Hesaplamalı akışkanlar dinamiği - Computational fluid dynamics

Bu makale genel bir liste içerir Referanslar, ancak büyük ölçüde doğrulanmamış kalır çünkü yeterli karşılık gelmiyor satır içi alıntılar. Lütfen yardım edin geliştirmek bu makale tanıtım daha kesin alıntılar. (2014 Eylül) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Hesaplamalı fizik
Mekanik  · Elektromanyetik  · Termodinamik  · Simülasyon
Potansiyeller Morse / Uzun menzilli potansiyeli  · Lennard-Jones potansiyeli  · Yukawa potansiyeli  · Mors potansiyeli
Akışkan dinamiği Sonlu fark  · Sonlu hacim Sonlu elemanlar  · Sınır öğesi Kafes Boltzmann  · Riemann çözücü Dağıtıcı parçacık dinamikleri Düzleştirilmiş parçacık hidrodinamiği Türbülans modelleri
Monte Carlo yöntemleri Entegrasyon  · Gibbs örneklemesi  · Metropolis algoritması
Parçacık N-gövde  · Hücredeki partikül Moleküler dinamik
Bilim insanları Godunov  · Ulam  · von Neumann  · Galerkin  · Lorenz  · Wilson

Bir aerodinamik paketinin simülasyonu Porsche Cayman (987.2).

Hesaplamalı akışkanlar dinamiği (CFD) bir dalı akışkanlar mekaniği o kullanır Sayısal analiz ve veri yapıları içeren sorunları analiz etmek ve çözmek sıvı akışları. Bilgisayarlar, sıvının serbest akışını ve sıvının etkileşimini simüle etmek için gerekli hesaplamaları yapmak için kullanılır (sıvılar ve gazlar ) ile tanımlanan yüzeylerle sınır şartları. Yüksek hızlı süper bilgisayarlar daha iyi çözümler elde edilebilir ve genellikle en büyük ve en karmaşık problemleri çözmek için gereklidir. Devam eden araştırmalar, aşağıdakiler gibi karmaşık simülasyon senaryolarının doğruluğunu ve hızını artıran bir yazılım sağlar. transonik veya çalkantılı akışlar. Bu tür bir yazılımın ilk doğrulaması tipik olarak deneysel aparat kullanılarak gerçekleştirilir. rüzgar tünelleri. Ek olarak, daha önce gerçekleştirildi analitik veya ampirik karşılaştırma için belirli bir problemin analizi kullanılabilir. Son bir doğrulama genellikle tam ölçekli test kullanılarak gerçekleştirilir. uçuş testleri.

CFD, aşağıdakiler dahil olmak üzere birçok çalışma ve endüstride çok çeşitli araştırma ve mühendislik problemlerine uygulanır. aerodinamik ve havacılık analizi, hava durumu simülasyonu, doğa bilimi ve Çevre Mühendisliği endüstriyel sistem tasarımı ve analizi, Biyolojik Mühendislik, sıvı akar ve ısı transferi, ve motor ve yanma analizi.

Arka plan ve tarih

Yüksek hızlı hava akışının bilgisayar simülasyonu Uzay mekiği yeniden giriş sırasında.

Simülasyonu Hyper-X scramjet araç operasyonda Mach -7

Neredeyse tüm CFD sorunlarının temel temeli, Navier-Stokes denklemleri, birçok tek fazlı (gaz veya sıvı, ancak ikisi birden değil) sıvı akışını tanımlayan. Bu denklemler, açıklayan terimler kaldırılarak basitleştirilebilir. yapışkan vermek için eylemler Euler denklemleri. Açıklayan terimleri kaldırarak daha fazla basitleştirme girdaplık verir tam potansiyel denklemler. Sonunda, küçük için tedirginlikler ses altı ve süpersonik akışlar (değil transonik veya hipersonik ) bu denklemler olabilir doğrusallaştırılmış doğrusallaştırılmış potansiyel denklemleri elde etmek için.

Tarihsel olarak, yöntemler ilk olarak doğrusallaştırılmış potansiyel denklemleri çözmek için geliştirildi. İki boyutlu (2D) yöntemler, konformal dönüşümler akışın bir silindir bir hakkındaki akışa kanat 1930'larda geliştirildi.^[1]

Modern CFD'ye benzeyen en eski hesaplama türlerinden biri aşağıdakilerdir: Lewis Fry Richardson bu hesaplamaların sonlu farkları kullanması ve hücrelerdeki fiziksel alanı bölmesi anlamında. Önemli ölçüde başarısız olsalar da, bu hesaplamalar, Richardson'un "Sayısal süreçle hava durumu tahmini" kitabıyla birlikte,^[2] modern CFD ve sayısal meteorolojinin temelini oluşturur. Aslında, 1940'lardaki erken CFD hesaplamaları ENIAC Richardson'un 1922 kitabındakilere yakın yöntemler kullandı.^[3]

Bilgisayar gücü mevcut tempolu geliştirme 3 boyutlu yöntemler. Muhtemelen, sıvı akışını modellemek için bilgisayar kullanan ilk çalışma, Navier-Stokes denklemleri tarafından yönetilen Los Alamos Ulusal Laboratuvarı, T3 grubunda.^[4][5] Bu gruba liderlik edildi Francis H. Harlow, CFD'nin öncülerinden biri olarak kabul edilen. 1957'den 1960'ların sonlarına kadar, bu grup, geçici iki boyutlu sıvı akışlarını simüle etmek için çeşitli sayısal yöntemler geliştirdi. Hücredeki partikül yöntem (Harlow, 1957),^[6] Hücrede sıvı yöntem (Gentry, Martin ve Daly, 1966),^[7]Girdap akışı işlevi yöntem (Jake Fromm, 1963),^[8] veİşaretçi ve hücre yöntemi (Harlow ve Welch, 1965).^[9] Fromm'un 2B, geçici, sıkıştırılamaz akış için girdap-akış işlevi yöntemi, dünyadaki sıkıştırılamaz akışları güçlü bir şekilde büken ilk tedaviydi.

