Potansiyel akış - Potential flow - Wikipedia

Potansiyel akış akış çizgileri etrafında NACA 0012 kanat profili 11 ° 'de saldırı açısı üst ve alt ile akış tüpleri tanımlandı.

İçinde akışkan dinamiği, potansiyel akış Tanımlar hız alanı olarak gradyan skaler bir fonksiyonun: hız potansiyeli. Sonuç olarak, potansiyel bir akış, bir dönüşsüz hız alanı, birkaç uygulama için geçerli bir yaklaşımdır. Potansiyel bir akışın dönmesizliği, kıvırmak bir gradyanı skaler her zaman sıfıra eşittir.

Bir durumunda sıkıştırılamaz akış hız potansiyeli tatmin eder Laplace denklemi, ve potansiyel teori uygulanabilir. Bununla birlikte, potansiyel akışlar da açıklamak için kullanılmıştır. sıkıştırılabilir akışlar. Potansiyel akış yaklaşımı, hem durağan hem de durağan olmayan akışların modellemesinde ortaya çıkar.Potansiyel akış uygulamaları örneğin: için dış akış alanı aerofoils, su dalgaları, elektroozmotik akış, ve yeraltı suyu akışı. Güçlü akışlar (veya parçaları) için girdaplık etkiler, potansiyel akış yaklaşımı geçerli değildir.

Özellikleri ve uygulamaları

Basit temel akışlar eklenerek ve sonucu gözlemleyerek potansiyel bir akış oluşturulur.
Akış çizgileri sıkıştırılamayanlar için dairesel bir silindir etrafında potansiyel akış tek tip bir akış halinde.

Tanım ve özellikler

Akışkan dinamiğinde, potansiyel bir akış, bir hız potansiyeli vasıtasıyla tanımlanır φ, olmak işlevi uzay ve zaman. akış hızı v bir Vektör alanı gradyana eşit, hız potansiyelinin φ:[1]

Bazen tanımı da v = −∇φ, eksi işaretiyle kullanılır. Ancak burada eksi işareti olmadan yukarıdaki tanımı kullanacağız. Nereden vektör hesabı biliniyor ki gradyan kıvrımı sıfıra eşittir:[1]

ve sonuç olarak girdaplık, kıvırmak hız alanının vsıfırdır:[1]

Bu, potansiyel bir akışın bir dönüşsüz akış. Bunun, potansiyel akışın uygulanabilirliği için doğrudan sonuçları vardır. Vortisitenin önemli olduğu bilinen akış bölgelerinde, örneğin uyanır ve sınır katmanları potansiyel akış teorisi, akışın makul tahminlerini sağlayamaz.[2] Neyse ki, bir akışta dönülmezlik varsayımının geçerli olduğu geniş bölgeler vardır ve bu nedenle çeşitli uygulamalar için potansiyel akış kullanılır. Örneğin: etrafında akış uçak, yeraltı suyu akışı, akustik, su dalgaları, ve elektroozmotik akış.[3]

Sıkıştırılamaz akış

Bir durumda sıkıştırılamaz akış - örneğin sıvı veya a gaz düşük Mach numaraları; ama için değil ses dalgalar - hız v sıfır var uyuşmazlık:[1]

noktayı gösteren nokta ile iç ürün. Sonuç olarak, hız potansiyeli φ tatmin etmek zorunda Laplace denklemi[1]

nerede 2 = ∇ ⋅ ∇ ... Laplace operatörü (bazen de yazılır Δ). Bu durumda akış tamamen kendi kinematik: dönüşsüzlük ve akışta sıfır ıraksama varsayımları. Dinamikler sadece basınçları hesaplamakla ilgileniyorsa, daha sonra uygulanmalıdır: örneğin, kanatların etrafındaki akış için Bernoulli prensibi.

İki boyutta, potansiyel akış, kullanılarak analiz edilen çok basit bir sisteme indirgenir. karmaşık analiz (aşağıya bakınız).

