Timoshenko-Ehrenfest ışın teorisi - Timoshenko-Ehrenfest beam theory

Eğilme altındaki kalın bir kitabın orta düzlemine dik olan çizginin yönelimleri.

Timoshenko-Ehrenfest ışın teorisi tarafından geliştirilmiştir Stephen Timoshenko ve Paul Ehrenfest^[1]^[2]^[3] 20. yüzyılın başlarında.^[4]^[5] Model dikkate alır kayma deformasyonu ve rotasyonel bükme etkileri, kalın kirişlerin davranışını tanımlamaya uygun hale getirir, sandviç kompozit kirişler veya kirişler yüksekSıklık heyecan ne zaman dalga boyu kirişin kalınlığına yaklaşır. Ortaya çıkan denklem 4. mertebeden ancak farklı olarak Euler-Bernoulli kiriş teorisi ikinci dereceden kısmi türev de mevcuttur. Fiziksel olarak, eklenen deformasyon mekanizmalarını hesaba katmak, kirişin sertliğini etkili bir şekilde düşürürken, sonuç, statik bir yük altında daha büyük bir sapma ve daha düşük tahmin edilir. öz frekanslar belirli bir sınır koşulları kümesi için. İkinci etki, dalga boyu kısaldıkça (prensip olarak ışının yüksekliği ile karşılaştırılabilir veya daha kısa) ve dolayısıyla karşıt kesme kuvvetleri arasındaki mesafe azaldığından daha yüksek frekanslar için daha belirgindir.

Döner atalet etkisi Bresse tarafından tanıtıldı^[6] ve Rayleigh^[7].

Eğer kayma modülü Kiriş malzemesinin eni sonsuza yaklaşır - ve böylece kiriş kesme sırasında sertleşir - ve dönme atalet etkileri ihmal edilirse, Timoshenko kiriş teorisi sıradan kiriş teorisine yakınsar.

Quasistatic Timoshenko ışını

Timoshenko kirişinin (mavi) Euler-Bernoulli kirişine (kırmızı) kıyasla deformasyonu.

Timoshenko kirişinin deformasyonu. Normal bir miktar döner

{displaystyle heta _ {x} = varphi (x)}

eşit olmayan

{displaystyle dw / dx}

.

İçinde statik Eksenel etkiler olmadan Timoshenko kiriş teorisi, kirişin yer değiştirmelerinin şu şekilde verildiği varsayılır:

{displaystyle u_ {x} (x, y, z) = - z ~ varphi (x) ~; ~~ u_ {y} (x, y, z) = 0 ~; ~~ u_ {z} (x, y ) = w (x)}

nerede ${displaystyle (x, y, z)}$ kirişteki bir noktanın koordinatlarıdır, ${displaystyle u_ {x}, u_ {y}, u_ {z}}$ yer değiştirme vektörünün üç koordinat yönündeki bileşenleridir, ${displaystyle varphi}$ normalin kirişin orta yüzeyine dönme açısıdır ve ${displaystyle w}$ orta yüzeyin yer değiştirmesidir ${displaystyle z}$ - yön.

Yönetim denklemleri aşağıdaki birleşik sistemdir adi diferansiyel denklemler:

{displaystyle {egin {align} & {frac {mathrm {d} ^ {2}} {mathrm {d} x ^ {2}}} sol (EI {frac {mathrm {d} varphi} {mathrm {d} x }} ight) = q (x) & {frac {mathrm {d} w} {mathrm {d} x}} = varphi - {frac {1} {kappa AG}} {frac {mathrm {d}} { matematik {d} x}} sol (EI {frac {mathrm {d} varphi} {mathrm {d} x}} ight). son {hizalı}}}

Statik durum için Timoshenko kiriş teorisi, Euler-Bernoulli teorisi Yukarıdaki son terim ihmal edildiğinde, geçerli olan bir yaklaşım

{displaystyle {frac {EI} {kappa L ^ {2} AG}} ll 1}

nerede

${displaystyle L}$ kirişin uzunluğudur.
${displaystyle A}$ kesit alanıdır.
${displaystyle E}$ ... elastik modülü.
${displaystyle G}$ ... kayma modülü.
${görüntü stili I}$ ... ikinci alan anı.
${displaystyle kappa}$ Timoshenko kayma katsayısı olarak adlandırılan geometriye bağlıdır. Normalde, ${displaystyle kappa = 5/6}$ dikdörtgen bir bölüm için.
${displaystyle q (x)}$ dağıtılmış bir yüktür (uzunluk başına kuvvet).

