Bükme - Bending - Wikipedia

Bir bükülme benkiriş

İçinde uygulamalı mekanik, bükme (Ayrıca şöyle bilinir eğilme) ince bir kişinin davranışını karakterize eder yapısal bir dış yük elemanın uzunlamasına eksenine dik olarak uygulanır.

Yapısal elemanın, boyutlarından en az birinin, diğer ikisinin tipik olarak 1 / 10'u veya daha azı olan küçük bir fraksiyonu olacağı varsayılır.[1] Uzunluk, genişlik ve kalınlıktan önemli ölçüde uzun olduğunda, elemana a ışın. Örneğin, bir dolap kamış sarkma giysilerin ağırlığı altında elbise askıları bükülme yaşayan bir kiriş örneğidir. Öte yandan, bir kabuk uzunluk ve genişliğin aynı büyüklükte olduğu ancak yapının kalınlığının ('duvar' olarak bilinir) önemli ölçüde daha küçük olduğu herhangi bir geometrik formun yapısıdır. Uçlarından desteklenen ve yanlamasına yüklenen büyük çaplı, ancak ince duvarlı, kısa bir boru, bükülme yaşayan bir kabuğa örnektir.

Bir niteleyicinin yokluğunda, terim bükme belirsizdir çünkü bükülme tüm nesnelerde yerel olarak meydana gelebilir. Bu nedenle, terimin kullanımını daha kesin hale getirmek için mühendisler aşağıdaki gibi belirli bir nesneye atıfta bulunur; çubukların bükülmesi,[2] kirişlerin bükülmesi,[1] plakaların bükülmesi,[3] kabukların bükülmesi[2] ve bunun gibi.

Kirişlerin yarı statik bükülmesi

Üzerine enine bir yük uygulandığında bir kiriş deforme olur ve içinde gerilmeler oluşur. Yarı statik durumda, bükülme miktarı sapma ve gelişen streslerin zamanla değişmeyeceği varsayılır. Uçlardan desteklenen ve ortadan aşağıya doğru yüklenen yatay bir kirişte, kirişin üst tarafındaki malzeme, alt taraftaki malzeme gerilirken sıkıştırılır. Yanal yüklerin neden olduğu iki tür iç gerilim vardır:

Bu son iki kuvvet bir çift veya an büyüklük olarak eşit ve ters yönde oldukları için. Bu bükülme anı bükülme yaşayan bir kirişin sarkma deformasyon karakteristiğine direnir. Bir kirişteki gerilme dağılımı, bazı basitleştirici varsayımlar kullanıldığında oldukça doğru bir şekilde tahmin edilebilir.[1]

Euler-Bernoulli eğilme teorisi

Bükülmüş bir kirişin elemanı: Lifler eş merkezli yaylar oluşturur, üst lifler sıkıştırılır ve alt lifler gerilir.
Bir kirişteki eğilme momentleri

İçinde Euler-Bernoulli teorisi İnce kirişlerde, temel bir varsayım, 'düzlem bölümlerinin düzlem olarak kalmasıdır'. Diğer bir deyişle, kesit boyunca kaymadan kaynaklanan herhangi bir deformasyon hesaba katılmaz (kayma deformasyonu yok). Ayrıca, bu doğrusal dağılım sadece maksimum gerilimin, verim stresi malzemenin. Verimi aşan gerilmeler için makaleye bakın plastik bükme. Akma durumunda, kesitte yaşanan maksimum gerilme (en uzak noktalarda) Nötr eksen kiriş) olarak tanımlanır bükülme mukavemeti.

Aşağıdakilerin doğru olduğu kirişleri düşünün:

  • Işın orijinal olarak düz ve incedir ve herhangi bir incelme hafiftir
  • Malzeme izotropiktir (veya ortotropik ), doğrusal elastik, ve homojen herhangi bir enine kesit boyunca (ancak uzunluğu boyunca zorunlu değildir)
  • Yalnızca küçük sapmalar dikkate alınır

Bu durumda, kiriş sapmasını tanımlayan denklem () şu şekilde yaklaştırılabilir:

saptırılmış şeklinin ikinci türevi nerede eğriliği olarak yorumlanır, ... Gencin modülü, ... atalet alanı momenti enine kesitin ve kirişteki iç bükülme momentidir.

Ek olarak, ışın homojen uzunluğu boyunca ve konik değil (yani sabit kesit) ve uygulanan bir enine yük altında sapma gösterilebilir:[1]

Bu, kiriş bükme için Euler – Bernoulli denklemidir.