Sıkıştırılabilir akış

Sürekli akış

Potansiyel akış teorisi, dönüşsüz sıkıştırılabilir akışı modellemek için de kullanılabilir. tam potansiyel denklem, tanımlayan sürekli akış, tarafından verilir:[4]

ile mak sayısı bileşenleri

nerede a yerel mi Sesin hızı. Akış hızı v yine eşittir ∇Φ, ile Φ hız potansiyeli. Tam potansiyel denklemi için geçerlidir alt, trans ve süpersonik akış keyfi olarak saldırı açısı dönülmezlik varsayımı uygulanabilir olduğu sürece.[4]

Ses altı veya süpersonik olması durumunda (ancak ses ötesi veya hipersonik ) küçük hücum açılarında ve ince gövdelerde akış, ek bir varsayım yapılabilir: hız potansiyeli, kesintisiz bir akış hızına bölünür V içinde xyön ve küçük tedirginlik hız φ bunların. Yani:[4]

Bu durumda, doğrusallaştırılmış küçük pertürbasyon potansiyel denklemi - tam potansiyel denklemine bir yaklaşım - kullanılabilir:[4]

ile M = V/a gelen ücretsiz akışın Mach sayısı. Bu doğrusal denklemi çözmek, tam potansiyel denklemden çok daha kolaydır: basit bir koordinat genişlemesi ile Laplace denklemine yeniden biçimlendirilebilir. x- yön.

Kararsız akış

Potansiyel akış teorisi, dönüşsüz sıkıştırılabilir akışı modellemek için de kullanılabilir. tam potansiyel denklem, kararsız bir akışı tanımlayan, şu şekilde verilir:[4]

ile mak sayısı bileşenleri

nerede a yerel mi Sesin hızı. Akış hızı v yine eşittir ∇Φ, ile Φ hız potansiyeli. Tam potansiyel denklemi için geçerlidir alt, trans ve süpersonik akış keyfi olarak saldırı açısı dönülmezlik varsayımı uygulanabilir olduğu sürece.[4]

Ses altı veya süpersonik olması durumunda (ancak ses ötesi veya hipersonik ) küçük hücum açılarında ve ince gövdelerde akış, ek bir varsayım yapılabilir: hız potansiyeli, kesintisiz bir akış hızına bölünür V içinde xyön ve küçük tedirginlik hız φ bunların. Yani:[4]

Bu durumda, doğrusallaştırılmış küçük pertürbasyon potansiyel denklemi - tam potansiyel denklemine bir yaklaşım - kullanılabilir:[4]

ile M = V/a gelen ücretsiz akışın Mach sayısı.

Kütle koruma denklemi ile başlayacağız

İlk terimi düşünün. Kullanma Bernoulli prensibi biz yazıyoruz

Benzer şekilde ikinci terim de yazılabilir

Terimlerin toplanması ve yeniden düzenlenmesi, kütle koruma denklemi olur

Ses dalgaları

Küçük genlikli ses dalgaları, aşağıdaki potansiyel akış modeli ile yaklaştırılabilir:[7]

doğrusal olan dalga denklemi hız potansiyeli için φ. Yine hız vektörünün salınımlı kısmı v hız potansiyeli ile ilgilidir: v = ∇φönceden olduğu gibi Δ ... Laplace operatörü, ve ā ortalama ses hızı homojen ortam. Unutmayın ki salınımlı kısımlar da basınç p ve yoğunluk ρ Bu yaklaşımda her biri ayrı ayrı dalga denklemini karşılar.