Üç boyutlu modele sahip ilk makale John Hess tarafından yayınlandı ve A.M.O. Smith nın-nin Douglas Uçağı 1967'de.^[10] Bu yöntem, geometrinin yüzeyini panellerle ayrıklaştırdı ve bu sınıf programların Panel Yöntemleri olarak adlandırılmasına yol açtı. Kaldırma akışlarını içermemesi ve dolayısıyla esas olarak gemi gövdelerine ve uçak gövdelerine uygulandığı için yöntemlerinin kendisi basitleştirildi. İlk kaldırma Paneli Kodu (A230), 1968'de Boeing Aircraft'tan Paul Rubbert ve Gary Saaris tarafından yazılan bir makalede açıklandı.^[11] Zamanla, daha gelişmiş üç boyutlu Panel Kodları geliştirildi. Boeing (PANAIR, A502),^[12] Lockheed (Quadpan),^[13] Douglas (HESS),^[14] McDonnell Uçağı (MACAERO),^[15] NASA (PMARC)^[16] ve Analitik Yöntemler (WBAERO,^[17] USAERO^[18] ve VSAERO^[19][20]). Bazıları (PANAIR, HESS ve MACAERO), yüzey tekilliklerinin daha yüksek sıralı dağılımlarını kullanan daha yüksek dereceli kodlardı, diğerleri (Quadpan, PMARC, USAERO ve VSAERO) her yüzey panelinde tek tekillikler kullandı. Daha düşük sıra kodlarının avantajı, zamanın bilgisayarlarında çok daha hızlı çalışmasıydı. Bugün, VSAERO çok sıralı bir kod haline geldi ve bu sınıfın en yaygın kullanılan programıdır. Birçok geliştirilmesinde kullanılmıştır. denizaltılar, yüzey gemiler, otomobiller, helikopterler, uçak ve daha yakın zamanda rüzgar türbinleri. Kardeş kodu USAERO, yüksek hızlı trenler ve yarışlar gibi şeyleri modellemek için de kullanılan kararsız bir panel yöntemidir. yatlar. VSAERO'nun eski bir sürümünden ve CMARC adlı bir PMARC türevinden NASA PMARC kodu,^[21] ayrıca ticari olarak da mevcuttur.

İki boyutlu alanda, kanat profili analizi ve tasarımı için bir dizi Panel Kodu geliştirilmiştir. Kodlar tipik olarak bir sınır tabakası analiz dahil, böylece viskoz etkiler modellenebilir. Richard Eppler [de ] PROFİL kodunu, kısmen NASA finansmanı ile geliştirdi ve 1980'lerin başında kullanıma sunuldu.^[22] Bunu kısa süre sonra takip etti Mark Drela 's XFOIL kodu.^[23] Hem PROFILE hem de XFOIL, kanat profili analiz çalışması için birleştirilmiş sınır katmanı kodlarına sahip iki boyutlu panel kodları içerir. PROFİL, bir konformal dönüşüm ters kanat tasarımı için yöntem, XFOIL ise kanat profili tasarımı için hem uyumlu bir dönüşüm hem de ters panel yöntemine sahiptir.

Panel Kodları ve Tam Potansiyel kodları arasındaki bir ara adım, Transonik Küçük Bozulma denklemlerini kullanan kodlardı. Özellikle üç boyutlu WIBCO kodu,^[24] tarafından geliştirilen Charlie Boppe Grumman Uçağı 1980'lerin başında yoğun kullanım gördü.

Panel yöntemleri, mevcut doğrusal olmayan akışı hesaplayamadığı için geliştiriciler Tam Potansiyel kodlarına yöneldi. transonik hızlar. Tam Potansiyel denklemlerini kullanmanın bir yolunun ilk açıklaması Earll Murman tarafından yayınlandı ve Julian Cole Boeing'den 1970 yılında.^[25] Frances Bauer, Paul Garabedyan ve David Korn Courant Enstitüsü'nün New York Üniversitesi (NYU), en önemlisi Program H olarak adlandırılan, yaygın olarak kullanılan bir dizi iki boyutlu Tam Potansiyel kanat kodu yazdı.^[26] Bob Melnik ve grubu tarafından H Programı'nın bir başka büyümesi geliştirildi. Grumman Aerospace Grumfoil olarak.^[27] Antony Jameson aslen Grumman Aircraft ve NYU Courant Enstitüsü'nde, önemli üç boyutlu Tam Potansiyel kodu FLO22'yi geliştirmek için David Caughey ile birlikte çalıştı.^[28] Bundan sonra Boeing'in Tranair (A633) koduyla sonuçlanan birçok Tam Potansiyel kodu ortaya çıktı.^[29] Hala yoğun kullanım görüyor.

Bir sonraki adım, transonik akışlar için daha doğru çözümler sunmayı vaat eden Euler denklemleriydi. Jameson'un üç boyutlu FLO57 kodunda kullandığı metodoloji^[30] (1981) Lockheed'in TEAM programı gibi programları üretmek için başkaları tarafından kullanıldı^[31] ve IAI / Analitik Yöntemlerin MGAERO programı.^[32] MGAERO, yapılandırılmış olması bakımından benzersizdir. Kartezyen örgü kodu, bu tür diğer kodların çoğu yapılandırılmış gövdeye oturtulmuş ızgaralar kullanırken (NASA'nın son derece başarılı CART3D kodu hariç,^[33] Lockheed'in SPLITFLOW kodu^[34] ve Georgia Tech NASCART-GT).^[35] Antony Jameson ayrıca üç boyutlu UÇAK kodunu geliştirdi^[36] yapılandırılmamış dört yüzlü ızgaralardan yararlanan.

İki boyutlu alemde, Mark Drela ve Michael Giles, daha sonra MIT'de yüksek lisans öğrencileri, ISES Euler programını geliştirdiler.^[37] (aslında bir program paketi) kanat tasarımı ve analizi için. Bu kod ilk olarak 1986'da kullanıma sunuldu ve MSES programı olarak tek veya çok elemanlı kanat profillerini tasarlamak, analiz etmek ve optimize etmek için daha da geliştirildi.^[38] MSES, tüm dünyada yaygın olarak kullanılmaktadır. Kaskadda kanat profillerinin tasarımı ve analizi için MSES'in bir türevi MISES'tir,^[39] Harold Youngren tarafından MIT'de yüksek lisans öğrencisiyken geliştirildi.

Navier-Stokes denklemleri, geliştirmenin nihai hedefiydi. İlk olarak NASA Ames'in ARC2D kodu gibi iki boyutlu kodlar ortaya çıktı. Bir dizi üç boyutlu kod geliştirildi (ARC3D, TAŞMAK CFL3D, çok sayıda ticari pakete yol açan üç başarılı NASA katkısıdır.

