Schwarz lemma - Schwarz lemma

İçinde matematik, Schwarz lemma, adını Hermann Amandus Schwarz, bir sonuçtur karmaşık analiz hakkında holomorf fonksiyonlar -den açık birim disk kendisine. Lemma, daha güçlü teoremlerden daha az ünlüdür, örneğin Riemann haritalama teoremi kanıtlamaya yardımcı olur. Bununla birlikte, holomorfik fonksiyonların katılığını yakalayan en basit sonuçlardan biridir.

Beyan

Schwarz Lemma. İzin Vermek ${ displaystyle mathbf {D} = {z: | z | <1 }}$ açık ol birim disk içinde karmaşık düzlem ${ displaystyle mathbb {C}}$ merkezli Menşei ve izin ver ${ displaystyle f: mathbf {D} rightarrow mathbb {C}}$ olmak holomorfik harita öyle ki ${ displaystyle f (0) = 0}$ ve ${ displaystyle | f (z) | leq 1}$ açık ${ displaystyle mathbf {D}}$ .
Sonra, ${ displaystyle | f (z) | leq | z | forall z mathbf {D}} içinde$ ve ${ displaystyle | f '(0) | leq 1}$ .
Dahası, eğer ${ displaystyle | f (z) | = | z |}$ bazı sıfır olmayanlar için ${ displaystyle z}$ veya ${ displaystyle | f '(0) | = 1}$ , sonra ${ displaystyle f (z) = az}$ bazı ${ displaystyle a in mathbb {C}}$ ile ${ displaystyle | a | = 1}$ .^[1]

Kanıt

Kanıt, basit bir uygulamadır. maksimum modül prensibi işlevde

{ displaystyle g (z) = { {vakalar} { frac {f (z)} {z}} , & { mbox {if}} z neq 0 f '(0) ve { mbox {if}} z = 0, end {vakalar}}}

bütünüyle holomorfik olan Dmenşe dahil (çünkü f başlangıçta türevlenebilir ve sıfırı sabitler). Şimdi eğer D_r = {z : |z| ≤ r} yarıçapın kapalı diskini gösterir r orijine merkezlenmişse, maksimum modül prensibi şunu belirtir: r <1, herhangi bir z içinde D_rvar z_r sınırında D_r öyle ki

{ displaystyle | g (z) | leq | g (z_ {r}) | = { frac {| f (z_ {r}) |} {| z_ {r} |}} leq { frac { 1} {r}}.}

Gibi ${ displaystyle r rightarrow 1}$ biz alırız ${ displaystyle | g (z) | leq 1}$ .

Ayrıca, varsayalım ki |f(z)| = |z| bazı sıfır olmayanlar için z içinde D, veya |f ′(0) | = 1. Ardından, |g(z) | = 1 bir noktada D. Dolayısıyla maksimum modül ilkesine göre, g(z) bir sabite eşittir a öyle ki |a| = 1. Bu nedenle, f(z) = az, istediğiniz gibi.

Schwarz-Pick teoremi

Schwarz lemmanın bir çeşidi olarak bilinen Schwarz-Pick teoremi (sonra Georg Pick ), birim diskin analitik otomorfizmlerini karakterize eder, yani. önyargılı holomorfik eşlemeler birim diskinin kendisine:

İzin Vermek f : D → D holomorfik olun. Sonra herkes için z₁, z₂ ∈ D,

{ displaystyle sol | { frac {f (z_ {1}) - f (z_ {2})} {1 - { üst çizgi {f (z_ {1})}} f (z_ {2})} } sağ | leq sol | { frac {z_ {1} -z_ {2}} {1 - { overline {z_ {1}}} z_ {2}}} sağ |}

ve herkes için z ∈ D,

{ displaystyle { frac { sol | f '(z) sağ |} {1- sol | f (z) sağ | ^ {2}}} leq { frac {1} {1- sol | z sağ | ^ {2}}}.}

İfade

{ displaystyle d (z_ {1}, z_ {2}) = tanh ^ {- 1} sol | { frac {z_ {1} -z_ {2}} {1 - { overline {z_ {1 }}} z_ {2}}} sağ |}

noktaların mesafesi z₁, z₂ içinde Poincaré metriği, yani Poincaré disk modelindeki metrik hiperbolik geometri ikinci boyutta. Schwarz-Pick teoremi, temelde birim diskin kendi içine holomorfik bir haritasının olduğunu belirtir. azalır Poincaré metriğindeki noktaların mesafesi. Yukarıdaki iki eşitsizlikten birinde eşitlik geçerliyse (bu, holomorfik haritanın Poincaré metriğindeki mesafeyi koruduğunu söylemeye eşdeğerdir), o zaman f birim diskin analitik bir otomorfizması olmalıdır, Möbius dönüşümü birim diskini kendisine eşlemek.