Kirişin yer değiştirmesi için bir çözüm elde edildikten sonra, eğilme momenti () ve kesme kuvveti () kirişteki ilişkiler kullanılarak hesaplanabilir

Basit kiriş bükme genellikle Euler – Bernoulli kiriş denklemi ile analiz edilir. Basit eğilme teorisini kullanmanın koşulları şunlardır:[4]

  1. Işın tabidir saf bükülme. Bu şu demektir kesme kuvveti sıfırdır ve burulma veya eksenel yükler yoktur.
  2. Malzeme izotropik (veya ortotropik ) ve homojen.
  3. Materyal itaat eder Hook kanunu (doğrusal olarak elastiktir ve plastik olarak deforme olmaz).
  4. Kiriş, başlangıçta, kiriş uzunluğu boyunca sabit olan bir enine kesite sahip düzdür.
  5. Kiriş, bükülme düzleminde bir simetri eksenine sahiptir.
  6. Kirişin oranları ezilerek, kırışarak veya yanlara doğru değil, bükülerek başarısız olacak şekildedir. burkulma.
  7. Kirişin enine kesitleri bükme sırasında düz kalır.
Simetrik olarak saptırılan bir kirişin sapması ve üst üste binme ilkesi

Eğilme yükleri altında kiriş ekseni yönünde basınç ve çekme kuvvetleri oluşur. Bu kuvvetler neden olur stresler kirişte. Maksimum sıkıştırma gerilimi kirişin en üst kenarında bulunurken, maksimum gerilme gerilimi kirişin alt kenarında yer almaktadır. Bu iki zıt arasındaki gerilimler maxima farklılık göstermek doğrusal olarak bu nedenle, doğrusal yolda bükülme gerilmesinin olmadığı bir nokta vardır. mahal bu noktalardan biri nötr eksendir. Gerilmesiz bu alan ve düşük gerilimli bitişik alanlar nedeniyle, eğilmede tek tip enine kesitli kirişlerin kullanılması, kirişin tam kapasitesini sınırına gelene kadar kullanmadığından, bir yükü desteklemek için özellikle verimli bir araç değildir. çöküş. Geniş flanşlı kirişler (benkirişler ) ve makas kirişler Bu yetersiz stresli bölgedeki malzeme miktarını en aza indirdiklerinden, bu verimsizliği etkili bir şekilde ele alın.

Basit bükme altında bir kirişteki bükülme gerilimini belirlemek için klasik formül şudur:[5]

nerede

  • bükülme stresi
  • - nötr eksenle ilgili an
  • - nötr eksene dik mesafe
  • - ikinci alan anı nötr eksen hakkında z.
  • - nötr eksen etrafındaki Direnç Momenti z.

Euler-Bernoulli kiriş bükme teorisinin uzantıları

Plastik bükme

Denklem yalnızca uçtaki fiberdeki gerilim (yani, kirişin nötr eksenden en uzak kısmı) aşağıdaki değerin altında olduğunda geçerlidir. verim stresi inşa edildiği malzemenin. Daha yüksek yüklemelerde, gerilim dağılımı doğrusal olmaz ve sünek malzemeler sonunda bir plastik menteşe gerilmenin gerilmeden sıkıştırmaya değiştiği nötr eksende bir süreksizlikle, kirişin her yerindeki akma gerilimine eşittir. Bu plastik menteşe durumu tipik olarak sınır durumu çelik yapıların tasarımında.

Karmaşık veya asimetrik bükülme

Yukarıdaki denklem yalnızca kesit simetrikse geçerlidir. Asimetrik kesitli homojen kirişler için kirişteki maksimum eğilme gerilmesi

[6]

nerede Sağda gösterildiği gibi gerilimin belirleneceği kesit üzerindeki bir noktanın koordinatlarıdır, ve y ve z ile ilgili bükülme momentleri centroid eksenler ve y ve z eksenleri hakkındaki ikinci alan momentleri (eylemsizlik momentlerinden farklı) ve ... alan anlarının ürünü. Bu denklemi kullanarak, moment oryantasyonu veya enine kesit şekline bakılmaksızın, kiriş kesiti üzerindeki herhangi bir noktada eğilme gerilimini hesaplamak mümkündür. Bunu not et Kesit üzerinde bir noktadan diğerine geçmeyin.

Büyük eğilme deformasyonu

Büyük eğilme asimptot stress.svg

Gövdenin büyük deformasyonları için, enine kesitteki gerilim, bu formülün genişletilmiş bir versiyonu kullanılarak hesaplanır. İlk önce aşağıdaki varsayımlar yapılmalıdır:

  1. Düz bölümlerin varsayımı - deformasyondan önce ve sonra, gövdenin dikkate alınan bölümü düz kalır (yani, döndürülmez).
  2. Bu bölümdeki normal kesit vektörüne dik olan kayma ve normal gerilmelerin, bu bölüme paralel olan normal gerilmeler üzerinde hiçbir etkisi yoktur.

