Basit Lie gruplarının listesi - List of simple Lie groups

Bu makalenin olması önerildi birleşmiş içine Basit Lie grubu. (Tartışma) Aralık 2019'dan beri önerilmektedir.

Lie grupları
Klasik gruplar Genel doğrusal GL (n) Özel doğrusal SL (n) Dikey Ö(n) Özel ortogonal YANİ(n) Üniter U (n) Özel üniter SU (n) Semplektik Sp (n)
Basit Lie grupları Basit Lie gruplarının listesi Klasik Birn Bn Cn Dn Olağanüstü G2 F4 E6 E7 E8
Diğer Lie grupları Daire Lorentz Poincaré Uygun grup Diffeomorfizm Döngü Öklid
Lie cebirleri Lie grubu-Lie cebiri yazışmaları Üstel harita Eş temsil Öldürme formu Dizin Yalan noktası simetrisi Basit Lie cebiri
Yarıbasit Lie cebiri Dynkin diyagramları Cartan alt cebiri Kök sistem Weyl grubu Gerçek form Karmaşıklaştırma Bölünmüş Lie cebiri Kompakt Lie cebiri
Temsil teorisi Lie grubu gösterimi Lie cebiri gösterimi Yarıbasit Lie cebirlerinin temsil teorisi En yüksek ağırlığın teoremi Borel-Weil-Bott teoremi
Yalan grupları fizik Parçacık fiziği ve temsil teorisi Lorentz grubu gösterimleri Poincaré grubu temsilleri Galile grubu temsilleri
Bilim insanları Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Öldürme Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Sözlük Lie grupları tablosu

İçinde matematik, basit Lie grupları ilk olarak tarafından sınıflandırıldı Wilhelm Öldürme ve daha sonra mükemmelleştirildi Élie Cartan. Bu sınıflandırmaya genellikle Killing-Cartan sınıflandırması adı verilir.

Basit Lie gruplarının listesi aşağıdaki listeyi okumak için kullanılabilir. basit Lie cebirleri ve Riemann simetrik uzayları. Ayrıca bkz. Lie grupları tablosu daha küçük bir grup listesi için teorik fizik, ve Bianchi sınıflandırması en fazla 3 boyut grupları için.

Basit Lie grupları

Ne yazık ki, evrensel olarak kabul edilmiş bir tanım yoktur. basit Lie grubu. Özellikle, her zaman bir Lie grubu olarak tanımlanmaz. basit soyut bir grup olarak. Yazarlar, basit bir Lie grubunun bağlanması gerekip gerekmediği, ya da önemsiz olmayan bir merkeze sahip olmasına izin verilip verilmediğine veya R basit bir Lie grubudur.

En yaygın tanım, bir Lie grubunun bağlı olması, değişmemesi ve her kapalı olması durumunda basit olmasıdır. bağlı normal alt grup ya kimlik ya da tüm gruptur. Özellikle, basit grupların önemsiz olmayan bir merkeze sahip olmasına izin verilir, ancak R basit değil.

Bu makalede, önemsiz merkezli bağlantılı basit Lie grupları listelenmiştir. Bunlar bilindikten sonra, önemsiz olmayan merkezlere sahip olanları aşağıdaki gibi listelemek kolaydır. Önemsiz merkezi olan herhangi bir basit Lie grubunun bir evrensel kapak kimin merkezi temel grup basit Lie grubunun. Önemsiz olmayan merkeze sahip karşılık gelen basit Lie grupları, merkezin bir alt grubu tarafından bu evrensel örtünün bölümleri olarak elde edilebilir.

Basit Lie cebirleri

Basit bir Lie grubunun Lie cebiri basit bir Lie cebiridir. Bu, birbirine bağlı basit Lie grupları arasında bire bir yazışmadır. önemsiz merkez ve 1'den büyük boyuttaki basit Lie cebirleri (Yazarlar, tek boyutlu Lie cebirinin basit olarak sayılıp sayılmayacağı konusunda farklılık gösterirler.)

Karmaşık sayılar üzerinde yarıbasit Lie cebirleri, Dynkin diyagramları, "ABCDEFG" türleri. Eğer L gerçek basit bir Lie cebiridir, karmaşıklaştırması basit bir karmaşık Lie cebiridir L zaten bir Lie cebirinin karmaşıklaşmasıdır, bu durumda L iki nüsha ürünüdür L. Bu, gerçek basit Lie cebirlerini sınıflandırma sorununu tüm gerçek formlar her karmaşık basit Lie cebirinin (yani, karmaşıklaşması verilen karmaşık Lie cebiri olan gerçek Lie cebirleri). Her zaman bu tür en az 2 form vardır: bölünmüş form ve kompakt form ve genellikle birkaç tane daha vardır. Farklı gerçek formlar, karmaşık Lie cebirinin en fazla 2'sinde mertebedeki otomorfizm sınıflarına karşılık gelir.

