Sığ su denklemleri - Shallow water equations - Wikipedia

Küvetteki sığ su denklem modelinden çıktı. Su, sıçrama yerlerinden uzağa yayılan ve küvet duvarlarından yansıyan yüzey yerçekimi dalgaları üreten beş sıçrama yaşar.

sığ su denklemleri bir dizi hiperbolik kısmi diferansiyel denklemler (veya viskoz kayma dikkate alınırsa parabolik) bir akışkan içindeki bir basınç yüzeyinin altındaki akışı tanımlayan (bazen, ancak zorunlu olmamakla birlikte, bir Serbest yüzey ). Tek yönlü formdaki sığ su denklemleri de denir Saint-Venant denklemleri, sonra Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (bkz. ilgili bölüm altında).

Denklemler türetildi[1] derinlemesine entegre etmekten Navier-Stokes denklemleri, yatay uzunluk ölçeğinin dikey uzunluk ölçeğinden çok daha büyük olması durumunda. Bu koşul altında, kütlenin korunumu, sıvının düşey hız ölçeğinin yatay hız ölçeğine kıyasla küçük olduğu anlamına gelir. Momentum denkleminden düşey basınç gradyanlarının neredeyse hidrostatik ve bu yatay basınç gradyanları, basınç yüzeyinin yer değiştirmesinden kaynaklanmaktadır, bu da yatay hız alanının sıvının derinliği boyunca sabit olduğunu ima etmektedir. Dikey entegrasyon, dikey hızın denklemlerden çıkarılmasına izin verir. Sığ su denklemleri bu şekilde türetilir.

Sığ su denklemlerinde düşey hız terimi bulunmamakla birlikte, bu hızın mutlaka sıfır olmadığını unutmayın. Bu önemli bir ayrımdır, çünkü örneğin, zemin derinlik değiştirdiğinde düşey hız sıfır olamaz ve bu nedenle sıfır olsaydı, sığ su denklemleriyle yalnızca düz döşemeler kullanılabilirdi. Bir çözüm (yani yatay hızlar ve serbest yüzey yer değiştirmesi) bulunduğunda, dikey hız süreklilik denklemi aracılığıyla geri kazanılabilir.

Akışkanlar dinamiğinde yatay uzunluk ölçeğinin dikey uzunluk ölçeğinden çok daha büyük olduğu durumlar yaygındır, bu nedenle sığ su denklemleri geniş çapta uygulanabilir. İle kullanılırlar Coriolis kuvvetleri atmosferik ve okyanus modellemede, basitleştirme olarak ilkel denklemler atmosferik akış.

Sığ su denklemi modellerinin yalnızca bir dikey seviyesi vardır, bu nedenle yüksekliğe göre değişen herhangi bir faktörü doğrudan kapsayamazlar. Bununla birlikte, ortalama durumun yeterince basit olduğu durumlarda, dikey değişimler yataydan ayrılabilir ve birkaç set sığ su denklemi durumu tanımlayabilir.

Denklemler

Muhafazakar formu

Sığ su denklemleri aşağıdaki denklemlerden türetilmiştir: kütlenin korunumu ve doğrusal momentumun korunumu ( Navier-Stokes denklemleri ), sığ su varsayımları bozulduğunda bile geçerlidir. hidrolik atlama. Yatay durumda yatak, Hayır Coriolis kuvvetleri, sürtünme veya viskoz kuvvetler sığ su denklemleri:

Buraya η toplam sıvı kolon yüksekliğidir (bir fonksiyonu olarak anlık sıvı derinliği x, y ve t) ve 2B vektör (sen,v) sıvının yataydır akış hızı, dikey sütun boyunca ortalaması alınır. Daha ileri g yerçekimine bağlı ivme ve ρ akışkan yoğunluk. İlk denklem kütle korunumundan, ikincisi ise momentum korunumundan türetilmiştir.[2]