Akışkan akış denklemlerinin hiyerarşisi

CFD, sıvı akışını yöneten denklemleri çözmek için kullanılan bir grup hesaplama yöntemi (aşağıda tartışılmıştır) olarak görülebilir. CFD'nin uygulanmasında kritik bir adım, eldeki problem için hangi fiziksel varsayımların ve ilgili denklemlerin kullanılması gerektiğine karar vermektir.^[40] Bu adımı açıklamak için, aşağıda tek fazlı bir akışın denklemlerinde alınan fiziksel varsayımlar / basitleştirmeler özetlenmektedir (bkz. çok fazlı akış ve iki fazlı akış ), tek tür (yani bir kimyasal türden oluşur), reaksiyona girmez ve (aksi belirtilmedikçe) sıkıştırılabilir. Termal radyasyon ihmal edilir ve yerçekimine bağlı vücut kuvvetleri dikkate alınır (aksi belirtilmedikçe). Ek olarak, bu tür akış için, sonraki tartışma CFD ile çözülen akış denklemlerinin hiyerarşisini vurgular. Aşağıdaki denklemlerden bazılarının birden fazla yoldan türetilebileceğini unutmayın.

• Koruma yasaları (CL): Bunlar, örneğin aşağıdaki tüm denklemlerin bunlardan türetilebilmesi anlamında CFD ile düşünülen en temel denklemlerdir. Tek fazlı, tek tür, sıkıştırılabilir akış için biri, kütlenin korunumu, doğrusal momentumun korunumu, ve enerjinin korunumu.
• Süreklilik koruma yasaları (CCL): CL ile başlayın. Kütle, momentum ve enerjinin yerel olarak korunmuş: Bu miktarlar korunur ve bir yerden diğerine "ışınlanamaz", ancak yalnızca sürekli bir akışla hareket edebilir (bkz. Süreklilik denklemi ). Başka bir yorum, birinin CL ile başlaması ve sürekli bir ortamın varsayılmasıdır (bkz. süreklilik mekaniği ). Sonuçta ortaya çıkan denklem sistemi kapatılmamıştır çünkü onu çözmek için başka ilişkilere / denklemlere ihtiyaç vardır: (a) için kurucu ilişkiler viskoz gerilim tensörü; (b) dağınık için kurucu ilişkiler Isı akısı; (Yapabilmek Devlet denklemi (EOS), örneğin Ideal gaz yasa; ve (d) sıcaklığı aşağıdaki gibi niceliklerle ilişkilendiren kalorik bir durum denklemi entalpi veya içsel enerji.

• Sıkıştırılabilir Navier-Stokes denklemleri (C-NS): CCL ile başlayın. Bir Newton viskoz gerilim tensörü varsayın (bkz. Newton sıvısı ) ve bir Fourier ısı akısı (bkz. Isı akısı )^[41].^[42] Kapalı bir denklem sistemine sahip olmak için C-NS'nin bir EOS ve bir kalorik EOS ile güçlendirilmesi gerekir.

• Sıkıştırılamaz Navier-Stokes denklemleri (I-NS): C-NS ile başlayın. Yoğunluğun her zaman ve her yerde sabit olduğunu varsayın.^[43] I-NS'yi elde etmenin bir başka yolu da, mak sayısı çok küçük^[43][42] ve sıvının içindeki sıcaklık farkları da çok küçüktür.^[42] Sonuç olarak, kütle-korunum ve momentum-korunum denklemleri enerji-korunum denkleminden ayrıştırılır, bu yüzden birinin sadece ilk iki denklemi çözmesi gerekir.^[42]

• Sıkıştırılabilir Euler denklemleri (EE): C-NS ile başlayın. Yaygın ısı akısı olmayan sürtünmesiz bir akış varsayın.^[44]
• Zayıf sıkıştırılabilir Navier-Stokes denklemleri (WC-NS): C-NS ile başlayın. Yoğunluk değişimlerinin sadece sıcaklığa bağlı olduğunu ve basınca bağlı olmadığını varsayın.^[45] Örneğin, bir Ideal gaz, kullan ${ displaystyle rho = p_ {0} / (RT)}$, nerede ${ displaystyle p_ {0}}$ her zaman ve her yerde sabit olan, uygun şekilde tanımlanmış bir referans basınçtır, ${ displaystyle rho}$ yoğunluktur ${ displaystyle R}$ özel mi Gaz sabiti, ve ${ displaystyle T}$ sıcaklıktır. Sonuç olarak, WK-NS akustik dalgaları yakalamaz. WK-NS'de enerji tasarrufu denklemindeki basınç-çalışma ve viskoz-ısıtma terimlerinin ihmal edilmesi de yaygındır. WK-NS, düşük Mach sayısı yaklaşımı ile C-NS olarak da adlandırılır.

• Boussinesq denklemleri: C-NS ile başlayın. Momentum koruma denkleminin (yoğunluğun yerçekimi ivmesini çarptığı) yerçekimi terimi dışında yoğunluk değişimlerinin her zaman ve her yerde ihmal edilebilir olduğunu varsayın.^[46] Ayrıca çeşitli sıvı özelliklerinin olduğunu varsayalım. viskozite, termal iletkenlik, ve ısı kapasitesi her zaman ve her yerde sabittir. Boussinesq denklemleri yaygın olarak kullanılmaktadır. mikro ölçekli meteoroloji.

• Sıkıştırılabilir Reynolds ortalamalı Navier-Stokes denklemleri ve sıkıştırılabilir Favre ortalamalı Navier-Stokes denklemleri (C-RANS ve C-FANS): C-NS ile başlayın. Herhangi bir akış değişkeninin ${ displaystyle f}$yoğunluk, hız ve basınç gibi, şu şekilde temsil edilebilir: ${ displaystyle f = F + f ''}$, nerede ${ displaystyle F}$ topluluk ortalaması^[42] herhangi bir akış değişkeninin ve ${ displaystyle f ''}$ bu ortalamadan kaynaklanan bir karışıklık veya dalgalanmadır^[42].^[47] ${ displaystyle f ''}$ mutlaka küçük değildir. Eğer ${ displaystyle F}$ klasik bir topluluk ortalamadır (bkz. Reynolds ayrışma ) Reynolds ortalamalı Navier-Stokes denklemleri elde edilir. Ve eğer ${ displaystyle F}$ yoğunluk ağırlıklı bir topluluk ortalamalı olandır, Favre ortalamalı Navier-Stokes denklemlerini elde eder.^[47] Sonuç olarak, Reynolds sayısına bağlı olarak, hareket ölçeği aralığı büyük ölçüde azalır, bu da C-NS'yi çözmeye kıyasla çok daha hızlı çözümlere yol açar. Bununla birlikte, bilgi kaybolur ve ortaya çıkan denklem sistemi, çeşitli kapatılmamış terimlerin, özellikle de Reynolds stresi.

