Gereklilik ve yeterlilik - Necessity and sufficiency

İçinde mantık ve matematik, gereklilik ve yeterlilik tanımlamak için kullanılan terimlerdir şartlı veya ikisi arasındaki dolaylı ilişki ifadeler. Örneğin, koşullu ifadede: "Eğer P sonra Q", Q gerekli P için, çünkü P'nin gerçeği şu gerçeği garanti eder: Q (eşdeğer olarak, sahip olmak imkansızdır P olmadan Q).^[1]^[2] Benzer şekilde, P yeterli Q için, çünkü P'nin doğru olması her zaman Q'nun doğru olduğunu ima eder, ancak P'nin doğru olmaması her zaman Q'nun doğru olmadığı anlamına gelmez.^[3]

Genel olarak, gerekli bir koşul, başka bir koşulun ortaya çıkması için mevcut olması gereken bir koşul iken, yeterli bir koşul, söz konusu koşulu üreten bir koşuldur.^[4] Bir ifadenin "gerekli olduğu iddiası ve başka birinin yeterli "koşulu, önceki ifadenin doğru olduğu anlamına gelir ancak ve ancak ikincisi doğrudur.^[5] Yani, iki ifade aynı anda doğru veya aynı anda yanlış olmalıdır.^[6]^[7]^[8]

İçinde sıradan İngilizce, "gerekli" ve "yeterli" ifadeler değil, koşullar veya olaylar arasındaki ilişkileri gösterir. Örneğin erkek olmak kardeş olmanın şartıdır ama yeterli değildir - erkek kardeş olmak kardeş olmak için gerekli ve yeterli bir koşuldur.

Tanımlar

Koşullu ifadede, "eğer S, sonra N"ile temsil edilen ifade S denir öncül ve temsil edilen ifade N denir sonuç. Bu koşullu ifade birkaç eşdeğer şekilde yazılabilir, örneğin "N Eğer S", "S Yalnızca N", "S ima eder N", "N tarafından ima edilmektedir S", $S \to N$ , $S \Rightarrow N$ ve "N her ne zaman S".^[9]

Yukarıdaki durumda, N olduğu söyleniyor gerekli koşulu S. Ortak dilde, bu, koşullu ifade doğru bir ifade ise, sonuç olarak ortaya çıktığını söylemeye eşdeğerdir. N zorunlu doğru ol - eğer S doğru olmalıdır (bkz. üçüncü sütun "doğruluk şeması "hemen aşağıda). Başka bir deyişle, öncül S olmadan doğru olamaz N doğru olmak. Örneğin, birinin aranması için Socrates, bu birinin olması gerekli Named. Aynı şekilde insanın yaşaması için de hava alması gerekir.^[10]

Yukarıdaki durumda, ayrıca söylenebilir S bir yeterli koşulu N (hemen aşağıdaki doğruluk tablosunun üçüncü sütununa tekrar bakın). Koşullu ifade doğruysa, o zaman eğer S doğru, N doğru olmalı; oysa koşullu ifade doğruysa ve N doğruysa, S doğru veya yanlış olabilir. Ortak terimlerle "gerçeği" S gerçeğini garanti ediyor N".^[10] Örneğin, önceki örnekten devam edersek, birinin arandığını bilerek söylenebilir. Socrates, birinin sahip olduğunu bilmek için yeterlidir. Name.

Bir gerekli ve yeterli koşul, sonuçların her ikisinin de ${ displaystyle S Rightarrow N}$ ve ${ displaystyle N Rightarrow S}$ (ikincisi şu şekilde de yazılabilir: ${ displaystyle S Leftarrow N}$ ) tutun. İlk çıkarım şunu gösteriyor: S için yeterli bir koşuldur Nikinci çıkarım şunu öne sürüyor: S için gerekli bir koşuldur N. Bu, "S için gerekli ve yeterlidir N ", "S ancak ve ancak N "veya ${ displaystyle S Leftrightarrow N}$ .^[5]

Doğruluk şeması
$S$	$N$	${ displaystyle S Rightarrow N}$	${ displaystyle S Leftarrow N}$	${ displaystyle S Leftrightarrow N}$
T	T	T	T	T
T	F	F	T	F
F	T	T	F	F
F	F	T	T	T

Gereklilik

Güneşin ufkun üzerinde olması, doğrudan güneş ışığı için gerekli bir koşuldur; ancak bu yeterli bir koşul değildir, çünkü başka bir şey gölge düşürüyor olabilir, örneğin bir durumda ay gibi tutulma.

