Belirlenmemiş katsayılar yöntemi - Method of undetermined coefficients

Diferansiyel denklemler
Navier-Stokes diferansiyel denklemleri bir engelin etrafındaki hava akışını simüle etmek için kullanılır.
Dürbün Doğa Bilimleri Mühendislik Astronomi Fizik Kimya Biyoloji Jeoloji Uygulamalı matematik Süreklilik mekaniği Kaos teorisi Dinamik sistemler Sosyal Bilimler Ekonomi Nüfus dinamikleri
Sınıflandırma
Türler Sıradan Kısmi Diferansiyel cebirsel Integro-diferansiyel Kesirli Doğrusal Doğrusal olmayan Değişken türüne göre Bağımlı ve bağımsız değişkenler Otonom Karmaşık Birleştirilmiş / Ayrılmış Kesin Homojen  / Homojen olmayan Özellikleri Sipariş Şebeke Gösterim
Süreçlerle ilişki Fark (ayrık analog) Stokastik Stokastik kısmi Gecikme
Çözüm
Varoluş ve benzersizlik Picard-Lindelöf teoremi Peano varoluş teoremi Carathéodory'nin varoluş teoremi Cauchy-Kowalevski teoremi
Genel başlıklar Wronskiyen Faz portresi Faz boşluğu Lyapunov  / Asimptotik  / Üstel kararlılık Yakınsama oranı Dizi / Entegre çözümler Sayısal entegrasyon Dirac delta işlevi
Çözüm yöntemleri Muayene Özellikler yöntemi Euler Üstel yanıt formülü Sonlu fark  (Krank-Nicolson ) Sonlu elemanlar Sonsuz eleman Sonlu hacim Galerkin Petrov – Galerkin Bütünleyici faktör İntegral dönüşümler Pertürbasyon teorisi Runge-Kutta Değişkenlerin ayrılması Belirlenmemiş katsayılar Parametrelerin değişimi
İnsanlar Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Emile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta

İçinde matematik, belirsiz katsayılar yöntemi belirli homojen olmayanlara belirli bir çözüm bulmaya yönelik bir yaklaşımdır adi diferansiyel denklemler ve tekrarlama ilişkileri. İle yakından ilgilidir yok etme yöntemi ancak belirli bir tür kullanmak yerine diferansiyel operatör (yok edici) özel çözümün mümkün olan en iyi biçimini bulmak için, uygun biçime ilişkin bir "tahmin" yapılır ve daha sonra elde edilen denklem farklılaştırılarak test edilir. Karmaşık denklemler için, yok edici yöntemi veya parametrelerin değişimi gerçekleştirmek daha az zaman alır.

Belirlenmemiş katsayılar, olduğu kadar genel bir yöntem değildir. parametrelerin değişimi, çünkü yalnızca belirli biçimleri izleyen diferansiyel denklemler için çalışır.^[1]

Yöntemin açıklaması

Formun doğrusal homojen olmayan adi diferansiyel denklemini düşünün

${ displaystyle toplamı _ {i = 0} ^ {n} c_ {i} y ^ {(i)} + y ^ {(n + 1)} = g (x)}$

nerede ${ displaystyle y ^ {(i)}}$ i-inci türevini gösterir ${ displaystyle y}$, ve ${ displaystyle c_ {i}}$ bir fonksiyonunu gösterir ${ displaystyle x}$.

Belirlenmemiş katsayılar yöntemi, iki kriter karşılandığında bu ODE'ye çözüm elde etmek için basit bir yöntem sağlar:^[2]

1. ${ displaystyle c_ {i}}$ sabitler.
2. g (x) bir sabittir, bir polinom fonksiyonudur, üstel fonksiyondur ${ displaystyle e ^ { alpha x}}$sinüs veya kosinüs fonksiyonları ${ displaystyle sin { beta x}}$ veya ${ displaystyle cos { beta x}}$veya bu fonksiyonların sonlu toplamları ve ürünleri (${ displaystyle { alpha}}$, ${ displaystyle { beta}}$ sabitler).

Yöntem genel olanı bulmaktan oluşur homojen çözüm ${ displaystyle y_ {c}}$ tamamlayıcı doğrusal için homojen diferansiyel denklem

${ displaystyle toplamı _ {i = 0} ^ {n} c_ {i} y ^ {(i)} + y ^ {(n + 1)} = 0,}$

ve belirli bir integral ${ displaystyle y_ {p}}$ doğrusal homojen olmayan adi diferansiyel denklemin ${ displaystyle g (x)}$. Sonra genel çözüm ${ displaystyle y}$ doğrusal homojen olmayan adi diferansiyel denklemin

${ displaystyle y = y_ {c} + y_ {p}.}$^[3]

