Gausss yasası - Gausss law - Wikipedia

Gauss yasası integral formunda, simetri nedenleriyle, elektrik alanın tekdüze olduğu kapalı bir yüzey (GS) bulunduğunda en yararlıdır. Elektrik akısı, yüzey alanının ve elektrik alanın kuvvetinin basit bir ürünüdür ve yüzey tarafından kapsanan toplam yük ile orantılıdır. Burada, yüklü bir kürenin dışındaki (r> R) ve içindeki (r Vikiversite ).

İçinde fizik, Gauss yasası, Ayrıca şöyle bilinir Gauss akı teoremi, dağıtımıyla ilgili bir yasadır elektrik şarjı sonuçta Elektrik alanı. İntegral biçiminde, akı of Elektrik alanı keyfi olarak kapalı yüzey orantılıdır elektrik şarjı Bu yükün nasıl dağıtıldığına bakılmaksızın yüzey tarafından çevrelenir. Tek başına yasa, herhangi bir yük dağılımını çevreleyen bir yüzey boyunca elektrik alanını belirlemek için yetersiz olsa da, simetrinin alanın tekdüzeliğini zorunlu kıldığı durumlarda bu mümkün olabilir. Böyle bir simetrinin olmadığı yerde, Gauss yasası, elektrik alanın ıraksamasının yerel yük yoğunluğu ile orantılı olduğunu belirten diferansiyel biçiminde kullanılabilir.

Yasa ilkti[1] tarafından formüle edildi Joseph-Louis Lagrange 1773'te,[2] bunu takiben Carl Friedrich Gauss 1813'te[3] her ikisi de elipsoidlerin çekiciliği bağlamında. Biridir Maxwell'in dört denklemi temelini oluşturan klasik elektrodinamik.[not 1] Gauss yasası türetmek için kullanılabilir Coulomb yasası,[4] ve tam tersi.

Nitel açıklama

Kelimelerle, Gauss yasası şunu belirtir:

Net elektrik akımı herhangi bir varsayım yoluyla kapalı yüzey eşittir net çarpı elektrik şarjı o kapalı yüzey içinde.[5]

Gauss yasası, fiziğin diğer alanlarındaki bir dizi yasayla yakın bir matematiksel benzerliğe sahiptir. Gauss'un manyetizma yasası ve Gauss'un yerçekimi yasası. Aslında herhangi biri Ters kare kanunu Gauss yasasına benzer bir şekilde formüle edilebilir: örneğin, Gauss yasasının kendisi esasen ters kareye eşdeğerdir Coulomb yasası ve Gauss'un yerçekimi yasası esasen ters-kareye eşittir Newton'un yerçekimi yasası.

Kanun matematiksel olarak ifade edilebilir vektör hesabı içinde integral form ve diferansiyel form; her ikisi de eşdeğerdir çünkü bunlar diverjans teoremi, Gauss teoremi olarak da adlandırılır. Bu formların her biri sırayla iki şekilde de ifade edilebilir: Arasındaki ilişki açısından Elektrik alanı E ve toplam elektrik yükü veya elektrik yer değiştirme alanı D ve Bedava elektrik şarjı.[6]

İçeren denklem E alan

Gauss yasası, aşağıdakilerden biri kullanılarak ifade edilebilir: Elektrik alanı E ya da elektrik yer değiştirme alanı D. Bu bölümde bazı formlar gösterilmektedir. E; ile form D aşağıda olduğu gibi diğer formlar da E.

İntegral formu

Rasgele bir yüzeyden geçen elektrik akısı, yüzey tarafından kapsanan toplam yük ile orantılıdır.
Küre tarafından hiçbir ücret alınmaz. Yüzeyindeki elektrik akısı sıfırdır.

Gauss yasası şu şekilde ifade edilebilir:[6]

nerede ΦE ... elektrik akımı kapalı bir yüzeyden S herhangi bir hacmi kapsayan V, Q toplam şarj etmek içine alınmış V, ve ε0 ... elektrik sabiti. Elektrik akısı ΦE olarak tanımlanır yüzey integrali of Elektrik alanı:

 oiint

nerede E elektrik alanı dBir temsil eden bir vektördür sonsuz küçük öğesi alan yüzeyin[not 2] ve · temsil etmek nokta ürün iki vektör.

Akı bir integral Gauss yasasının bu ifadesine elektrik alanın integral formu.

Yanları bir iletkenin yüzeyine dik olan küçük bir Gauss kutusu, Laplace denklemini çözerek elektrik potansiyeli ve elektrik alanı hesaplandıktan sonra yerel yüzey yükünü bulmak için kullanılır. Elektrik alanı, iletkenin eşpotansiyel yüzeyine yerel olarak dik ve içeride sıfırdır; akısı πa2E, Gauss yasasına göre πa'ya eşittir2⋅σ / ε0. Böylece, σ = ε0E.