İddiası Q için gerekli P konuşma dilinde "P olmadıkça doğru olamaz Q doğrudur "veya" eğer Q yanlışsa, o zaman P yanlıştır ".^[10]^[2] Tarafından zıtlık Bu, "her zaman" ile aynı şey P doğru, öyle Q".

Arasındaki mantıksal ilişki P ve Q "if" olarak ifade edilir P, sonra Q"ve gösterildi"P ⇒ Q" (P ima eder Q). Ayrıca, "P Yalnızca Q", "Q, Eğer P", "Q her ne zaman P", ve "Q ne zaman P". Örneğin matematiksel düzyazıda sık sık, birlikte ele alındığında yeterli koşulu oluşturan birkaç gerekli koşul bulunur (yani, bireysel olarak gerekli ve birlikte yeterli^[10]), Örnek 5'te gösterildiği gibi.

örnek 1

"John'un bir bekar" olduğu doğru olması için, onun da doğru olması gerekir.

evlenmemiş
erkek,
yetişkin,

çünkü "John bir bekardır" demek, John'un bu üç ek yüklemler.

Örnek 2: İkiden büyük tam sayılar için, tek olmak asal olmak için gereklidir, çünkü iki hem çift hem de asal olan tek tam sayıdır.

Örnek 3: Yıldırımın neden olduğu ses olan gök gürültüsünü düşünün. Şimşek gök gürültüsü olmadan asla gerçekleşmediği için gök gürültüsünün yıldırım için gerekli olduğu söylenir. Yıldırım olduğunda gök gürültüsü vardır. Gökgürültüsü sebep olmaz yıldırım (şimşek gök gürültüsüne neden olduğu için), ancak şimşek her zaman gök gürültüsüyle birlikte geldiğinden, şimşek için gök gürültüsünün gerekli olduğunu söylüyoruz. (Yani, biçimsel anlamda zorunluluk nedensellik anlamına gelmez.)

Örnek 4: ABD Senatosunda görev yapmak için en az 30 yaşında olmak gerekir. 30 yaşın altındaysanız, senatör olmanız imkansızdır. Yani, senatör iseniz, en az 30 yaşında olmanız gerektiği sonucu çıkar.

Örnek 5: İçinde cebir, bazı Ayarlamak S ile birlikte operasyon ${ displaystyle yıldız}$ oluşturmak için grup bu gerekli ${ displaystyle yıldız}$ olmak ilişkisel. Ayrıca gerekli S özel bir unsur içerir e öyle ki her biri için x içinde Sdurum budur e ${ displaystyle yıldız}$ x ve x ${ displaystyle yıldız}$ e her ikisi de eşit x. Ayrıca her biri için gerekli x içinde S karşılık gelen bir eleman var x ″öyle ki ikisi de x ${ displaystyle yıldız}$ x ″ ve x ″ ${ displaystyle yıldız}$ x özel öğeye eşittir e. Bu üç gerekli koşulun hiçbiri tek başına yeterli değildir, ancak bağlaç üçün.

Yeterlilik

Bir trenin tarifeli olarak çalışması, zamanında varmak için yeterli bir koşul olabilir (eğer biri trene biner ve zamanında kalkarsa, o zaman biri zamanında varır); ancak bu her zaman gerekli bir koşul değildir, çünkü seyahat etmenin başka yolları da vardır (tren zamanında gitmezse, başka ulaşım araçlarıyla yine zamanında varabilir).

Eğer P için yeterli Qsonra bilmek P doğru olmak, şu sonuca varmak için yeterli gerekçedir Q doğru; ancak bilerek P yanlış olması, asgari bir sonuca varma ihtiyacını karşılamaz Q yanlış.