Muhafazakar olmayan form

Yukarıdaki türevleri kullanarak genişletmek Ürün kuralı sığ su denklemlerinin muhafazakar olmayan formu elde edilir. Hızlar, temel bir koruma denklemine tabi olmadığından, muhafazakar olmayan formlar bir şok veya hidrolik atlama. Ayrıca Coriolis, sürtünme ve viskoz kuvvetler için uygun terimler de dahil edilmiştir (sabit sıvı yoğunluğu için):

nerede

seniçindeki hız x yön veya bölgesel hız
viçindeki hız y yön veya meridyen hız
hyatay basınç yüzeyinin ortalama yüksekliğinden yükseklik sapmasıdır H: η = H + h
Hyatay basınç yüzeyinin ortalama yüksekliğidir
g... hızlanma Nedeniyle Yerçekimi
f... Coriolis katsayısı Ile ilişkili Coriolis gücü. Yeryüzünde, f 2'ye eşittirΩ günah(φ), nerede Ω Dünyanın açısal dönüş hızıdır (π / 12 radyan / saat) ve φ enlem
b... viskoz sürükleme katsayı
ν... kinematik viskozite
Sürtünme ve Coriolis kuvveti olmadan dikdörtgen bir havza için doğrusallaştırılmış sığ su denklemlerinin animasyonu. Su, sıçrama konumundan uzağa yayılan ve havza duvarlarından yansıyan yüzey yerçekimi dalgaları üreten bir sıçrama yaşar. Animasyon, kesin çözüm of Carrier and Yeh (2005) için eksenel simetrik dalgalar.[3]

Genellikle, ikinci dereceden terimlerin sen ve v, yığın etkisini temsil eden tavsiye, diğer terimlerle karşılaştırıldığında küçüktür. Bu denir jeostrofik denge ve demekle eşdeğerdir ki Rossby numarası küçük. Dalga yüksekliğinin ortalama yüksekliğe göre çok küçük olduğu varsayılırsa (hH), bizde (yanal viskoz kuvvetler olmadan):

Tek boyutlu Saint-Venant denklemleri

tek boyutlu (1-D) Saint-Venant denklemleri tarafından türetildi Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant ve genellikle geçici durumu modellemek için kullanılır açık kanal akışı ve yüzeysel akış. İki boyutlu Saint-Venant denklemleri olarak da bilinen iki boyutlu (2-D) sığ su denklemlerinin bir daralması olarak görülebilirler. 1-D Saint-Venant denklemleri bir dereceye kadar kanalın temel özelliklerini içerir kesit şekli.

1-D denklemleri yaygın olarak kullanılmaktadır. bilgisayar modelleri gibi TUFLOW, Maskare (EDF), SIC (Irstea), HEC-RAS,[4] SWMM5, ISIS,[4] InfoWorks,[4] Taşkın Modelleyici, SOBEK 1DFlow, MIKE 11,[4] ve MIKE SHE çünkü çözülmeleri, sığ su denklemlerinden önemli ölçüde daha kolaydır. 1-D Saint-Venant denklemlerinin yaygın uygulamaları şunları içerir: taşkın yönlendirme nehirler boyunca (sel risklerini azaltmaya yönelik önlemlerin değerlendirilmesi dahil), baraj kırılma analizi, açık bir kanaldaki fırtına darbeleri ve ayrıca karadan akışta fırtına akışı.

Denklemler

Açık kanalın kesiti.

Sistemi kısmi diferansiyel denklemler 1-D'yi tanımlayan sıkıştırılamaz akış içinde açık kanal keyfi enine kesit - Saint-Venant tarafından 1871 tarihli makalesinde türetildiği ve ortaya konduğu şekliyle (denklem 19 ve 20) -:[5]

  ve

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

(2)

nerede x kanal ekseni boyunca uzay koordinatıdır, t zamanı gösterir, Bir(x,t) kesitseldir alan konumdaki akışın x, sen(x,t) akış hızı, ζ(x,t) Serbest yüzey yükseklik ve τ (x,t) duvardır kayma gerilmesi boyunca ıslak çevre P(x,t) enine kesitin x. Ayrıca ρ (sabit) sıvıdır yoğunluk ve g ... yerçekimi ivmesi.