Uygulanabilirlik ve sınırlamalar

Potansiyel akış, gerçek dünyada karşılaşılan akışların tüm özelliklerini içermez. Viskoz için potansiyel akış teorisi uygulanamaz iç akışlar [2], dışında yakın aralıklı plakalar arasında akar. Richard Feynman Potansiyel akışın o kadar fiziksel olmadığını düşündü ki, varsayımlara uyan tek sıvı "kuru su" idi (John von Neumann'dan alıntı).[8] Sıkıştırılamaz potansiyel akış, aynı zamanda bir dizi geçersiz tahminde de bulunur. d'Alembert paradoksu, aksi takdirde durağan haldeyken sonsuz bir sıvı içinde hareket eden herhangi bir nesne üzerindeki sürüklemenin sıfır olduğunu belirtir.[9] Daha doğrusu, potansiyel akış, aşağıdakileri içeren akışların davranışını açıklayamaz: sınır tabakası.[2] Yine de, akışkanlar mekaniğinin birçok dalında potansiyel akışı anlamak önemlidir. Özellikle, basit potansiyel akışlar ( temel akışlar ) benzeri serbest girdap ve nokta kaynağı hazır analitik çözümlere sahiptir. Bu çözümler olabilir üst üste binmiş çeşitli sınır koşullarını karşılayan daha karmaşık akışlar oluşturmak için. Bu akışlar, tüm akışkanlar mekaniği üzerindeki gerçek hayat akışlarına yakından karşılık gelir; Buna ek olarak, gözlemlenen bir akış ile karşılık gelen potansiyel akış arasındaki sapma (genellikle küçük) dikkate alındığında birçok değerli anlayış ortaya çıkar. Potansiyel akış, uçak tasarımı gibi alanlarda birçok uygulama bulur. Örneğin hesaplamalı akışkanlar dinamiği bir teknik, potansiyel bir akış çözümünü, sınır tabakası bir çözüme sınır tabakası denklemleri sınır tabakasının içinde. Sınır tabakası etkilerinin olmaması, birçok aerodinamik tasarım yaklaşımında kullanılan bir teknik olan akış alanında herhangi bir değişiklik olmaksızın herhangi bir akış çizgisinin katı bir sınırla değiştirilebileceği anlamına gelir. Başka bir teknik kullanımı olacaktır. Riabouchinsky katıları.[şüpheli ]

İki boyutlu akış analizi

İki boyutta potansiyel akış kullanarak analiz etmek basittir konformal haritalama kullanımıyla dönüşümler of karmaşık düzlem. Bununla birlikte, örneğin bir silindirden geçen sıvı akışının klasik analizinde olduğu gibi, karmaşık sayıların kullanılması gerekli değildir. Kullanarak potansiyel bir akışı çözmek mümkün değildir Karışık sayılar üç boyutta.[10]

Temel fikir, bir holomorf (olarak da adlandırılır analitik ) veya meromorfik fonksiyon f, fiziksel alanı eşleyen (x, y) dönüştürülmüş alana (φ, ψ). Süre x, y, φ ve ψ hepsi gerçek değerli karmaşık miktarları tanımlamak uygundur

Şimdi haritayı yazarsak f gibi[10]

Sonra çünkü f holomorfik veya meromorfik bir fonksiyondur, Cauchy-Riemann denklemleri[10]

Hız bileşenleri (sen, v), içinde (x, y) sırasıyla yönler, doğrudan f açısından farklılaştırarak z. Yani[10]

Yani hız alanı v = (sen, v) tarafından belirtilmiştir[10]

Her ikisi de φ ve ψ o zaman tatmin et Laplace denklemi:[10]

Yani φ hız potansiyeli olarak tanımlanabilir ve ψ denir akış işlevi.[10] Sabit çizgiler ψ olarak bilinir akış çizgileri ve sabit çizgiler φ eşpotansiyel çizgiler olarak bilinir (bkz. eşpotansiyel yüzey ).

Akım hatları ve eşpotansiyel çizgiler birbirine diktir, çünkü[10]

Böylece akış, sabit çizgiler boyunca gerçekleşir ψ ve sabit çizgilere dik açılarda φ.[10]

Δψ = 0 aynı zamanda tatmin edilir, bu ilişki eşdeğerdir ∇ × v = 0. Yani akış dönülemez. Otomatik durum 2Ψ/xy = 2Ψ/yx sonra sıkıştırılamazlık kısıtlamasını verir ∇ · v = 0.

