Küçük iptal teorisi - Small cancellation theory

Matematiksel konusunda grup teorisi, küçük iptal teorisi tarafından verilen çalışma grupları grup sunumları doyurucu küçük iptal koşullarıbu, tanımlayıcı ilişkilerin birbirleriyle "küçük örtüşmelerinin" olduğu yerdir. Küçük iptal koşulları, grubun cebirsel, geometrik ve algoritmik özelliklerini ifade eder. Sonlu sunulan gruplar yeterince güçlü küçük iptal koşullarının karşılanması hiperbolik kelime ve var kelime sorunu çözülebilir Dehn algoritması. Küçük iptal yöntemleri de inşa etmek için kullanılır. Tarski canavarları ve çözümleri için Burnside sorunu.

Tarih

Küçük iptal teorisinin altında yatan bazı fikirler, Max Dehn 1910'larda.^[1] Dehn, cinsin kapalı yönlendirilebilir yüzeylerinin temel gruplarının en az iki kelime sorunu şimdi denen şeyle çözülebilir Dehn algoritması. Kanıtı, Cayley grafiği böyle bir grubun hiperbolik düzlem ve eğrilik tahminlerinin yapılması Gauss-Bonnet teoremi Cayley grafiğindeki kapalı bir döngü için böyle bir döngünün tanımlayıcı bir ilişkinin büyük bir bölümünü (yarıdan fazla) içermesi gerektiği sonucuna varmak için.

Tartakovskii'nin 1949 tarihli bir gazetesi^[2] küçük iptal teorisinin acil bir habercisiydi: bu makale, küçük iptal türü varsayımların anahtar bir rol oynadığı karmaşık bir kombinasyonel koşullar kümesini karşılayan bir grup grubu için kelime probleminin bir çözümünü sağladı. Bugün kullanılan küçük iptal teorisinin standart versiyonu, 1960'ların başında Martin Greendlinger tarafından bir dizi makalede geliştirilmiştir.^[3][4][5] Öncelikle "ölçülü" küçük iptal koşullarıyla ilgilenen. Greendlinger özellikle bunu kanıtladı sonlu sunulan gruplar C '(1/6) küçük iptal koşulunun sağlanması, Dehn algoritması ile çözülebilen kelime problemine sahiptir. Teori daha da rafine edildi ve Lyndon'ın sonraki çalışmasında resmileştirildi,^[6] Schupp^[7] ve Lyndon-Schupp,^[8] metrik olmayan küçük iptal koşullarını da ele alan ve küçük iptal teorisinin bir versiyonunu geliştiren birleştirilmiş ücretsiz ürünler ve HNN uzantıları.

Küçük iptal teorisi, geliştiren Alexander Ol'shanskii tarafından daha da genelleştirildi.^[9] Tanımlama ilişkileri kümesinin bir filtreleme ile donatılmış olduğu ve belirli bir derecenin tanımlayıcı bir bağlayıcısının daha yüksek bir sınıfın tanımlayıcı bir bağlayıcısıyla büyük bir örtüşmeye sahip olduğu, teorinin "derecelendirilmiş" bir versiyonu. Olshaskii, çeşitli "canavar" grupları oluşturmak için kademeli küçük iptal teorisini kullandı. Tarski canavarı^[10] ve ayrıca yeni bir kanıt vermek için^[11] o ücretsiz Burnside grupları büyük tek üslerin sayısı sonsuzdur (bu sonuç ilk olarak Adian ve Novikov 1968'de daha kombinatoryal yöntemler kullanarak).^[12][13][14]

Küçük iptal teorisi, teori için temel bir dizi örnek ve fikir sağlamıştır. kelime-hiperbolik gruplar tarafından öne sürüldü Gromov bir ufuk açıcı 1987 monografisinde "Hiperbolik gruplar".^[15]

Ana tanımlar

Aşağıdaki açıklama büyük ölçüde Ch. Lyndon ve Schupp kitabının V.^[8]

Adet

İzin Vermek

${displaystyle G = langle X | Rangle qquad (*)}$

olmak grup sunumu nerede R ⊆ F(X), serbestçe indirgenmiş ve döngüsel olarak azaltılmış sözcükler kümesidir. ücretsiz grup F(X) öyle ki R dır-dir simetrikyani, döngüsel permütasyon ve ters alma altında kapalıdır.