• İdeal akış veya potansiyel akış denklemler: EE ile başlayın. Sıfır sıvı-parçacık dönüşü (sıfır girdap) ve sıfır akış genişlemesi (sıfır sapma) varsayın.^[42] Ortaya çıkan akış alanı tamamen geometrik sınırlarla belirlenir.^[42] İdeal akışlar, simülasyonları başlatmak için modern CFD'de faydalı olabilir.

• Doğrusallaştırılmış sıkıştırılabilir Euler denklemleri (LEE):^[48] EE ile başlayın. Herhangi bir akış değişkeninin ${ displaystyle f}$yoğunluk, hız ve basınç gibi, şu şekilde temsil edilebilir: ${ displaystyle f = f_ {0} + f '}$, nerede ${ displaystyle f_ {0}}$ bazı referans veya temel durumdaki akış değişkeninin değeridir ve ${ displaystyle f '}$ bu durumdan kaynaklanan bir karışıklık veya dalgalanmadır. Dahası, bu tedirginliğin ${ displaystyle f '}$ bazı referans değerlere kıyasla çok küçüktür. Son olarak, varsayalım ki ${ displaystyle f_ {0}}$ EE gibi "kendi" denklemini karşılar. LEE ve birçok varyasyonu, hesaplamalı aeroakustik.

• Ses dalgası veya akustik dalga denklemi: LEE ile başlayın. Tüm gradyanlarını ihmal et ${ displaystyle f_ {0}}$ ve ${ displaystyle f '}$ve referans veya temel durumdaki Mach sayısının çok küçük olduğunu varsayalım.^[45] Ortaya çıkan yoğunluk, momentum ve enerji denklemleri, iyi bilinen ses dalgası denklemini veren bir basınç denklemine dönüştürülebilir.

• Sığ su denklemleri (SW): İlgili duvara paralel uzunluk ölçeğinin ilgilenilen duvarın normal uzunluk ölçeğinden çok daha büyük olduğu bir duvarın yakınındaki bir akışı düşünün. EE ile başlayın. Yoğunluğun her zaman ve her yerde sabit olduğunu varsayın, duvara dik hız bileşenini ihmal edin ve duvara paralel hızın uzamsal olarak sabit olduğunu düşünün.

• Sınır tabakası denklemler (BL): Sıkıştırılabilir (sıkıştırılamaz) sınır tabakaları için C-NS (I-NS) ile başlayın. Duvara dik uzamsal gradyanların duvara paralel olanlardan çok daha büyük olduğu duvarların yanında ince bölgeler olduğunu varsayalım.^[46]

• Bernoulli denklemi: EE ile başlayın. Yoğunluk değişikliklerinin yalnızca basınç değişikliklerine bağlı olduğunu varsayın.^[46] Görmek Bernoulli Prensibi.

• Kararlı Bernoulli denklemi: Bernoulli Denklemi ile başlayın ve sabit bir akış varsayın.^[46] Veya EE ile başlayın ve akışın sabit olduğunu varsayın ve ortaya çıkan denklemi bir akım çizgisi boyunca entegre edin.^[44][43]

• Stokes Akışı veya sürünen akış denklemleri: C-NS veya I-NS ile başlayın. Akışın ataletini ihmal edin.^[42][43] Böyle bir varsayım, Reynolds sayısı Çok düşük. Sonuç olarak, ortaya çıkan denklem seti doğrusaldır, bu da çözümlerini büyük ölçüde basitleştiren bir şeydir.

• İki boyutlu kanal akış denklemi: İki sonsuz paralel plaka arasındaki akışı düşünün. C-NS ile başlayın. Akışın sabit, iki boyutlu ve tamamen gelişmiş olduğunu varsayın (yani hız profili akış yönünde değişmez).^[42] Bu yaygın olarak kullanılan tam gelişmiş varsayımın, bazı sıkıştırılabilir, mikrokanal akışları gibi bazı durumlarda yetersiz olabileceğini ve bu durumda bunun yerine bir yerel olarak tam gelişmiş varsayım.^[49]

• Tek boyutlu Euler denklemleri veya tek boyutlu gaz dinamik denklemleri (1D-EE): EE ile başlayın. Tüm akış miktarlarının yalnızca bir uzamsal boyuta bağlı olduğunu varsayın.^[50]

• Fanno akışı denklem: Sabit alana ve adyabatik duvarlara sahip bir kanal içindeki akışı düşünün. 1D-EE ile başlayın. Sabit bir akış varsayın, yerçekimi etkisi yok ve momentum koruma denklemine, duvar sürtünmesinin etkisini geri kazanmak için deneysel bir terim ekleyin (EE'de ihmal edilmiştir). Fanno akış denklemini kapatmak için, bu sürtünme terimi için bir modele ihtiyaç vardır. Böyle bir kapanış, probleme bağlı varsayımları içerir.^[51]

• Rayleigh akışı denklem. Sabit alana sahip bir kanalın içindeki akışı ve hacimsel ısı kaynakları olmayan adyabatik olmayan duvarları veya hacimsel ısı kaynakları olan adyabatik duvarları düşünün. 1D-EE ile başlayın. Sabit bir akış, yerçekimi etkisi olmadığını varsayın ve enerji tasarrufu denklemine, duvar ısı transferinin etkisini veya ısı kaynaklarının etkisini (EE'de ihmal edilen) geri kazanmak için ampirik bir terim ekleyin.

Metodoloji

Tüm bu yaklaşımlarda aynı temel prosedür izlenir.

• Sırasında ön işleme
  • geometri ve sorunun fiziksel sınırları kullanılarak tanımlanabilir Bilgisayar destekli tasarım (CAD). Buradan, veriler uygun şekilde işlenebilir (temizlenebilir) ve sıvı hacmi (veya sıvı alanı) çıkarılabilir.
  • Ses sıvı tarafından işgal edilen ayrı hücrelere (ağ) bölünür. Ağ, heksahedral, tetrahedral, prizmatik, piramidal veya çokyüzlü elemanların bir kombinasyonundan oluşan tekbiçimli veya tekbiçimli olmayan, yapılandırılmış veya yapılandırılmamış olabilir.
  • Fiziksel modelleme tanımlanmıştır - örneğin, akışkan hareketinin denklemleri + entalpi + radyasyon + türlerin korunması
  • Sınır koşulları tanımlanmıştır. Bu, akışkan alanının tüm sınırlayıcı yüzeylerindeki akışkan davranışının ve özelliklerinin belirlenmesini içerir. Geçici problemler için başlangıç ​​koşulları da tanımlanmıştır.
• simülasyon başlatılır ve denklemler bir sabit durum veya geçici olarak yinelemeli olarak çözülür.
• Son olarak, ortaya çıkan çözümün analizi ve görselleştirilmesi için bir son işlemci kullanılır.

