Finansta Monte Carlo yöntemleri - Monte Carlo methods in finance

Monte Carlo yöntemleri kullanılır kurumsal Finansman ve matematiksel finans değer vermek ve analiz etmek (karmaşık) enstrümanlar, portföyler ve yatırımlar tarafından simülasyon değerlerini etkileyen çeşitli belirsizlik kaynakları ve daha sonra sonuçların sonuç aralığı üzerindeki değerlerinin dağılımını belirleme.^[1][2] Bu genellikle yardımıyla yapılır. stokastik varlık modelleri. Monte Carlo yöntemlerinin diğer tekniklere göre avantajı, problemin boyutları (belirsizlik kaynakları) arttıkça artar.

Monte Carlo yöntemleri ilk olarak 1964'te finansa David B. Hertz onun aracılığıyla Harvard Business Review makale,^[3] uygulamalarını tartışmak Kurumsal Finansman. 1977'de, Phelim Boyle simülasyonun kullanımına öncülük etti türev değerleme onun seminalinde Finansal Ekonomi Dergisi kağıt.^[4]

Bu makale, Monte Carlo yöntemlerinin kullanıldığı tipik finansal sorunları tartışmaktadır. Aynı zamanda "yarı rastgele" denen yöntemlerin kullanımına da değinmektedir. Sobol dizileri.

Genel Bakış

Monte Carlo yöntemi nicel problemlere çözüm bulmak için kullanılan herhangi bir istatistiksel örnekleme tekniğini kapsar.^[5] Esasen, Monte Carlo yöntemi bir sorunu doğrudan simülasyon temel (fiziksel) süreç ve ardından sürecin (ortalama) sonucunun hesaplanması.^[1] Bu çok genel yaklaşım aşağıdaki gibi alanlarda geçerlidir: fizik, kimya, bilgisayar Bilimi vb.

İçinde finans, Monte Carlo yöntemi, ürünün değerini etkileyen çeşitli belirsizlik kaynaklarını simüle etmek için kullanılır. müzik aleti, portföy veya yatırım söz konusu olabilir ve ardından temeldeki girdilerin bu olası değerleri verildiğinde temsili bir değer hesaplanır.^[1] ("Olasılıkları ile orantılı olarak akla gelebilecek tüm gerçek dünyadaki beklenmedik olayları kapsayan." ^[6]) Açısından finansal teori bu, esasen bir uygulamasıdır risksiz değerleme;^[7] Ayrıca bakınız risk tarafsızlığı.

Bazı örnekler:

• İçinde Kurumsal Finansman,^[8][9][10] proje finansmanı ^[8] ve gerçek opsiyon analizi,^[1] Monte Carlo Yöntemleri şu kişiler tarafından kullanılmaktadır: finansal analistler inşa etmek isteyen "stokastik "veya olasılığa dayalı geleneksel statik ve finansal modellerin aksine finansal modeller belirleyici modeller. Burada, bir projenin özelliklerini analiz etmek için net bugünkü değer (NBD), nakit akışı bileşenleri (büyük ölçüde ^[10]) tarafından etkilenen belirsizlik modellenmiştir, herhangi bir ilişki bunların arasında matematiksel olarak "rastgele özelliklerini" yansıtır. Daha sonra bu sonuçlar bir histogram NPV (yani projenin olasılık dağılımı ) ve potansiyel yatırımın ortalama NBD'si - yanı sıra uçuculuk ve diğer hassasiyetler - gözlemlenir. Bu dağılım, örneğin, projenin sıfırdan (veya başka bir değerden) daha büyük bir net bugünkü değere sahip olma olasılığının bir tahminine izin verir.^[11] Görmek Daha ileri Kurumsal finans altında.