Eğer ${ displaystyle g (x)}$ iki işlevin toplamından oluşur ${ displaystyle h (x) + w (x)}$ ve bunu söylüyoruz ${ displaystyle y_ {p_ {1}}}$ çözüm temeli ${ displaystyle h (x)}$ ve ${ displaystyle y_ {p_ {2}}}$ dayalı çözüm ${ displaystyle w (x)}$. Ardından, bir Üstüste binme ilkesi, belirli integralin ${ displaystyle y_ {p}}$ dır-dir

${ displaystyle y_ {p} = y_ {p_ {1}} + y_ {p_ {2}}.}$^[3]

Belirli integralin tipik formları

Belirli integrali bulmak için, çözülmesi gereken değişkenler olarak bırakılan bazı katsayılarla formunu 'tahmin etmemiz' gerekir. Bu, tamamlayıcı fonksiyonun ilk türevi şeklini alır. Aşağıda bazı tipik işlevlerin bir tablosu ve bunlar için tahmin edilmesi gereken çözümler bulunmaktadır.

Fonksiyonu x	Form y
${ displaystyle ke ^ {ax} !}$	${ displaystyle Ce ^ {ax} !}$
${ displaystyle kx ^ {n}, ; n = 0,1,2, ldots !}$	${ displaystyle toplamı _ {i = 0} ^ {n} K_ {i} x ^ {i} !}$
${ displaystyle k cos (ax) { text {veya}} k sin (ax) !}$	${ displaystyle K çünkü (balta) + M sin (balta) !}$
${ displaystyle ke ^ {ax} cos (bx) { text {veya}} ke ^ {ax} sin (bx) !}$	${ displaystyle e ^ {ax} (K cos (bx) + M sin (bx)) !}$
${ displaystyle sol ( toplamı _ {i = 0} ^ {n} k_ {i} x ^ {i} sağ) cos (bx) { text {veya}} sol ( toplamı _ { i = 0} ^ {n} k_ {i} x ^ {i} sağ) sin (bx) !}$	${ displaystyle sol ( toplamı _ {i = 0} ^ {n} Q_ {i} x ^ {i} sağ) cos (bx) + sol ( toplamı _ {i = 0} ^ {n } R_ {i} x ^ {i} sağ) sin (bx)}$
${ displaystyle sol ( toplamı _ {i = 0} ^ {n} k_ {i} x ^ {i} sağ) e ^ {ax} cos (bx) { text {veya}} sol ( toplam _ {i = 0} ^ {n} k_ {i} x ^ {i} sağ) e ^ {ax} sin (bx) !}$	${ displaystyle e ^ {ax} sol ( sol ( toplamı _ {i = 0} ^ {n} Q_ {i} x ^ {i} sağ) cos (bx) + sol ( toplamı _ {i = 0} ^ {n} R_ {i} x ^ {i} sağ) sin (bx) sağ)}$

Yukarıdaki belirli integraldeki bir terim için y homojen çözümde ortaya çıkarsa, yeterince büyük bir güçle çarpmak gerekir. x çözümü bağımsız kılmak için. Eğer işlevi x yukarıdaki tablodaki terimlerin toplamıdır, belirli integral, karşılık gelen terimlerin toplamı kullanılarak tahmin edilebilir. y.^[1]

Örnekler

örnek 1

Denklemin belirli bir integralini bulun

${ displaystyle y '' + y = t cos t.}$

Sağ taraf t çünküt forma sahip

${ displaystyle P_ {n} e ^ { alpha t} cos { beta t}}$

ile n = 2, α = 0 ve β = 1.

Dan beri α + iβ = ben dır-dir basit bir kök karakteristik denklemin

${ displaystyle lambda ^ {2} + 1 = 0}$

formun belirli bir integralini denemeliyiz

${ displaystyle { begin {align} y_ {p} & = t left [F_ {1} (t) e ^ { alpha t} cos { beta t} + G_ {1} (t) e ^ { alpha t} sin { beta t} right] & = t left [F_ {1} (t) cos t + G_ {1} (t) sin t right] & = t left [ left (A_ {0} t + A_ {1} sağ) cos t + left (B_ {0} t + B_ {1} sağ) sin t right] & = left (A_ {0} t ^ {2} + A_ {1} t right) cos t + left (B_ {0} t ^ {2} + B_ {1} t right) sin t. son {hizalı}}}$