Ayrıklaştırma yöntemleri

Seçilen ayrıklaştırmanın kararlılığı genellikle basit doğrusal problemlerde olduğu gibi analitik değil sayısal olarak belirlenir. Ayrıklaştırmanın kesintili çözümleri zarif bir şekilde ele almasını sağlamak için özel dikkat gösterilmelidir. Euler denklemleri ve Navier-Stokes denklemleri hem şokları hem de temas yüzeylerini kabul eder.

Kullanılan ayrıklaştırma yöntemlerinden bazıları şunlardır:

Sonlu hacim yöntemi

Sonlu hacim yöntemi (FVM), CFD kodlarında bir avantaja sahip olduğu için yaygın olarak kullanılan bir yaklaşımdır. hafıza özellikle büyük sorunlar için kullanım ve çözüm hızı, yüksek Reynolds sayısı türbülanslı akışlar ve kaynak terim hakim akışlar (yanma gibi).^[52]

Sonlu hacim yönteminde, yöneten kısmi diferansiyel denklemler (tipik olarak Navier-Stokes denklemleri, kütle ve enerji koruma denklemleri ve türbülans denklemleri) konservatif bir biçimde yeniden şekillendirilir ve ardından ayrık kontrol hacimleri üzerinde çözülür. Bu ayrıştırma Belirli bir kontrol hacmi aracılığıyla akıların korunmasını garanti eder. Sonlu hacim denklemi, formdaki yönetim denklemlerini verir,

${ displaystyle { frac { kısmi} { kısmi t}} iiint Q , dV + iint F , d mathbf {A} = 0,}$

nerede ${ displaystyle Q}$ korunan değişkenlerin vektörüdür, ${ displaystyle F}$ akıların vektörüdür (bkz. Euler denklemleri veya Navier-Stokes denklemleri ), ${ displaystyle V}$ kontrol hacmi öğesinin hacmidir ve ${ displaystyle mathbf {A}}$ kontrol hacmi elemanının yüzey alanıdır.

Sonlu eleman yöntemi

Sonlu elemanlar yöntemi (FEM) katıların yapısal analizinde kullanılır, ancak akışkanlar için de geçerlidir. Bununla birlikte, FEM formülasyonu, muhafazakar bir çözüm sağlamak için özel dikkat gerektirir. FEM formülasyonu, akışkan dinamiklerini yöneten denklemlerle kullanılmak üzere uyarlanmıştır.^{[kaynak belirtilmeli ]} FEM, ihtiyatlı olacak şekilde dikkatli bir şekilde formüle edilmesi gerekmesine rağmen, sonlu hacim yaklaşımından çok daha kararlıdır.^[53] Bununla birlikte, FEM daha fazla bellek gerektirebilir ve FVM'den daha yavaş çözüm sürelerine sahiptir.^[54]

Bu yöntemde ağırlıklı bir artık denklem oluşturulur:

${ displaystyle R_ {i} = iiint W_ {i} Q , dV ^ {e}}$

nerede ${ displaystyle R_ {i}}$ bir eleman tepe noktasında kalan denklemdir ${ displaystyle i}$, ${ displaystyle Q}$ koruma denklemi element bazında ifade edilir, ${ displaystyle W_ {i}}$ ağırlık faktörüdür ve ${ displaystyle V ^ {e}}$ elementin hacmidir.

Sonlu fark yöntemi

Sonlu fark yöntemi (FDM) tarihsel öneme sahiptir^{[kaynak belirtilmeli ]} ve programlanması kolaydır. Şu anda yalnızca, karmaşık geometriyi gömülü sınırlar veya üst üste binen ızgaralar (her ızgarada enterpolasyonlu) kullanarak yüksek doğruluk ve verimlilikle işleyen birkaç özel kodda kullanılmaktadır.^{[kaynak belirtilmeli ]}

${ displaystyle { frac { kısmi Q} { kısmi t}} + { frac { kısmi F} { kısmi x}} + { frac { kısmi G} { kısmi y}} + { frac { kısmi H} { kısmi z}} = 0}$

nerede ${ displaystyle Q}$ korunan değişkenlerin vektörü ve ${ displaystyle F}$, ${ displaystyle G}$, ve ${ displaystyle H}$ akılar mı ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle y}$, ve ${ displaystyle z}$ sırasıyla yönler.

Spektral eleman yöntemi

Spektral eleman yöntemi, sonlu eleman tipi bir yöntemdir. Matematik probleminin (kısmi diferansiyel denklem) zayıf bir formülasyona dönüştürülmesini gerektirir. Bu tipik olarak, diferansiyel denklemi rastgele bir test fonksiyonu ile çarparak ve tüm alan üzerinde entegre ederek yapılır. Tamamen matematiksel olarak, test fonksiyonları tamamen keyfidir - sonsuz boyutlu bir fonksiyon uzayına aittirler. Açıktır ki sonsuz boyutlu bir fonksiyon uzayı, ayrı bir spektral eleman ağı üzerinde temsil edilemez; spektral öğe ayrıklaştırmanın başladığı yer burasıdır. En önemli şey, enterpolasyon ve test fonksiyonlarının seçimidir. Standart, düşük sıralı 2B bir FEM'de, dörtgen elemanlar için en tipik seçenek, formun bilineer testi veya interpolasyon işlevidir. ${ displaystyle v (x, y) = ax + by + cxy + d}$. Bununla birlikte, bir spektral eleman yönteminde, enterpolasyon ve test fonksiyonları, çok yüksek dereceli (tipik olarak, CFD uygulamalarında 10. dereceden) polinomlar olarak seçilir. Bu, yöntemin hızlı yakınsamasını garanti eder. Ayrıca sayısal kodlarda gerçekleştirilecek entegrasyon sayısı fazla olduğu için çok verimli entegrasyon prosedürleri kullanılmalıdır. Bu nedenle, gerçekleştirilecek en az sayıda hesaplamayla en yüksek doğruluğu elde ettikleri için yüksek dereceli Gauss entegrasyon dörtlüleri kullanılır.O zamanlar spektral eleman yöntemine dayalı bazı akademik CFD kodları vardır ve bazıları şu anda geliştirme aşamasındadır, Bilim dünyasında yeni zaman adımı şemaları ortaya çıktığından beri.