Simetrik uzaylar

Simetrik uzaylar aşağıdaki şekilde sınıflandırılır.

İlk olarak, bir simetrik uzayın evrensel örtüsü hala simetriktir, bu nedenle basitçe bağlantılı simetrik uzaylar durumuna indirgeyebiliriz. (Örneğin, gerçek bir projektif düzlemin evrensel örtüsü bir küredir.)

İkincisi, simetrik uzayların çarpımı simetriktir, bu yüzden indirgenemez basitçe bağlantılı olanları da sınıflandırabiliriz (burada indirgenemez, daha küçük simetrik uzayların bir ürünü olarak yazılamayacakları anlamına gelir).

İndirgenemez basitçe bağlanmış simetrik uzaylar gerçek çizgidir ve her birine karşılık gelen tam olarak iki simetrik uzaydır. kompakt olmayan basit Lie grubu G, bir kompakt ve bir kompakt olmayan. Kompakt olmayan, bölüm bölümünün bir kapağıdır. G maksimal kompakt bir alt grup tarafından Hve kompakt olan, kompakt biçimin bölümünün bir kapağıdır. G aynı alt grup tarafından H. Kompakt ve kompakt olmayan simetrik uzaylar arasındaki bu ikilik, küresel ve hiperbolik geometri arasındaki iyi bilinen ikiliğin bir genellemesidir.

Hermit simetrik uzaylar

Uyumlu bir karmaşık yapıya sahip simetrik bir uzay Hermitian olarak adlandırılır. Kompakt, basitçe bağlanmış indirgenemez Hermitçi simetrik uzaylar, kalan 2 istisnai olmak üzere 4 sonsuz aileye ayrılır ve her birinin kompakt olmayan bir ikilisi vardır. Ek olarak, karmaşık düzlem aynı zamanda bir Hermitçi simetrik uzaydır; bu indirgenemez Hermitesel simetrik uzayların tam listesini verir.

Dört aile türü A III, B I ve D I'dir. p = 2, D III ve C I ve iki istisnai olan, 16 ve 27 karmaşık boyutlara sahip E III ve E VII tipleridir.

Gösterim

${ displaystyle mathbb {R, C, H, O}}$ gerçek sayıları, karmaşık sayıları temsil eder, kuaterniyonlar, ve sekizlik.

Gibi sembollerde E₆⁻²⁶ istisnai gruplar için, 26 üssü, maksimum kompakt alt grup üzerinde negatif tanımlı olan değişmez simetrik bir çift doğrusal formun imzasıdır. Bir maksimal kompakt alt grubun boyutunun iki katı eksi grubun boyutuna eşittir.

Aşağıdaki tabloda listelenen temel grup, önemsiz merkezli basit grubun temel grubudur. Aynı Lie cebirine sahip diğer basit gruplar, bu temel grubun alt gruplarına karşılık gelir (dış otomorfizm grubunun eylemini modulo).

Liste

Abelian

Kompakt

Bölünmüş

Karmaşık

Diğerleri

Küçük boyutlu basit Lie grupları

Aşağıdaki tablo, küçük boyutlu basit Lie cebirlerine sahip bazı Lie gruplarını listeler. Belirli bir doğrudaki grupların hepsi aynı Lie cebirine sahiptir. 1. boyut durumunda, gruplar değişkendir ve basit değildir.

Notlar

^† Grup R soyut bir grup olarak basit değildir ve tanımların çoğuna (ancak hepsine değil) göre bu basit bir Lie grubu değildir. Çoğu yazar onun Lie cebirini basit bir Lie cebiri olarak saymaz. İndirgenemez basitçe bağlantılı simetrik uzayların listesi tam olacak şekilde burada listelenmiştir. Bunu not et R kompakt bir ikilisi olmayan tek böyle kompakt olmayan simetrik uzaydır (kompakt bir bölümü olmasına rağmen S¹).

daha fazla okuma

• Besse, Einstein manifoldları ISBN  0-387-15279-2
• Helgason, Diferansiyel geometri, Lie grupları ve simetrik uzaylar. ISBN  0-8218-2848-7
• Fuchs ve Schweigert, Simetriler, Lie cebirleri ve temsiller: fizikçiler için yüksek lisans dersi. Cambridge University Press, 2003. ISBN  0-521-54119-0