• Değer verirken öz sermaye opsiyonu simülasyon, ilişkili hisse senedi ile birlikte, temel paylaşım için birkaç bin olası (ancak rastgele) fiyat yolu üretir. egzersiz yapmak değer (yani, her yol için seçeneğin "getirisi"). Bu getirilerin daha sonra ortalaması alınır ve indirimli bugüne kadar ve bu sonuç bugün seçeneğin değeridir.^[12] Özkaynak opsiyonlarının daha yaygın olarak kullanılarak değerlendiğini unutmayın. kafes tabanlı modeller, için yola bağlı egzotik türevler - gibi Asya seçenekleri - simülasyon, en yaygın olarak kullanılan değerleme yöntemidir; görmek Opsiyon fiyatlandırması için Monte Carlo yöntemleri daha fazlasıyla ilgili tartışma için - ve daha fazlası karmaşık - seçenek modelleme.

• Değer vermek sabit getirili araçlar ve faiz oranı türevleri Simüle edilen belirsizliğin altında yatan kaynak, kısa oran - yıllıklandırılmış faiz oranı bir işletmenin belirli bir süre için borç alabileceği; görmek Kısa oran modeli. Örneğin, tahviller, ve bağ seçenekleri,^[13] her olası evrimi altında faiz oranları farklı gözlemliyoruz verim eğrisi ve farklı sonuç tahvil fiyatı. Tahvil değerini belirlemek için, bu tahvil fiyatlarının ortalaması alınır; hisse senedi opsiyonlarında olduğu gibi tahvil opsiyonunu değerlemek için, karşılık gelen egzersiz değerleri ortalamalıdır ve bugünkü değerlidir. Değerlemede benzer bir yaklaşım kullanılır takas, takas,^[14] ve dönüştürülebilir tahviller.^[15] Eşitlik gelince, yola bağımlı faiz oranı türevleri - gibi CMO'lar - simülasyon, birincil kullanılan teknik;^[16] ("Gerçekçi faiz oranı simülasyonları oluşturmak için" Çok faktörlü kısa oranlı modeller bazen istihdam edilmektedir.^[17])

• Monte Carlo Yöntemleri portföy değerlendirme.^[18] Burada, her numune için bağlantılı Bileşen enstrümanları etkileyen faktörlerin davranışı zaman içinde simüle edilir, her enstrümanın sonuç değeri hesaplanır ve daha sonra portföy değeri gözlemlenir. Kurumsal finansmana gelince, yukarıda, çeşitli portföy değerleri daha sonra bir histogram, ve istatistiksel özellikler Portföyün% 50'si gözlemlenir ve portföy gerektiği gibi değerlendirilir. Hesaplamada benzer bir yaklaşım kullanılır riskteki değer,^[19][20] portföylere daha iyi bilinen bir simülasyon uygulaması.

• Monte Carlo Yöntemleri kişisel finansal planlama.^[21][22] Örneğin, genel piyasayı simüle ederek, bir 401 (k) izin veren emeklilik bir hedef gelir üzerinde hesaplanabilir. Uygun olduğu şekilde, söz konusu işçi emeklilik portföyüyle daha büyük riskler alabilir veya daha fazla para biriktirmeye başlayabilir.

• Ayrık olay simülasyonu önerilen bir değerlendirmede kullanılabilir sermaye yatırımı mevcut operasyonlar üzerindeki etkisi. Burada bir "mevcut durum" modeli oluşturulur. Doğru çalıştıktan sonra, test edildi ve onaylandı tarihsel verilere karşı simülasyon, önerilen sermaye yatırımını yansıtacak şekilde değiştirilir. Bu "gelecekteki durum" modeli daha sonra, maliyete göre (yukarıdaki histogram aracılığıyla) performanstaki iyileşmeyi (yani getiri) değerlendirerek yatırımı değerlendirmek için kullanılır; aynı zamanda kullanılabilir stres testi dizayn. Görmek Ayrık olay simülasyonu # Sermaye yatırımı kararlarının değerlendirilmesi.

Monte Carlo yöntemleri esneklik sağlasa ve birden fazla belirsizlik kaynağını idare edebilse de, bu tekniklerin kullanımı yine de her zaman uygun değildir. Genel olarak, simülasyon yöntemleri yalnızca birkaç durum değişkeni (yani birkaç belirsizlik kaynağı) olduğunda diğer değerleme tekniklerine tercih edilir.^[1] Bu teknikler ayrıca Amerikan tarzı türevlerin değerlemesinde sınırlı kullanım alanına sahiptir. Aşağıya bakınız.

