız.

Genel projektif uzayların polariteleri

Eğer π ikiliği PG (n, K), ile K bir skewfield, daha sonra ortak bir gösterim şu şekilde tanımlanır: π(S) = S^⊥ bir alt uzay için S nın-nin PG (n, K). Dolayısıyla, kutupluluk bir ikiliktir. S^⊥⊥ = S her alt uzay için S nın-nin PG (n, K). İkili uzaydan bahsetmeyi atlamak ve ilişkili sesquilinear form açısından yazmak da yaygındır:

${ displaystyle S ^ { bot} = { mathbf {u} { text {in}} V kolon varphi ( mathbf {u}, mathbf {x}) = 0 { text {tümü için }} mathbf {x} { text {in}} S }.}$

Sesquilinear bir form φ dır-dir dönüşlü Eğer φ(sen, x) = 0 ima eder φ(x, sen) = 0.

Bir dualite, ancak ve ancak onu tanımlayan (dejenere olmayan) sesquilineer formun dönüşlü olması durumunda bir kutupluluktur.^[11]

Polariteler sınıflandırılmıştır. Birkhoff ve von Neumann (1936) bu birkaç kez yeniden kanıtlandı.^[11][12][13] İzin Vermek V çarpık alan üzerinde bir (sol) vektör uzayı olun K ve φ dönüşlü, dejenere olmayan sesquilineer bir form olmak V eşlik eden anti-otomorfizm ile σ. Eğer φ bir polarite ile ilişkili sesquilineer formdur, bu durumda şunlardan biri:

1. σ = id (dolayısıyla, K bir alandır) ve φ(sen, x) = φ(x, sen) hepsi için sen, x içinde V, yani, φ iki doğrusal bir formdur. Bu durumda, polarite denir dikey (veya sıradan). Alanın özelliği ise K iki, bu durumda olmak için bir vektör olması gerekir z ile φ(z, z) ≠ 0ve polariteye bir sözde kutupluluk.^[14]
2. σ = id (dolayısıyla, K bir alandır) ve φ(sen, sen) = 0 hepsi için sen içinde V. Kutupluluğa a denir boş polarite (veya a semplektik kutupluluk) ve yalnızca projektif boyut n garip.
3. σ² = kimlik ≠ σ (İşte K bir alan olması gerekmez) ve φ(sen, x) = φ(x, sen)^σ hepsi için sen, x içinde V. Böyle bir kutupluluğa üniter kutupluluk (veya a Hermit polaritesi).

Bir nokta P nın-nin PG (n, K) bir mutlak nokta (kendi kendine eşlenik nokta) polariteye göre ⊥ Eğer P ben P^⊥. Benzer şekilde, bir hiper düzlem H bir mutlak hiper düzlem (kendi kendine eşlenik hiper düzlem) eğer H^⊥ ben H. Başka terimlerle ifade edildiğinde, bir nokta x mutlak bir kutupluluk noktasıdır π ilişkili sesquilineer form ile φ Eğer φ(x, x) = 0 ve eğer φ matris cinsinden yazılmıştır G, x^T G x^σ = 0.

Her bir polarite türünün mutlak noktaları kümesi tanımlanabilir. Tartışmayı yine vaka ile sınırlandırıyoruz: K bir alandır.^[15]

1. Eğer K karakteristiği iki olmayan bir alandır, ortogonal bir polaritenin mutlak noktaları kümesi tekil olmayan dörtlü (Eğer K sonsuzdur, bu boş olabilir). Karakteristik iki ise, sözde kutupluluğun mutlak noktaları bir alt düzlem oluşturur.
2. Uzayın tüm noktaları PG (2s + 1, K) boş kutupluluğun mutlak noktalarıdır.
3. Hermit kutupluluğunun mutlak noktaları bir Hermit çeşitliliği, eğer boş olabilir K sonsuzdur.

Kendi kendisiyle bestelendiğinde, korelasyon φ(x_P) = x_H (herhangi bir boyutta), kimlik işlevi yani bu bir kutupluluktur. Bu kutupluluğun mutlak noktaları kümesi, homojen koordinatları denklemi sağlayan noktalar olacaktır:

x_H ⋅ x_P = x₀x₀ + x₁x₁ + ... + x_nx_n = x₀² + x₁² + ... + x_n² = 0.