Önemsiz, özgürce kısaltılmış bir kelime sen içinde F(X) a denir parça (∗) ile ilgili olarak iki farklı unsur varsa r₁, r₂ içinde R olduğu sen maksimal ortak başlangıç ​​segmenti olarak.

Unutmayın ki ${displaystyle G = langle X | Sangle}$ ilişkilendiricileri tanımlayan bir grup sunumudur S simetrik değil, her zaman alabiliriz simetrik kapatma R nın-nin S, nerede R elemanlarının tüm döngüsel permütasyonlarından oluşur S ve S⁻¹. Sonra R simetriktir ve ${displaystyle G = langle X | Rangle}$ aynı zamanda bir sunumudur G.

Metrik küçük iptal koşulları

Let 0 <λ <1. Yukarıdaki gibi (∗) sunumunun C '(λ) küçük iptal koşulu ne zaman olursa olsun sen (∗) ile ilgili bir parçadır ve sen bazılarının alt kelimesi r ∈ R, sonra |sen| < λ|r|. Burada |v| bir kelimenin uzunluğu v.

C 'koşulu (λ) bazen a olarak adlandırılır metrik küçük iptal koşulu.

Metrik olmayan küçük iptal koşulları

İzin Vermek p ≥ 3 bir tam sayıdır. Yukarıdaki gibi bir grup sunumunun (∗) C'yi (p) küçük iptal koşulu ne zaman olursa olsun r ∈ R ve

${displaystyle r = u_ {1} nokta u_ {m}}$

nerede sen_ben parçalardır ve yukarıdaki ürünün yazıldığı gibi serbestçe azaltıldığı durumlarda, m ≥ p. Yani, tanımlayıcı hiçbir ilişkilendirici, şundan daha az indirgenmiş bir ürün olarak yazılamaz. p adet.

İzin Vermek q ≥ 3 bir tam sayıdır. Yukarıdaki gibi bir grup sunumunun (∗) T'yi (q) küçük iptal koşulu ne zaman 3 ≤ t <q ve r₁,...,r_t içinde R öyle mi r₁ ≠ r₂⁻¹,..., r_t ≠ r₁⁻¹ daha sonra ürünlerden en az biri r₁r₂,...,r_{t − 1}r_t, r_tr₁ yazıldığı gibi serbestçe azaltılır.

Geometrik olarak, koşul T (q) aslında şu anlama gelir: D indirgenmiş van Kampen diyagramı üzerinde (∗) sonra her iç köşe D en az üçüncü derece aslında en az derece q.

Örnekler

• İzin Vermek ${displaystyle G = langle a, b | aba ^ {- 1} b ^ {- 1} açı}$ standart sunumu olmak serbest değişmeli grup ikinci sırada. Daha sonra bu sunumun simetrik olarak kapanışı için tek parçalar 1 uzunluğunda kelimelerdir. Bu simetrik form C (4) -T (4) küçük iptal koşullarını ve C '(λ) herhangi bir 1> için koşulλ > 1/4.
• İzin Vermek ${displaystyle G = langle a_ {1}, b_ {1}, dots, a_ {k}, b_ {k} | [a_ {1}, b_ {1}] cdot noktaları cdot [a_ {k}, b_ {k }]açı }$, nerede k ≥ 2, standart sunum temel grup cinsin kapalı yönlendirilebilir yüzeyinin k. O halde, bu sunumun simetrileştirilmesi için tek parçalar 1 uzunluğundaki kelimelerdir ve bu simetrikleştirme C '(1/7) ve C (8) küçük iptal koşullarını karşılar.
• İzin Vermek ${displaystyle G = langle a, b | abab ^ {2} ab ^ {3} nokta ab ^ {100} açı}$. Ardından, tersine dönene kadar, bu sunumun simetrik versiyonu için her parça, forma sahiptir. b^benab^j veya b^ben, nerede 0 ≤ben,j ≤ 100. Bu simetizasyon, C '(1/20) küçük iptal koşulunu karşılar.
• Simetrik bir sunum C '(1 /m) koşulu o zaman C (m) şart.
• İzin Vermek r ∈ F(X) uygun bir güç olmayan önemsiz, döngüsel olarak azaltılmış bir kelime olmalıdır. F(X) ve izin ver n ≥ 2. Ardından sunumun simetrik kapanışı ${displaystyle G = langle X | r ^ {n} açı}$ C (2n) 'yi karşılar^[16] ve C '(1 / n) küçük iptal koşulları.