Bilinen potansiyellerde ayarlanmış iletkenleri içeren problemlerde, onlardan uzaklaşma potansiyeli çözülerek elde edilir. Laplace denklemi analitik veya sayısal olarak. Elektrik alan daha sonra potansiyelin negatif gradyanı olarak hesaplanır. Gauss yasası, elektrik yükünün dağılımını bulmayı mümkün kılar: İletkenin herhangi bir bölgesindeki yük, yanları iletkenin yüzeyine dik olan küçük bir kutu içinden akıyı bulmak için elektrik alanını entegre ederek ve bunu not ederek çıkarılabilir. elektrik alanı yüzeye dik ve iletken içinde sıfırdır.

Elektrik yükü dağılımı bilindiğinde ve elektrik alanın hesaplanması gerektiğinde tersi problem çok daha zordur. Belirli bir yüzeyden geçen toplam akı, elektrik alan hakkında çok az bilgi verir ve rastgele karmaşık desenlerde yüzeye girip çıkabilir.

Bir istisna, eğer varsa simetri Elektrik alanın yüzeyden düzgün bir şekilde geçmesini zorunlu kılan problemde. Daha sonra, toplam akı biliniyorsa, alanın kendisi her noktada çıkarılabilir. Gauss yasasına uygun olan yaygın simetri örnekleri şunlardır: silindirik simetri, düzlemsel simetri ve küresel simetri. Makaleye bakın Gauss yüzeyi Bu simetrilerin elektrik alanlarını hesaplamak için kullanıldığı örnekler için.

Diferansiyel form

Tarafından diverjans teoremi Gauss yasası alternatif olarak farklı form:

nerede ∇ · E ... uyuşmazlık elektrik alanının ε0 ... elektrik sabiti, ve ρ hacim yük yoğunluğu (birim hacim başına ücret).

İntegral ve diferansiyel formların denkliği

İntegral ve diferansiyel formlar matematiksel olarak eşdeğerdir. diverjans teoremi. İşte argüman daha spesifik.

İçeren denklem D alan

Ücretsiz, bağlı ve toplam ücret

En basit ders kitabı durumlarında ortaya çıkan elektrik yükü, "ücretsiz şarj" olarak sınıflandırılır - örneğin, içeri aktarılan yük Statik elektrik veya bir üzerindeki ücret kapasitör tabak. Buna karşılık, "bağlı ücret" yalnızca şu bağlamda ortaya çıkar: dielektrik (polarize edilebilir) malzemeler. (Tüm malzemeler bir dereceye kadar polarize edilebilir.) Bu tür malzemeler harici bir elektrik alanına yerleştirildiğinde, elektronlar kendi atomlarına bağlı kalırlar, ancak alana yanıt olarak mikroskobik bir mesafe kaydırırlar, böylece bir tarafta daha fazla olurlar. atomun diğerinden daha fazla. Tüm bu mikroskobik yer değiştirmeler, makroskopik bir net yük dağılımı verecek şekilde toplanır ve bu, "bağlı yükü" oluşturur.

Mikroskobik olarak tüm ücretler temelde aynı olsa da, bağlı ücrete bedelsizden farklı şekilde muamele etmek istemenin genellikle pratik nedenleri vardır. Sonuç olarak, daha temel Gauss yasası, E (yukarıda), bazen aşağıdaki eşdeğer forma konur, D ve yalnızca ücretsiz ücret.

İntegral formu

Gauss yasasının bu formülasyonu toplam yük formunu belirtir:

nerede ΦD ... D-alan akı bir yüzeyden S bir hacmi çevreleyen V, ve QBedava içerdiği ücretsiz ücret V. Akı ΦD akıya benzer şekilde tanımlanır ΦE elektrik alanının E vasıtasıyla S:

 oiint

Diferansiyel form

Gauss yasasının yalnızca bedelsiz ücreti içeren farklı biçimi şu şekildedir:

nerede ∇ · D ... uyuşmazlık elektrik deplasman alanı ve ρBedava serbest elektrik yükü yoğunluğu.

Toplam ve ücretsiz ücret ifadelerinin denkliği

Doğrusal malzemeler için denklem

İçinde homojen, izotropik, dağıtıcı olmayan doğrusal malzemeler arasında basit bir ilişki vardır E veD:

nerede ε ... geçirgenlik malzemenin. Durum için vakum (diğer adıyla boş alan ), ε = ε0. Bu koşullar altında, Gauss yasası şu şekilde değiştirilir:

integral formu için ve

diferansiyel formu için.