Benzer bir ifade üst yarı düzlem H aşağıdaki gibi yapılabilir:

İzin Vermek f : H → H holomorfik olun. Sonra herkes için z₁, z₂ ∈ H,
${ displaystyle sol | { frac {f (z_ {1}) - f (z_ {2})} {{ overline {f (z_ {1})}} - f (z_ {2})}} right | leq { frac { left | z_ {1} -z_ {2} right |} { left | { overline {z_ {1}}} - z_ {2} sağ |}}. }$

Bu, yukarıda bahsedilen Schwarz-Pick teoreminin kolay bir sonucudur: Kişi sadece şunu hatırlamalıdır: Cayley dönüşümü W(z) = (z − ben)/(z + ben) üst yarı düzlemi eşler H uyumlu olarak birim diskineD. Sonra harita W Öf ÖW⁻¹ holomorfik bir haritadır D üstüneD. Bu haritada Schwarz-Pick teoremini kullanma ve son olarak aşağıdaki formülü kullanarak sonuçları sadeleştirme W, istenen sonucu elde ederiz. Ayrıca herkes için z ∈ H,

{ displaystyle { frac { sol | f '(z) sağ |} {{ text {Im}} (f (z))}} leq { frac {1} {{ text {Im} } (z)}}.}

Bir veya diğer ifadeler için eşitlik geçerliyse, o zaman f olmalı Möbius dönüşümü gerçek katsayılarla. Yani, eşitlik devam ederse, o zaman

{ displaystyle f (z) = { frac {az + b} {cz + d}}}

ile a, b, c, d ∈ R, ve reklam − M.Ö > 0.

Schwarz-Pick teoreminin kanıtı

Schwarz-Pick teoreminin kanıtı, Schwarz'ın lemasından ve bir Möbius dönüşümü şeklinde

{ displaystyle { frac {z-z_ {0}} {{ overline {z_ {0}}} z-1}}, qquad | z_ {0} | <1,}

birim çemberi kendisine eşler. Düzelt z₁ ve Möbius dönüşümlerini tanımlayın

{ displaystyle M (z) = { frac {z_ {1} -z} {1 - { overline {z_ {1}}} z}}, qquad varphi (z) = { frac {f ( z_ {1}) - z} {1 - { overline {f (z_ {1})}} z}}.}

Dan beri M(z₁) = 0 ve Möbius dönüşümü tersinir, bileşim φ (f(M⁻¹(z))) 0 ile 0'ı eşler ve birim diski kendi içinde eşlenir. Böylece Schwarz'ın lemmasını uygulayabiliriz, yani

{ Displaystyle sol | varphi sol (f (M ^ {- 1} (z)) sağ) sağ | = sol | { frac {f (z_ {1}) - f (M ^ { -1} (z))} {1 - { overline {f (z_ {1})}} f (M ^ {- 1} (z))}} right | leq | z |.}

Şimdi arıyorum z₂ = M⁻¹(z) (hala birim diskte olacaktır) istenen sonucu verir

{ displaystyle sol | { frac {f (z_ {1}) - f (z_ {2})} {1 - { üst çizgi {f (z_ {1})}} f (z_ {2})} } sağ | leq sol | { frac {z_ {1} -z_ {2}} {1 - { overline {z_ {1}}} z_ {2}}} sağ |.}

Teoremin ikinci bölümünü ispatlamak için, sol tarafı farklar bölümüne göre yeniden düzenledik ve z₂ eğilimi z₁.

Diğer genellemeler ve ilgili sonuçlar

Schwarz-Ahlfors-Pick teoremi hiperbolik manifoldlar için benzer bir teorem sağlar.

De Branges teoremi Daha önce Bieberbach Varsayımı olarak bilinen, lemmanın önemli bir uzantısıdır ve yüksek türevlerine kısıtlamalar getirir. f durumunda 0'da f dır-dir enjekte edici; yani, tek değerli.

Koebe 1/4 teoremi şu durumda ilgili bir tahmin sağlar: f tek değerlidir.

Referanslar

^ Teorem 5.34 inç Rodriguez, Jane P.Gilman, Irwin Kra, Rubi E. (2007). Karmaşık analiz: Lipman Bers ruhu içinde ([Çevrimiçi] ed.). New York: Springer. s. 95. ISBN 978-0-387-74714-9.

Jurgen Jost, Kompakt Riemann Yüzeyleri (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (Bkz.Bölüm 2.3)
S. Dineen (1989). Schwarz Lemması. Oxford. ISBN 0-19-853571-6.

Bu makale, Schwarz lemma'daki materyalleri içermektedir. PlanetMath altında lisanslı olan Creative Commons Atıf / Benzer Paylaşım Lisansı.

[1] Teorem 5.34 inç Rodriguez, Jane P.Gilman, Irwin Kra, Rubi E. (2007). Karmaşık analiz: Lipman Bers ruhu içinde ([Çevrimiçi] ed.). New York: Springer. s. 95. ISBN 978-0-387-74714-9.

[1]