Mantıksal ilişki, daha önce olduğu gibi, "eğer P, sonra Q"veya"P ⇒ Q". Bu aynı zamanda"P Yalnızca Q", "P ima eder Q"veya birkaç başka varyant. Örnek 5'te gösterildiği gibi, birkaç yeterli koşul birlikte alındığında, tek bir gerekli koşulu (yani, bireysel olarak yeterli ve müştereken gerekli) oluşturabilir.

örnek 1: "John bir kraldır", John'un erkek olduğunu ima eder. Bu yüzden John'un bir kral olduğunu bilmek onun bir erkek olduğunu bilmek için yeterlidir.

Örnek 2: Bir sayının 4'e bölünebilmesi, çift olması için yeterlidir (ancak gerekli değildir), ancak 2'ye bölünebilmesi hem yeterli hem de gereklidir.

Örnek 3: Şimşek meydana gelmesi, şimşek duyması anlamında şimşek oluşması için yeterli bir koşuldur ve bunu açıkça tanımak, bir şimşek olduğu sonucunu haklı çıkarır.

Örnek 4: ABD Kongresi bir yasa tasarısını kabul ederse, başkanın tasarıyı imzalaması onu yasallaştırmak için yeterlidir. Başkanın tasarıyı imzalamaması durumunda, örneğin bir başkanlık yapmak suretiyle veto, tasarının kanun haline gelmediği anlamına gelmez (örneğin, bir kongre ile yine de kanun haline gelebilirdi. geçersiz kılmak ).

Örnek 5: Bir merkezin iskambil kart tek bir büyük maça (♠) ile işaretlenmelidir, kartın as olması için yeterlidir. Diğer üç yeterli koşul, kartın merkezinin tek bir elmas (♦), kalp (♥) veya sopayla (♣) işaretlenmiş olmasıdır. Kartın as olması için bu koşullardan hiçbiri gerekli değildir, ancak ayrılma çünkü hiçbir kart bu koşullardan en az (aslında tam olarak) birini yerine getirmeden as olamaz.

Zorunluluk ve yeterlilik arasındaki ilişki

Mor bölgede olmak A bölgesinde olmak için yeterlidir, ancak gerekli değildir. Mor bölgede olmak için A'da olmak gerekli ama yeterli değil. Mor bölgede olmak için A'da olmak ve B'de olmak gerekli ve yeterlidir.

Bir koşul, diğeri olmadan gerekli veya yeterli olabilir. Örneğin, olmak memeli (N) gereklidir ancak yeterli değildir insan olmak (S) ve bu bir sayı ${ displaystyle x}$ mantıklı (S) yeterlidir ancak gerekli değildir ${ displaystyle x}$ olmak gerçek Numara (N) (rasyonel olmayan gerçek sayılar olduğu için).

Bir koşul hem gerekli hem de yeterli olabilir. Örneğin, şu anda "bugün Temmuzun dördü "bugün için gerekli ve yeterli bir koşuldur" Bağımsızlık Günü içinde Amerika Birleşik Devletleri ". Benzer şekilde, gerekli ve yeterli bir koşul tersinirlik bir matris M bu mu M sıfırdan farklıdır belirleyici.

Matematiksel olarak, gereklilik ve yeterlilik çift bir başkasına. Herhangi bir ifade için S ve N, iddiası "N için gerekli S"şu iddiaya eşdeğerdir"S için yeterli N". Bu dualitenin bir başka yönü, yukarıda gösterildiği gibi, gerekli koşulların bağlaçlarının (" ve "kullanılması) yeterliliğe ulaşırken, yeterli koşulların (" veya "kullanılması) ayrılıkların gerekliliği sağlayabilmesidir. Üçüncü bir yön için, her şeyi tanımlayın. matematiksel yüklem N set ile T(N) nesnelerin, olayların veya ifadelerin N doğrudur; sonra gerekliliğini ileri sürerek N için S iddia etmekle eşdeğerdir T(N) bir süperset nın-nin T(S), yeterliliğini iddia ederken S için N iddia etmekle eşdeğerdir T(S) bir alt küme nın-nin T(N).

Eşzamanlı ihtiyaç ve yeterlilik

Bunu söylemek P için gerekli ve yeterlidir Q iki şey söylemek:

o P için gerekli Q, ${ displaystyle P Leftarrow Q}$ , ve şu P için yeterli Q, ${ displaystyle P Rightarrow Q}$ .
eşdeğer olarak şunu söylemek anlaşılabilir ki P ve Q diğeri için gerekli, ${ displaystyle P Rightarrow Q land Q Rightarrow P}$ her biri olarak da ifade edilebilir için yeterli veya ima eder diğeri.