Kafes Boltzmann yöntemi

Kafes üzerinde basitleştirilmiş kinetik resmi ile kafes Boltzmann yöntemi (LBM), hidrodinamiğin hesaplama açısından verimli bir tanımını sağlar.Makroskopik özelliklerin (yani kütle, momentum ve enerji) korunum denklemlerini sayısal olarak çözen geleneksel CFD yöntemlerinden farklı olarak, LBM kurmaca parçacıklardan oluşan sıvıyı modeller ve bu tür parçacıklar ayrı bir kafes ağ üzerinde ardışık yayılma ve çarpışma süreçleri gerçekleştirir. Bu yöntemde, Boltzmann'daki kinetik evrim denkleminin uzayda ve zamanda ayrık versiyonu ile çalışır. Bhatnagar-Gross-Krook (BGK) form.

Sınır öğesi yöntemi

Sınır elemanı yönteminde, akışkanın kapladığı sınır bir yüzey ağına bölünür.

Yüksek çözünürlüklü ayrıklaştırma şemaları

Şokların veya süreksizliklerin mevcut olduğu yerlerde yüksek çözünürlüklü şemalar kullanılır. Çözümdeki keskin değişiklikleri yakalamak, sahte salınımlara yol açmayan ikinci veya daha yüksek dereceli sayısal şemaların kullanılmasını gerektirir. Bu genellikle aşağıdakilerin uygulanmasını gerektirir akı sınırlayıcılar çözümün olduğundan emin olmak için azalan toplam varyasyon.^{[kaynak belirtilmeli ]}

Türbülans modelleri

Türbülanslı akışların hesaplamalı modellemesinde ortak amaçlardan biri, modellenen sistemin mühendislik tasarımlarında kullanılmak üzere akışkan hızı gibi ilgili miktarları tahmin edebilen bir model elde etmektir. Türbülanslı akışlar için, türbülansta yer alan uzunluk ölçekleri aralığı ve olayların karmaşıklığı, çoğu modelleme yaklaşımını aşırı derecede pahalı hale getirir; türbülansa dahil olan tüm ölçekleri çözmek için gereken çözünürlük, sayısal olarak mümkün olanın ötesindedir. Bu tür durumlarda birincil yaklaşım, çözülmemiş fenomenlere yaklaşmak için sayısal modeller oluşturmaktır. Bu bölümde türbülanslı akışlar için yaygın olarak kullanılan bazı hesaplama modelleri listelenmektedir.

Türbülans modelleri, çözümlenen ve modellenen ölçek aralığına karşılık gelen hesaplama maliyetine göre sınıflandırılabilir (ne kadar çalkantılı ölçekler çözülürse, simülasyonun çözünürlüğü o kadar ince ve dolayısıyla hesaplama maliyeti o kadar yüksek olur). Türbülanslı ölçeklerin çoğu veya tümü modellenmemişse, hesaplama maliyeti çok düşüktür, ancak ödünleşim doğruluğu azalmış olarak gelir.

Geniş uzunluk ve zaman ölçekleri aralığına ve ilgili hesaplama maliyetine ek olarak, akışkan dinamiğinin yönetim denklemleri bir doğrusal olmayan konveksiyon terimi ve doğrusal olmayan ve yerel olmayan basınç gradyan terimi. Bu doğrusal olmayan denklemler, uygun sınır ve başlangıç ​​koşulları ile sayısal olarak çözülmelidir.

Reynolds ortalamalı Navier – Stokes

Reynolds ortalamalı Navier – Stokes (RANS) denklemleri türbülans modellemesine en eski yaklaşımdır. Yönetim denklemlerinin toplu bir versiyonu çözüldü ve bu da yeni görünen stresler olarak bilinir Reynolds stresleri. Bu, çeşitli modellerin farklı kapanma seviyeleri sağlayabildiği ikinci dereceden bir bilinmeyenler tensörü ekler. RANS denklemlerinin zamanla değişen ortalama akışa sahip akışlar için geçerli olmadığı, çünkü bu denklemlerin 'zaman ortalamalı' olduğu yaygın bir yanılgıdır. Aslında, istatistiksel olarak kararsız (veya durağan olmayan) akışlar da eşit şekilde işlenebilir. Bu bazen URANS olarak adlandırılır. Reynolds ortalamasında bunu engelleyecek hiçbir şey yoktur, ancak denklemleri kapatmak için kullanılan türbülans modelleri, yalnızca ortalamadaki bu değişikliklerin meydana gelme süresi, aşağıdakilerin çoğunu içeren türbülanslı hareketin zaman ölçeklerine kıyasla büyük olduğu sürece geçerlidir. Enerji.

RANS modelleri iki geniş yaklaşıma ayrılabilir:

Boussinesq hipotezi

Bu yöntem, türbülanslı viskozitenin belirlenmesini ve modelin karmaşıklık düzeyine bağlı olarak türbülans kinetik enerjisini ve dağılımını belirlemek için taşıma denklemlerini çözmeyi içeren Reynolds gerilmeleri için bir cebirsel denklem kullanmayı içerir. Modeller arasında k-ε (Yıkama ve Spalding ),^[55] Karışım Uzunluğu Modeli (Prandtl ),^[56] ve Sıfır Denklem Modeli (Cebeci ve Smith ).^[56] Bu yaklaşımda bulunan modeller genellikle yöntemle ilişkili taşıma denklemlerinin sayısı ile anılır. Örneğin, Karışım Uzunluğu modeli bir "Sıfır Denklemi" modelidir çünkü hiçbir taşıma denklemi çözülmemiştir; ${ displaystyle k- epsilon}$ bir "İki Denklem" modelidir, çünkü iki taşıma denklemi (biri için ${ displaystyle k}$ ve biri için ${ displaystyle epsilon}$) çözüldü.

Reynolds stres modeli (RSM)

Bu yaklaşım, Reynolds gerilmeleri için taşıma denklemlerini gerçekten çözmeye çalışır. Bu, tüm Reynolds gerilmeleri için birkaç taşıma denkleminin eklenmesi anlamına gelir ve bu nedenle bu yaklaşım, CPU çabasında çok daha maliyetlidir.^{[kaynak belirtilmeli ]}

Büyük girdap simülasyonu

Önceden karıştırılmamış girdaplı bir alevin LES tarafından simüle edildiği gibi hacimsel gösterimi.