Kapanış of hiperbolik denklem sistemi (1)–(2) enine kesitlerin geometrisinden elde edilir - enine kesit alanı arasında fonksiyonel bir ilişki sağlayarak Bir ve her pozisyonda yüzey yüksekliği ζ x. Örneğin, sabit kanal genişliğine sahip dikdörtgen bir enine kesit için B ve kanal yatağı yüksekliği zbkesit alanı: Bir = B (ζ - zb) = B h. Anlık su derinliği h(x,t) = ζ (x,t) − zb(x), ile zb(x) yatak seviyesi (yani yukarıdaki yataktaki en alçak noktanın yüksekliği veri bakın kesit şekli ). Hareket etmeyen kanal duvarları için kesit alanı Bir denklemde (1) şu şekilde yazılabilir:

ile b(x,h) lokasyondaki kanal kesitinin etkin genişliği x sıvı derinliği olduğunda h - yani b(x,h) = B(x) dikdörtgen kanallar için.[6]

Duvar kayma gerilimi τ akış hızına bağlıdır sen, ör. kullanılarak ilişkilendirilebilirler. Darcy-Weisbach denklemi, Manning formülü veya Chézy formülü.

Dahası, denklem (1) Süreklilik denklemi, bu sıkıştırılamaz homojen akışkan için su hacminin korunmasını ifade eder. Denklem (2) itme denklem, kuvvetler ve momentum değişim oranları arasındaki dengeyi verir.

Yatak eğimi S(x), sürtünme eğimi Sf(x,t) ve hidrolik yarıçap R(x,t) şu şekilde tanımlanır:

    ve  

Sonuç olarak, momentum denklemi (2) şu şekilde yazılabilir:[6]

 

 

 

 

(3)

Momentumun korunması

Momentum denklemi (3) sözde de kullanılabilir koruma formu Saint-Venant denklemleri üzerindeki bazı cebirsel manipülasyonlar yoluyla, (1) ve (3). Açısından deşarj Q = Au:[7]

 

 

 

 

(4)

nerede Bir, ben1 ve ben2 kanal genişliği açısından tanımlanan kanal geometrisinin işlevleridir B(σ,x). Burada σ, konumdaki enine kesitte en alçak noktanın üzerindeki yüksekliktir. xbakın kesit şekli. Yani σ, yatak seviyesinin üzerindeki yüksekliktir zb(x) (enine kesitin en alt noktasının):

Yukarıda - momentum denkleminde (4) koruma formunda - Bir, ben1 ve ben2 değerlendirilir σ = h(x,t). Dönem g ben1 Tanımlar hidrostatik belirli bir kesitte kuvvet. Ve bir prizmatik olmayan kanal, g ben2 kanal ekseni boyunca geometri değişimlerinin etkilerini verir x.

Uygulamalarda, eldeki probleme bağlı olarak, genellikle korunmasız formda momentum denkleminin kullanılması tercih edilir, (2) veya (3) veya koruma formu (4). Örneğin açıklaması durumunda hidrolik sıçramalar koruma formu, momentum akışı atlama boyunca süreklidir.

Özellikler

Konumla ilişkili özellikler, bağımlılık alanı ve etki bölgesi P = (xP,tP) boşlukta x ve zaman t.

Saint-Venant denklemleri (1)–(2) kullanılarak analiz edilebilir karakteristikler yöntemi.[8][9][10][11] İki hızlar dx/ gt karakteristik eğrilerde:[7]

  ile  

Froude numarası F = |sen| / c akışın olup olmadığını belirler kritik altı (F < 1) veya süper kritik (F > 1).

Sabit genişlikte dikdörtgen ve prizmatik bir kanal için Byani Bir = B h ve c = gh, Riemann değişmezleri şunlardır:[8]

  ve  

dolayısıyla karakteristik formdaki denklemler:[8]

Riemann değişmezleri ve rasgele kesitli prizmatik bir kanal için karakteristikler yöntemi Didenkulova ve Pelinovsky (2011) tarafından açıklanmıştır.[11]

Özellikler ve Riemann değişmezleri, (analitik veya sayısal) çözümler elde etme sürecinde kullanılabilecekleri kadar, akışın davranışı hakkında da önemli bilgiler sağlar.[12][13][14][15]

Türetilmiş modelleme

Dinamik dalga

Dinamik dalga, tam tek boyutlu Saint-Venant denklemidir. Çözmesi sayısal olarak zordur, ancak tüm kanal akış senaryoları için geçerlidir. Dinamik dalga, aşağıdakileri içeren modelleme programlarında geçici fırtınaları modellemek için kullanılır. Maskare (EDF), SIC (Irstea), HEC-RAS,[16] InfoWorks_ICM,[17] MIKE 11,[18] 123d yıkama[19] ve SWMM5.

