Sandviç teorisi - Sandwich theory

Bu makale olabilir gerek Temizlemek Wikipedia'yla tanışmak için kalite standartları. Spesifik sorun şudur: Matematik komut dosyaları oluşturulurken hata oluştu Lütfen yardım et bu makaleyi geliştir Eğer yapabilirsen. (Mayıs 2013) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

NASA'da test için kullanılan kompozit sandviç yapı paneli

Sandviç teorisi^[1][2] bir davranışını tanımlar ışın, tabak veya kabuk Bu üç katmandan oluşur - iki yüzey sayfası ve bir çekirdek. En yaygın kullanılan sandviç teorisi doğrusal ve birinci dereceden bir uzantısıdır kiriş teorisi. Doğrusal sandviç teorisi, tasarım ve analiz için önemlidir. sandviç paneller bina yapımında, araç yapımında, uçak yapımında ve soğutma mühendisliğinde kullanılmaktadır.

Sandviç yapının bazı avantajları şunlardır:

• Sandviç kesitleri bileşik. Genellikle düşük ila orta sertlik iki sert dış yüz tabakası ile bağlanan çekirdek. Kompozit, yalnızca çekirdek malzemeden veya yüzey-tabaka malzemesinden yapılan eşdeğer bir kirişe göre önemli ölçüde daha yüksek bir kesme sertliğine ağırlık oranına sahiptir. Kompozit ayrıca yüksek bir gerilme mukavemeti / ağırlık oranına sahiptir.
• Yüz tabakasının yüksek sertliği, yüksek bükülme sertliği kompozit için ağırlık oranına.

Bir davranışı ışın bir yük altında sandviç kesiti sabit olan bir kirişten farklıdır elastik enine kesit. Eğer Eğri yarıçapı bükme sırasında sandviç kirişin kalınlığına kıyasla büyüktür ve bileşen malzemelerindeki gerilmeler küçüktür, deformasyon bir sandviç kompozit kirişin iki parçaya ayrılabilir

• bükülme momentleri veya bükülme deformasyonundan kaynaklanan deformasyonlar ve
• enine kuvvetlerden kaynaklanan deformasyonlar, kesme deformasyonu olarak da adlandırılır.

Sandviç kiriş, tabak, ve kabuk teoriler genellikle referans stres durumunun sıfır stresden biri olduğunu varsayar. Bununla birlikte, kürleme sırasında, iç malzeme tarafından termal ayrılma nedeniyle yüzey levhaları arasındaki sıcaklık farklılıkları devam eder. Bu sıcaklık farklılıkları, yüzey levhalarının farklı doğrusal genişlemeleri ile birleştiğinde, sandviç kirişin daha sıcak yüz levhası yönünde bükülmesine yol açabilir. Üretim sürecinde bükülme kısıtlıysa, artık gerilmeler sandviç kompozit bileşenlerinde gelişebilir. süperpozisyon Sandviç teorisi tarafından sağlanan çözümler üzerinde bir referans stres durumu, problem olduğunda mümkündür doğrusal. Bununla birlikte, büyük elastik deformasyonlar ve rotasyonlar beklendiğinde, ilk gerilme durumu doğrudan sandviç teorisine dahil edilmelidir.

Mühendislik sandviç kiriş teorisi

Çekirdek kesme nedeniyle ekstra deformasyon olmadan sandviç kirişin bükülmesi.

Sandviç kirişlerin mühendislik teorisinde,^[2] eksenel gerilmenin, kirişin enine kesiti boyunca doğrusal olarak değiştiği varsayılır. Euler-Bernoulli teorisi yani

${displaystyle varepsilon _ {xx} (x, z) = - z ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}}}$

Bu nedenle, sandviç kirişteki eksenel gerilme,

${displaystyle sigma _ {xx} (x, z) = - z ~ E (z) ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}}}$

nerede ${displaystyle E (z)}$ ... Gencin modülü bu, kirişin kalınlığı boyunca konumun bir fonksiyonudur. bükülme anı kirişte daha sonra verilir

${displaystyle M_ {x} (x) = int int z ~ sigma _ {xx} ~ mathrm {d} z, mathrm {d} y = -left (int int z ^ {2} E (z) ~ mathrm {d } z, mathrm {d} yight) ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}} =: - D ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2 } w} {mathrm {d} x ^ {2}}}}$

Miktar ${displaystyle D}$ denir eğilme sertliği sandviç kirişin. kesme kuvveti ${displaystyle Q_ {x}}$ olarak tanımlanır

