PostBQP - PostBQP

İçinde hesaplama karmaşıklığı teorisi, PostBQP bir karmaşıklık sınıfı hepsinden oluşan hesaplama problemleri çözülebilir polinom zamanı bir kuantum Turing makinesi ile seçim sonrası ve sınırlı hata (algoritmanın tüm girişlerde zamanın en az 2 / 3'ü doğru olması anlamında).

Son seçim, gerçekçi bir bilgisayarın (kuantum bile olsa) sahip olabileceği bir özellik olarak kabul edilmez, ancak yine de son seçim makineleri teorik açıdan ilginçtir.

İki ana özellikten birini (kuantumluk, son seçim) kaldırmak PostBQP her ikisi de alt kümeleri olan aşağıdaki iki karmaşıklık sınıfını verir PostBQP:

• BQP aynıdır PostBQP son seçim hariç
• BPP_yol aynıdır PostBQP Kuantum yerine, algoritmanın klasik bir rastgele algoritma olması dışında (son seçimli)^[1]

Ek olarak seçim sonrası kuantum Turing makinelerini çok daha güçlü hale getiriyor gibi görünüyor: Scott Aaronson kanıtlanmış^[2][3] PostBQP eşittir PP, nispeten güçlü olduğuna inanılan bir sınıf, oysa BQP görünüşte daha küçük olan sınıfı içerdiği bile bilinmiyor NP. Aaronson, benzer teknikleri kullanarak, kuantum hesaplama yasalarındaki küçük değişikliklerin önemli etkileri olacağını da kanıtladı. Spesifik örnekler olarak, aşağıdaki iki değişiklikten birinde, "yeni" sürümü BQP eşit olur PP:

• 'kuantum kapısı' tanımını yalnızca üniter işlemleri değil, doğrusal işlemleri de içerecek şekilde genişlettiysek veya
• temel bir durumu ölçme olasılığı ${displaystyle | xangle}$ orantılıydı ${displaystyle | alfa _ {x} | ^ {p}}$ onun yerine ${displaystyle | alpha _ {x} | ^ {2}}$ herhangi bir tam sayı için p> 2.

Temel özellikler

Bazı özelliklerini tanımlamak için PostBQP kuantum son seçimi tanımlamanın resmi bir yolunu düzeltiriz. Bir kuantum algoritması tanımlayın kuantum devreleri (özellikle bir tek tip devre ailesi ). Bir kübiti seçim sonrası kübit P ve diğeri çıktı kübit Q. Sonra PostBQP son seçim kübitinin | 1> olması olayı üzerine sonradan seçim yapılarak tanımlanır. Açıkça bir dil L bir kuantum algoritması varsa PostBQP'de Bir böylece koştuktan sonra Bir girişte x ve iki kübiti ölçmek P ve Q,

• P = Sıfır olmayan olasılıkla 1
• eğer giriş x içinde L sonra Pr [Q = 1|P = 1] ≥ 2/3
• eğer giriş x içinde değil L sonra Pr [Q = 0|P = 1] ≥ 2/3.

Algoritmanın sonunda tek bir son seçim adımına izin vermenin (yukarıda açıklandığı gibi) veya algoritma sırasında ara son seçim adımlarına izin vermenin eşdeğer olduğu gösterilebilir.^[2][4]

İşte üç temel özelliği PostBQP (aynı zamanda BQP benzer kanıtlar aracılığıyla):

1. PostBQP dır-dir tamamlayıcı altında kapalı. Bir dil verildiğinde L içinde PostBQP ve ilgili bir karar devresi ailesi, ölçümden sonra çıkış kübitini çevirerek yeni bir devre ailesi oluşturun, ardından yeni devre ailesi, L içinde PostBQP.

2. Yapabilirsin olasılık büyütme içinde PostBQP. Tanımı PostBQP Tanımındaki 2/3 değerini, kesinlikle 1/2 ile 1 arasında başka bir sabitle değiştirirsek değişmez. Örnek olarak, PostBQP algoritma Bir başarı olasılığı 2/3 ile, üç bağımsız kopya çalıştıran başka bir algoritma oluşturabiliriz. Bir, şuna eşit bir son seçim biti verir bağlaç üç "iç" olanı içerir ve şuna eşit bir çıktı biti verir: çoğunluk üç "iç" olanın; yeni algoritma koşullu olasılıkla doğru olacaktır ${displaystyle (2/3) ^ {3} +3 (1/3) (2/3) ^ {2} = 20/27}$, orijinal 2 / 3'ten daha büyük.

