Laurent serisi - Laurent series - Wikipedia

Bir Laurent serisi, belirli bir noktaya göre tanımlanır c ve bir entegrasyon yolu γ. Entegrasyon yolu, burada kırmızı renkle gösterilen bir halka içinde olmalıdır. f(z) dır-dir holomorf (analitik ).

İçinde matematik, Laurent serisi karmaşık bir işlevin f(z), bu işlevin bir temsilidir güç serisi negatif derece terimleri içerir. Karmaşık fonksiyonları ifade etmek için kullanılabilir. Taylor serisi genişletme uygulanamaz. Laurent serisi ismini aldı ve ilk kez yayınladı Pierre Alphonse Laurent 1843'te. Karl Weierstrass ilk olarak 1841'de yazılan bir makalede keşfetmiş olabilir, ancak ölümünden sonrasına kadar yayınlanmadı.^[1]

Karmaşık bir işlev için Laurent serisi f(z) bir nokta hakkında c tarafından verilir

{ displaystyle f (z) = toplam _ {n = - infty} ^ { infty} a_ {n} (z-c) ^ {n},}

nerede a_n ve c sabitler a_n tarafından tanımlanmış çizgi integrali genelleyen Cauchy'nin integral formülü:

{ displaystyle a_ {n} = { frac {1} {2 pi i}} oint _ { gamma} { frac {f (z)} {(zc) ^ {n + 1}}} , dz.}

Entegrasyon yolu ${ displaystyle gamma}$ a etrafında saat yönünün tersine Jordan eğrisi çevreleyen c ve yalan söylemek halka Bir içinde ${ displaystyle f (z)}$ dır-dir holomorf (analitik). İçin genişleme ${ displaystyle f (z)}$ daha sonra annulus içinde herhangi bir yerde geçerli olacaktır. Halka, sağdaki şekilde kırmızı ile gösterilmiştir ve uygun bir entegrasyon yolu örneği ile etiketlenmiştir. ${ displaystyle gamma}$ . Eğer alırsak ${ displaystyle gamma}$ daire olmak ${ displaystyle | z-c | = varrho}$ , nerede ${ displaystyle r < varrho$ , bu sadece karmaşıklığı hesaplamak anlamına gelir Fourier katsayıları kısıtlamasının ${ displaystyle f}$ -e ${ displaystyle gamma}$ . Bu integrallerin konturdaki bir deformasyonla değişmemiş olması ${ displaystyle gamma}$ acil bir sonucudur Green teoremi.

Karmaşık bir fonksiyon için Laurent serisi de elde edilebilir. f(z) ${ displaystyle z = infty}$ . Ancak bu, ne zaman olduğu ile aynıdır. ${ displaystyle R rightarrow infty}$ (aşağıdaki örneğe bakın).

Uygulamada, yukarıdaki integral formül, katsayıları hesaplamak için en pratik yöntemi sunmayabilir. ${ displaystyle a_ {n}}$ belirli bir işlev için ${ displaystyle f (z)}$ ; bunun yerine, Laurentseries bilinen Taylor açılımlarını birleştirerek parçalara ayırır çünkü bir fonksiyonun Laurent açılımı şu şekildedir: benzersiz ne zaman varolsa, bu formun gerçekten verilen işleve eşit olan herhangi bir ifadesi ${ displaystyle f (z)}$ bazı halkalarda aslında Laurent genişlemesi olmalıdır. ${ displaystyle f (z)}$ .

Yakınsak Laurent serisi

e^−1/x² ve Laurent yaklaşımları: anahtar için metne bakın. Laurent serisinin negatif derecesi arttıkça doğru işleve yaklaşır.

e^−1/x² Negatif derece yükselen Laurent yaklaşımları. Sıfır tekilliğin etrafındaki mahalleye asla yaklaşılamaz.

Karmaşık katsayılara sahip Laurent serileri önemli bir araçtır. karmaşık analiz özellikle yakınlardaki fonksiyonların davranışını araştırmak için tekillikler.

Örneğin işlevi düşünün ${ displaystyle f (x) = e ^ {- 1 / x ^ {2}}}$ ile ${ displaystyle f (0) = 0}$ . Gerçek bir işlev olarak, her yerde sonsuz derecede farklılaştırılabilir; karmaşık bir işlev olarak ancak şu şekilde ayırt edilemez: x = 0. Değiştirerek x ile −1/x² içinde güç serisi için üstel fonksiyon yakınsayan ve eşit olan Laurent serisini elde ederiz. f(x) tüm karmaşık sayılar için x tekillik dışında x = 0. Karşıdaki grafik gösterir e^−1/x² siyah ve Laurent yaklaşımları

{ displaystyle toplamı _ {n = 0} ^ {N} (- 1) ^ {n} , {x ^ {- 2n} n'den fazla!}}

için N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ve 50. Gibi N → ∞, yaklaşım tüm (karmaşık) sayılar için kesin olur x tekillik dışında x = 0.