${displaystyle Q_ {x} = {frac {mathrm {d} M_ {x}} {mathrm {d} x}} ~.}$

Bu ilişkileri kullanarak, çekirdek kalınlığındaki sandviç kirişteki gerilmelerin ${displaystyle 2h}$ ve modül ${displaystyle E ^ {c}}$ ve her biri kalınlıkta iki yüzey sayfası ${displaystyle f}$ ve modül ${displaystyle E ^ {f}}$tarafından verilir

${displaystyle {egin {align} sigma _ {xx} ^ {mathrm {f}} & = {cfrac {zE ^ {mathrm {f}} M_ {x}} {D}} ~; ~~ & sigma _ {xx} ^ {mathrm {c}} & = {cfrac {zE ^ {mathrm {c}} M_ {x}} {D}} au _ {xz} ^ {mathrm {f}} & = {cfrac {Q_ {x } E ^ {mathrm {f}}} {2D}} sol [(h + f) ^ {2} -z ^ {2} ight] ~; ~~ & au _ {xz} ^ {mathrm {c}} & = {cfrac {Q_ {x}} {2D}} sol [E ^ {mathrm {c}} sol (h ^ {2} -z ^ {2} ight) + E ^ {mathrm {f}} f ( f + 2h) ight] uç {hizalı}}}$

Mühendislik sandviç kiriş gerilmelerinin türetilmesi

Dan beri ${displaystyle {cfrac {d ^ {2} w} {dx ^ {2}}} = - {cfrac {M_ {x} (x)} {D}}}$ eksenel gerilimi şöyle yazabiliriz ${displaystyle sigma _ {xx} (x, z) = {cfrac {z ~ E (z) ~ M_ {x} (x)} {D}}}$ İki boyutlu bir katı için denge denklemi şu şekilde verilir: ${displaystyle {frac {kısmi sigma _ {xx}} {kısmi x}} + {frac {kısmi au _ {xz}} {kısmi z}} = 0}$ nerede ${displaystyle au _ {xz}}$ ... kayma gerilmesi. Bu nedenle, ${displaystyle au _ {xz} (x, z) = int {frac {kısmi sigma _ {xx}} {kısmi x}} ~ mathrm {d} z + C (x) = int {cfrac {z ~ E (z )} {D}} ~ {frac {mathrm {d} M_ {x}} {mathrm {d} x}} ~ mathrm {d} z + C (x)}$ nerede ${displaystyle C (x)}$ sabit bir entegrasyondur. Bu nedenle, ${displaystyle au _ {xz} (x, z) = {cfrac {Q_ {x}} {D}} int z ~ E (z) ~ mathrm {d} z + C (x)}$ Sandviç kirişin üst yüzüne uygulanan herhangi bir kesme traksiyonu olmadığını varsayalım. Üst yüzey sayfasındaki kayma gerilmesi, ${displaystyle au _ {xz} ^ {mathrm {face}} (x, z) = {cfrac {Q_ {x} E ^ {f}} {D}} int _ {z} ^ {h + f} z ~ mathrm {d} z + C (x) = {cfrac {Q_ {x} E ^ {f}} {2D}} sola [(h + f) ^ {2} -z ^ {2} ight] + C ( x)}$ Şurada: ${görüntü stili z = h + f}$, ${displaystyle au _ {xz} (x, h + f) = 0}$ ima ediyor ki ${displaystyle C (x) = 0}$. Sonra çekirdeğin tepesindeki kayma gerilmesi, ${displaystyle z = h}$, tarafından verilir ${displaystyle au _ {xz} (x, h) = {cfrac {Q_ {x} E ^ {f} f (f + 2h)} {2D}}}$ Benzer şekilde, çekirdekteki kayma gerilmesi şu şekilde hesaplanabilir: ${displaystyle au _ {xz} ^ {mathrm {core}} (x, z) = {cfrac {Q_ {x} E ^ {c}} {D}} int _ {z} ^ {h} z ~ mathrm { d} z + C (x) = {cfrac {Q_ {x} E ^ {c}} {2D}} sol (h ^ {2} -z ^ {2} sağ) + C (x)}$ Entegrasyon sabiti ${displaystyle C (x)}$ çekirdek ve yüzey tabakasının arayüzündeki kayma geriliminin sürekliliğinden belirlenir. Bu nedenle, ${displaystyle C (x) = {cfrac {Q_ {x} E ^ {f} f (f + 2h)} {2D}}}$ ve ${displaystyle au _ {xz} ^ {mathrm {core}} (x, z) = {cfrac {Q_ {x}} {2D}} sol [E ^ {c} sol (h ^ {2} -z ^ { 2} ight) + E ^ {f} f (f + 2h) ight]}$

Özdeş yüzey sayfalarına ve birim genişliğe sahip bir sandviç kiriş için değeri ${displaystyle D}$ dır-dir