Basitleştirmeleri artırma sırasına göre, tam 1B Saint-Venant denklemlerinin (diğer adıyla Dinamik dalga denklemi) bazı terimlerini kaldırarak, aynı zamanda klasik Difüzif dalga denklemini ve Kinematik dalga denklemini elde ederiz.

Difüzif dalga

Yayılan dalga için eylemsizlik terimlerinin yerçekimi, sürtünme ve basınç terimlerinden daha az olduğu varsayılır. Yaygın dalga bu nedenle daha doğru bir eylemsizlik dalgası olarak tanımlanabilir ve şöyle yazılır:

Yaygın dalga, eylemsizlik ivmesi diğer tüm hızlanma biçimlerinden çok daha küçük olduğunda veya başka bir deyişle, düşük Froude değerlerine sahip birincil olarak kritik altı akış olduğunda geçerlidir. Yaygın dalga varsayımını kullanan modeller şunları içerir: MIKE SHE[20] ve LISFLOOD-FP.[21]. İçinde SIC (Irstea) yazılım bu seçenekler de mevcuttur, çünkü 2 atalet terimi (veya bunlardan herhangi biri) isteğe bağlı olarak arabirimden kaldırılabilir.

Kinematik dalga

İçin kinematik dalga Akışın tekdüze olduğu ve sürtünme eğiminin yaklaşık olarak kanalın eğimine eşit olduğu varsayılır. Bu, tam Saint-Venant denklemini kinematik dalgaya basitleştirir:

Kinematik dalga, dalga yüksekliğindeki mesafe üzerinden değişim ve mesafe üzerinden hız ve zaman yatak eğimine göre göz ardı edilebilir olduğunda geçerlidir, örn. dik yokuşlardaki sığ akışlar için.[22] Kinematik dalga kullanılır HEC-HMS.[23]

Navier-Stokes denklemlerinden türetme

1-D Saint-Venant momentum denklemi aşağıdaki yöntemlerden türetilebilir: Navier-Stokes denklemleri tanımlayan Akışkan hareket. x-Navier-Stokes denklemlerinin bileşeni - olarak ifade edildiğinde Kartezyen koordinatları içinde x-direction - şu şekilde yazılabilir:

nerede sen içindeki hız xyön, v içindeki hız yyön, w içindeki hız zyön, t zamanı, p basınç, ρ suyun yoğunluğu, ν kinematik viskozite ve fx vücut kuvveti x- yön.

1.Vücut kuvveti olarak sürtünmenin hesaba katıldığı varsayılırsa, sıfır olarak kabul edilebilir, bu nedenle:
2.Tek boyutlu akışı varsayarsak x-yönlendirme şunu takip eder:[24]
3.Basınç dağılımının yaklaşık olarak hidrostatik olduğunu da varsayarsak, şunu takip eder:[24]

veya farklı biçimde:

Ve bu varsayımlar uygulandığında x-Navier-Stokes denklemlerinin bileşeni:

4.Kanal sıvısına etki eden, yerçekimi ve sürtünme olmak üzere 2 vücut kuvveti vardır:

nerede fx, g yerçekimine bağlı vücut kuvveti ve fx, f sürtünmeden kaynaklanan vücut kuvvetidir.

5.fx,g temel fizik ve trigonometri kullanılarak hesaplanabilir:[25]

nerede Fg yerçekimi kuvveti xyön, θ açı ve M kütle.

Şekil 1: Eğimli bir düzlemde hareket eden bloğun diyagramı.

Günah θ ifadesi, trigonometri kullanılarak basitleştirilebilir:

Küçük için θ (hemen hemen tüm akışlar için mantıklı) şu varsayılabilir:

ve buna verilmiş fx birim kütle başına bir kuvveti temsil eder, ifade şöyle olur:

6.Enerji eğim çizgisinin kanal eğimi ile aynı olmadığını ve tutarlı bir eğime erişim için tutarlı bir sürtünme kaybı olduğunu varsayarsak, şunu takip eder:[26]
7.Tüm bu varsayımlar bir araya gelerek 1 boyutlu Saint-Venant denklemine ulaşır. xyön:

burada (a) yerel ivme terimi, (b) konvektif hızlanma terimi, (c) basınç gradyanı terimi, (d) sürtünme terimi ve (e) yerçekimi terimidir.