İki denklemin birleştirilmesi, sabit kesitli homojen bir ışın için,

{displaystyle EI ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {4} w} {mathrm {d} x ^ {4}}} = q (x) - {cfrac {EI} {kappa AG}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} q} {mathrm {d} x ^ {2}}}}

Bükülme anı ${displaystyle M_ {xx}}$ ve kesme kuvveti ${displaystyle Q_ {x}}$ kirişteki yer değiştirme ile ilgilidir ${displaystyle w}$ ve rotasyon ${displaystyle varphi}$ . Doğrusal elastik bir Timoshenko ışını için bu ilişkiler şunlardır:

{displaystyle M_ {xx} = - EI ~ {frac {kısmi varphi} {kısmi x}} dörtlü {ext {ve}} dörtlü Q_ {x} = kappa ~ AG ~ sol (-varphi + {frac {kısmi w} { kısmi x}} ight) ,.}

Kuasistatik Timoshenko kiriş denklemlerinin türetilmesi

Bir Timoshenko ışını için kinematik varsayımlardan, ışının yer değiştirmeleri şu şekilde verilmiştir:

{displaystyle u_ {x} (x, y, z, t) = - z ~ varphi (x, t) ~; ~~ u_ {y} (x, y, z, t) = 0 ~; ~~ u_ { z} (x, y, z) = w (x, t)}

Daha sonra, küçük suşlar için gerinim yer değiştirme ilişkilerinden, Timoshenko varsayımlarına dayanan sıfır olmayan suşlar

{displaystyle varepsilon _ {xx} = {frac {kısmi u_ {x}} {kısmi x}} = - z ~ {frac {kısmi varphi} {kısmi x}} ~; ~~ varepsilon _ {xz} = {frac { 1} {2}} sol ({frac {kısmi u_ {x}} {kısmi z}} + {frac {kısmi u_ {z}} {kısmi x}} sağ) = {frac {1} {2}} sol (-varphi + {frac {kısmi w} {kısmi x}} ışık)}

Kirişteki gerçek kayma gerilimi enine kesit boyunca sabit olmadığından, bir düzeltme faktörü ekliyoruz ${displaystyle kappa}$ öyle ki

{displaystyle varepsilon _ {xz} = {frac {1} {2}} ~ kappa ~ sol (-varphi + {frac {kısmi w} {kısmi x}} ışık)}

Işının iç enerjisindeki değişim

{displaystyle delta U = int _ {L} int _ {A} (sigma _ {xx} delta varepsilon _ {xx} + 2sigma _ {xz} delta varepsilon _ {xz}) ~ mathrm {d} A ~ mathrm {d } L = int _ {L} int _ {A} sol [-z ~ sigma _ {xx} {frac {kısmi (delta değişkeni)} {kısmi x}} + sigma _ {xz} ~ kappa sol (-delta varphi + {frac {kısmi (delta w)} {kısmi x}} sağ) ight] ~ mathrm {d} A ~ mathrm {d} L}

Tanımlamak

{displaystyle M_ {xx}: = int _ {A} z ~ sigma _ {xx} ~ mathrm {d} A ~; ~~ Q_ {x}: = kappa ~ int _ {A} sigma _ {xz} ~ mathrm {d} A}

Sonra

{displaystyle delta U = int _ {L} sol [-M_ {xx} {frac {kısmi (delta değişkeni)} {kısmi x}} + Q_ {x} sol (-delta varphi + {frac {kısmi (delta w) } {kısmi x}} ight) ight] ~ mathrm {d} L}

Parçalar halinde entegrasyon ve sınır koşulları nedeniyle kirişin uçlarındaki varyasyonların sıfır olduğuna dikkat ederek,

{displaystyle delta U = int _ {L} sol [sol ({frac {kısmi M_ {xx}} {kısmi x}} - Q_ {x} ight) ~ delta varphi - {frac {kısmi Q_ {x}} {kısmi x}} ~ delta wight] ~ mathrm {d} L}

Enine bir yük tarafından kiriş üzerinde yapılan dış işteki varyasyon ${displaystyle q (x, t)}$ birim uzunluk

{displaystyle delta W = int _ {L} q ~ delta w ~ mathrm {d} L}

Daha sonra, yarı statik bir ışın için, sanal çalışma prensibi verir

{displaystyle delta U = delta Wimplies int _ {L} sol [sol ({frac {kısmi M_ {xx}} {kısmi x}} - Q_ {x} ight) ~ delta varphi -sol ({frac {kısmi Q_ {x }} {kısmi x}} + qight) ~ delta wight] ~ mathrm {d} L = 0}

Kiriş için geçerli denklemler, varyasyonel hesabın temel teoreminden,

{displaystyle {frac {kısmi M_ {xx}} {kısmi x}} - Q_ {x} = 0 ~; ~~ {frac {kısmi Q_ {x}} {kısmi x}} + q = 0}