Küçük iptal teorisinin temel sonuçları

Greendlinger'in lemması

Metrik küçük iptal koşuluyla ilgili ana sonuç aşağıdaki ifadedir (Bölüm V'deki Teorem 4.4'e bakın) ^[8]) genellikle denir

Greendlinger'in lemması: (∗) yukarıdaki gibi C '(λ) küçük iptal koşulu, 0 ≤λ ≤ 1/6. İzin Vermek w ∈ F(X) önemsiz, özgürce indirgenmiş bir kelime olmak w = 1 inç G. Sonra bir alt kelime var v nın-nin w ve tanımlayıcı bir ilişkilendirici r ∈ R öyle ki v aynı zamanda bir alt kelimedir r ve bunun gibi

${displaystyle sol | vight |> sol (1-3lambda ight) sol | sağ |}$

Varsayımın λ ≤ 1/6 şu anlama gelir (1-3λ) ≥ 1/2, böylece w bazı tanımlayıcı relatörlerin yarısından fazlasını içeren bir alt kelime içerir.

Greendlinger'in lemması, aşağıdaki geometrik ifadenin bir sonucu olarak elde edilir:

Greendlinger'in lemmasının varsayımları altında, D küçültülmek van Kampen diyagramı (∗) üzerinde döngüsel olarak azaltılmış bir sınır etiketi ile D en az iki bölge içerir. O zaman iki ayrı bölge var D₁ ve D₂ içinde D öyle ki için j = 1,2 bölge D_j sınır döngüsüyle kesişir ∂D nın-nin D basit bir yayda uzunluğu (1-3λ)|∂D_j|.

Bu sonuç, sırayla bir ikili diyagram dikkate alınarak kanıtlanmıştır. D. Burada bir kombinatoryal eğrilik kavramı tanımlanır (bu, küçük iptal varsayımlarına göre, her iç köşede negatiftir) ve daha sonra, bir kombinatoryal versiyonu elde edilir. Gauss-Bonnet teoremi. Greendlinger'in lemması bu analizin bir sonucu olarak ispatlanmıştır ve bu şekilde ispat, yüzey grupları için orijinal Dehn ispatının fikirlerini çağrıştırmaktadır.

Dehn algoritması

Herhangi bir simetrik grup sunumu için (∗), aşağıdaki özet prosedürü denir Dehn algoritması:

• Serbestçe kısaltılmış bir kelime verildiğinde w açık X^±1, serbestçe küçültülmüş kelimeler dizisi oluşturun w = w₀, w₁, w₂,..., aşağıdaki gibi.
• Varsayalım w_j zaten inşa edilmiştir. Boş kelime ise, algoritmayı sonlandırın. Aksi takdirde kontrol edin w_j bir alt kelime içerir v öyle ki v aynı zamanda bazı tanımlayıcı bağlayıcının alt kelimesidir r = vu ∈R öyle ki |v| > |r| / 2. Hayır ise, algoritmayı çıktıyla sonlandırın w_j. Varsa değiştirin v tarafından sen⁻¹ içinde w_j, sonra serbestçe azaltın, sonuçta ortaya çıkan özgürce azaltılmış kelimeyi belirtin. w_j+1ve algoritmanın bir sonraki adımına gidin.

Her zaman sahip olduğumuza dikkat edin

|w₀| > |w₁| > |w₂| >...

bu, sürecin en fazla |w| adımlar. Üstelik tüm sözler w_j aynı unsuru temsil eder G olduğu gibi w ve dolayısıyla süreç boş kelime ile sona ererse, o zaman w kimlik unsurunu temsil eder G.

Biri simetrik bir sunum için diyor (∗) Dehn'in algoritması, kelime sorunu içinde G eğer sohbet de doğruysa, yani herhangi bir serbestçe azaltılmış kelime içinse w içinde F(X) bu kelime, kimlik unsurunu temsil eder G ancak ve ancak Dehn'in algoritması, w, boş kelimeyle sona erer.

Greendlinger'in lemması, C '(1/6) sunumu için Dehn'in algoritmasının problem kelimesini çözdüğünü ima eder.