Yorumlar

Kuvvet alanları açısından

Gauss teoremi, alanın kuvvet çizgileri açısından şu şekilde yorumlanabilir:

Kapalı bir yüzeyden geçen akı, yüzeye nüfuz eden elektrik alan çizgilerinin hem büyüklüğüne hem de yönüne bağlıdır. Genelde bu çizgilerin yüzeyden ayrılmasıyla pozitif bir akı ve bu yüzeye giren çizgilerle negatif akı tanımlanır. Bu, pozitif akıya neden olan pozitif yüklere ve negatif akı oluşturan negatif yüklere neden olur. Bu elektrik alan çizgileri, yükün karesine olan mesafeye göre bir faktör kadar güçte sonsuz azalmaya uzanacaktır. Bir yükten çıkan alan çizgilerinin sayısı ne kadar büyükse, yükün büyüklüğü o kadar büyüktür ve alan çizgileri birbirine ne kadar yakınsa, elektrik alanın büyüklüğü de o kadar büyük olur. Bu, yüklü bir parçacıktan uzaklaştıkça elektrik alanın zayıflamasının doğal sonucuna sahiptir, ancak yüzey alanı da artar, böylece bu parçacıktan çıkan net elektrik alanı aynı kalacaktır. Başka bir deyişle, elektrik alanın kapalı integrali ve alanın türevinin iç çarpımı, kapalı net yükün boş alanın geçirgenliğine bölünmesine eşit olacaktır.

Coulomb yasasıyla ilişki

Gauss yasasını Coulomb yasasından çıkarmak

Kesin olarak konuşursak, Gauss yasası, Coulomb yasası tek başına, Coulomb yasası bir birey nedeniyle elektrik alanını verdiğinden puan ücreti sadece. Ancak, Gauss yasası Yapabilmek Coulomb yasasından, ek olarak, elektrik alanının aşağıdaki kurallara uyduğu varsayılırsa kanıtlanmalıdır. Üstüste binme ilkesi. Üst üste binme ilkesi, ortaya çıkan alanın her bir parçacık (veya yükler uzayda düzgün bir şekilde dağılmışsa integral) tarafından üretilen alanların vektör toplamı olduğunu söyler.

Coulomb yasası yalnızca sabit yükler için geçerli olduğundan, Gauss yasasının yalnızca bu türetmeye dayanan hareketli yükler için geçerli olmasını beklemek için hiçbir neden yoktur. Aslında, Gauss yasası hareketli yükler için geçerlidir ve bu açıdan Gauss yasası, Coulomb yasasından daha geneldir.

Coulomb yasasını Gauss yasasından çıkarmak

Açıkça söylemek gerekirse, Coulomb yasası yalnızca Gauss yasasından türetilemez, çünkü Gauss yasası ile ilgili herhangi bir bilgi vermez. kıvırmak nın-nin E (görmek Helmholtz ayrışımı ve Faraday yasası ). Ancak, Coulomb yasası Yapabilmek Gauss yasasına göre, ek olarak, bir puan ücreti küresel olarak simetriktir (bu varsayım, Coulomb yasasının kendisi gibi, yük durağan ise tam olarak, yük hareket halinde ise yaklaşık olarak doğrudur).

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ Diğer üçü Maxwell denklemleri şunlardır: Gauss'un manyetizma yasası, Faraday'ın indüksiyon yasası, ve Maxwell'in düzeltmesiyle Ampère yasası
  2. ^ Daha spesifik olarak, sonsuz küçük alan şu şekilde düşünülmektedir: düzlemsel ve alanla birlikte dBir. Vektör dBir dır-dir normal bu alan öğesine ve sahip büyüklük dBir.[7]

Alıntılar

  1. ^ Duhem, Pierre. Leçons sur l'électricité et le magnétisme (Fransızcada). vol. 1, ch. 4, p. 22–23. Lagrange'in Gauss'a göre önceliğe sahip olduğunu gösterir. Gauss'tan sonraki diğerleri de "Gauss Yasası" nı keşfetti.
  2. ^ Lagrange, Joseph-Louis (1773). "Sur l'attraction des sphéroïdes elliptiques". Mémoires de l'Académie de Berlin (Fransızca): 125.
  3. ^ Gauss, Carl Friedrich (1877). Theoria Attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata (Latince). (Gauss, Werke, cilt. V, s. 1). Gauss'dan bahsediyor Newton 's Principia XCI önerisi kürenin içinden geçen bir eksen boyunca herhangi bir noktaya bir kürenin uyguladığı kuvveti bulmakla ilgili.
  4. ^ Halliday, David; Resnick, Robert (1970). Fiziğin Temelleri. John Wiley & Sons. s. 452–453.
  5. ^ Serway, Raymond A. (1996). Modern Fizikle Bilim Adamları ve Mühendisler için Fizik (4. baskı). s. 687.
  6. ^ a b Grant, I. S .; Phillips, W. R. (2008). Elektromanyetizma. Manchester Physics (2. baskı). John Wiley & Sons. ISBN  978-0-471-92712-9.
  7. ^ Matthews, Paul (1998). Vektör Kalkülüs. Springer. ISBN  3-540-76180-2.
  8. ^ Örneğin bkz. Griffiths, David J. (2013). Elektrodinamiğe Giriş (4. baskı). Prentice Hall. s. 50.

Referanslar

  • Gauss, Carl Friedrich (1867). Werke Grubu 5. Dijital versiyon
  • Jackson, John David (1998). Klasik Elektrodinamik (3. baskı). New York: Wiley. ISBN  0-471-30932-X. David J. Griffiths (6. baskı)

Dış bağlantılar