3. PostBQP dır-dir altında kapalı kavşak. Varsayalım ki bizde PostBQP iki dil için devre aileleri L1 ve L2, ilgili son seçim kübitleri ve çıktı kübitleri ile P1, P2, Q1, Q2. Olasılık büyütmesiyle, her iki devre ailesinin de en az 5/6 başarı olasılığına sahip olduğunu varsayabiliriz. Daha sonra, devrelerin bulunduğu birleşik bir algoritma oluşturuyoruz. L1 ve L2 bağımsız olarak çalıştırılıyor ve P kavuşumuna P1 ve P2, ve Q kavuşumuna Q1 ve S2. Tarafından görmek zor değil sendika sınırı bu bileşik algoritmanın üyeliğe doğru şekilde karar verdiğini ${displaystyle L1cap L2}$ (koşullu) olasılıkla en az 2/3.

Daha genel olarak, bu fikirlerin kombinasyonları şunu göstermektedir: PostBQP sendika ve BQP doğruluk tablosu indirimleri kapsamında kapatıldı.

PostBQP = PP

Scott Aaronson gösterdi^[5] karmaşıklık sınıfları PostBQP (sonradan seçilmiş sınırlı hata kuantum polinom zamanı) ve PP (olasılıksal polinom zamanı) eşittir. Sonuç önemliydi çünkü bu kuantum hesaplama yeniden formülasyonu PP yeni içgörüler ve özelliklerin daha basit kanıtlarını verdiPP.

A'nın olağan tanımı PostBQP devre ailesi iki outbit kübiti olan bir ailedir P (seçim sonrası) ve Q (çıktı) tek bir ölçümle P ve Q sonunda öyle ki ölçme olasılığı P = 1 sıfırdan farklı bir olasılığa sahiptir, koşullu olasılık Pr [Q = 1|P = 1] ≥ 2/3 eğer girişx dilde ve Pr [Q = 0|P = 1] ≥ 2/3 eğer giriş x dilde değil. Teknik nedenlerden dolayı tanımını değiştiriyoruz PostBQP aşağıdaki gibi: Pr [P = 1] ≥ 2^−nc bazı sabitler için c devre ailesine bağlı olarak. Bu seçimin, temel özellikleri PostBQP ve ayrıca tipik kapılardan oluşan herhangi bir hesaplamanın (örneğin Hadamard, Toffoli) bu özelliğe Pr [P = 1] > 0.

PostBQP ⊆ PP'nin kanıtlanması

Diyelim ki bize bir PostBQP bir dile karar vermek için devre ailesiL. Genelliği kaybetmeden varsayıyoruz (ör. kuantum bilgisayarların gereksiz özellikleri ) tüm kapıların, bir kübit daha ekleme pahasına gerçek sayılarla temsil edilen geçiş matrislerine sahip olduğu.

İzin Vermek Ψ seçim sonrası ölçüm yapılmadan önce devrenin son kuantum durumunu gösterir. İspatın genel amacı, bir kanıt oluşturmaktır. PP karar verecek algoritma L. Daha spesifik olarak sahip olmak yeterlidir L doğru kare genliğini karşılaştırın Ψ eyaletlerde Q = 1, P = 1 kare genliğine Ψ eyaletlerde Q = 0, P = 1 hangisinin daha büyük olduğunu belirlemek için. Temel kavrayış, bu genliklerin karşılaştırılmasının, bir kabul olasılığının karşılaştırılmasına dönüştürülebilmesidir. PP 1/2 ile makine.

PostBQP algoritmalarının matris görünümü

İzin Vermek n giriş boyutunu belirtir, B = B(n) Devredeki toplam kübit sayısını (girişler, yardımcı, çıkış ve son seçim kübitleri) gösterir ve G = G(n) toplam kapı sayısını gösterir. bengeçiş matrisi ile th kapı Bir^ben (gerçek bir üniter ${displaystyle 2 ^ {B} imes 2 ^ {B}}$ matris) ve başlangıç ​​durumu |x> (sıfırlarla doldurulmuş). Sonra ${displaystyle Psi = A ^ {G} A ^ {G-1} noktalarb A ^ {2} A ^ {1} | xangle}$. Tanımlamak S₁ (resp. S₀) karşılık gelen temel durumlar kümesi olmak P = 1, Q = 1 (resp. P = 1, Q = 0) ve olasılıkları tanımlayın

${displaystyle pi _ {1}: = {ext {Pr}} [P = 1, Q = 1] = S_'de _ {omega toplamı {1}} Psi _ {omega} ^ {2}}$