Bu nokta kümesindeki hangi noktalar alana bağlıdır K. Eğer K = R o zaman küme boştur, mutlak noktalar yoktur (ve mutlak hiper düzlemler yoktur). Öte yandan, eğer K = C mutlak noktalar kümesi dejenere olmayan dörtlü (bir konik iki boyutlu uzayda). Eğer K bir sonlu alan garip karakteristik mutlak noktalar aynı zamanda bir kuadrik oluşturur, ancak karakteristik ise, mutlak noktalar bile bir hiper düzlem oluşturur (bu, sözde bir polarite örneğidir).

Herhangi bir ikilik altında, nokta P denir kutup hiper düzlemin P^⊥ve bu alt düzleme kutup nokta P. Bu terminolojiyi kullanırsak, bir kutupluluğun mutlak noktaları, kutupları ile karşılaşan noktalardır ve mutlak hiper düzlemler, kutupları ile karşılaşan hiper düzlemlerdir.

Sonlu projektif düzlemlerde polariteler

Tarafından Wedderburn teoremi her sonlu çarpık alan bir alandır ve ikinci dereceden bir otomorfizma (özdeşlik dışında) yalnızca sıralaması bir kare olan sonlu bir alanda var olabilir. Bu gerçekler, sonlu için genel durumu basitleştirmeye yardımcı olur Desarguezyen uçaklar. Sahibiz:^[16]

Eğer π sonlu Desarguesian projektif düzlemin bir kutupluluğudur PG (2, q) nerede q = p^e biraz asal için p, ardından mutlak nokta sayısı π dır-dir q + 1 Eğer π ortogonal veya q^3/2 + 1 Eğer π üniterdir. Ortogonal durumda, mutlak noktalar bir konik Eğer p tuhaftır veya bir satır oluşturursa p = 2. Üniter durum yalnızca şu durumlarda ortaya çıkabilir: q bir karedir; mutlak noktalar ve mutlak çizgiler bir ünital.

Dualitenin anlam ifade ettiği genel yansıtmalı düzlem durumunda düzlem ikiliğiKutupluluk, mutlak elemanlar, kutup ve kutup tanımları aynı kalır.

İzin Vermek P projektif bir düzen düzlemini gösterir n. Argümanları saymak, bir kutupluluk için bunu belirleyebilir π nın-nin P:^[16]

Mutlak olmayan bir çizgi (nokta) ile gerçekleşen mutlak olmayan noktaların (çizgiler) sayısı çifttir.

Ayrıca,^[17]

Kutupluluk π en azından n + 1 mutlak noktalar ve eğer n tam olarak kare değil n + 1 mutlak noktalar. Eğer π tam olarak var n + 1 o zaman mutlak noktalar;

1. Eğer n tuhaftır, mutlak noktalar bir oval kimin teğetleri mutlak çizgilerdir; veya
2. Eğer n eşittir, mutlak noktalar doğrusal mutlak olmayan bir çizgi üzerinde.

Şu durumda mutlak noktaların sayısına ilişkin bir üst sınır n Seib tarafından verilen bir kare^[18] ve tamamen kombinatoryal bir argüman şunları kurabilir:^[19]

Bir kutupluluk π kare düzeninde yansıtmalı bir düzlemde n = s² en fazla s³ + 1 mutlak noktalar. Ayrıca, mutlak nokta sayısı ise s³ + 1, sonra mutlak noktalar ve mutlak çizgiler bir ünital (yani, düzlemin her çizgisi bu mutlak noktalar kümesini her ikisinde de karşılamaktadır. 1 veya s + 1 puan).^[20]

Kutuplar ve kutuplar

Daireye göre kutup ve kutup C. P ve Q ters noktalardır, p kutup mu P, P kutbu p.

Öklid düzleminde karşılıklılık

Gerçek projektif düzlemin bir polaritesini oluşturmak için kullanılabilen bir yöntem, başlangıç ​​noktası olarak, bir kısmi dualitenin inşasına sahiptir. Öklid düzlemi.

Öklid düzleminde bir daire düzeltin C merkez ile Ö ve yarıçap r. Her nokta için P ondan başka Ö bir görüntü noktası tanımla Q Böylece OP ⋅ OQ = r². Eşleme tarafından tanımlanan P → Q denir ters çevirme daireye göre C. Çizgi p vasıtasıyla Q çizgiye dik olan OP denir kutup^[21] nokta P daireye göre C.