Koşullar

Yerel ivme (a), zaman içinde hızdaki bazı değişiklikleri açıkladığı için "kararsız terim" olarak da düşünülebilir. Konvektif hızlanma (b), örneğin sırasıyla bir daralmaya veya bir açıklığa giren bir sıvının hızlanması veya yavaşlaması gibi, konum üzerinden hızdaki bazı değişikliklerin neden olduğu bir ivmedir. Bu iki terim de eylemsizlik 1 boyutlu Saint-Venant denkleminin terimleri.

Basınç gradyanı terimi (c), basıncın pozisyona göre nasıl değiştiğini açıklar ve basıncın hidrostatik olduğu varsayıldığından, bu, baş üstü pozisyondaki değişikliktir. Sürtünme terimi (d) sürtünmeden kaynaklanan enerji kayıplarını açıklarken, yerçekimi terimi (e) yatak eğiminden kaynaklanan ivmedir.

Sığ su denklemleriyle dalga modellemesi

Sığ su denklemleri modellemek için kullanılabilir Rossby ve Kelvin atmosferdeki dalgalar, nehirler, göller ve okyanusların yanı sıra yerçekimi dalgaları daha küçük bir alanda (örneğin bir banyodaki yüzey dalgaları). Sığ su denklemlerinin geçerli olabilmesi için, dalga boyu modellemeleri gereken fenomenin, fenomenin meydana geldiği havzanın derinliğinden çok daha büyük olması gerekir. Sığ su denklemlerini kullanarak biraz daha küçük dalga boyları ele alınabilir. Boussinesq yaklaşımı dahil etmek dağılım Etkileri.[27] Sığ su denklemleri, çok büyük uzunluk ölçeklerine (yüz kilometreden fazla) sahip gelgitler modellemek için özellikle uygundur. Gelgit hareketi için, derinliği her zaman gelgit dalga boyundan çok daha küçük olacağından çok derin bir okyanus bile sığ olarak kabul edilebilir.

Tsunami sığ su denklemleri (kırmızı çizgi; frekans dağılımı olmadan) ile hesaplandığı gibi üretim ve yayılma ve Boussinesq tipi model (mavi çizgi; frekans dağılımı ile). Boussinesq tipi modelin (mavi çizgi) bir Soliton Salınımlı bir kuyruk geride kalıyor. Sığ su denklemleri (kırmızı çizgi) dik bir cephe oluşturur ve delik oluşumu, daha sonra. Su derinliği 100 metredir.

Doğrusal olmayan sığ su denklemlerini kullanarak türbülans modellemesi

Şok dalgalarının mevcut olduğu sığ su denklemlerinin simülasyonundan bir anlık görüntü

Doğrusal olmayan formunda sığ su denklemleri, modelleme için açık bir adaydır türbülans atmosferde ve okyanuslarda, yani jeofizik türbülans. Bunun bir avantajı Yarı-jeostrofik denklemler gibi çözümlere izin vermesidir yerçekimi dalgaları aynı zamanda muhafaza ederken enerji ve potansiyel girdap. Bununla birlikte, jeofizik uygulamalar söz konusu olduğunda bazı dezavantajlar da vardır - toplam enerji için ikinci dereceden olmayan bir ifadeye ve dalgaların olma eğilimine sahiptir. şok dalgaları.[28] Şok oluşumunu önleyen bazı alternatif modeller önerilmiştir. Bir alternatif, momentum denklemindeki "basınç terimini" değiştirmektir, ancak bu, için karmaşık bir ifadeyle sonuçlanır. kinetik enerji[29]. Diğer bir seçenek, tüm denklemlerdeki doğrusal olmayan terimleri değiştirmektir, bu da için ikinci dereceden bir ifade verir. kinetik enerji, şok oluşumunu önler, ancak yalnızca doğrusallaştırılmış potansiyel girdap.[30]