İki boyutlu akış örnekleri

Türevlenebilir herhangi bir işlev, f. Aşağıdaki örnekler, çeşitli temel fonksiyonlar; özel fonksiyonlar ayrıca kullanılabilir. Bunu not et çok değerli işlevler benzeri doğal logaritma kullanılabilir, ancak dikkat tek bir Riemann yüzeyi.

Güç kanunları

Conformal power half.svg
Conformal power two third.svg
Conformal power one.svg
Conformal power one and a half.svg
Conformal power two.svg
Conformal power three.svg
Conformal power minus one.svg
Güç yasası için uygun harita örnekleri w = Azn, gücün farklı değerleri için n. Gösterilen z-düzlem, sabit potansiyele sahip hatları gösteren φ ve akış işlevi ψ, süre w = φ + .

Aşağıdaki durumda güç -hukuk konformal haritası uygulanır, z = x + iy -e w = φ + :[11]

sonra yazıyorum z kutupsal koordinatlarda z = x + iy = yeniden, sahibiz[11]

Şekillerdeki doğru örnekler, birkaç değer için verilmiştir. n. Siyah çizgi, akışın sınırını oluştururken, koyu mavi çizgiler aerodinamik çizgilerdir ve daha açık mavi çizgiler eş potansiyel çizgilerdir. Bazı ilginç güçler n şunlardır:[11]

  • n = 1/2: bu, yarı sonsuz bir plaka etrafındaki akışa karşılık gelir,
  • n = 2/3: sağ köşeden akış,
  • n = 1: önemsiz bir tekdüze akış durumu,
  • n = 2: bir köşeden veya bir durgunluk noktasından akarken ve
  • n = −1: kaynak ikilisinden kaynaklanan akış

Sabit Bir bir ölçekleme parametresidir: mutlak değer |Bir| ölçeği belirler, tartışma arg (Bir) (sıfır değilse) bir dönüş sağlar.

Güç kanunları n = 1: düzgün akış

Eğer w = Az1yani bir güç yasası n = 1akış çizgileri (yani sabit çizgiler ψ) paralel düz çizgilerden oluşan bir sistemdir. xeksen. Bunu gerçek ve hayali bileşenler açısından yazarak görmek en kolay olanıdır:

böylece vermek φ = Balta ve ψ = Ay. Bu akış şu şekilde yorumlanabilir: düzgün akış paralel xeksen.

Güç kanunları n = 2

Eğer n = 2, sonra w = Az2 ve belirli bir değere karşılık gelen aerodinamik çizgi ψ bu noktalar tatmin edici mi

hangisi bir sistem dikdörtgen hiperbol. Bu, gerçek ve hayali bileşenler açısından yeniden yazıldığında görülebilir. Bunu not ederek günah 2θ = 2 günah θ çünkü θ ve yeniden yazmak günah θ = y/r ve çünkü θ = x/r (basitleştirmede) aerodinamik çizgilerin şu şekilde verildiği görülmektedir:

Hız alanı şu şekilde verilir: φveya

Akışkan dinamiğinde, başlangıç ​​noktasına yakın akış alanı, bir durgunluk noktası. Başlangıç ​​noktasındaki sıvının hareketsiz olduğuna dikkat edin (bu, farklılaşmayı takip eder. f(z) = z2 -de z = 0). ψ = 0 akış çizgisi özellikle ilginçtir: koordinat eksenlerini izleyen iki (veya dört) dalı vardır, yani. x = 0 ve y = 0. İçinden sıvı akmadığı için x-axis, o ( xeksen) katı bir sınır olarak değerlendirilebilir. Böylece alt yarı düzlemdeki akışı göz ardı etmek mümkündür. y < 0 ve üst yarım düzlemdeki akışa odaklanmak. Bu yorumla, akış, yatay bir düz plakaya çarpan dikey olarak yönlendirilmiş bir jettir. Akış, (diyelim ki) tarafından belirtilen bölgeler ise 90 derecelik bir köşeye akış olarak da yorumlanabilir. x, y < 0 dikkate alınmaz.