İzin Vermek q geçmeyen bir çizgi olmak Ö. Bir dik bırak Ö -e q, toplantı q noktada P (bu nokta q en yakın olan Ö). Görüntü Q nın-nin P göre tersine çevrilmiş C denir kutup^[21] nın-nin q. Eğer bir nokta M bir hatta q (geçmiyor Ö) sonra kutup q kutuplarında yatıyor M ve tam tersi. Noktaların ve çizgilerin kutuplarına ve kutuplarına dönüştürüldüğü insidans koruma süreci C denir karşılıklılık.^[22]

Bu süreci bir korelasyona dönüştürmek için, Öklid düzleminin (yansıtmalı bir düzlem olmayan), genişletilmiş öklid düzlemi ekleyerek sonsuzda çizgi ve sonsuzluk noktası Bu çizgide yatan. Bu genişletilmiş düzlemde, noktanın kutbunu tanımlıyoruz Ö sonsuzda çizgi olmak (ve Ö çizginin sonsuzdaki kutbu) ve çizgilerin kutupları Ö sonsuzluk noktalarıdır, eğer bir doğru varsa eğim s (≠ 0) kutbu, eğimli paralel çizgiler sınıfıyla ilişkili sonsuz noktadır −1/s. Kutbu xeksen, dikey çizgilerin sonsuzluk noktası ve y-axis, yatay çizgilerin sonsuzluk noktasıdır.

Yukarıda verilen bir çemberdeki ters çevirmeye dayalı bir korelasyonun inşası, konik bir kesitte (genişletilmiş gerçek düzlemde) ters çevirme kullanılarak genelleştirilebilir. Bu şekilde inşa edilen bağıntılar ikinci derecededir, yani kutupluluklardır.

Cebirsel formülasyon

Üç çift ikili nokta ve çizgi: bir kırmızı çift, bir sarı çift ve bir mavi çift.

Bu polariteyi cebirsel olarak yukarıdaki yapıyı takip ederek tanımlayacağız. C birim çemberdir (yani, r = 1) başlangıç ​​noktasında ortalanır.

Afin bir nokta P, başlangıç ​​noktası dışında, Kartezyen koordinatlarla (a, b) birim çemberdeki tersi nokta Q koordinatlarla,

${ displaystyle sol ({ frac {a} {a ^ {2} + b ^ {2}}}, { frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}}} sağ) .}$

Geçen çizgi Q bu çizgiye dik OP denklemi var balta + tarafından = 1.

Gömme kullanarak homojen koordinatlara geçiş (a, b) ↦ (a, b, 1), gerçek projektif düzlemin uzantısı, son koordinatın 0 olmasına izin verilerek elde edilir. Nokta koordinatlarının sütun vektörleri olarak ve çizgi koordinatlarının satır vektörleri olarak yazıldığını hatırlayarak, bu polariteyi şu şekilde ifade edebiliriz:

${ displaystyle pi: mathbb {R} P ^ {2} rightarrow mathbb {R} P ^ {2}}$

öyle ki

${ displaystyle pi sol ((x, y, z) ^ { mathsf {T}} sağ) = (x, y, -z).}$

Veya alternatif gösterimi kullanarak, π((x, y, z)_P) = (x, y, −z)_L. İlişkili sesquilinear formun matrisi (standart temele göre):

${ displaystyle G = sol ({ başlar {matris} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 uç {matris}} sağ).}$

Bu kutupluluğun mutlak noktaları aşağıdaki çözümlerle verilmiştir:

${ displaystyle 0 = P ^ { mathsf {T}} GP = x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2},}$

nerede P^T= (x, y, z). Öklid düzlemi ile sınırlı olduğuna dikkat edin (yani, z = 1) bu sadece birim çember, ters çevirme çemberi.

Sentetik yaklaşım

Çapraz üçgen P, Q, R dörtgen Bir, B, J, K konik üzerinde. Çapraz noktaların kutupları, noktalarla aynı renktedir.

Bir projektif düzlemdeki bir koninin kutupları ve kutupları teorisi, koordinatlar ve diğer metrik kavramlar kullanılmadan geliştirilebilir.