Bir C '(1/6) sunum (∗) sonlu ise (her ikisi de X ve R sonlu) ise Dehn'in algoritması gerçek kararsız algoritma anlamında özyineleme teorisi. Bununla birlikte, (∗) sonsuz bir C '(1/6) sunumu olsa bile, Dehn'in algoritması, soyut bir prosedür olarak anlaşılır, yine de üreticilerdeki bir kelimenin olup olmadığına doğru bir şekilde karar verir. X^±1 kimlik unsurunu temsil eder G.

Asferiklik

(∗) bir C '(1/6) veya daha genel olarak C (6) sunumu olsun. r ∈ R uygun bir güç değil F(X) sonra G dır-dir küresel olmayan şu anlamda. Minimal bir alt küme düşünün S nın-nin R öyle ki simetrik kapanış S eşittir R. Böylece eğer r ve s farklı unsurlarıdır S sonra r döngüsel bir permütasyon değildir s^±1 ve ${displaystyle G = langle X | Sangle}$ için başka bir sunum G. İzin Vermek Y ol sunum kompleksi bu sunum için. Sonra (bkz. ^[17] ve Teorem 13.3 in ^[9]), yukarıdaki varsayımlar altında (∗), Y bir alanı sınıflandırmak için G, yani G = π₁(Y) ve evrensel kapak nın-nin Y dır-dir kasılabilir. Özellikle, bu şu anlama gelir: G burulma yapmaz ve kohomolojik boyut iki.

Daha genel eğrilik

Daha genel olarak, herhangi bir van Kampen diyagramında - çok kabaca - ortalama fazla köşeler + yüzler - kenarlar (Euler'in formülüne göre toplam 2 olmalıdır) ve göstererek çeşitli yerel "eğrilik" türleri tanımlamak mümkündür. , belirli bir grupta, bunun dahili olarak her zaman pozitif olmadığını (veya - hatta daha iyisi - negatif olduğunu), eğriliğin tamamının sınırın üzerinde veya yakınında olması gerektiğini gösterin ve böylece problem kelimesinin bir çözümünü elde etmeye çalışın. Ayrıca, aynı sınıra sahip "daha küçük" bir bölge olacak şekilde bir "bölge" kümesini içermeyen diyagramlara dikkat sınırlandırılabilir.

Küçük iptal gruplarının diğer temel özellikleri

• (∗) bir C '(1/6) sunumu olsun. Sonra bir element g içinde G sipariş var n > 1 ancak ve ancak bir ilgili kişi varsa r içinde R şeklinde r = sⁿ içinde F(X) öyle ki g dır-dir eşlenik -e s içinde G. Özellikle, tüm unsurları R uygun yetkiler değil F(X) sonra G burulma yapmaz.
• (∗) sonlu bir C '(1/6) sunumuysa, grup G dır-dir kelime-hiperbolik.
• Eğer R ve S sonlu simetrik alt kümelerdir F(X) eşittir normal kapanışlar içinde F(X) öyle ki her iki sunum da ${displaystyle langle X | Rangle}$ ve ${displaystyle langle X | Sangle}$ C '(1/6) koşulunu sağladığında R = S.
• Sonlu bir sunum (∗) C '(1/6), C' (1/4) –T (4), C (6), C (4) –T (4), C (3) –T (6) sonra grup G çözülebilir kelime sorunu ve çözülebilir eşlenik sorunu

Başvurular

Küçük iptal teorisinin uygulama örnekleri şunları içerir:

• Çözümü eşlenik sorunu grupları için alternatif düğümler (görmek^[18][19] ve Bölüm V, Teorem 8.5 in ^[8]), bu tür düğümler için artırılmış düğüm gruplarının C (4) -T (4) sunumlarını kabul ettiğini göstererek.
• Sonlandırılmış C '(1/6) küçük iptal grupları, temel kelime-hiperbolik gruplar. Sözcük-hiperbolik grupların eşdeğer karakterizasyonlarından biri, Dehn'in algoritmasının çözdüğü sonlu sunumları kabul edenlerdir. kelime sorunu.
• Her parçanın bir uzunluğa sahip olduğu sonlu C (4) -T (4) sunumlarıyla verilen sonlu olarak sunulan gruplar, temel örneklerdir. CAT (0) grupları: böyle bir sunum için evrensel kapak of sunum kompleksi bir CAT (0) kare kompleks.
• Küçük iptal teorisinin ilk uygulamaları, çeşitli yerleştirilebilirlik sonuçlarının elde edilmesini içerir. Örnekler arasında 1974 tarihli bir kağıt^[20] Sacerdote ve Schupp'un en az üç jeneratörü olan her bir ilişkisel grubun SQ evrensel ve Schupp'un 1976 tarihli bir makalesi^[21] her sayılabilir grubun bir basit grup ikinci dereceden bir eleman ve üçüncü dereceden bir eleman tarafından üretilir.
• Sözde Rips yapımı, Nedeniyle Eliyahu Rips,^[22] çeşitli konularda zengin bir karşı örnekler kaynağı sağlar alt grup özellikleri kelime-hiperbolik gruplar: Sonlu olarak sunulan keyfi bir grup verildiğinde Q, inşaat bir kısa kesin dizi ${displaystyle 1 o K o G o Q o 1}$ nerede K iki oluşturulur ve nerede G bükülmez ve sonlu bir C '(1/6) sunumuyla verilir (ve dolayısıyla G kelime-hiperboliktir). Yapı, çeşitli algoritmik problemlerin çözülemeyeceğinin kanıtlarını sağlar. kelime-hiperbolik gruplar alt grup üyeliği sorunu, üretim sorunu ve sıra sorunu.^[23] Ayrıca, birkaç istisna dışında grup K Rips yapımında değil son derece prezentabl. Bu, kelime-hiperbolik grupların var olduğu anlamına gelir. tutarlı bu, sonlu olarak oluşturulmuş, ancak sonlu olarak gösterilebilir olmayan alt grupları içerenlerdir.
• Ol'shanskii tarafından küçük iptal yöntemleri (sonsuz sunumlar için) kullanıldı^[9] dahil olmak üzere çeşitli "canavar" grupları oluşturmak Tarski canavarı ve ayrıca bir kanıt vermek için ücretsiz Burnside grupları büyük tek üslerin sayısı sonsuzdur (benzer bir sonuç ilk olarak 1968'de Adian ve Novikov tarafından daha kombinatoryal yöntemler kullanılarak kanıtlanmıştır). Ol'shanskii tarafından bu yöntemler kullanılarak inşa edilen diğer bazı "canavar" grupları şunları içerir: basit Noetherian grubu; her uygun alt grubun asal sıraya sahip olduğu ve aynı sıradaki herhangi iki alt grubun eşlenik olduğu sonsuz bir grup; a sorumlu olmayan grup her uygun alt grubun döngüsel olduğu; ve diğerleri.^[24]
• Bowditch^[25] sonsuz küçük iptal sunumları kullandılar ve sürekli olarak çok sayıda var olduğunu kanıtladı yarı-izometri türleri iki jeneratör grubu.
• Thomas ve Velickovic oluşturmak için küçük iptal teorisi kullandı^[26] iki homeomorfik olmayan asimptotik koni ile sonlu olarak oluşturulmuş bir grup, böylece bir soruyu cevaplar Gromov.
• McCammond ve Wise, Rips inşasının yol açtığı zorlukların nasıl üstesinden gelineceğini gösterdi ve büyük sınıflarda küçük iptal grupları tutarlı (bu, sonlu olarak üretilen tüm alt grupların sonlu olarak sunulduğu yerdir) ve ayrıca, yerel olarak yarı konveks (bu, sonlu olarak üretilen tüm alt grupların yarı konveks olduğu yerdir).^[27][28]
• Küçük iptal yöntemleri, çeşitli "jenerik" modellerin çalışmasında anahtar rol oynar veya "rastgele" sonlu olarak sunulan gruplar (görmek ^[29]). Özellikle sabit bir numara için m ≥ 2 jeneratör ve sabit sayı t ≥ 1 tanımlayıcı ilişkiler ve herhangi biri için λ <1 a rastgele m-jeneratör t-relatör grubu C '(λ) küçük iptal koşulu. Tanımlayıcı ilişki sayısı bile t sabit değil ancak (2m−1)^εn (nerede ε ≥ 0 sabittir yoğunluk Gromov'un "rastgele" gruplar yoğunluk modelindeki parametre ve nerede ${displaystyle n o infty}$ tanımlayıcı ilişkilerin uzunluğudur), sonra bir ε-random grubu, sağlanan C '(1/6) koşulunu karşılar ε < 1/12.
• Gromov^[30] bir grafiğin varlığını kanıtlamak için bir grafiğe göre küçük iptal teorisinin bir versiyonunu kullandı. sonlu sunulan grup (uygun anlamda) sonsuz bir dizi "içeren" genişleticiler ve bu nedenle, bir Hilbert uzayı. Bu sonuç, karşıt örneklerin aranması için bir yön sağlar (şimdiye kadar mevcut olan tek sonuç) Novikov varsayımı.
• Osin^[31] bir analog elde etmek için küçük iptal teorisinin bir genellemesini kullandı Thurston'un hiperbolik Dehn cerrahi teoremi için nispeten hiperbolik gruplar.