Güç kanunları n = 3

Eğer n = 3ortaya çıkan akış, bir tür altıgen versiyonudur. n = 2 yukarıda ele alınan durum. Akış çizgileri, ψ = 3x2yy3 ve bu durumda akış 60 ° 'lik bir köşeye akış olarak yorumlanabilir.

Güç kanunları n = −1: dublet

Eğer n = −1akış çizgileri tarafından verilir

Bu, gerçek ve hayali bileşenler açısından daha kolay yorumlanır:

Böylece aerodinamik çizgiler daireler başlangıçtaki x eksenine teğet olan. Üst yarı düzlemdeki daireler böylece saat yönünde, alt yarı düzlemdekiler saat yönünün tersine akarlar. Hız bileşenlerinin orantılı olduğuna dikkat edin r−2; ve başlangıçtaki değerleri sonsuzdur. Bu akış düzenine genellikle bir çiftveya dipolve sonsuz güçte bir kaynak-havuz çiftinin birbirinden son derece küçük bir mesafede tutulması olarak yorumlanabilir. Hız alanı şu şekilde verilir:

veya kutupsal koordinatlarda:

Güç kanunları n = −2: dört kutuplu

Eğer n = −2akış çizgileri tarafından verilir

Bu, bir ile ilişkili akış alanıdır dört kutuplu.[12]

Hat kaynağı ve havuz

Bir hat kaynağı veya güç havuzu ( kaynak için ve lavabo için) potansiyel tarafından verilir

nerede gerçekte, kaynağı veya çukuru çevreleyen bir yüzey boyunca birim uzunluk başına hacim akışıdır. Kutupsal koordinatlardaki hız alanı

yani tamamen radyal bir akış.

Hat girdabı

Bir çizgi güç girdabı tarafından verilir

nerede ... dolaşım girdabı çevreleyen herhangi bir basit kapalı kontur etrafında. Kutupsal koordinatlardaki hız alanı

yani tamamen azimutal akış.

Üç boyutlu akış analizi

Üç boyutlu akışlar için karmaşık potansiyel elde edilemez.

Nokta kaynağı ve havuz

Bir nokta kaynağının veya güç havuzunun hız potansiyeli ( kaynak için ve için) küresel kutupsal koordinatlarda verilir

nerede gerçekte, kaynağı veya havuzu çevreleyen kapalı bir yüzey boyunca hacim akışıdır.


Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ a b c d e Batchelor (1973) s. 99–101.
  2. ^ a b c Batchelor (1973) s. 378–380.
  3. ^ Kirby, B.J. (2010), Mikro ve Nano Ölçekli Akışkanlar Mekaniği: Mikroakışkan Cihazlarda Taşıma., Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-11903-0
  4. ^ a b c d e f g h Anderson, J. D. (2002). Modern sıkıştırılabilir akış. McGraw-Hill. s. 358–359. ISBN  0-07-242443-5.
  5. ^ Lamb (1994) §6 – §7, s. 3–6.
  6. ^ Batchelor (1973) s. 161.
  7. ^ Lamb (1994) §287, s. 492–495.
  8. ^ Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Kumlar, M. (1964), Feynman Fizik Üzerine Dersler, 2, Addison-Wesley, s. 40-3. 40.Bölümün başlığı: Kuru su akışı.
  9. ^ Batchelor (1973) s. 404–405.
  10. ^ a b c d e f g h ben Batchelor (1973) s. 106–108.
  11. ^ a b c Batchelor (1973) s. 409–413.
  12. ^ Kyrala, A. (1972). Karmaşık Bir Değişkenin Uygulanan Fonksiyonları. Wiley-Interscience. s. 116–117. ISBN  9780471511298.

Referanslar

daha fazla okuma

Dış bağlantılar