İzin Vermek C konik olmak PG (2, F) nerede F karakteristik olmayan bir alandır ve P bu uçağın bir noktası değil C. Koniğe iki farklı sekant çizgisi, diyelim ki AB ve JK konik üzerinde dört nokta belirleyin (Bir, B, J, K) oluşturan dörtgen. Nokta P bu dörtgenin köşegen üçgenin bir tepe noktasıdır. kutup nın-nin P göre C çapraz üçgenin karşı tarafı P.^[23]

Teorisi yansıtmalı harmonik eşlenikler Bir çizgi üzerindeki nokta sayısı da bu ilişkiyi tanımlamak için kullanılabilir. Yukarıdaki ile aynı gösterimi kullanarak;

Noktadan geçen değişken bir çizgi ise P koniğin bir sekantıdır C, harmonik eşlenikleri P iki noktaya göre C sekant üzerinde hepsi yalan kutup nın-nin P.^[24]

Özellikleri

Projektif düzlemde polaritelerin sahip olduğu birkaç özellik vardır.^[25]

Kutupluluk göz önüne alındığında π, Bir nokta P hatta yatıyor q, kutup noktası Q ancak ve ancak Q yatıyor p, kutup P.

Puanlar P ve Q bu ilişkide olanlara denir eşlenik ile ilgili puan π. Mutlak noktalar denir kendi kendine eşlenik kendi kutuplarıyla ilgili oldukları için bu tanıma uygun olarak. Eşlenik çizgiler çift olarak tanımlanır.

İki öz-eşlenik noktayı birleştiren çizgi kendi kendine eşlenik bir çizgi olamaz.

Bir çizgi, ikiden fazla eşlenik nokta içeremez.

Bir polarite, kendi kendine eşlenik olmayan herhangi bir çizgi üzerinde eşlenik noktaların evrilmesine neden olur.

Her bir tepe noktasının karşı tarafın kutbu olduğu bir üçgene denir. kendinden kutuplu üçgen.

Bir üçgenin üç köşesini sırasıyla zıt taraflarına eşleyen bir korelasyon bir polaritedir ve bu üçgen bu polariteye göre kendi kendine kutupludur.

Tarih

Dualite ilkesi Joseph Diaz Gergonne (1771-1859) o zamanlar ortaya çıkan alanın şampiyonu Analitik Geometri ve tamamen matematiğe adanmış ilk derginin kurucusu ve editörü, Annales de mathématiques pures ve aplikler. Gergonne ve Charles Julien Brianchon (1785-1864) düzlem ikiliği kavramını geliştirdi. Gergonne, "dualite" ve "kutup" terimlerini icat etti (ancak "kutup", F.-J. Servois ) ve günlüklerinde ikili ifadeler yazma tarzını yan yana benimsemiştir.

Jean-Victor Poncelet (1788-1867) ilk metnin yazarı projektif geometri, Traité des propriétés projektifler des figürleri, bir sentetik geometri koniğe göre kutuplar ve kutuplar teorisini sistematik olarak geliştiren. Poncelet, dualite ilkesinin kutuplar ve kutuplar teorisinin bir sonucu olduğunu savundu.

Julius Plücker (1801-1868), dualite kavramını üç ve daha yüksek boyutlu projektif uzaylara genişletmekle tanınır.

Poncelet ve Gergonne, farklı bakış açılarını ve tekniklerini dergilerde çıkan gazetelerde sunan samimi ama dostça rakipler olarak başladılar. Annales de Gergonne. Dualite ilkesini kendilerininmiş gibi iddia ederken, öncelik meselesi üzerinde uzlaşmazlık ortaya çıktı. Genç bir Plücker, Gergonne'ye gönderdiği bir makale yayınlandığında o kadar yoğun bir şekilde düzenlendiğinde Poncelet, Plücker'in kendisini çaldığına inanacak şekilde yanıltılınca bu kavgaya yakalandı. Poncelet'in vitriyolik saldırısı, Gergonne'nin desteğiyle Plücker tarafından karşılandı ve nihayetinde sorumluluk Gergonne'a yerleştirildi.^[26] Bu kan davasından Pierre Samuel^[27] Her iki adam da Fransız ordusunda olduğu ve Poncelet bir general olduğu için Gergonne sadece bir kaptan olduğu için, Poncelet'in görüşünün, en azından Fransız çağdaşları arasında galip geldiğini söyledi.