Daha genel olarak, Laurent serisi ifade etmek için kullanılabilir holomorf fonksiyonlar üzerinde tanımlanmış halka kadar güç serisi bir üzerinde tanımlanan holomorfik fonksiyonları ifade etmek için kullanılır disk.

Varsayalım

{ displaystyle toplamı _ {n = - infty} ^ { infty} a_ {n} (z-c) ^ {n}}

karmaşık katsayılara sahip belirli bir Laurent serisidir a_n ve karmaşık bir merkez c. Sonra bir var benzersiz iç yarıçap r ve dış yarıçap R öyle ki:

Laurent serisi, açık halka üzerinde birleşir Bir ≡ {z : r < |z − c| < R} . Laurent serisinin yakınsadığını söylemek için, hem pozitif derece kuvvet serisinin hem de negatif derece kuvvet serisinin yakınsadığını kastediyoruz. Dahası, bu yakınsama üniforma açık kompakt setler. Son olarak, yakınsak serisi bir holomorfik fonksiyon f(z) açık halka üzerinde.
Annulusun dışında Laurent serisi ayrışır. Yani, her noktada dış nın-nin Bir, pozitif derece kuvvet serisi veya negatif derece güç serisi ıraksar.
Üzerinde sınır halkanın iç sınırında en az bir nokta ve dış sınırda bir nokta olduğunu söylemek dışında genel bir açıklama yapılamaz. f(z) holomorf olarak bu noktalara devam edilemez.

Bu mümkündür r sıfır olabilir veya R sonsuz olabilir; diğer uçta, bu mutlaka doğru değildir r daha az RBu yarıçaplar aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

{ displaystyle { begin {align} r & = limsup _ {n rightarrow infty} | a _ {- n} | ^ { frac {1} {n}}, {1 over R} & = limsup _ {n rightarrow infty} | a_ {n} | ^ { frac {1} {n}}. end {hizalı}}}

Alıyoruz R bu ikincisi olduğunda sonsuz olmak lim sup sıfırdır.

Tersine, formun bir halkası ile başlarsak Bir ≡ {z : r < |z − c| < R} ve bir holomorfik fonksiyon f(z) üzerinde tanımlandı Bir, her zaman merkezi olan benzersiz bir Laurent serisi vardır. c (en azından) yakınsayan Bir ve işlevi temsil eder f(z).

Örnek olarak, aşağıdaki rasyonel işlevi ve kısmi kesir genişleme:

{ displaystyle f (z) = { frac {1} {(z-1) (z-2i)}} = { frac {1 + 2i} {5}} sol ({ frac {1} { z-1}} - { frac {1} {z-2i}} sağ).}

Bu işlevin tekillikleri vardır z = 1 ve z = 2ben, burada ifadenin paydası sıfırdır ve bu nedenle ifade tanımsızdır. Taylor serisi hakkında z = 0 (bir güç serisi verir) yalnızca bir diskte yakınsar yarıçap 1, çünkü 1'deki tekilliğe "ulaştı".

Ancak, yarıçapına bağlı olarak 0 civarında üç olası Laurent genişletmesi vardır. z:

İç diskte bir seri tanımlanır, burada |z| <1; Taylor serisiyle aynıdır,
${ displaystyle f (z) = { frac {1 + 2i} {5}} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} sol ({ frac {1} {(2i) ^ {n + 1}}} - 1 sağ) z ^ {n}.}$
Bu, fonksiyonun kısmi kesir formundan ve bir toplamı formülünden gelir. Geometrik seriler, ${ displaystyle textstyle { frac {1} {za}} = - { frac {1} {a}} sum _ {n = 0} ^ { infty} sol ({ tfrac {z} { a}} sağ) ^ {n}}$ için ${ displaystyle | z | <| a |}$ .
İkinci seri, orta halka üzerinde tanımlanır, burada 1 < |z| iki tekillik arasında sıkışmıştır:
${ displaystyle f (z) = { frac {1 + 2i} {5}} sol ( toplamı _ {n = 1} ^ { infty} z ^ {- n} + toplamı _ {n = 0 } ^ { infty} { frac {1} {(2i) ^ {n + 1}}} z ^ {n} sağ).}$
Burada geometrik seri toplamının alternatif biçimini kullanıyoruz, ${ displaystyle textstyle { frac {1} {za}} = { frac {1} {z}} toplam _ {n = 0} ^ { infty} sol ({ frac {a} {z }} sağ) ^ {n}}$ için ${ displaystyle | a | <| z |}$ .
Üçüncü seri, sonsuz dış halka üzerinde tanımlanır, burada 2 < |z| < ∞, (aynı zamanda şuradaki Laurent genişlemesidir. ${ displaystyle z = infty}$ )
${ displaystyle f (z) = { frac {1 + 2i} {5}} toplamı _ {n = 1} ^ { infty} sol (1- (2i) ^ {n-1} sağ) z ^ {- n}.}$
Bu seri, daha önce olduğu gibi geometrik seriler kullanılarak veya gerçekleştirilerek elde edilebilir. polinom uzun bölme 1 arasında (x − 1)(x - 2i), bir kalanla durmuyor ama devam ediyor x⁻ⁿ şartlar; gerçekte, rasyonel bir fonksiyonun "dış" Laurent serisi, bir kesirin ondalık biçimine benzer. ("İç" Taylor serisi açılımı da benzer şekilde elde edilebilir, sadece dönem emri bölme algoritmasında.)

Dava r = 0; yani holomorfik bir fonksiyon f(z) tek bir noktada tanımlanmamış olabilir cözellikle önemlidir. Katsayı a₋₁ Laurent açılımının böyle bir fonksiyonun kalıntı nın-nin f(z) tekillikte c; önemli bir rol oynar. kalıntı teoremi. Buna bir örnek olarak

{ displaystyle f (z) = {e ^ {z} z üzerinden} + e ^ { frac {1} {z}}.}

Bu işlev, dışında her yerde holomorfiktir. z = 0.

Laurent genişlemesini belirlemek için c = 0, Taylor serisinin bilgimizi kullanıyoruz üstel fonksiyon:

{ displaystyle f (z) = cdots + sol ({1 3'ün üzerinde!} sağ) z ^ {- 3} + sol ({1 2'den fazla!} sağ) z ^ {- 2} + 2z ^ {- 1} +2+ left ({1 over 2!} Right) z + left ({1 over 3!} Right) z ^ {2} + left ({1 over 4!} Sağ) z ^ {3} + cdots.}

Kalıntının 2 olduğunu bulduk.

Genişletmek için bir örnek ${ displaystyle z = infty}$ :

{ displaystyle f (z) = { sqrt {1 + z ^ {2}}} - z = z sol ({ sqrt {1 + { frac {1} {z ^ {2}}}}} -1 sağ) = z sol ({ frac {1} {2z ^ {2}}} - { frac {1} {8z ^ {4}}} + { frac {1} {16z ^ { 6}}} - cdots sağ) = { frac {1} {2z}} - { frac {1} {8z ^ {3}}} + { frac {1} {16z ^ {5}} } - cdots.}

Benzersizlik

Bir işlevi varsayalım f(z) halka üzerinde holomorfik r < |z − c| < R iki Laurent serisine sahiptir:

{ displaystyle f (z) = toplam _ {n = - infty} ^ { infty} a_ {n} (zc) ^ {n} = toplam _ {n = - infty} ^ { infty} b_ {n} (zc) ^ {n}.}

Her iki tarafı da çarpın ${ displaystyle (z-c) ^ {- k-1}}$ burada k keyfi bir tamsayıdır ve halka içindeki bir yolda γ integral alır,

{ displaystyle oint _ {! ! ! gamma} , toplamı _ {n = - infty} ^ { infty} a_ {n} (zc) ^ {nk-1} , dz = oint _ {! ! ! gamma} , toplamı _ {n = - infty} ^ { infty} b_ {n} (zc) ^ {nk-1} , dz.}

Seri, ${ displaystyle r + epsilon leq | z-c | leq R- epsilon}$ , burada const, daraltılmış kapalı halka içinde kapsanacak enough için yeterince küçük pozitif bir sayıdır, böylece entegrasyon ve toplama birbiriyle değiştirilebilir. Kimliği ikame etmek

{ displaystyle oint _ {! ! ! gamma} , (z-c) ^ {n-k-1} , dz = 2 pi i delta _ {nk}}

toplam verimleri içine

{ displaystyle a_ {k} = b_ {k}.}

Bu nedenle Laurent serisi benzersizdir.