Bükülme yarıçapı olduğunda büyük bükme hususları uygulanmalıdır on bölüm yüksekliğinden daha küçük h:

Bu varsayımlarla, büyük bükülmedeki gerilim şu şekilde hesaplanır:

nerede

normal mi güç
bölüm alan
bükülme anı
yerel bükülme yarıçapıdır (mevcut bölümdeki bükülme yarıçapı)
boyunca alan eylemsizlik momenti xeksen, şurada yer (bkz Steiner teoremi )
pozisyon boyunca y- stresin olduğu bölüm alanında eksen hesaplanır.

Yarıçapı bükerken sonsuza yaklaşır ve , orijinal formül geri döndü:

.

Timoshenko eğilme teorisi

Timoshenko kirişinin deformasyonu. Normal bir miktar döner eşit olmayan .

1921'de, Timoşenko Kiriş denklemine kesme etkisini ekleyerek Euler-Bernoulli kiriş teorisi üzerinde geliştirilmiştir. Timoşenko teorisinin kinematik varsayımları şunlardır:

  • kiriş eksenine normaller deformasyondan sonra düz kalır
  • Deformasyondan sonra kiriş kalınlığında değişiklik olmaz

Bununla birlikte, eksene olan normallerin deformasyondan sonra eksene dik kalması gerekli değildir.

Bu varsayımlar altında, sabit kesitli kirişin doğrusal elastik, izotropik, homojen bir kirişinin yarı statik bükülmesinin denklemi şöyledir:[7]

nerede ... atalet alanı momenti enine kesitin, kesit alanıdır, ... kayma modülü, bir kayma düzeltme faktörü, ve uygulanan bir enine yüktür. Olan malzemeler için Poisson oranları () 0.3'e yakın, dikdörtgen bir enine kesit için kayma düzeltme faktörü yaklaşık olarak

Dönme () normalin denklemi ile tanımlanır

Eğilme anı () ve kesme kuvveti () tarafından verilir

Kirişlerin dinamik bükülmesi

Kirişlerin dinamik bükülmesi,[8] Ayrıca şöyle bilinir eğilme titreşimleri kirişlerin ilk araştırması Daniel Bernoulli 18. yüzyılın sonlarında. Bernoulli'nin titreşen bir ışının hareket denklemi, doğal frekanslar kiriş sayısı ve marjinal olarak iyileştirildi Rayleigh 1877'de orta düzlem rotasyonunun eklenmesiyle. 1921'de Stephen Timoshenko Eğilme kirişlerinin dinamik tepkisi üzerindeki kesme etkisini dahil ederek teoriyi daha da geliştirdi. Bu, teorinin dinamik Euler-Bernoulli teorisinin yetersiz olduğu yüksek titreşim frekansları içeren problemler için kullanılmasına izin verdi. Euler-Bernoulli ve Timoshenko'nun kirişlerin dinamik eğilmesi teorileri mühendisler tarafından yaygın olarak kullanılmaya devam ediyor.

Euler-Bernoulli teorisi

İnce, izotropik, sabit kesitli homojen kirişlerin uygulanan enine yük altında dinamik eğilmesi için Euler-Bernoulli denklemi dır-dir[7]

nerede Young modülüdür, kesitin alan atalet momentidir, kirişin nötr ekseninin sapması ve kirişin birim uzunluğu başına kütledir.

Serbest titreşimler

Kiriş üzerinde enine yükün olmadığı durumlarda eğilme denklemi şeklini alır

Kirişin serbest, harmonik titreşimleri daha sonra şu şekilde ifade edilebilir:

ve bükülme denklemi şu şekilde yazılabilir:

Yukarıdaki denklemin genel çözümü şudur:

nerede sabitler ve

Bir konsolun mod şekilleri benkiriş
1. yanal bükme
1. burulma
1. dikey bükme
2. yanal bükme
2. burulma
2. dikey bükme

Timoshenko-Rayleigh teorisi

1877'de Rayleigh, dinamik Euler-Bernoulli kiriş teorisinde, kirişin enine kesitinin dönme ataletinin etkisini dahil ederek bir iyileştirme önerdi. Timoşenko, 1922'de makaslama etkisini kiriş denklemine ekleyerek bu teoriyi geliştirdi. Kirişin orta yüzeyine normalin kayma deformasyonlarına Timoshenko-Rayleigh teorisinde izin verilir.