Notlar

  1. ^ "Sığ Su Denklemleri" (PDF). Alındı 2010-01-22.
  2. ^ Clint Dawson ve Christopher M. Mirabito (2008). "Sığ Su Denklemleri" (PDF). Alındı 2013-03-28.
  3. ^ Taşıyıcı, G.F.; Yeh, H. (2005), "Sonlu bir kaynaktan Tsunami yayılımı", Mühendislik ve Bilimlerde Bilgisayar Modelleme, 10 (2): 113–122, doi:10.3970 / cmes.2005.010.113
  4. ^ a b c d S. Néelz; G Pender (2009). "2D hidrolik modelleme paketlerinin masaüstü incelemesi". Ortak Çevre Ajansı / Defra Sel ve Kıyı Erozyonu Risk Yönetimi Araştırma ve Geliştirme Programı (Bilim Raporu: SC080035): 5. Alındı 2 Aralık 2016.
  5. ^ Saint-Venant, A.J.C. Barré de (1871), "Théorie du mouvement kalıcı olmayan des eaux, avec application aux crues des rivières et a l'introduction de marées dans leurs lits", Rendus de l'Académie des Sciences Comptes, 73: 147–154 ve 237–240
  6. ^ a b Chow, Ven Te (1959), Açık kanal hidroliğiMcGraw-Hill, OCLC  4010975, §18-1 & §18-2.
  7. ^ a b Cunge, J.A., F.M. Holly Jr. ve A. Verwey (1980), Hesaplamalı nehir hidroliğinin pratik yönleriPitman Yayıncılık ISBN  0 273 08442 9, §§2.1 & 2.2
  8. ^ a b c Whitham, G. B. (1974) Doğrusal ve Doğrusal Olmayan Dalgalar, §§5.2 ve 13.10, Wiley, ISBN  0-471-94090-9
  9. ^ Lighthill, J. (2005), Akışkanlardaki dalgalar, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-01045-0, §§2.8–2.14
  10. ^ Meyer, R. E. (1960), Viskoz olmayan gaz dinamiğinin özellikleri teorisi. İçinde: Akışkanlar Dinamiği / Strömungsmechanik, Fizik Ansiklopedisi IX, Eds. S. Flügge & C. Truesdell , Springer, Berlin, ISBN  978-3-642-45946-7, s. 225–282
  11. ^ a b Didenkulova, I .; Pelinovsky, E. (2011). "Doğrusal olmayan hiperbolik sistemlerde haydut dalgaları (sığ su çerçevesi)". Doğrusal olmama. 24 (3): R1 – R18. doi:10.1088 / 0951-7715 / 24/3 / R01.
  12. ^ Harris, M. W .; Nicolsky, D. J .; Pelinovsky, E. N .; Rybkin, A.V. (2015/03/01). "Trapez Yuvalarında Doğrusal Olmayan Uzun Dalgaların Akışı: 1 Boyutlu Analitik Teori ve 2 Boyutlu Sayısal Hesaplamalar". Saf ve Uygulamalı Jeofizik. 172 (3–4): 885–899. Bibcode:2015PApGe.172..885H. doi:10.1007 / s00024-014-1016-3. ISSN  0033-4553.
  13. ^ Harris, M. W .; Nicolsky, D. J .; Pelinovsky, E. N .; Pender, J. M .; Rybkin, A.V. (2016-05-01). "Doğrusal olmayan uzun dalgaların sonlu uzunluktaki U şeklindeki koylarda yükselmesi: analitik teori ve sayısal hesaplamalar". Okyanus Mühendisliği ve Deniz Enerjisi Dergisi. 2 (2): 113–127. doi:10.1007 / s40722-015-0040-4. ISSN  2198-6444.
  14. ^ Garayshin, V. V .; Harris, M. W .; Nicolsky, D. J .; Pelinovsky, E. N .; Rybkin, A.V. (2016-04-10). "U şeklindeki ve V şeklindeki bölmelerdeki uzun dalga yükselmesinin analitik ve sayısal bir çalışması". Uygulamalı Matematik ve Hesaplama. 279: 187–197. doi:10.1016 / j.amc.2016.01.005.