${displaystyle {egin {align} D & = E ^ {f} int _ {w} int _ {- hf} ^ {- h} z ^ {2} ~ mathrm {d} z, mathrm {d} y + E ^ {c} int _ {w} int _ {- h} ^ {h} z ^ {2} ~ mathrm {d} z, mathrm {d} y + E ^ {f} int _ {w} int _ {h } ^ {h + f} z ^ {2} ~ mathrm {d} z, mathrm {d} y & = {frac {2} {3}} E ^ {f} f ^ {3} + {frac { 2} {3}} E ^ {c} h ^ {3} + 2E ^ {f} fh (f + h) ~ .son {hizalı}}}$

Eğer ${displaystyle E ^ {f} gg E ^ {c}}$, sonra ${displaystyle D}$ olarak tahmin edilebilir

${displaystyle Dapprox {frac {2} {3}} E ^ {f} f ^ {3} + 2E ^ {f} fh (f + h) = 2fE ^ {f} sol ({frac {1} {3} } f ^ {2} + h (f + h) ight)}$

ve sandviç kirişteki gerilmeler şu şekilde tahmin edilebilir:

${displaystyle {egin {align} sigma _ {xx} ^ {mathrm {f}} & yaklaşık {cfrac {zM_ {x}} {{frac {2} {3}} f ^ {3} + 2fh (f + h) }} ~; ~~ & sigma _ {xx} ^ {mathrm {c}} & yaklaşık 0 au _ {xz} ^ {mathrm {f}} & yaklaşık {cfrac {Q_ {x}} {{frac {4} {3 }} f ^ {3} + 4fh (f + h)}} sola [(h + f) ^ {2} -z ^ {2} ight] ~; ~~ & au _ {xz} ^ {mathrm {c }} ve yaklaşık {cfrac {Q_ {x} (f + 2h)} {{frac {2} {3}} f ^ {2} + h (f + h)}} end {hizalı}}}$

Ek olarak, ${displaystyle fll 2h}$, sonra

${displaystyle Dapprox 2E ^ {f} fh (f + h)}$

ve kirişteki yaklaşık gerilmeler

${displaystyle {egin {align} sigma _ {xx} ^ {mathrm {f}} & yaklaşık {cfrac {zM_ {x}} {2fh (f + h)}} ~; ~~ & sigma _ {xx} ^ {mathrm { c}} ve yaklaşık 0 au _ {xz} ^ {mathrm {f}} ve yaklaşık {cfrac {Q_ {x}} {4fh (f + h)}} sol [(h + f) ^ {2} -z ^ {2} ight] ~; ~~ & au _ {xz} ^ {mathrm {c}} & yaklaşık {cfrac {Q_ {x} (f + 2h)} {4h (f + h)}} yaklaşık {cfrac {Q_ {x}} {2h}} son {hizalı}}}$

Yüzey sayfalarının, kalınlık boyunca gerilmelerin sabit olduğu varsayılabilecek kadar ince olduğunu varsayarsak, yaklaşık olarak elde ederiz.

${displaystyle {egin {align} sigma _ {xx} ^ {mathrm {f}} & yaklaşık pm {cfrac {M_ {x}} {2fh}} ~; ~~ & sigma _ {xx} ^ {mathrm {c}} ve yaklaşık 0 au _ {xz} ^ {mathrm {f}} & yaklaşık 0 ~; ~~ & au _ {xz} ^ {mathrm {c}} & yaklaşık {cfrac {Q_ {x}} {2h}} end {align} }}$

Bu nedenle, problem iki kısma ayrılabilir, biri sadece göbek kaymasını içerir ve diğeri sadece yüzey sayfalarındaki eğilme gerilmelerini içerir.

Doğrusal sandviç teorisi

İnce yüzey yapraklı bir sandviç kirişin bükülmesi

Çekirdeğin kaymasını deformasyona dahil ettikten sonra bir sandviç kirişin bükülmesi.

İnce yüzey sayfalarına sahip kirişlerin doğrusal sandviç teorilerinin ana varsayımları şunlardır:

• çekirdeğin enine normal sertliği sonsuzdur, yani z-yönündeki çekirdek kalınlığı bükülme sırasında değişmez
• Çekirdeğin düzlem içi normal sertliği, yüzey tabakalarınınkine kıyasla küçüktür, yani çekirdek x-yönünde uzamaz veya sıkışmaz
• yüz sayfaları şuna göre davranır: Euler-Bernoulli varsayımlar, yani, yüzey sayfalarında xz-kayması yoktur ve yüzey sayfalarının z-yönü kalınlığı değişmez

Ancak, çekirdekteki xz kayma gerilimleri ihmal edilmemiştir.