Büyük girdap simülasyonu (LES), akışın en küçük ölçeklerinin bir filtreleme işlemi ile kaldırıldığı ve etkilerinin alt ızgara ölçekli modeller kullanılarak modellendiği bir tekniktir. Bu, türbülansın en büyük ve en önemli ölçeklerinin çözülmesine izin verirken, en küçük ölçeklerden kaynaklanan hesaplama maliyetini büyük ölçüde azaltır. Bu yöntem, RANS yöntemlerinden daha fazla hesaplama kaynağı gerektirir, ancak DNS'den çok daha ucuzdur.

Ayrılmış girdap simülasyonu

Ayrılmış girdap simülasyonları (DES), modelin LES hesaplamaları için yeterince ince bölgelerde bir alt şebeke ölçeği formülasyonuna geçtiği bir RANS modelinin bir modifikasyonudur. Katı sınırlara yakın olan ve türbülanslı uzunluk ölçeğinin maksimum ızgara boyutundan daha az olduğu bölgelere RANS çözüm modu atanır. Türbülanslı uzunluk ölçeği ızgara boyutunu aştığında, bölgeler LES modu kullanılarak çözülür. Bu nedenle, DES için şebeke çözünürlüğü, saf LES kadar zorlu değildir, bu nedenle hesaplama maliyetini önemli ölçüde azaltır. DES, başlangıçta Spalart-Allmaras modeli için formüle edilmiş olsa da (Spalart ve diğerleri, 1997), RANS modelinde açık veya dolaylı olarak yer alan uzunluk ölçeğini uygun şekilde değiştirerek diğer RANS modelleriyle (Strelets, 2001) uygulanabilir. . Dolayısıyla, Spalart-Allmaras model tabanlı DES, bir duvar modeli ile LES görevi görürken, diğer modellere dayalı DES (iki denklem modeli gibi) hibrit bir RANS-LES modeli gibi davranır. Şebeke üretimi, RANS-LES anahtarı nedeniyle basit bir RANS veya LES durumunda olduğundan daha karmaşıktır. DES, bölgesel olmayan bir yaklaşımdır ve çözümlerin RANS ve LES bölgelerinde tek bir yumuşak hız alanı sağlar.

Doğrudan sayısal simülasyon

Doğrudan sayısal simülasyon (DNS), tüm türbülanslı uzunluk ölçeklerini çözer. Bu, modellerin etkisini marjinalleştirir, ancak son derece pahalıdır. Hesaplama maliyeti orantılıdır ${ displaystyle Re ^ {3}}$.^[57] DNS, karmaşık geometrilere veya akış yapılandırmalarına sahip akışlar için zorludur.

Tutarlı girdap simülasyonu

Tutarlı girdap simülasyon yaklaşımı, türbülanslı akış alanını, organize girdap hareketinden ve rastgele arka plan akışı olan tutarsız kısımdan oluşan tutarlı bir parçaya ayırır.^[58] Bu ayrıştırma kullanılarak yapılır dalgacık filtreleme. Bu yaklaşımın LES ile pek çok ortak noktası vardır, çünkü ayrıştırmayı kullanır ve yalnızca filtrelenmiş kısmı çözer, ancak doğrusal, düşük geçişli bir filtre kullanmaması bakımından farklıdır. Bunun yerine, filtreleme işlemi dalgacıklara dayanır ve filtre, akış alanı geliştikçe uyarlanabilir. Farge ve Schneider, CVS yöntemini iki akış konfigürasyonuyla test etti ve akışın tutarlı kısmının, ${ displaystyle - { frac {40} {39}}}$ toplam akış tarafından sergilenen ve tutarlı yapılara karşılık gelen enerji spektrumu (girdap tüpleri ), akışın tutarsız kısımları, organize yapılar sergilemeyen homojen arka plan gürültüsü oluştururken. Goldstein ve Vasilyev^[59] FDV modelini büyük girdap simülasyonuna uyguladı, ancak dalgacık filtresinin alt filtre ölçeklerindeki tüm uyumlu hareketleri tamamen ortadan kaldırdığını varsaymadı. Hem LES hem de CVS filtrelemeyi kullanarak, SFS dağılımının SFS akış alanının tutarlı kısmının hakim olduğunu gösterdiler.

PDF yöntemleri

Olasılık yoğunluk işlevi (PDF) türbülans için yöntemler, ilk olarak Lundgren,^[60] hızın tek noktalı PDF'sini izlemeye dayanmaktadır, ${ displaystyle f_ {V} ({ boldsymbol {v}}; { boldsymbol {x}}, t) d { boldsymbol {v}}}$, noktadaki hız olasılığını verir ${ displaystyle { boldsymbol {x}}}$ arasında olmak ${ displaystyle { boldsymbol {v}}}$ ve ${ displaystyle { boldsymbol {v}} + d { boldsymbol {v}}}$. Bu yaklaşım, gazların kinetik teorisi bir gazın makroskopik özelliklerinin çok sayıda partikül ile tanımlandığı. PDF yöntemleri, bir dizi farklı türbülans modeli çerçevesinde uygulanabilecekleri için benzersizdir; temel farklılıklar PDF taşıma denklemi biçiminde ortaya çıkar. Örneğin, bağlamında büyük girdap simülasyonu PDF, filtrelenmiş PDF olur.^[61] Kimyasal reaksiyonları tanımlamak için PDF yöntemleri de kullanılabilir,^[62][63] ve kimyasal olarak reaksiyona giren akışları simüle etmek için özellikle yararlıdır çünkü kimyasal kaynak terimi kapalıdır ve bir model gerektirmez. PDF, genellikle Lagrangian parçacık yöntemleri kullanılarak izlenir; büyük girdap simülasyonu ile birleştirildiğinde, bu bir Langevin denklemi alt filtre parçacık gelişimi için.