Genellemeler

• Bölüm grupları için küçük iptal teorisinin bir versiyonu birleştirilmiş ücretsiz ürünler ve HNN uzantıları Sacerdote ve Schupp'un makalesinde ve ardından Lyndon ve Schupp'un kitabında geliştirildi.^[8]
• Rips ^[32] ve Ol'shanskii^[9] küçük iptal teorisinin "tabakalı" bir versiyonunu geliştirdi, burada relatorler kümesi artan bir katman birleşimi olarak filtrelendi (her katman küçük bir iptal koşulunu karşılar) ve bir relator için r bazı katmanlardan ve bir ilişkiden s daha yüksek bir tabakadan üst üste binmelerinin | göre küçük olması gerekir |s| ancak | ile ilgili olarak büyük olmasına izin verilir.r|. Bu teori Ol'shanskii'nin çeşitli "canavar" grupları oluşturmasına izin verdi. Tarski canavarı ve yeni bir kanıt vermek için ücretsiz Burnside grupları Büyük tek üslerin sayısı sonsuzdur.
• Ol'shanskii^[33] ve Delzant^[34] daha sonra bölümler için küçük iptal teorisinin geliştirilmiş versiyonları kelime-hiperbolik gruplar.
• McCammond, küçük iptal teorisinin daha yüksek boyutlu bir versiyonunu sağladı.^[35]
• McCammond ve Wise, standart küçük iptal teorisinin (Greendlinger's lemma gibi) geometrisine ilişkin temel sonuçlarını önemli ölçüde daha ileri götürdüler. van Kampen diyagramları küçük iptal sunumları üzerinden.^[36]
• Gromov bir versiyonunu kullandı bir grafiğe göre küçük iptal teorisi kanıtlamak^[30] (uygun anlamda) sonsuz bir genişletici dizisi "içeren" ve bu nedenle bir tek tip yerleştirmeyi kabul etmeyen sonlu olarak sunulan bir grubun varlığı Hilbert uzayı.^[37]
• Osin^[31] bölümleri için küçük iptal teorisinin bir versiyonunu verdi nispeten hiperbolik gruplar ve nispeten hiperbolik bir genelleme elde etmek için kullandı Thurston'un hiperbolik Dehn cerrahi teoremi.

Temel referanslar

• Roger Lyndon ve Paul Schupp, Kombinatoryal grup teorisi. 1977 baskısının yeniden basımı. Matematikte Klasikler. Springer-Verlag, Berlin, 2001. ISBN  3-540-41158-5.
• Alexander Yu. Olʹshanskii, Gruplarda ilişkileri tanımlama geometrisi. Yu tarafından 1989 Rus orijinalinden çevrilmiştir. A. Bakhturin. Matematik ve Uygulamaları (Sovyet Serisi), 70. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1991. ISBN  0-7923-1394-1.
• Ralph Strebel, Ek. Küçük iptal grupları. Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (Bern, 1988), s. 227–273, Matematikte İlerleme, 83, Birkhäuser Boston, Boston, Massachusetts, 1990. ISBN  0-8176-3508-4.
• Milé Krajčevski, Düzlem eğimleri, hiperbolik gruplar ve küçük iptal koşulları. American Mathematical Society'nin Anıları, cilt. 154 (2001), no. 733.

Ayrıca bakınız

• Geometrik grup teorisi
• Kelime-hiperbolik grup
• Tarski canavar grubu
• Burnside sorunu
• Sonlu sunulan grup
• Gruplar için kelime problemi
• Van Kampen diyagramı

Notlar