Doğrusal elastik bir kiriş için

{displaystyle {egin {hizalı} M_ {xx} & = int _ {A} z ~ sigma _ {xx} ~ mathrm {d} A = int _ {A} z ~ E ~ varepsilon _ {xx} ~ mathrm {d } A = -int _ {A} z ^ {2} ~ E ~ {frac {kısmi değişken} {kısmi x}} ~ matematik {d} A = -EI ~ {frac {kısmi değişken} {kısmi x}} Q_ {x} & = int _ {A} sigma _ {xz} ~ mathrm {d} A = int _ {A} 2G ~ varepsilon _ {xz} ~ mathrm {d} A = int _ {A} kappa ~ G ~ left (-varphi + {frac {kısmi w} {kısmi x}} ight) ~ mathrm {d} A = kappa ~ AG ~ left (-varphi + {frac {kısmi w} {kısmi x}} ight) uç { hizalı}}}

Bu nedenle kiriş için geçerli denklemler şu şekilde ifade edilebilir:

{displaystyle {egin {hizalı} {frac {kısmi} {kısmi x}} sol (EI {frac {kısmi değişken} {kısmi x}} sağa) + kappa AG ~ sol ({frac {kısmi w} {kısmi x}} -varphight) & = 0 {frac {kısmi} {kısmi x}} sol [kappa AGleft ({frac {kısmi w} {kısmi x}} - varphi ight) ight] + q & = 0son {hizalı}}}

İki denklemi bir araya getirmek,

{displaystyle {egin {hizalı} & {frac {kısmi ^ {2}} {kısmi x ^ {2}}} sol (EI {frac {kısmi değişken} {kısmi x}} sağ) = q & {frac {kısmi w} {kısmi x}} = varphi - {cfrac {1} {kappa AG}} ~ {frac {kısmi} {kısmi x}} sol (EI {frac {kısmi değişken} {kısmi x}} sağ) uç {hizalı }}}

Sınır şartları

Bir Timoshenko kirişinin deformasyonunu tanımlayan iki denklemin, sınır şartları eğer çözülecekse. Sorunun ortaya çıkması için dört sınır koşulu gereklidir. iyi pozlanmış. Tipik sınır koşulları şunlardır:

Basitçe desteklenen kirişler: Yer değiştirme ${displaystyle w}$ iki desteğin yerlerinde sıfırdır. bükülme anı ${displaystyle M_ {xx}}$ kirişe uygulanan da belirtilmelidir. Rotasyon ${displaystyle varphi}$ ve enine kesme kuvveti ${displaystyle Q_ {x}}$ belirtilmedi.
Kenetli kirişler: Yer değiştirme ${displaystyle w}$ ve rotasyon ${displaystyle varphi}$ kelepçeli uçta sıfır olarak belirtilir. Bir uç serbest ise, kesme kuvveti ${displaystyle Q_ {x}}$ ve bükülme anı ${displaystyle M_ {xx}}$ bu sonunda belirtilmelidir.

Örnek: Konsol kiriş

Serbest uçta bir nokta yük altında bir konsol Timoshenko kiriş

Bir konsol kiriş, bir sınır kenetlenirken diğeri serbesttir. Bir kullanalım sağ elini kullanan koordinat sistemi nerede ${displaystyle x}$ yön sağa doğru pozitiftir ve ${displaystyle z}$ yukarı doğru pozitiftir. Normal geleneği takiben, pozitif kuvvetlerin pozitif yönlerde hareket ettiğini varsayıyoruz. ${displaystyle x}$ ve ${displaystyle z}$ eksenler ve pozitif momentler saat yönünde hareket eder. Ayrıca, işaret geleneğinin stres sonuçları ( ${displaystyle M_ {xx}}$ ve ${displaystyle Q_ {x}}$ ), pozitif eğilme momentlerinin malzemeyi kirişin altında sıkıştıracağı şekildedir (alt ${displaystyle z}$ koordinatlar) ve pozitif kesme kuvvetleri, kirişi saat yönünün tersine döndürür.

Sabitlenmiş ucun şu şekilde olduğunu varsayalım: ${displaystyle x = L}$ ve serbest son ${displaystyle x = 0}$ . Bir nokta yükü varsa ${displaystyle P}$ pozitifte serbest uca uygulanır ${displaystyle z}$ yön, bir serbest cisim diyagramı ışının bize verdiği

{displaystyle -Px-M_ {xx} = 0implies M_ {xx} = - Px}

ve

{displaystyle P + Q_ {x} = 0 Q_ {x} = - P ,.}

Bu nedenle, eğilme momenti ve kesme kuvveti ifadelerinden,

{displaystyle Px = EI, {frac {dvarphi} {dx}} qquad {ext {ve}} qquad -P = kappa AGleft (-varphi + {frac {dw} {dx}} ight) ,.}

İlk denklemin entegrasyonu ve sınır koşulunun uygulanması ${displaystyle varphi = 0}$ -de ${displaystyle x = L}$ , sebep olur

{displaystyle varphi (x) = - {frac {P} {2EI}}, (L ^ {2} -x ^ {2}) ,.}

İkinci denklem daha sonra şu şekilde yazılabilir:

{displaystyle {frac {dw} {dx}} = - {frac {P} {kappa AG}} - {frac {P} {2EI}}, (L ^ {2} -x ^ {2}) ,.}

Sınır koşulunun entegrasyonu ve uygulanması ${displaystyle w = 0}$ -de ${displaystyle x = L}$ verir

{displaystyle w (x) = {frac {P (Lx)} {kappa AG}} - {frac {Px} {2EI}}, sol (L ^ {2} - {frac {x ^ {2}} {3 }} ight) + {frac {PL ^ {3}} {3EI}} ,.}

Eksenel gerilim şu şekilde verilir:

{displaystyle sigma _ {xx} (x, z) = E, varepsilon _ {xx} = - E, z, {frac {dvarphi} {dx}} = - {frac {Pxz} {I}} = {frac { M_ {xx} z} {I}} ,.}

Dinamik Timoshenko ışını

Eksenel etkiler olmadan Timoshenko kiriş teorisinde, kirişin yer değiştirmelerinin şu şekilde verildiği varsayılır:

{displaystyle u_ {x} (x, y, z, t) = - z ~ varphi (x, t) ~; ~~ u_ {y} (x, y, z, t) = 0 ~; ~~ u_ { z} (x, y, z, t) = w (x, t)}

nerede ${displaystyle (x, y, z)}$ kirişteki bir noktanın koordinatlarıdır, ${displaystyle u_ {x}, u_ {y}, u_ {z}}$ yer değiştirme vektörünün üç koordinat yönündeki bileşenleridir, ${displaystyle varphi}$ normalin kirişin orta yüzeyine dönme açısıdır ve ${displaystyle w}$ orta yüzeyin yer değiştirmesidir ${displaystyle z}$ - yön.

Yukarıdaki varsayımdan yola çıkarak, titreşimlere izin veren Timoshenko ışın teorisi, bağlı doğrusal ile tanımlanabilir. kısmi diferansiyel denklemler:^[8]

{displaystyle ho A {frac {kısmi ^ {2} w} {kısmi t ^ {2}}} - q (x, t) = {frac {kısmi} {kısmi x}} sol [kappa AGleft ({frac {kısmi w} {kısmi x}} - varphi ight) ight]}

{displaystyle ho I {frac {kısmi ^ {2} değişken} {kısmi t ^ {2}}} = {frac {kısmi} {kısmi x}} sol (EI {frac {kısmi değişken} {kısmi x}} sağ) + kappa AGleft ({frac {kısmi w} {kısmi x}} - değişkenlik)}

bağımlı değişkenler nerede ${görüntü stili w (x, t)}$ , kirişin öteleme yer değiştirmesi ve ${displaystyle varphi (x, t)}$ , açısal yer değiştirme. Unutmayın ki Euler-Bernoulli kuramında, açısal sapma başka bir değişkendir ve sapmanın eğimi ile yaklaşık olarak belirlenmez. Ayrıca,

${displaystyle ho}$ ... yoğunluk kiriş malzemesinin (ancak doğrusal yoğunluk ).
${displaystyle A}$ kesit alanıdır.
${displaystyle E}$ ... elastik modülü.
${displaystyle G}$ ... kayma modülü.
${görüntü stili I}$ ... ikinci alan anı.
${displaystyle kappa}$ Timoshenko kayma katsayısı olarak adlandırılan geometriye bağlıdır. Normalde, ${displaystyle kappa = 5/6}$ dikdörtgen bir bölüm için.
${displaystyle q (x, t)}$ dağıtılmış bir yüktür (uzunluk başına kuvvet).
${displaystyle m: = ho A}$
${displaystyle J: = ho I}$

Bu parametreler mutlaka sabit değildir.

Doğrusal elastik, izotropik, sabit kesitli homojen bir kiriş için bu iki denklem birleştirilerek^[9]^[10]

{displaystyle EI ~ {cfrac {kısmi ^ {4} w} {kısmi x ^ {4}}} + m ~ {cfrac {kısmi ^ {2} w} {kısmi t ^ {2}}} - sol (J + { cfrac {EIm} {kappa AG}} ight) {cfrac {partly ^ {4} w} {partly x ^ {2} ~ partly t ^ {2}}} + {cfrac {mJ} {kappa AG}} ~ { cfrac {kısmi ^ {4} w} {kısmi t ^ {4}}} = q (x, t) + {cfrac {J} {kappa AG}} ~ {cfrac {kısmi ^ {2} q} {kısmi t ^ {2}}} - {cfrac {EI} {kappa AG}} ~ {cfrac {kısmi ^ {2} q} {kısmi x ^ {2}}}}