${displaystyle pi _ {0}: = {ext {Pr}} [P = 1, Q = 0] = S_ {0}} Psi _ {omega} ^ {2} 'da _ {omega toplamı.}$

Tanımı PostBQP ya sağlar ${displaystyle pi _ {1} geq 2pi _ {0}}$ veya ${displaystyle pi _ {0} geq 2pi _ {1}}$ göre x içinde L ya da değil.

bizim PP makine karşılaştıracak ${displaystyle pi _ {1}}$ ve ${displaystyle pi _ {0}}$. Bunu yapmak için matris çarpımının tanımını genişletiyoruz:

${displaystyle Psi _ {omega} = toplam _ {alpha _ {1}, ldots, alpha _ {G}} A_ {omega, alpha _ {G}} ^ {G} A_ {alpha _ {G}, alpha _ { G-1}} ^ {G-1} noktalarb A_ {alpha _ {3}, alpha _ {2}} ^ {2} A_ {alpha _ {2}, alpha _ {1}} ^ {1} x_ { alfa _ {1}}}$

toplamın tüm listelerinin üzerinden alındığı G temel vektörler ${displaystyle alpha _ {i}}$. Şimdi ${displaystyle pi _ {1}}$ ve ${displaystyle pi _ {0}}$ bu terimlerin ikili çarpımlarının toplamı olarak ifade edilebilir. Sezgisel olarak, kabul olasılığı şunun gibi bir makine tasarlamak istiyoruz: ${displaystyle {frac {1} {2}} (1 + pi _ {1} -pi _ {0})}$, o zamandan beri ${displaystyle xin L}$ kabul olasılığının ${displaystyle {frac {1} {2}} (1 + pi _ {1} -pi _ {0})> {frac {1} {2}}}$, süre ${displaystyle xot L olarak}$ kabul olasılığının ${displaystyle {frac {1} {2}} (1 + pi _ {1} -pi _ {0}) <{frac {1} {2}}}$.

Tekniklik: geçiş matrislerinin girişlerini kabul edebiliriz Bir^ben paydalı rasyoneldir 2^f(n) bazı polinomlar için f(n).

Tanımı PostBQP bize bunu söyler ${displaystyle pi _ {1} geq {frac {2} {3}} (pi _ {0} + pi _ {1})}$ Eğer x içinde Lve aksi halde ${displaystyle pi _ {0} geq {frac {2} {3}} (pi _ {0} + pi _ {1})}$. Tüm girişleri değiştirelim Bir paydalı en yakın kesire göre ${displaystyle 2 ^ {f (n)}}$ büyük bir polinom için ${displaystyle f (n)}$ şu anda tarif ettiğimiz. Daha sonra kullanılacak olan şey, yeni π değerler tatmin eder ${displaystyle pi _ {1}> {frac {1} {2}} (pi _ {0} + pi _ {1})}$ Eğer x içinde L, ve ${displaystyle pi _ {0}> {frac {1} {2}} (pi _ {0} + pi _ {1})}$ Eğer x içinde değil L. Önceki teknik varsayımı kullanarak ve hesaplama durumunun 1-normunun nasıl değiştiğini analiz ederek, bu, eğer ${displaystyle (1 + 2 ^ {- f (n)} 2 ^ {B}) ^ {G} -1 <{frac {1} {6}} 2 ^ {- n ^ {c}},}$ bu nedenle yeterince büyük f bu polinomdurn.

PP makinesini inşa etmek

Şimdi bizim ayrıntılı uygulamasını sağlıyoruz PP makine. İzin Vermek α sırayı belirtmek ${displaystyle {alpha _ {i}} _ {i = 1} ^ {G}}$ ve steno gösterimi tanımlayın

${displaystyle Pi (A, omega, alpha, x): = A_ {omega, alpha _ {G}} ^ {G} A_ {alpha _ {G}, alpha _ {G-1}} ^ {G-1} noktalarb A_ {alpha _ {3}, alpha _ {2}} ^ {2} A_ {alpha _ {2}, alpha _ {1}} ^ {1} x_ {alpha _ {1}}}$,

sonra

${displaystyle pi _ {1} -pi _ {0} = toplam _ {omega in S_ {1}} toplam _ {alpha, alpha '} Pi (A, omega, alpha, x) Pi (A, omega, alpha' , x) -sum _ {omega in S_ {0}} toplam _ {alpha, alpha '} Pi (A, omega, alpha, x) Pi (A, omega, alpha', x).}$