İkame y_p diferansiyel denklemde, kimliğimiz var

${ displaystyle { begin {align} t cos t & = y_ {p} '' + y_ {p} & = left [ left (A_ {0} t ^ {2} + A_ {1} t sağ) cos t + left (B_ {0} t ^ {2} + B_ {1} t sağ) sin t sağ] '' + sol [ sol (A_ {0} t ^ {2 } + A_ {1} t sağ) cos t + left (B_ {0} t ^ {2} + B_ {1} t sağ) sin t sağ] & = sol [2A_ {0 } cos t + 2 left (2A_ {0} t + A_ {1} right) (- sin t) + left (A_ {0} t ^ {2} + A_ {1} t sağ) (- cos t) + 2B_ {0} sin t + 2 left (2B_ {0} t + B_ {1} right) cos t + left (B_ {0} t ^ {2} + B_ { 1} t right) (- sin t) right] & qquad + left [ left (A_ {0} t ^ {2} + A_ {1} t right) cos t + left (B_ {0} t ^ {2} + B_ {1} t right) sin t right] & = [4B_ {0} t + (2A_ {0} + 2B_ {1})] cos t + [-4A_ {0} t + (- 2A_ {1} + 2B_ {0})] sin t. End {hizalı}}}$

Her iki tarafı da karşılaştırdığımızda

${ displaystyle { begin {case} 1 = 4B_ {0} 0 = 2A_ {0} + 2B_ {1} 0 = -4A_ {0} 0 = -2A_ {1} + 2B_ {0 } end {vakalar}}}$

çözümü olan

${ displaystyle A_ {0} = 0, quad A_ {1} = B_ {0} = { frac {1} {4}}, quad B_ {1} = 0.}$

Daha sonra belirli bir integrale sahibiz

${ displaystyle y_ {p} = { frac {1} {4}} t cos t + { frac {1} {4}} t ^ {2} sin t.}$

Örnek 2

Aşağıdaki doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemi düşünün:

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} = y + e ^ {x}.}$

Bu, homojen olmayan kısmın (${ displaystyle e ^ {x}}$) dır-dir değil homojen parçanın genel çözümünden doğrusal olarak bağımsız (${ displaystyle c_ {1} e ^ {x}}$); sonuç olarak, tahminimizi yeterince büyük bir güçle çarpmalıyız x doğrusal olarak bağımsız hale getirmek için.

İşte bizim tahminimiz şöyle:

${ displaystyle y_ {p} = Ax ^ {x}.}$

Bu fonksiyonu ve türevini diferansiyel denkleme yerleştirerek, Bir:

${ displaystyle { frac {d} {dx}} sol (Ax ^ {x} sağ) = Ax ^ {x} + e ^ {x}}$

${ displaystyle Ax ^ {x} + Ae ^ {x} = Ax ^ {x} + e ^ {x}}$

${ displaystyle A = 1.}$

Bu diferansiyel denklemin genel çözümü şudur:

${ displaystyle y = c_ {1} e ^ {x} + xe ^ {x}.}$

Örnek 3

Denklemin genel çözümünü bulun:

${ displaystyle { frac {dy} {dt}} = t ^ {2} -y}$

${ displaystyle t ^ {2}}$ 2. dereceden bir polinom olduğundan, aynı formu kullanarak bir çözüm arıyoruz,

${ displaystyle y_ {p} = At ​​^ {2} + Bt + C,}$

Bu özel işlevi, orijinal denklem verimine takmak,

${ displaystyle 2At + B = t ^ {2} - (^ {2} + Bt + C),}$

${ displaystyle 2At + B = (1-A) t ^ {2} -Bt-C}$

${ displaystyle (A-1) t ^ {2} + (2A + B) t + (B + C) = 0.}$

hangi verir:

${ displaystyle A-1 = 0, quad 2A + B = 0, quad B + C = 0.}$

Elde ettiğimiz sabitler için çözme:

${ displaystyle y_ {p} = t ^ {2} -2t + 2}$

Genel çözümü çözmek için,

${ displaystyle y = y_ {p} + y_ {c}}$

nerede ${ displaystyle y_ {c}}$ homojen çözüm ${ displaystyle y_ {c} = c_ {1} e ^ {- t}}$bu nedenle genel çözüm şudur:

${ displaystyle y = t ^ {2} -2t + 2 + c_ {1} e ^ {- t}}$

Referanslar

• Boyce, W. E .; DiPrima, R.C. (1986). Temel Diferansiyel Denklemler ve Sınır Değer Problemleri (4. baskı). John Wiley & Sons. ISBN  0-471-83824-1.
• Riley, K. F .; Bence, S. J. (2010). Fizik ve Mühendislik için Matematiksel Yöntemler. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-86153-3.
• Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry (1985). Sıradan Diferansiyel Denklemler. Dover. ISBN  978-0-486-64940-5.
• de Oliveira, Ö.R.B. (2013). "Belirsiz katsayıları ve yok edici yöntemleri ikame eden bir formül". Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 44 (3): 462–468. Bibcode:2013IJMES..44..462R. doi:10.1080 / 0020739X.2012.714496. S2CID  55834468.