Birleşik Timoshenko kiriş denkleminin türetilmesi

Sabit kesitli homojen bir Timoşenko kirişinin bükülmesini düzenleyen denklemler

{displaystyle {egin {hizalı} (1) && quad m ~ {frac {kısmi ^ {2} w} {kısmi t ^ {2}}} & = kappa AG ~ sol ({frac {kısmi ^ {2} w} { kısmi x ^ {2}}} - {frac {kısmi değişken} {kısmi x}} ight) + q (x, t) ~; ~~ m: = ho A (2) && quad J ~ {frac {kısmi ^ {2} varphi} {kısmi t ^ {2}}} & = EI ~ {frac {kısmi ^ {2} varphi} {kısmi x ^ {2}}} + kappa AG ~ sol ({frac {kısmi w} { kısmi x}} - varphi ight) ~; ~~ J: = ho Iend {hizalı}}}

Denklemden (1), uygun düzgünlüğü varsayarak, elimizde

{displaystyle {egin {hizalı} (3) && quad {frac {kısmi varphi} {kısmi x}} & = {cfrac {q} {kappa AG}} - {cfrac {m} {kappa AG}} ~ {frac {kısmi ^ {2} w} {kısmi t ^ {2}}} + {frac {kısmi ^ {2} w} {kısmi x ^ {2}}} (4) && quad {cfrac {kısmi ^ {3} varphi} {kısmi x ^ {3}}} & = {frac {1} {kappa AG}} {frac {kısmi ^ {2} q} {kısmi x ^ {2}}} - {frac {m} {kappa AG} } ~ {cfrac {kısmi ^ {4} w} {kısmi x ^ {2} kısmi t ^ {2}}} + {cfrac {kısmi ^ {4} w} {kısmi x ^ {4}}} (5 ) && quad {cfrac {kısmi ^ {3} varphi} {kısmi xpartial t ^ {2}}} & = {frac {1} {kappa AG}} {frac {parsiyel ^ {2} q} {kısmi t ^ {2 }}} - {frac {m} {kappa AG}} ~ {cfrac {partly ^ {4} w} {partly t ^ {4}}} + {cfrac {partly ^ {4} w} {partly x ^ { 2} kısmi t ^ {2}}} son {hizalı}}}

Diferansiyel denklem (2) verir

{displaystyle {egin {hizalı} (6) && quad J ~ {frac {kısmi ^ {3} varphi} {kısmi xpartial t ^ {2}}} & = EI ~ {frac {kısmi ^ {3} varphi} {kısmi x ^ {3}}} + kappa AG ~ left ({frac {kısmi w ^ {2}} {kısmi x ^ {2}}} - {frac {kısmi değişken} {kısmi x}} sağa) uç {hizalı}} }

Denklem (3), (4), (5) yerine denklem (6) ve yeniden düzenleyerek, şunu elde ederiz

{displaystyle {egin {hizalı} EI ~ {cfrac {kısmi ^ {4} w} {kısmi x ^ {4}}} + m ~ {frac {kısmi ^ {2} w} {kısmi t ^ {2}}} -left (J + {cfrac {mEI} {kappa AG}} ight) ~ {cfrac {kısmi ^ {4} w} {kısmi x ^ {2} kısmi t ^ {2}}} + {cfrac {mJ} {kappa AG}} ~ {cfrac {kısmi ^ {4} w} {kısmi t ^ {4}}} = q + {cfrac {J} {kappa AG}} ~ {frac {kısmi ^ {2} q} {kısmi t ^ {2}}} - {cfrac {EI} {kappa AG}} ~ {frac {kısmi ^ {2} q} {kısmi x ^ {2}}} uç {hizalı}}}

Timoshenko denklemi kritik bir frekansı öngörüyor ${displaystyle omega _ {C} = 2pi f_ {c} = {sqrt {frac {kappa GA} {ho I}}}.}$ Normal modlar için Timoshenko denklemi çözülebilir. Dördüncü dereceden bir denklem olarak, aşağıdaki frekanslar için iki salınımlı ve iki geçici olmak üzere dört bağımsız çözüm vardır. ${displaystyle f_ {c}}$ . Daha büyük frekanslar için ${displaystyle f_ {c}}$ tüm çözümler salınımlıdır ve sonuç olarak ikinci bir spektrum ortaya çıkar.^[11]

Eksenel etkiler

Kirişin yer değiştirmeleri ile verilirse

{displaystyle u_ {x} (x, y, z, t) = u_ {0} (x, t) -z ~ varphi (x, t) ~; ~~ u_ {y} (x, y, z, t ) = 0 ~; ~~ u_ {z} (x, y, z, t) = w (x, t)}

nerede ${displaystyle u_ {0}}$ ek bir yer değiştirmedir ${displaystyle x}$ -yön, sonra bir Timoshenko ışınının yönetim denklemleri şekli alır