Uygulanabilirlik

Karmaşıklık düzeyi

Birçok problem matematiksel finans belirli bir hesaplamayı gerektirir integral (örneğin, belirli bir özelliğin arbitrajsız değerini bulma sorunu türev ). Çoğu durumda bu integraller değerlenebilir analitik olarak ve daha fazla durumda bunlar kullanılarak değerlenebilir Sayısal entegrasyon veya bir kısmi diferansiyel denklem (PDE). Bununla birlikte, problemdeki boyutların (veya serbestlik derecelerinin) sayısı büyük olduğunda, PDE'ler ve sayısal integraller inatçı hale gelir ve bu durumlarda Monte Carlo yöntemleri genellikle daha iyi sonuçlar verir.

Üç veya dörtten fazla durum değişkeni için aşağıdaki gibi formüller Siyah okullar (yani analitik çözümler ) yokken, diğerleri Sayısal yöntemler benzeri Binom opsiyonları fiyatlandırma modeli ve sonlu fark yöntemleri birçok zorlukla karşı karşıya kalır ve pratik değildir. Bu durumlarda, Monte Carlo yöntemleri çözüme sayısal yöntemlere göre daha hızlı yakınlaşır, daha az bellek gerektirir ve programlanması daha kolaydır. Ancak daha basit durumlar için simülasyon daha iyi bir çözüm değildir çünkü çok zaman alıcıdır ve hesaplama açısından yoğundur.

Monte Carlo yöntemleri, yola bağlı getirileri olan türevleri oldukça basit bir şekilde ele alabilir. Öte yandan, Sonlu Fark (PDE) çözücüler yol bağımlılığı ile mücadele eder.

Amerikan seçenekleri

Monte-Carlo yöntemlerinin kullanılması daha zordur Amerikan seçenekleri. Bunun nedeni, bir kısmi diferansiyel denklem, Monte Carlo yöntemi gerçekten yalnızca belirli bir başlangıç ​​noktası ve zamanı varsayarak seçenek değerini tahmin eder.

Bununla birlikte, erken alıştırma için, simülasyon başlangıç ​​zamanı ile opsiyonun sona erme zamanı arasındaki ara zamanlarda opsiyon değerini bilmemiz gerekir. İçinde Siyah okullar PDE yaklaşımı bu fiyatlar kolayca elde edilir, çünkü simülasyon son kullanma tarihinden geriye doğru çalışır. Monte-Carlo'da bu bilgiyi elde etmek daha zordur, ancak örneğin, en küçük kareler Birkaç yıl sonra Longstaff ve Schwartz tarafından popüler hale getirilen Carriere algoritması (orijinal kağıda bağlantıya bakın) (orijinal kağıda bağlantıya bakın).

Monte Carlo yöntemleri

Matematiksel olarak

arbitrajsız fiyatlandırmanın temel teoremi bir türevin değerinin, türev getirisinin indirgenmiş beklenen değerine eşit olduğunu belirtir. beklenti altında alınır risksiz önlem ^[1]. Bir beklenti, dilinde saf matematik, sadece ölçüye göre bir integraldir. Monte Carlo yöntemleri, zor integralleri değerlendirmek için idealdir (ayrıca bkz. Monte Carlo yöntemi ).

Dolayısıyla, risksiz olasılık alanımızın ${ displaystyle mathbb {P}}$ ve bir dizi türe bağlı olan bir H türevimiz olduğunu temeldeki araçlar ${ displaystyle S_ {1}, ..., S_ {n}}$. Sonra bir örnek verildi ${ displaystyle omega}$ olasılık uzayından türevin değeri ${ displaystyle H (S_ {1} ( omega), S_ {2} ( omega), noktalar, S_ {n} ( omega)) =: H ( omega)}$. Türevin bugünkü değeri, olası tüm örnekler üzerinden beklenti alınarak ve risksiz kur üzerinden iskonto edilerek bulunur. Yani türevin değeri var:

${ displaystyle H_ {0} = {DF} _ {T} int _ { omega} H ( omega) , d mathbb {P} ( omega)}$

nerede ${ displaystyle {DF} _ {T}}$ ... indirim faktörü son vade tarihine kadar risksiz orana karşılık gelen T gelecek yıllar.