Bu varsayımlar altında doğrusal elastik, izotropik, sabit kesitli homojen bir kirişin bükülmesinin denklemi şöyledir:[7][9]

nerede ... polar atalet momenti enine kesitin kirişin birim uzunluğu başına kütle, kirişin yoğunluğu, kesit alanıdır, kayma modülüdür ve bir kayma düzeltme faktörü. Poisson oranlarına sahip malzemeler için () 0.3'e yakın, kesme düzeltme faktörü yaklaşık olarak

Serbest titreşimler

Ücretsiz harmonik titreşimler için Timoshenko-Rayleigh denklemleri şu şekildedir:

Bu denklemin tüm türevlerinin not edilerek çözülebilir. iptal etmek için aynı forma sahip olmalı ve dolayısıyla formun çözümü olarak beklenebilir. Bu gözlem, karakteristik denklem

Bunun çözümleri dörtlü denklem vardır

nerede

Serbest titreşimler için Timoshenko-Rayleigh ışın denkleminin genel çözümü şu şekilde yazılabilir:

Plakaların kuasistatik bükülmesi

Yer değiştirmeyi, orta yüzeyi (kırmızı) ve orta yüzeyin normalini (mavi) vurgulayan ince bir plakanın deformasyonu

Kirişlerin tanımlayıcı özelliği, boyutlardan birinin çok fazla olmasıdır. daha büyük diğer ikisinden daha. Bir yapı düz olduğunda ve boyutlarından biri çok olduğunda levha denir daha küçük diğer ikisinden daha. İkisi yaygın olarak kullanılan uygulanan yükler altında bir plakadaki deformasyonu ve gerilimi açıklamaya çalışan birkaç teori vardır. Bunlar

  • Kirchhoff-Aşk plakaları teorisi (klasik plaka teorisi olarak da adlandırılır)
  • Mindlin-Reissner plaka teorisi (plakaların birinci dereceden kesme teorisi olarak da adlandırılır)

Kirchhoff-plakaların aşk teorisi

Kirchhoff-Aşk teorisinin varsayımları

  • orta yüzeye dik düz çizgiler deformasyondan hemen sonra kalır
  • Orta yüzeye normal düz çizgiler deformasyondan sonra orta yüzeye normal kalır
  • Bir deformasyon sırasında plakanın kalınlığı değişmez.

Bu varsayımlar şunu ima eder:

nerede plakadaki bir noktanın yer değiştirmesidir ve orta yüzeyin yer değiştirmesidir.

Şekil değiştirme-yer değiştirme ilişkileri

Denge denklemleri

nerede plakanın yüzeyine normal olarak uygulanan bir yüktür.

Yer değiştirmeler açısından, izotropik, doğrusal elastik bir plaka için dış yükün olmadığı denge denklemleri şöyle yazılabilir:

Doğrudan tensör gösteriminde,

Mindlin-Reissner plakaların teorisi

Bu teorinin özel varsayımı, orta yüzeydeki normallerin düz ve uzayamaz kaldığı, ancak deformasyondan sonra orta yüzeye mutlaka normal olmadığıdır. Plakanın yer değiştirmeleri şu şekilde verilmiştir:

nerede normalin dönüşleridir.

Bu varsayımlardan kaynaklanan şekil değiştirme-yer değiştirme ilişkileri

nerede bir kesme düzeltme faktörüdür.

Denge denklemleri

nerede

Plakaların dinamik bükülmesi

İnce Kirchhoff plakalarının dinamiği

Plakaların dinamik teorisi, plakalardaki dalgaların yayılmasını ve duran dalgaların ve titreşim modlarının incelenmesini belirler. Kirchhoff plakalarının dinamik bükülmesini yöneten denklemler

nerede, yoğunluklu bir plaka için ,

ve

Aşağıdaki şekiller, dairesel bir plakanın bazı titreşim modlarını göstermektedir.

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ a b c d Boresi, A. P. ve Schmidt, R.J. ve Sidebottom, O. M., 1993, Gelişmiş malzeme mekaniğiJohn Wiley and Sons, New York.
  2. ^ a b Libai, A. ve Simmonds, J. G., 1998, Elastik kabukların doğrusal olmayan teorisi, Cambridge University Press.
  3. ^ Timoşenko, S. ve Woinowsky-Krieger, S., 1959, Plakalar ve kabuklar teorisiMcGraw-Hill.
  4. ^ Shigley J, "Makine Mühendisliği Tasarımı", s44, International Edition, pub McGraw Hill, 1986, ISBN  0-07-100292-8
  5. ^ Gere, J.M. ve Timoshenko, S.P., 1997, Malzemelerin mekaniği, PWS Yayıncılık Şirketi.
  6. ^ Cook and Young, 1995, Advanced Mechanics of Materials, Macmillan Publishing Company: New York
  7. ^ a b c Thomson, W. T., 1981, Uygulamalarla Titreşim Teorisi
  8. ^ Han, S. M, Benaroya, H. ve Wei, T., 1999, "Dört mühendislik teorisi kullanarak enine titreşen kirişlerin dinamiği" Journal of Sound and Vibration, cilt. 226, hayır. 5, sayfa 935–988.
  9. ^ Rosinger, H. E. ve Ritchie, I.G., 1977, Timoshenko'nun titreşen izotropik kirişlerdeki kayma düzeltmesinde, J. Phys. D: Appl. Phys., Cilt. 10, sayfa 1461–1466.

Dış bağlantılar