{displaystyle {egin {hizalı} m {frac {kısmi ^ {2} w} {kısmi t ^ {2}}} & = {frac {kısmi} {kısmi x}} sol [kappa AGleft ({frac {kısmi w} {kısmi x}} - değişken ight] + q (x, t) J {frac {kısmi ^ {2} varphi} {kısmi t ^ {2}}} & = N (x, t) ~ {frac {kısmi w} {kısmi x}} + {frac {kısmi} {kısmi x}} sol (EI {frac {kısmi değişken} {kısmi x}} sağ) + kappa AGleft ({frac {kısmi w} {kısmi x} } -varphight) end {hizalı}}}

nerede ${displaystyle J = ho I}$ ve ${displaystyle N (x, t)}$ harici olarak uygulanan eksenel bir kuvvettir. Herhangi bir dış eksenel kuvvet, ortaya çıkan gerilim ile dengelenir

{displaystyle N_ {xx} (x, t) = int _ {- h} ^ {h} sigma _ {xx} ~ dz}

nerede ${displaystyle sigma _ {xx}}$ eksenel gerilmedir ve kirişin kalınlığının olduğu varsayılmıştır. ${displaystyle 2h}$ .

Eksenel kuvvet etkileri içeren kombine kiriş denklemi

{displaystyle EI ~ {cfrac {kısmi ^ {4} w} {kısmi x ^ {4}}} + N ~ {cfrac {kısmi ^ {2} w} {kısmi x ^ {2}}} + m ~ {frac {kısmi ^ {2} w} {kısmi t ^ {2}}} - sol (J + {cfrac {mEI} {kappa AG}} ight) ~ {cfrac {kısmi ^ {4} w} {kısmi x ^ {2 } kısmi t ^ {2}}} + {cfrac {mJ} {kappa AG}} ~ {cfrac {kısmi ^ {4} w} {kısmi t ^ {4}}} = q + {cfrac {J} {kappa AG }} ~ {frac {kısmi ^ {2} q} {kısmi t ^ {2}}} - {cfrac {EI} {kappa AG}} ~ {frac {kısmi ^ {2} q} {kısmi x ^ {2 }}}}

Sönümleme

Eksenel kuvvetlere ek olarak, formla hız ile orantılı bir sönümleme kuvveti varsayarsak

{displaystyle eta (x) ~ {cfrac {kısmi w} {kısmi t}}}

bir Timoşenko ışını için birleştirilmiş yönetim denklemleri şekli alır

{displaystyle m {frac {kısmi ^ {2} w} {kısmi t ^ {2}}} + eta (x) ~ {cfrac {kısmi w} {kısmi t}} = {frac {kısmi} {kısmi x}} sol [kappa AGleft ({frac {kısmi w} {kısmi x}} - varphi ight) ight] + q (x, t)}

{displaystyle J {frac {kısmi ^ {2} varphi} {kısmi t ^ {2}}} = N {frac {kısmi w} {kısmi x}} + {frac {kısmi} {kısmi x}} sol (EI { frac {kısmi varphi} {kısmi x}} ışık) + kappa AGleft ({frac {kısmi w} {kısmi x}} - değişken)}

ve birleşik denklem olur

{displaystyle {egin {hizalı} EI ~ {cfrac {kısmi ^ {4} w} {kısmi x ^ {4}}} & + N ~ {cfrac {kısmi ^ {2} w} {kısmi x ^ {2}} } + m ~ {frac {kısmi ^ {2} w} {kısmi t ^ {2}}} - sol (J + {cfrac {mEI} {kappa AG}} ight) ~ {cfrac {kısmi ^ {4} w} {kısmi x ^ {2} kısmi t ^ {2}}} + {cfrac {mJ} {kappa AG}} ~ {cfrac {kısmi ^ {4} w} {kısmi t ^ {4}}} + {cfrac { Jeta (x)} {kappa AG}} ~ {cfrac {kısmi ^ {3} w} {kısmi t ^ {3}}} & - {cfrac {EI} {kappa AG}} ~ {cfrac {kısmi ^ { 2}} {kısmi x ^ {2}}} sol (eta (x) {cfrac {kısmi w} {kısmi t}} ışık) + eta (x) {cfrac {kısmi w} {kısmi t}} = q + { cfrac {J} {kappa AG}} ~ {frac {partly ^ {2} q} {partly t ^ {2}}} - {cfrac {EI} {kappa AG}} ~ {frac {partly ^ {2} q } {kısmi x ^ {2}}} son {hizalı}}}

Bu Ansatz sönümleme kuvvetine (viskoziteye benzeyen) bir uyarı, viskozitenin frekansa bağlı ve genlikten bağımsız bir sönümleme hızına yol açarken, deneysel olarak ölçülen sönümleme hızlarının frekansa duyarlı olmaması, ancak ışın sapmasının genliğine bağlı olmasıdır. .

Kayma katsayısı

Kayma katsayısının belirlenmesi kolay değildir (belirlenen değerler geniş çapta kabul görmez, yani birden fazla yanıt vardır); genel olarak tatmin etmelidir:

{displaystyle int _ {A} au dA = kappa AGvarphi,}

.