Şimdi integrali hesaplamanın zor olduğunu varsayalım. Örnek yolları üreterek ve sonra bir ortalama alarak integrali tahmin edebiliriz. N tane örnek ürettiğimizi varsayalım.

${ displaystyle H_ {0} yaklaşık {DF} _ {T} { frac {1} {N}} sum _ { omega in { text {örnek küme}}} H ( omega)}$

hesaplaması çok daha kolay.

Standart modeller için örnek yollar

Finansta, temeldeki rastgele değişkenlerin (temelde yatan hisse senedi fiyatı gibi) genellikle bir fonksiyonun bir fonksiyonu olan bir yolu izlediği varsayılır. Brown hareketi ². Örneğin, standartta Black – Scholes modeli hisse senedi fiyatı şu şekilde gelişir:

${ displaystyle dS = mu S , dt + sigma S , dW_ {t}.}$

0'dan T'ye kadar olan bu dağılımı takip eden bir yolu örneklemek için, zaman aralığını M uzunluk birimine böleriz ${ displaystyle delta t}$ve aralık üzerinden Brown hareketini yaklaştırın ${ displaystyle dt}$ ortalama 0 ve varyansın tek bir normal değişkeni ile ${ displaystyle delta t}$. Bu, örnek bir yol açar

${ displaystyle S (k delta t) = S (0) exp sol ( toplamı _ {i = 1} ^ {k} sol [ sol ( mu - { frac { sigma ^ {2 }} {2}} sağ) delta t + sigma varepsilon _ {i} { sqrt { delta t}} sağ] sağ)}$

her biri için k 1 ile M. Burada her biri ${ displaystyle varepsilon _ {i}}$ standart normal dağılımdan bir çekiştir.

Bir H türevinin ortalama değerini ödediğini varsayalım. S 0 ile T sonra örnek bir yol ${ displaystyle omega}$ bir kümeye karşılık gelir ${ displaystyle { varepsilon _ {1}, dots, varepsilon _ {M} }}$ ve

${ displaystyle H ( omega) = { frac {1} {M}} toplamı _ {k = 1} ^ {M} S (k delta t).}$

Bu türevin Monte-Carlo değerini oluşturarak elde ederiz. N bir çok M normal değişkenler, oluşturma N örnek yollar ve benzeri N değerleri Hve sonra ortalamanın alınması. Genellikle türev, iki veya daha fazla (muhtemelen ilişkili) temel unsurlara bağlı olacaktır. Buradaki yöntem, örnek yollarını oluşturan normal değişkenlerin uygun şekilde ilişkilendirildiği çeşitli değişkenlerin örnek yollarını oluşturmak için genişletilebilir.

Takip eder Merkezi Limit Teoremi örnek yollarının sayısının dört katına çıkarılması, simüle edilen fiyattaki hatayı yaklaşık olarak yarıya indirir (yani hatanın siparişi vardır ${ displaystyle epsilon = { mathcal {O}} sol (N ^ {- 1/2} sağ)}$ çözümün standart sapması anlamında yakınsama).

Pratikte Monte Carlo yöntemleri, en az üç değişken içeren Avrupa tarzı türevler için kullanılır (sayısal entegrasyonu içeren daha doğrudan yöntemler genellikle yalnızca bir veya iki temelli problemler için kullanılabilir. Görmek Monte Carlo seçenek modeli.