Biz tanımlıyoruz PP makineye

• bir temel durum seçin ω tekdüze rastgele
• Eğer ${S_ {0} S_ fincanında {1}} displaystyle omega ot$ sonra DUR ve 1/2 olasılıkla kabul et, 1/2 olasılıkla reddet
• iki sıra seç ${displaystyle alpha, alpha '}$ nın-nin G temel durumlar tekdüze olarak rastgele
• hesaplamak ${displaystyle X = Pi (A, omega, alpha, x) Pi (A, omega, alpha ', x)}$ (paydalı bir kesirdir ${displaystyle 2 ^ {2f (n) G (n)}}$ öyle ki ${displaystyle -1leq Xleq 1}$)
• Eğer ${S_'de displaystyle omega {1}}$ sonra olasılıkla kabul et ${displaystyle {frac {1 + X} {2}}}$ ve olasılıkla reddetmek ${displaystyle {frac {1-X} {2}}}$ (en fazla ${displaystyle 2f (n) G (n) +1}$ bozuk para çevirme)
• aksi takdirde (sonra ${S_'de displaystyle omega {0}}$) olasılıkla kabul et ${displaystyle {frac {1-X} {2}}}$ ve olasılıkla reddetmek ${displaystyle {frac {1 + X} {2}}}$ (yine en fazla ${displaystyle 2f (n) G (n) +1}$ bozuk para çevirme)

O halde, bu makinenin olasılıkla kabul ettiğini hesaplamak kolaydır.${displaystyle {frac {1} {2}} + {frac {pi _ {1} -pi _ {0}} {2 ^ {1 + B (n) + 2B (n) G (n)}}}, }$yani bu bir PP dil için makine L, ihyaç olduğu gibi.

PP ⊆ PostBQP'yi kanıtlama

Diyelim ki bir PP zaman karmaşıklığına sahip makine T: = T (n) girişte x uzunluk n: = | x |. Böylece makine en fazla bozuk parayı çevirir T hesaplama sırasında kez. Böylece makineyi deterministik bir fonksiyon olarak görebiliriz f (örneğin klasik bir devre ile uygulanır) iki giriş (x, r) nerede r, ikili uzunluk dizisi T, hesaplama ile gerçekleştirilen rastgele bozuk para çevirmelerinin sonuçlarını ve f 1 (kabul et) veya 0 (reddet). Tanımı PP bize bunu söyler

${displaystyle xin LLeftrightarrow # {rin {0,1} ^ {T} mid f (x, r) = 1} geq 2 ^ {T-1}}$

Böylece bir PostBQP Yukarıdaki ifadenin doğru olup olmadığını belirleyebilen algoritma.

Tanımlamak s kabul edilmeye yol açan rastgele dizelerin sayısı olmak,

${displaystyle s: = # {rin {0,1} ^ {T} mid f (x, r) = 1}}$

ve bu yüzden ${displaystyle 2 ^ {T} -s}$ reddedilen dizelerin sayısıdır.Genelliği kaybetmeden tartışmak basittir, ${{0,2 ^ {T} / 2,2 ^ {T}} içinde displaystyle sot$; ayrıntılar için benzerine bakın genelliği kaybetmeden varsayım kanıtla PP tamamlama altında kapalı.

Aaronson algoritması

Aaronson'un bu problemi çözmek için kullandığı algoritma aşağıdaki gibidir. Basit olması için, tüm kuantum durumlarını normalize edilmemiş olarak yazacağız. Önce devleti hazırlıyoruz ${displaystyle toplamı _ {xin {0,1} ^ {T}} | xangle | f (x) açısı}$. İkincisi, uygularız Hadamard kapıları ilk kayda (her biri ilk T qubitler), ilk kaydı ölçün ve hepsi sıfır olan dizge üzerinde son seçim yapın. Bunun kalan durumda son kayıttan (son kübit) ayrıldığını doğrulamak kolaydır.

${displaystyle | psi açısı: = (2 ^ {T} -s) | 0angle + s | 1angle.}$

Nerede H Hadamard kapısını gösterir, durumu hesaplıyoruz

${displaystyle H | psi açısı = (2 ^ {T} | 0angle + (2 ^ {T} -2s) | 1angle) / {sqrt {2}}}$.

Nerede ${displaystyle alpha, eta}$ daha sonra seçilecek pozitif gerçek sayılardır ${displaystyle alpha ^ {2} + eta ^ {2} = 1}$, durumu hesaplıyoruz ${displaystyle alpha | 0angle | psi açısı + eta | 1angle | Hpsi açısı}$ ve ikinci kübiti ölçün, değerinin 1'e eşit olmasına göre sonradan seçim yapın, bu da ilk kübiti şuna bağlı olarak artık durumda bırakır ${displaystyle eta / alpha}$ gösterdiğimiz

${displaystyle | phi _ {eta / alpha} açı: = alpha s | 0angle + {frac {eta} {sqrt {2}}} (2 ^ {T} -2s) | 1angle}$.