Kişi bu davalardan herhangi birini ve dolayısıyla tümünü şu ifadeyle özetleyebilir: "P ancak ve ancak Q"ile gösterilir ${ displaystyle P Leftrightarrow Q}$ vakalar bize şunu söyler ${ displaystyle P Leftrightarrow Q}$ özdeş ${ displaystyle P Rightarrow Q land Q Rightarrow P}$ .

Örneğin, grafik teorisi grafik G denir iki parçalı her bir köşesine rengi atamak mümkünse siyah veya beyaz öyle ki her köşesi G her rengin bir uç noktasına sahiptir. Ve herhangi bir grafiğin iki parçalı olması için tek uzunluk içermemesi gerekli ve yeterli bir koşuldur. döngüleri. Bu nedenle, bir grafiğin herhangi bir tuhaf döngüye sahip olup olmadığını keşfetmek, birine bunun iki taraflı olup olmadığını ve tersi olduğunu söyler. Bir filozof^[11] bu durumu şu şekilde karakterize edebilir: "İki taraflılık ve tuhaf döngülerin yokluğu kavramları birbirinden farklı olsa da niyet, aynı uzantı.^[12]

Matematikte teoremler genellikle "P doğrudur ancak ve ancak Q doğrudur ". Delilleri normalde önce yeterliliği kanıtlar, ör. ${ displaystyle P Rightarrow Q}$ . İkincisi, bunun tersi kanıtlanmıştır, ${ displaystyle Q Rightarrow P}$

ya doğrudan varsayarsak Q doğrudur ve Q dairesinin P içinde bulunduğunu gösterir veya
tersine Bu, P çemberinin dışına adım attığımızda, Q: P olmadığını varsayarsak, Q sonuçları değil.

Bu, Q ve P için dairelerin yukarıdaki Venn diyagramlarında eşleştiğini kanıtlıyor.

Çünkü bir önceki bölümde açıkladığımız gibi birinin diğerine gerekliliği, diğerinin birincisi için yeterliliğine eşdeğerdir, ör. ${ displaystyle P Leftarrow Q}$ dır-dir eşittir ${ displaystyle Q Rightarrow P}$ , Eğer P için gerekli ve yeterlidir Q, sonra Q için gerekli ve yeterlidir P. Yazabiliriz ${ displaystyle P Leftrightarrow Q equiv Q Leftrightarrow P}$ ve ifadelerin "P doğru ancak ve ancak Q, doğrudur "ve"Q doğrudur ancak ve ancak P doğrudur "eşdeğerdir.

Ayrıca bakınız

Gerekli ve yeterli koşulları içeren argüman formları

Geçerli argüman biçimleri

Modus ponens

P1) Eğer A ise B

P2) A

C) Bu nedenle B

Modus geçiş ücretleri

P1) Eğer A ise B

P2) B Değil

C) Dolayısıyla A Değildir

Varsayımsal Hececilik

P1) Eğer A ise B

P2) Eğer B ise C

C) Bu nedenle eğer A ise C

Ayrık Syllogism

P1) A veya B

P2) A Değil (veya B Değil)

C) Bu nedenle B (veya A)

Yapıcı İkilem

P1) A veya B

P2) Eğer A ise C

P3) Eğer B ise D

C) Bu nedenle C veya D

Geçersiz argüman biçimleri (yani yanlışlıklar)