Yunanlılar

Tahminler "Yunanlılar "Bir seçeneğin", yani seçenek değerinin (matematiksel) türevleri, girdi parametrelerine göre sayısal farklılaştırma ile elde edilebilir. Bu zaman alıcı bir süreç olabilir (Monte Carlo işleminin tamamı, her "çarpma" veya küçük Ayrıca, sayısal türevlerin alınması, Monte Carlo değerindeki hatayı (veya gürültüyü) vurgulama eğilimindedir - bu da çok sayıda örnek yolu ile simülasyon yapmayı gerekli kılar. Uygulayıcılar, bu noktaları Monte'yi kullanırken önemli bir sorun olarak görürler. Carlo yöntemleri.

Varyans azaltma

Karekök yakınsaması yavaştır ve bu nedenle, yukarıda açıklanan naif yaklaşımı kullanmak, doğru bir sonuç elde etmek için çok sayıda örnek yolunun (örneğin tipik bir problem için 1 milyon) kullanılmasını gerektirir. Bir türevin fiyatı için bir tahmin edicinin rastgele bir değişken olduğunu ve bir risk yönetimi faaliyeti çerçevesinde, bir türev portföyünün fiyatı ve / veya riskleri üzerindeki belirsizliğin, optimal olmayan risk yönetimi kararlarına yol açabileceğini unutmayın.

Bu durum, şu şekilde hafifletilebilir: varyans azaltma teknikleri.

Antitetik yollar

Basit bir teknik, elde edilen her numune yolu için antitetik yolunu seçmektir - buna bir yol verilir ${ displaystyle { varepsilon _ {1}, dots, varepsilon _ {M} }}$ ayrıca almak ${ displaystyle {- varepsilon _ {1}, noktalar, - varepsilon _ {M} }}$. Değişkenlerden beri ${ displaystyle varepsilon _ {i}}$ ve ${ displaystyle - varepsilon _ {i}}$ antitetik bir çift oluşturduğunda, birinin büyük bir değerine diğerinin küçük bir değeri eşlik eder. Bu, birinci yoldan hesaplanan alışılmadık derecede büyük veya küçük bir çıktının, antitetik yoldan hesaplanan değerle dengelenebileceğini ve bu da varyansta bir azalma ile sonuçlanabileceğini gösterir.^[23] Bu sadece üretilmesi gereken normal örneklerin sayısını azaltmakla kalmaz N yollar, ama aynı zamanda, iki tahmin arasındaki negatif korelasyon gibi aynı koşullar altında, numune yollarının varyansını azaltarak doğruluğu artırır.

Kontrol değişken yöntemi

Ayrıca bir kontrol değişkeni. Bir türevin Monte Carlo değerini elde etmek istediğimizi varsayalım. H, ancak benzer bir türevin analitik olarak değerini bilin. Sonra H* = (Değeri H Monte Carlo'ya göre) + B * [(Değeri ben analitik olarak) - (Değeri ben aynı Monte Carlo yollarına göre)] daha iyi bir tahmindir, burada B, covar (H, I) / var (H) 'dır.

Türevlere uygulandığında bu tekniğin arkasındaki önsezi şudur: Bir türevin varyansının kaynağının doğrudan bu türevin risklerine (örneğin, delta, vega) bağlı olacağına dikkat edin. Bunun nedeni, örneğin, bir alt değerin ileri değerinin tahmin edicisindeki herhangi bir hatanın, bu ileri değere göre türevin deltasına bağlı olarak karşılık gelen bir hata oluşturmasıdır. Bunu göstermenin en basit örneği, paranın karşılığını veren bir aramayı fiyatlandırırken oluşan hatayı ve çok daha düşük bir deltaya sahip olan paranın karşılığını (yani, arama + koy) karşılaştırmaktan ibarettir.

Bu nedenle, türevi seçmenin standart bir yolu ben bir seçim yapmaktan ibarettir portföyleri çoğaltma için seçenekler H. Pratikte fiyat H varyans azaltma olmadan, deltaları ve vegazı hesaplayın ve ardından kontrol varyasyonu olarak aynı deltalara ve vegaza sahip çağrı ve koymaların bir kombinasyonunu kullanın.