Bir kübitin olası durumlarını bir daire olarak görselleştirdiğimizde, eğer ${ekran stili> 2 ^ {T-1}}$, (yani ${displaystyle xin L}$) sonra ${displaystyle phi _ {eta / alpha}}$ açık çeyrekte yatıyor ${displaystyle Q_ {acc}: = (- | 1angle, | 0angle)}$ eğer ${ekran stili <2 ^ {T-1}}$, (yani ${displaystyle xot L olarak}$) sonra ${displaystyle phi _ {eta / alpha}}$ açık çeyrekte yatıyor ${displaystyle Q_ {rej}: = (| 0angle, | 1angle)}$. Aslında herhangi bir sabit x (ve karşılık gelen s), oranı değiştirdikçe ${displaystyle eta / alpha}$ içinde ${displaystyle (0, infty)}$, görüntüsünün ${displaystyle | phi _ {eta / alpha} açı}$ tam olarak karşılık gelen açık kadrandır. İspatın geri kalanında, bu iki kadranı ayırt edebileceğimiz fikrini kesinleştiriyoruz.

Analiz

İzin Vermek ${displaystyle | + açı = (| 1angle + | 0angle) / {sqrt {2}}}$merkezi olan ${displaystyle Q_ {rej}}$ve izin ver ${displaystyle | -angle}$ ortogonal olmak ${displaystyle | + açı}$. Herhangi bir kübit ${displaystyle Q_ {acc}}$temelde ölçüldüğünde ${displaystyle {| + açı, | -angle}}$değeri verir ${displaystyle | + açı}$ zamanın 1 / 2'sinden az. Öte yandan, eğer ${L cinsinden displaystyle xot}$ ve biz seçtik ${displaystyle eta / alpha = r ^ {*}: = {sqrt {2}} s / (2 ^ {T} -2s)}$ sonra ölçmek ${displaystyle | phi _ {eta / alpha} açısı}$ temelde ${displaystyle {| + açı, | -angle}}$ değer verirdi ${displaystyle | + açı}$ tüm zamanların. Bilmediğimiz için s biz de kesin değerini bilmiyoruz r *, ancak birkaç (polinomik olarak çok) farklı değeri deneyebiliriz ${displaystyle eta / alpha}$ "yakın" olanı elde etme umuduyla r *.

Özellikle not ${displaystyle 2 ^ {- T}$ ve sırayla ayarlayalım ${displaystyle eta / alpha}$ formun her değerine ${displaystyle 2 ^ {i}}$ için ${displaystyle -Tleq ileq T}$. Daha sonra temel hesaplamalar gösteriyor ki bu değerlerden biri için ben, ölçümünün olasılığı ${displaystyle | phi _ {2 ^ {i}} açı}$ temelde ${displaystyle {| + açı, | -angle}}$ verim ${displaystyle | + açı}$ en azından ${displaystyle (3 + 2 {sqrt {2}}) / 6approx 0,971.}$

Genel olarak, PostBQP algoritma aşağıdaki gibidir. İzin Vermek k kesinlikle 1/2 ile ${displaystyle (3 + 2 {sqrt {2}}) / 6}$Her biri için aşağıdaki deneyi yapıyoruz ${displaystyle -Tleq ileq T}$: oluşturma ve ölçme ${displaystyle | phi _ {2 ^ {i}} açı}$ temelde ${displaystyle {| + açı, | -angle}}$ toplamda ${displaystyle Clog T}$ nerede C sabittir. Oranı ise ${displaystyle | + açı}$ ölçümler daha büyüktür k, sonra reddedin. Herhangi birini reddetmezsek ben, kabul etmek. Chernoff sınırları sonra yeterince büyük bir evrensel sabit için Cdoğru bir şekilde sınıflandırıyoruz x en az 2/3 olasılıkla.

Bu algoritmanın, genel son seçim olasılığının çok küçük olmadığı teknik varsayımını karşıladığını unutmayın: ${displaystyle | phi _ {2 ^ {i}} açı}$ seçim sonrası olasılığı var ${displaystyle 1/2 ^ {O (T)}}$ ve dolayısıyla genel olasılık ${displaystyle 1/2 ^ {O (T ^ {2} günlük T)}}$.

Çıkarımlar

• Görmek Kuantum hesaplama yeniden formülasyonu PP

Referanslar