Girdap yöntemi

Vorteks yöntemi, türbülanslı akışların simülasyonu için ızgarasız bir tekniktir. Girdapları hesaplama unsurları olarak kullanır ve türbülanstaki fiziksel yapıları taklit eder. Girdap yöntemleri, ızgara tabanlı yöntemlerle ilişkili temel yumuşatma etkileriyle sınırlı olmayacak ızgaradan bağımsız bir yöntem olarak geliştirildi. Bununla birlikte, pratik olması için, girdap yöntemleri, girdap elemanlarından hızları hızlı bir şekilde hesaplamak için araçlar gerektirir - başka bir deyişle, çözümü belirli bir form için gerektirirler. N-vücut sorunu (in which the motion of N objects is tied to their mutual influences). A breakthrough came in the late 1980s with the development of the fast multipole method (FMM), an algorithm by V. Rokhlin (Yale) and L. Greengard (Courant Institute). This breakthrough paved the way to practical computation of the velocities from the vortex elements and is the basis of successful algorithms.

Software based on the vortex method offer a new means for solving tough fluid dynamics problems with minimal user intervention.^{[kaynak belirtilmeli ]} All that is required is specification of problem geometry and setting of boundary and initial conditions. Among the significant advantages of this modern technology;

• It is practically grid-free, thus eliminating numerous iterations associated with RANS and LES.
• All problems are treated identically. No modeling or calibration inputs are required.
• Time-series simulations, which are crucial for correct analysis of acoustics, are possible.
• The small scale and large scale are accurately simulated at the same time.

Vorticity confinement method

girdap hapsi (VC) method is an Eulerian technique used in the simulation of turbulent wakes. It uses a solitary-wave like approach to produce a stable solution with no numerical spreading. VC can capture the small-scale features to within as few as 2 grid cells. Within these features, a nonlinear difference equation is solved as opposed to the finite difference equation. VC is similar to shock capturing methods, where conservation laws are satisfied, so that the essential integral quantities are accurately computed.

Linear eddy model

The Linear eddy model is a technique used to simulate the convective mixing that takes place in turbulent flow.^[64] Specifically, it provides a mathematical way to describe the interactions of a scalar variable within the vector flow field. It is primarily used in one-dimensional representations of turbulent flow, since it can be applied across a wide range of length scales and Reynolds numbers. This model is generally used as a building block for more complicated flow representations, as it provides high resolution predictions that hold across a large range of flow conditions.

Two-phase flow

Simulation of bubble horde using volume of fluid method

The modeling of two-phase flow is still under development. Different methods have been proposed, including the Volume of fluid method, seviye belirleme yöntemi ve front tracking.^[65][66] These methods often involve a tradeoff between maintaining a sharp interface or conserving mass^{[kime göre? ]}. This is crucial since the evaluation of the density, viscosity and surface tension is based on the values averaged over the interface.^{[kaynak belirtilmeli ]} Lagrangian multiphase models, which are used for dispersed media, are based on solving the Lagrangian equation of motion for the dispersed phase.^{[kaynak belirtilmeli ]}

Solution algorithms

Discretization in the space produces a system of adi diferansiyel denklemler for unsteady problems and algebraic equations for steady problems. Implicit or semi-implicit methods are generally used to integrate the ordinary differential equations, producing a system of (usually) nonlinear algebraic equations. Bir uygulama Newton veya Picard iteration produces a system of linear equations which is nonsymmetric in the presence of advection and indefinite in the presence of incompressibility. Such systems, particularly in 3D, are frequently too large for direct solvers, so iterative methods are used, either stationary methods such as successive overrelaxation veya Krylov alt uzayı yöntemler. Krylov methods such as GMRES, typically used with ön koşullandırma, operate by minimizing the residual over successive subspaces generated by the preconditioned operator.

Multigrid has the advantage of asymptotically optimal performance on many problems. Geleneksel^{[kime göre? ]} solvers and preconditioners are effective at reducing high-frequency components of the residual, but low-frequency components typically require many iterations to reduce. By operating on multiple scales, multigrid reduces all components of the residual by similar factors, leading to a mesh-independent number of iterations.^{[kaynak belirtilmeli ]}

For indefinite systems, preconditioners such as incomplete LU factorization, additive Schwarz, ve multigrid perform poorly or fail entirely, so the problem structure must be used for effective preconditioning.^[67] Methods commonly used in CFD are the BASİT ve Uzawa algorithms which exhibit mesh-dependent convergence rates, but recent advances based on block LU factorization combined with multigrid for the resulting definite systems have led to preconditioners that deliver mesh-independent convergence rates.^[68]

Unsteady aerodynamics

CFD made a major break through in late 70s with the introduction of LTRAN2, a 2-D code to model oscillating airfoils based on transonik small perturbation theory by Ballhaus and associates.^[69] It uses a Murman-Cole switch algorithm for modeling the moving shock-waves.^[70] Later it was extended to 3-D with use of a rotated difference scheme by AFWAL/Boeing that resulted in LTRAN3.^[71][72]

Biyomedikal mühendisliği

Simulation of blood flow in a human aort

CFD investigations are used to clarify the characteristics of aortic flow in details that are beyond the capabilities of experimental measurements. To analyze these conditions, CAD models of the human vascular system are extracted employing modern imaging techniques such as MR veya Bilgisayarlı tomografi. A 3D model is reconstructed from this data and the fluid flow can be computed. Blood properties such as density and viscosity, and realistic boundary conditions (e.g. systemic pressure) have to be taken into consideration. Therefore, making it possible to analyze and optimize the flow in the cardiovascular system for different applications.^[73]

CPU versus GPU

Traditionally, CFD simulations are performed on CPUs.^{[kaynak belirtilmeli ]} In a more recent trend, simulations are also performed on GPUs. These typically contain slower but more processors. For CFD algorithms that feature good parallelism performance (i.e. good speed-up by adding more cores) this can greatly reduce simulation times. Fluid-implicit particle^[74] and lattice-Boltzmann methods^[75] are typical examples of codes that scale well on GPUs.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Notlar

• Anderson, John D. (1995). Computational Fluid Dynamics: The Basics With Applications. Science/Engineering/Math. McGraw-Hill Science. ISBN  978-0-07-001685-9.
• Patankar, Suhas (1980). Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. Hemisphere Series on Computational Methods in Mechanics and Thermal Science. Taylor ve Francis. ISBN  978-0-89116-522-4.

Dış bağlantılar

• Course: Introduction to CFD – Dmitri Kuzmin (Dortmund Teknoloji Üniversitesi )
• Course: Hesaplamalı akışkanlar dinamiği – Suman Chakraborty (Indian Institute of Technology Kharagpur )
• Course: Numerical PDE Techniques for Scientists and Engineers, Open access Lectures and Codes for Numerical PDEs, including a modern view of Compressible CFD
• Joukowsky Transform Interactive WebApp