Önem örneklemesi

Önem örneklemesi Monte Carlo yollarının farklı bir olasılık dağılımı (ölçü değişikliği olarak da bilinir) kullanılarak simüle edilmesinden oluşur; bu, simüle edilen alt değerin türevin getirisinin en fazla dışbükeyliğe sahip olduğu alanda (örneğin, basit bir seçenek durumunda grev). Simüle edilen getirilerin daha sonra basit bir Monte Carlo durumunda olduğu gibi basitçe ortalaması alınmaz, ancak ilk önce değiştirilmiş olasılık dağılımı ile orijinal olan (olasılık dağılımına özgü analitik formüllerle elde edilen) arasındaki olasılık oranı ile çarpılır. Bu, olasılık dağılımının değişmesiyle olasılıkları keyfi olarak artırılmış yolların düşük bir ağırlık ile ağırlıklandırılmasını sağlayacaktır (bu, varyansın nasıl azaldığıdır).

Bu teknik, bir türev üzerindeki riskleri hesaplarken özellikle yararlı olabilir. Bir Monte Carlo yöntemi kullanarak deltayı hesaplarken, en basit yol, siyah kutu Orijinal piyasa verileri üzerinde bir Monte Carlo ve değiştirilen piyasa verileri üzerinde bir tane daha yapmaktan oluşan teknik ve farkı yaparak riski hesaplayın. Bunun yerine, önem örnekleme yöntemi, keyfi bir referans piyasa verilerinde (ideal olarak varyansın mümkün olduğu kadar düşük olduğu) bir Monte Carlo yapmayı ve yukarıda açıklanan ağırlık değiştirme tekniğini kullanarak fiyatları hesaplamayı içerir. Bu, yoluyla elde edilenden çok daha istikrarlı olacak bir riskle sonuçlanır. siyah kutu yaklaşmak.

Yarı rastgele (düşük tutarsızlık) yöntemler

Rasgele örnekleme yolları üretmek yerine, alanı en iyi şekilde "doldurmak" için sistematik olarak (ve aslında tamamen belirleyici olarak, addaki "yarı-rasgele" olmasına rağmen) olasılık alanlarında noktalar seçmek mümkündür. Noktaların seçimi bir düşük tutarsızlık dizisi gibi Sobol dizisi. Düşük tutarsızlık dizisindeki noktalarda türev getirilerin ortalamalarını almak, genellikle rastgele noktalarda getirilerin ortalamasını almaktan daha etkilidir.

Notlar

1. Çoğunlukla beklentileri farklı ölçüler altında almak daha pratiktir, ancak bunlar hala temelde integraldir ve bu nedenle aynı yaklaşım uygulanabilir.
2. Daha genel süreçler, örneğin Lévy süreçleri, bazen de kullanılır. Bunlar da simüle edilebilir.

Ayrıca bakınız

• Finansta Quasi-Monte Carlo yöntemleri
• Monte Carlo yöntemi
• Tarihsel simülasyon (finans)
• Borsa simülatörü
• Gerçek opsiyon değerlemesi

Referanslar

Notlar

Nesne

• Boyle, P., Broadie, M. and Glasserman, P. Monte Carlo Methods for Security Pricing. Ekonomik Dinamikler ve Kontrol Dergisi, Cilt 21, Sorunlar 8-9, Sayfa 1267-1321
• Rubinstein, Samorodnitsky, Shaked. Antitetik Değişkenler, Çok Değişkenli Bağımlılık ve Stokastik Sistemlerin Simülasyonu. Management Science, Cilt. 31, No. 1, Ocak 1985, sayfalar 66–67