Kayma katsayısı şunlara bağlıdır: Poisson oranı. Kesin ifadeler sağlama girişimleri birçok bilim adamı tarafından yapıldı. Stephen Timoshenko,^[12] Raymond D. Mindlin,^[13] G. R. Cowper,^[14] N. G. Stephen,^[15] J. R. Hutchinson^[16] vb (ayrıca, Khanh C.^[17] statik ve dinamik durumlarda farklı kesme katsayılarına yol açar). Mühendislik uygulamasında, aşağıdaki ifadeler Stephen Timoshenko^[18] çoğu durumda yeterlidir. 1975'te Kaneko^[19] kayma katsayısı çalışmalarının mükemmel bir incelemesini yayınladı. Daha yakın zamanda yeni deneysel veriler, kayma katsayısının hafife alındığını gösteriyor ^[20]^[21].

Cowper'a (1966) göre katı dikdörtgen kesitler için,

{displaystyle kappa = {cfrac {10 (1 + u)} {12 + 11u}}}

ve dolu dairesel kesitler için,

{displaystyle kappa = {cfrac {6 (1 + u)} {7 + 6u}}}

nerede ${displaystyle u}$ Poisson oranıdır.

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ Isaac Elishakoff, 2020. Timoşenko ışın teorisini kim geliştirdi? Katıların Matematiği ve Mekaniği, 25 (1), 97–116. https://doi.org/10.1177/1081286519856931
^ Elishakoff, I., 2020, Timoshenko-Ehrenfest Beam ve Uflyand-Mindlin Plate Teorileri El Kitabı, World Scientific, Singapur, ISBN 978-981-3236-51-6
^ Grigolyuk, E.I., 2002, S.P. Timoshenko: Life and Destiny, Moscow: Aviation Institute Press (Rusça)
^ Timoshenko, S.P., 1921, Düzgün kesitli çubukların enine titreşimleri için diferansiyel denklemin kayması için düzeltme faktörü hakkında, Felsefi Dergisi, s. 744.
^ Timoshenko, S.P., 1922, Düzgün kesitli çubukların enine titreşimleri üzerinde, Felsefi Dergisi, s. 125.
^ Bresse J.A.C., 1859, Cours de mécanique aplike - Résistance des matériaux et stabilité des constructions, Paris, Gauthier-Villars (Fransızca)
^ Rayleigh Lord (J.W.S Strutt), 1877-1878, The Theory of Sound, London: Macmillan (ayrıca bkz.Dover, New York, 1945)
^ Timoshenko'nun Kiriş Denklemleri
^ Thomson, W. T., 1981, Uygulamalarla Titreşim Teorisi, ikinci baskı. Prentice-Hall, New Jersey.
^ Rosinger, H. E. ve Ritchie, I.G., 1977, Timoshenko'nun titreşen izotropik kirişlerdeki kayma düzeltmesi üzerine, J. Phys. D: Appl. Phys., Cilt. 10, sayfa 1461-1466.
^ "Timoshenko ışın teorisi tahminlerinin deneysel çalışması", A. Díaz-de-Anda, J. Flores, L. Gutiérrez, R.A. Méndez-Sánchez, G. Monsivais ve A. Morales, Journal of Sound and Vibration, Cilt 331, Sayı 26, 17 Aralık 2012, s. 5732–5744.
^ Timoşenko, Stephen P., 1932, Schwingungsprobleme der TechnikJulius Springer.
^ Mindlin, R.D., Deresiewicz, H., 1953, Kirişlerin Eğilme Titreşimleri için Timoshenko'nun Kesme Katsayısı, Technical Report No. 10, ONR Project NR064-388, Department of Civil Engineering, Columbia University, New York, N.Y.
^ Cowper, G. R., 1966, "Timoshenko'nun Kiriş Teorisinde Kesme Katsayısı", J. Appl. Mech., Cilt. 33, No. 2, s. 335–340.
^ Stephen, N. G., 1980. "Timoshenko’nun yerçekimi yüklemesine maruz kalan bir kirişten kesme katsayısı", Journal of Applied Mechanics, Cilt. 47, No. 1, s. 121–127.
^ Hutchinson, J. R., 1981, "Kirişlerin enine titreşimi, tam ve yaklaşık çözümler", Journal of Applied Mechanics, Cilt. 48, No. 12, s. 923–928.
^ Le, Khanh C., 1999, Kabukların ve çubukların titreşimleriSpringer.
^ Stephen Timoshenko, James M. Gere. Malzemelerin mekaniği. Van Nostrand Reinhold Co., 1972. sayfa 207.
^ Kaneko, T., 1975, "Timoshenko'nun titreşen kirişlerdeki kaymayı düzeltmesi üzerine", J. Phys. D: Appl. Phys., Cilt. 8, s. 1927–1936.
^ "Timoshenko’nun ışın teorisinin doğruluğunun deneysel kontrolü", R. A. Méndez-Sáchez, A. Morales, J. Flores, Journal of Sound and Vibration 279 (2005) 508–512.
^ "Timoshenko Işın Teorisinin Kritik Frekansın Üstündeki Doğruluğu Üzerine: En İyi Kesme Katsayısı", J. A. Franco-Villafañe ve R. A. Méndez-Sánchez, Journal of Mechanics, Ocak 2016, s. 1–4. DOI: 10.1017 / jmech.2015.104.