Laurent polinomları

Bir Laurent polinomu sadece sonlu katsayıların sıfır olmadığı bir Laurent serisidir. Laurent polinomları sıradanlardan farklıdır polinomlar negatif dereceye sahip olabilmeleri için.

Ana bölüm

ana bölüm Laurent serisinin negatif derecesi olan terimler dizisidir, yani

{ displaystyle toplam _ {k = - infty} ^ {- 1} a_ {k} (z-c) ^ {k}.}

Ana parçası ise f sonlu bir toplamdır, o zaman f var kutup -de c en yüksek terimin derecesine eşit (negatif) derece; Öte yandan, eğer f var temel tekillik -de cana kısım sonsuz bir toplamdır (yani sonsuz sayıda sıfır olmayan terim vardır).

Laurent serisinin iç yakınsaklık yarıçapı ise f 0 ise f temel bir tekilliğe sahiptir c ancak ve ancak asıl parça sonsuz bir toplamsa ve aksi takdirde bir kutba sahipse.

İç yakınsaklık yarıçapı pozitifse, f sonsuz sayıda olumsuz terime sahip olabilir, ancak yine de c, yukarıdaki örnekte olduğu gibi, bu durumda bir farklı Laurent serisi hakkında bir disktec.

Yalnızca sonlu sayıda negatif terim içeren Laurent serileri iyi davranır - bunlar, ${ displaystyle z ^ {k}}$ ve benzer şekilde analiz edilebilir - sonsuz sayıda negatif terim içeren Laurent serisinin yakınsamanın iç çemberinde karmaşık davranışları vardır.

Çarpma ve toplam

Laurent serisi genel olarak çarpılamaz. Cebirsel olarak, çarpımın terimlerinin ifadesi yakınsaması gerekmeyen sonsuz toplamlar içerebilir (kişi kıvrım Tamsayı dizileri). Geometrik olarak, iki Laurent serisi örtüşmeyen yakınsama halkalarına sahip olabilir.

Yalnızca iki Laurent serisi sonlu olarak birçok negatif terim çarpılabilir: cebirsel olarak, toplamların tümü sonludur; geometrik olarak, bunların kutupları var cve iç yakınsama yarıçapı 0, böylece her ikisi de örtüşen bir halka üzerinde birleşirler.

Böylece tanımlarken resmi Laurent serisi biri yalnızca sonlu sayıda negatif terim içeren Laurent serisi gerektirir.

Benzer şekilde, iki yakınsak Laurent serisinin toplamının yakınsaması gerekmez, ancak her zaman resmi olarak tanımlanır, ancak Laurent serisinin (veya delinmiş bir diskteki herhangi bir Laurent serisinin) altında sınırlanmış iki toplamının boş olmayan bir yakınsama halkası vardır.

Ayrıca bir tarla için ${ displaystyle F}$ yukarıda tanımlanan toplam ve çarpma ile, resmi Laurent serisi bir alan oluşturur ${ displaystyle F ((x))}$ bu aynı zamanda halkanın kesirlerinin alanıdır ${ displaystyle F [[x]]}$ nın-nin biçimsel güç serisi.

Ayrıca bakınız

Puiseux serisi
Mittag-Leffler teoremi
Resmi Laurent serisi - Laurent serisi düşünüldü resmi olarak, keyfi bir katsayılarla değişmeli halka, yakınsama dikkate alınmadan ve yalnızca sonlu olarak birçok negatif terim, böylece çarpma her zaman tanımlanır.
Z-dönüşümü - Laurent serisinin yaklaşık sıfır alındığı özel durum, zaman serileri analizinde çok kullanılır.
Fourier serisi - ikame ${ displaystyle z = e ^ { pi iw}}$ Laurent serisini Fourier serisine dönüştürür veya tersine çevirir. Bu, q-seri genişlemesi jdeğişken.
Padé yaklaşımı - Başka bir teknik kullanıldığında Taylor serisi uygun değil

Referanslar

^ Rodriguez, Rubi; Kra, Irwin; Gilman, Jane P. (2012), Karmaşık Analiz: Lipman Bers'in Ruhunda, Matematik Yüksek Lisans Metinleri, 245, Springer, s. 12, ISBN 9781441973238.

Dış bağlantılar

[1] Rodriguez, Rubi; Kra, Irwin; Gilman, Jane P. (2012), Karmaşık Analiz: Lipman Bers'in Ruhunda, Matematik Yüksek Lisans Metinleri, 245, Springer, s. 12, ISBN 9781441973238.

[1]