Kitabın

• Damiano Brigo, Fabio Mercurio (2001). Faiz Oranı Modelleri - Gülümseme, Enflasyon ve Kredi ile Teori ve Uygulama (2. baskı 2006 baskısı). Springer Verlag. ISBN  978-3-540-22149-4.
• Daniel J. Duffy ve Joerg Kienitz (2009). Monte Carlo Çerçeveleri: Özelleştirilebilir Yüksek Performanslı C ++ Uygulamaları Oluşturma. Wiley. ISBN  978-0470060698.
• Bruno Dupire (1998). Monte Carlo: fiyatlandırma ve risk yönetimi için metodolojiler ve uygulamalar. Risk.
• Paul Glasserman (2003). Finans mühendisliğinde Monte Carlo yöntemleri. Springer-Verlag. ISBN  0-387-00451-3.
• John C. Hull (2000). Opsiyonlar, vadeli işlemler ve diğer türevler (4. baskı). Prentice Hall. ISBN  0-13-015822-4.
• Peter Jaeckel (2002). Finansta Monte Carlo yöntemleri. John Wiley and Sons. ISBN  0-471-49741-X.
• Peter E. Kloeden ve Eckhard Platen (1992). Stokastik Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü. Springer - Verlag.
• Dessislava Pachamanova ve Frank J. Fabozzi (2010). Finansta Simülasyon ve Optimizasyon: MATLAB, @Risk veya VBA ile Modelleme. John Wiley and Sons. ISBN  978-0-470-37189-3.

Dış bağlantılar

Genel

• Monte Carlo simülasyonu (Kantitatif Finans Ansiklopedisi), Peter Jaeckel ve Eckhard Plateny
• Finansta MonteCarlo Simülasyonu, global-derivatives.com
• Monte Carlo Yöntemi, riskglossary.com
• Monte Carlo Çerçevesi, Finanstan Örnekler Martin Haugh, Kolombiya Üniversitesi
• Finansmana uygulanan Monte Carlo teknikleri, Simon Leger

Türev değerleme

• Monte Carlo simülasyonu Don M. Chance, Louisiana Eyalet Üniversitesi
• Simülasyonla seçenek fiyatlandırma, Bernt Arne Ødegaard, Norveç Yönetim Okulu
• Finansta Monte Carlo Yöntemlerinin Uygulamaları: Opsiyon Fiyatlandırması, Y. Lai ve J. Spanier, Claremont Lisansüstü Üniversitesi
• Monte Carlo Türev değerlemesi, devamı, Timothy L. Krehbiel, Oklahoma Eyalet Üniversitesi - Stillwater
• Basit bir Monte Carlo Simülasyonu kullanarak karmaşık seçenekleri fiyatlandırma, Peter Fink - quantnotes.com'da yeniden yazdırın
• Carriere tarafından Amerikan seçenekleri için En Küçük Kareler Monte-Carlo, 1996, ideas.repec.org
• Longstaff ve Schwartz tarafından Amerikan seçenekleri için En Küçük Kareler Monte-Carlo, 2001, repositories.cdlib.org
• Opsiyon fiyatlandırması için simülasyon kullanma, John Charnes

Kurumsal Finansman

• Monte Carlo Simülasyonu ile Gerçek Seçenekler Marco Dias, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
• Bir projenin NPV'sini hesaplamak için simülasyon kullanma, investcience.com
• Değerlemede Simülasyonlar, Karar Ağaçları ve Senaryo Analizi Prof. Aswath Damodaran, Stern İşletme Fakültesi
• Excel'de Monte Carlo yöntemi Prof.André Farber Solvay İşletme Okulu
• Satış tahmini, vertex42.com
• Monte Carlo simülasyonu kullanarak fiyatlandırma pratik bir örnek, Prof. Giancarlo Vercellino

Riske Maruz Değer ve portföy analizi

• Monte Carlo Riske Maruz Değer, riskglossary.com

Kişisel finans

• Yuva Yumurtanızı Boyutlandırmanın Daha İyi Bir Yolu, Businessweek Online: 22 Ocak 2001
• Kaynak kodlu çevrimiçi Monte Carlo emeklilik planlayıcısı Jim Richmond, 2006
• Ücretsiz elektronik tablo tabanlı emeklilik hesaplayıcısı ve Monte Carlo simülatörü, Eric C., 2008
• Emeklilik Simülasyonu
• Rastgele Yürüyüşleri Kullanan Finansal Planlama John Norstad, 2005
• Vanguard Nest Yumurta Hesaplayıcı, Öncü