Ayrıca bakınız

• Çift eğri

Notlar

Referanslar

• Artin, E. (1957), "1.4 Dualite ve eşleştirme", Geometrik Cebir, Wiley Interscience, ISBN  0-470-03432-7
• Baer Reinhold (2005) [1952]. Doğrusal Cebir ve Projektif Geometri. Mineola NY: Dover. ISBN  0-486-44565-8.
• Barwick, Susan; Ebert, Gary (2008), Projektif Düzlemlerdeki ÜnitelerSpringer, doi:10.1007/978-0-387-76366-8, ISBN  978-0-387-76364-4
• Birkhoff, G .; von Neumann, J. (1936), "Kuantum mekaniğinin mantığı", Matematik Yıllıkları, 37: 823–843, doi:10.2307/1968621
• Boyer, Carl B. (2004) [1956], Analitik Geometri Tarihi, Dover, ISBN  978-0-486-43832-0
• Coxeter, H.S.M. (1964), Projektif Geometri, Blaisdell
• Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1967), Geometri Yeniden Ziyaret Edildi, Washington, D.C .: Amerika Matematik Derneği, ISBN  0-88385-600-X
• Peter Dembowski (1968), Sonlu geometriler, Ergebnisse der Mathematik ve ihrer Grenzgebiete, Grup 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN  3-540-61786-8, BAY  0233275
• Eves Howard (1963), Bir Geometri Hacmi Araştırması I, Allyn ve Bacon
• Hirschfeld, J.W.P. (1979), Sonlu Alanlar Üzerindeki Projektif Geometriler, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-850295-1
• Hughes, Daniel R .; Piper, Fred C. (1973), Projektif Uçaklar, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90044-6
• Samuel, Pierre (1988). Projektif Geometri. New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-96752-4.

daha fazla okuma

• Albert, A. Adrian; Sandler, Reuben (1968), Sonlu Projektif Düzlemlere Giriş, New York: Holt, Rinehart ve Winston
• F. Bachmann, 1959. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, Springer, Berlin.
• Bennett, M.K. (1995). Afin ve Projektif Geometri. New York: Wiley. ISBN  0-471-11315-8.
• Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998). Projektif Geometri: temellerden uygulamalara. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-48277-1.
• Casse, Rey (2006), Projektif Geometri: Giriş, New York: Oxford University Press, ISBN  0-19-929886-6
• Cederberg Judith N. (2001). Modern Geometrilerde Kurs. New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98972-2.
• Coxeter, H. S. M., 1995. Gerçek Projektif Düzlem, 3. baskı. Springer Verlag.
• Coxeter, H. S.M., 2003. Projektif Geometri, 2. baskı. Springer Verlag. ISBN  978-0-387-40623-7.
• Coxeter, H.S.M. (1969). Geometriye Giriş. New York: John Wiley & Sons. ISBN  0-471-50458-0.
• Garner Lynn E. (1981). Projektif Geometrinin Ana Hatları. New York: Kuzey Hollanda. ISBN  0-444-00423-8.
• Greenberg, M.J., 2007. Öklid ve Öklid dışı geometriler, 4. baskı. Özgür adam.
• Hartshorne, Robin (2009), Projektif Geometrinin Temelleri (2. baskı), Ishi Press, ISBN  978-4-87187-837-1
• Hartshorne, Robin, 2000. Geometri: Öklid ve Ötesi. Springer.
• Hilbert, D. ve Cohn-Vossen, S., 1999. Geometri ve hayal gücü, 2. baskı. Chelsea.
• Kárteszi, F. (1976), Sonlu Geometrilere Giriş, Amsterdam: Kuzey-Hollanda, ISBN  0-7204-2832-7
• Mihalek, R.J. (1972). Projektif Geometri ve Cebirsel Yapılar. New York: Akademik Basın. ISBN  0-12-495550-9.
• Ramanan, S. (Ağustos 1997). "Projektif geometri". Rezonans. Springer Hindistan. 2 (8): 87–94. doi:10.1007 / BF02835009. ISSN  0971-8044.
• Stevenson, Frederick W. (1972), Projektif Uçaklar, San Francisco: W.H. Freeman ve Şirket, ISBN  0-7167-0443-9
• Veblen, Oswald; Young, J.W.A. (1938). Projektif geometri. Boston: Ginn & Co. ISBN  978-1-4181-8285-4.

Dış bağlantılar

Weisstein, Eric W. "Dualite İlkesi". MathWorld.