  15. ^ Anderson, Dalton; Harris, Matthew; Hartle, Harrison; Nicolsky, Dmitry; Pelinovsky, Efim; Raz, Amir; Rybkin, Alexei (2017/02/02). "Parçalı Eğimli U Biçimli Koylarda Uzun Dalgaların Yükselişi". Saf ve Uygulamalı Jeofizik. 174 (8): 3185. Bibcode:2017PApGe.174.3185A. doi:10.1007 / s00024-017-1476-3. ISSN  0033-4553.
  16. ^ Brunner, G.W. (1995), HEC-RAS Nehir Analiz Sistemi. Hidrolik Referans Kılavuzu. Sürüm 1.0 Rep., DTIC Belgesi.
  17. ^ Searby, D .; Dean, A .; Margetts J. (1998), Christchurch liman Hydroworks modeling., WAPUG Sonbahar toplantısının bildirileri, Blackpool, İngiltere.
  18. ^ Havnø, K., M. Madsen, J. Dørge ve V. Singh (1995), MIKE 11-genelleştirilmiş nehir modelleme paketi, Havza hidrolojisinin bilgisayar modelleri., 733–782.
  19. ^ Yeh, G .; Cheng, J .; Lin, J .; Martin, W. (1995), 1-D akarsu-nehir ağı, 2-D kara rejimi ve 3-D yeraltı ortamının havza sistemlerinde su akışını ve kirletici ve tortu taşınmasını simüle eden sayısal bir model . Havza hidrolojisinin bilgisayar modelleri, 733–782.
  20. ^ DHI (Danimarka Hidrolik Enstitüsü) (2011), MIKE SHE Kullanım Kılavuzu Cilt 2: Başvuru Kılavuzu, düzenlendi.
  21. ^ Bates, P., T. Fewtrell, M. Trigg ve J. Neal (2008), LISFLOOD-FP kullanım kılavuzu ve teknik not, kod sürümü 4.3. 6, Bristol Üniversitesi.
  22. ^ Novak, P., ve diğerleri, Hidrolik Modelleme - Giriş: İlkeler, Yöntemler ve Uygulamalar. 2010: CRC Press.
  23. ^ Scharffenberg, W. A., ve M. J. Fleming (2006), Hidrolojik Modelleme Sistemi HEC-HMS: Kullanıcı Kılavuzu, ABD Ordusu Mühendisler Birliği, Hidrolojik Mühendislik Merkezi.
  24. ^ a b Vincent., Fromion (2009). Hidrosistemlerin modellenmesi ve kontrolü. Springer. ISBN  9781848826243. OCLC  401159458.
  25. ^ "Eğik Uçaklar". www.physicsclassroom.com. Alındı 2017-05-16.
  26. ^ Yöntemler., Haestad (2007). Hidrolik mühendisliğinde bilgisayar uygulamaları: teoriyi pratiğe bağlama. Bentley Institute Press. ISBN  978-0971414167. OCLC  636350249.
  27. ^ Dingemans, M.W. (1997), Düzensiz tabanlar üzerinde dalga yayılımı, Okyanus Mühendisliği Üzerine İleri Seriler 13, World Scientific, Singapur, s. 473 ve 516, ISBN  978-981-02-0427-3
  28. ^ Augier, Pierre; Mohanan, Ashwin Vishnu; Lindborg, Erik (2019-09-17). "Sığ su dalgası türbülansı". Akışkanlar Mekaniği Dergisi. 874: 1169–1196. doi:10.1017 / jfm.2019.375. ISSN  1469-7645.
  29. ^ Bühler, Oliver (1998-09-01). "Yerçekimi Dalgalarının Doğrusal Olmayan Dikleşmesini Önleyen Sığ Su Modeli". Atmosfer Bilimleri Dergisi. 55 (17): 2884–2891. doi:10.1175 / 1520-0469 (1998) 055 <2884: ASWMTP> 2.0.CO; 2. ISSN  0022-4928.
  30. ^ Lindborg, Erik; Mohanan, Ashwin Vishnu (2017-11-01). "Jeofizik türbülans için iki boyutlu bir oyuncak modeli". Akışkanların Fiziği. 29 (11): 111114. doi:10.1063/1.4985990. ISSN  1070-6631.

daha fazla okuma

Dış bağlantılar