Referanslar

^ "Yüksek Matematik Jargonunun Kesin Sözlüğü - Gereklilik". Matematik Kasası. 2019-08-01. Alındı 2019-12-02.
^ ^a ^b "[M06] Gereklilik ve yeterlilik". felsefe.hku.hk. Alındı 2019-12-02.
^ Bloch, Ethan D. (2011). İspatlar ve Temeller: Soyut Matematikte İlk Kurs. Springer. sayfa 8-9. ISBN 978-1-4419-7126-5.
^ Gerekli Karmaşa (2019-05-15). "Yeterli Koşul ile Gerekli Karışıklık". www.txstate.edu. Alındı 2019-12-02.
^ ^a ^b "Yüksek Matematik Jargonunun Kesin Sözlüğü - Iff". Matematik Kasası. 2019-08-01. Alındı 2019-12-02.
^ Betz, Frederick (2011). Bilimi Yönetmek: Metodoloji ve Araştırma Organizasyonu. New York: Springer. s. 247. ISBN 978-1-4419-7487-7.
^ Manktelow, K. I. (1999). Muhakeme ve Düşünme. Doğu Sussex, UK: Psychology Press. ISBN 0-86377-708-2.
^ Asnina, Erika; Osis, Janis & Jansone, Asnate (2013). "Topolojik İlişkilerin Biçimsel Tanımlaması". Veritabanları ve Bilgi Sistemleri VII: 175. doi:10.3233/978-1-61499-161-8-175.
^ Devlin Keith (2004), Kümeler, Fonksiyonlar ve Mantık / Soyut Matematiğe Giriş (3. baskı), Chapman & Hall, s. 22–23, ISBN 978-1-58488-449-1
^ ^a ^b ^c ^d "Gerekli Koşullar ve Yeterli Koşullar Kavramı". www.sfu.ca. Alındı 2019-12-02.
^ Stanford Üniversitesi astarı, 2006.
^ "Bu anlamda anlamlar genellikle niyetlerve belirtilen şeyler, uzantılar. Önemli olan tek şeyin uzantı olduğu bağlamlar, doğal olarak, genişleyen, uzantının yeterli olmadığı bağlamlar ise içgüdüsel. Matematik tipik olarak baştan sona genişlemelidir. " Stanford Üniversitesi astarı, 2006.

Dış bağlantılar

Eleştirel düşünme web eğitimi: Gerekli ve Yeterli Koşullar
Simon Fraser Universitesi: Örneklerle kavramlar

[1] "Yüksek Matematik Jargonunun Kesin Sözlüğü - Gereklilik". Matematik Kasası. 2019-08-01. Alındı 2019-12-02.

[:0-2] "[M06] Gereklilik ve yeterlilik". felsefe.hku.hk. Alındı 2019-12-02.

[3] Bloch, Ethan D. (2011). İspatlar ve Temeller: Soyut Matematikte İlk Kurs. Springer. sayfa 8-9. ISBN 978-1-4419-7126-5.

[4] Gerekli Karmaşa (2019-05-15). "Yeterli Koşul ile Gerekli Karışıklık". www.txstate.edu. Alındı 2019-12-02.

[:1-5] "Yüksek Matematik Jargonunun Kesin Sözlüğü - Iff". Matematik Kasası. 2019-08-01. Alındı 2019-12-02.

[betz-6] Betz, Frederick (2011). Bilimi Yönetmek: Metodoloji ve Araştırma Organizasyonu. New York: Springer. s. 247. ISBN 978-1-4419-7487-7.

[Manktelow-7] Manktelow, K. I. (1999). Muhakeme ve Düşünme. Doğu Sussex, UK: Psychology Press. ISBN 0-86377-708-2.

[asnina-8] Asnina, Erika; Osis, Janis & Jansone, Asnate (2013). "Topolojik İlişkilerin Biçimsel Tanımlaması". Veritabanları ve Bilgi Sistemleri VII: 175. doi:10.3233/978-1-61499-161-8-175.

[9] Devlin Keith (2004), Kümeler, Fonksiyonlar ve Mantık / Soyut Matematiğe Giriş (3. baskı), Chapman & Hall, s. 22–23, ISBN 978-1-58488-449-1

[:2-10] "Gerekli Koşullar ve Yeterli Koşullar Kavramı". www.sfu.ca. Alındı 2019-12-02.

[stan-11] Stanford Üniversitesi astarı, 2006.

[12] "Bu anlamda anlamlar genellikle niyetlerve belirtilen şeyler, uzantılar. Önemli olan tek şeyin uzantı olduğu bağlamlar, doğal olarak, genişleyen, uzantının yeterli olmadığı bağlamlar ise içgüdüsel. Matematik tipik olarak baştan sona genişlemelidir. " Stanford Üniversitesi astarı, 2006.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]