[Elishakoff2020-1] Isaac Elishakoff, 2020. Timoşenko ışın teorisini kim geliştirdi? Katıların Matematiği ve Mekaniği, 25 (1), 97–116. https://doi.org/10.1177/1081286519856931

[2] Elishakoff, I., 2020, Timoshenko-Ehrenfest Beam ve Uflyand-Mindlin Plate Teorileri El Kitabı, World Scientific, Singapur, ISBN 978-981-3236-51-6

[3] Grigolyuk, E.I., 2002, S.P. Timoshenko: Life and Destiny, Moscow: Aviation Institute Press (Rusça)

[Timo1-4] Timoshenko, S.P., 1921, Düzgün kesitli çubukların enine titreşimleri için diferansiyel denklemin kayması için düzeltme faktörü hakkında, Felsefi Dergisi, s. 744.

[Timo2-5] Timoshenko, S.P., 1922, Düzgün kesitli çubukların enine titreşimleri üzerinde, Felsefi Dergisi, s. 125.

[6] Bresse J.A.C., 1859, Cours de mécanique aplike - Résistance des matériaux et stabilité des constructions, Paris, Gauthier-Villars (Fransızca)

[7] Rayleigh Lord (J.W.S Strutt), 1877-1878, The Theory of Sound, London: Macmillan (ayrıca bkz.Dover, New York, 1945)

[8] Timoshenko'nun Kiriş Denklemleri

[Thomson-9] Thomson, W. T., 1981, Uygulamalarla Titreşim Teorisi, ikinci baskı. Prentice-Hall, New Jersey.

[Rosinger-10] Rosinger, H. E. ve Ritchie, I.G., 1977, Timoshenko'nun titreşen izotropik kirişlerdeki kayma düzeltmesi üzerine, J. Phys. D: Appl. Phys., Cilt. 10, sayfa 1461-1466.

[11] "Timoshenko ışın teorisi tahminlerinin deneysel çalışması", A. Díaz-de-Anda, J. Flores, L. Gutiérrez, R.A. Méndez-Sánchez, G. Monsivais ve A. Morales, Journal of Sound and Vibration, Cilt 331, Sayı 26, 17 Aralık 2012, s. 5732–5744.

[12] Timoşenko, Stephen P., 1932, Schwingungsprobleme der TechnikJulius Springer.

[13] Mindlin, R.D., Deresiewicz, H., 1953, Kirişlerin Eğilme Titreşimleri için Timoshenko'nun Kesme Katsayısı, Technical Report No. 10, ONR Project NR064-388, Department of Civil Engineering, Columbia University, New York, N.Y.

[14] Cowper, G. R., 1966, "Timoshenko'nun Kiriş Teorisinde Kesme Katsayısı", J. Appl. Mech., Cilt. 33, No. 2, s. 335–340.

[15] Stephen, N. G., 1980. "Timoshenko’nun yerçekimi yüklemesine maruz kalan bir kirişten kesme katsayısı", Journal of Applied Mechanics, Cilt. 47, No. 1, s. 121–127.

[16] Hutchinson, J. R., 1981, "Kirişlerin enine titreşimi, tam ve yaklaşık çözümler", Journal of Applied Mechanics, Cilt. 48, No. 12, s. 923–928.

[17] Le, Khanh C., 1999, Kabukların ve çubukların titreşimleriSpringer.

[18] Stephen Timoshenko, James M. Gere. Malzemelerin mekaniği. Van Nostrand Reinhold Co., 1972. sayfa 207.

[19] Kaneko, T., 1975, "Timoshenko'nun titreşen kirişlerdeki kaymayı düzeltmesi üzerine", J. Phys. D: Appl. Phys., Cilt. 8, s. 1927–1936.

[20] "Timoshenko’nun ışın teorisinin doğruluğunun deneysel kontrolü", R. A. Méndez-Sáchez, A. Morales, J. Flores, Journal of Sound and Vibration 279 (2005) 508–512.

[21] "Timoshenko Işın Teorisinin Kritik Frekansın Üstündeki Doğruluğu Üzerine: En İyi Kesme Katsayısı", J. A. Franco-Villafañe ve R. A. Méndez-Sánchez, Journal of Mechanics, Ocak 2016, s. 1–4. DOI: 10.1017 / jmech.2015.104.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]