Kurucu varsayımlar

İki boyutlu ortotropik için kurucu ilişkiler doğrusal elastik malzemeler

${displaystyle {egin {bmatrix} sigma _ {xx} sigma _ {zz} sigma _ {zx} end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} C_ {11} & C_ {13} & 0 C_ {13} & C_ {33} & 0 0 & 0 & C_ {55} end {bmatrix}} {egin {bmatrix} varepsilon _ {xx} varepsilon _ {zz} varepsilon _ {zx} end {bmatrix}}}$

Sandviç teorisinin varsayımları, basitleştirilmiş ilişkilere yol açar

${displaystyle sigma _ {xx} ^ {mathrm {face}} = C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ varepsilon _ {xx} ^ {mathrm {face}} ~; ~~ sigma _ {zx} ^ { mathrm {core}} = C_ {55} ^ {mathrm {core}} ~ varepsilon _ {zx} ^ {mathrm {core}} ~; ~~ sigma _ {zz} ^ {mathrm {face}} = sigma _ { xz} ^ {mathrm {face}} = 0 ~; ~~ sigma _ {zz} ^ {mathrm {core}} = sigma _ {xx} ^ {mathrm {core}} = 0}$

ve

${displaystyle varepsilon _ {zz} ^ {mathrm {face}} = varepsilon _ {xz} ^ {mathrm {face}} = 0 ~; ~~ varepsilon _ {zz} ^ {mathrm {core}} = varepsilon _ {xx } ^ {mathrm {core}} = 0}$

İki boyuttaki denge denklemleri

${displaystyle {cfrac {kısmi sigma _ {xx}} {kısmi x}} + {cfrac {kısmi sigma _ {zx}} {kısmi z}} = 0 ~; ~~ {cfrac {kısmi sigma _ {zx}} { kısmi x}} + {cfrac {kısmi sigma _ {zz}} {kısmi z}} = 0}$

Sandviç kiriş varsayımları ve denge denklemi şu anlama gelir:

${displaystyle sigma _ {xx} ^ {mathrm {face}} equiv sigma _ {xx} ^ {mathrm {face}} (z) ~; ~~ sigma _ {zx} ^ {mathrm {core}} = mathrm {sabit }}$

Bu nedenle, homojen yüzey sayfaları ve çekirdek için suşlar da forma sahiptir.

${displaystyle varepsilon _ {xx} ^ {mathrm {face}} equiv varepsilon _ {xx} ^ {mathrm {face}} (z) ~; ~~ varepsilon _ {zx} ^ {mathrm {core}} = mathrm {sabit }}$

Kinematik

Bir sandviç kirişin bükülmesi. Toplam sapma, bir bükme parçasının toplamıdır w_b ve bir kesme parçası w_s

Bir sandviç kirişin bükülmesi sırasında kayma gerilmeleri.

Sandviç kirişin bir bükülme momentine maruz kalmasına izin verin ${displaystyle M}$ ve bir kesme kuvveti ${displaystyle Q}$. Bu yükler nedeniyle kirişin toplam sapmasının ${displaystyle w}$. Bitişik şekil, küçük yer değiştirmeler için, kirişin orta yüzeyinin toplam sapmasının, iki sapmanın toplamı olarak ifade edilebileceğini göstermektedir, saf bir bükülme sapması ${displaystyle w_ {b}}$ ve saf bir kayma sapması ${displaystyle w_ {s}}$yani

${displaystyle w (x) = w_ {b} (x) + w_ {s} (x)}$

Deformasyonun geometrisinden mühendislik kayma gerilmesinin (${displaystyle gamma}$Çekirdekte, kompozitteki etkili kayma gerinimi ile ilişkilidir.

${displaystyle gamma _ {zx} ^ {mathrm {core}} = {frac {2h + f} {2h}} ~ gamma _ {zx} ^ {mathrm {beam}}}$

Çekirdekteki kayma gerilmesinin, kompozitteki etkili kayma geriliminden daha büyük olduğuna ve küçük deformasyonlara dikkat edin (${displaystyle an gamma = gamma}$) yukarıdaki ilişkinin türetilmesinde varsayılır. Kirişteki etkili kayma gerinimi, ilişki ile kayma yer değiştirmesi ile ilgilidir.

${displaystyle gamma _ {zx} ^ {mathrm {beam}} = {cfrac {mathrm {d} w_ {s}} {mathrm {d} x}}}$

Yüzey sayfalarının Euler-Bernoulli ışın teorisinin varsayımlarına göre deforme olduğu varsayılır. Yüzey sayfalarının toplam sapmasının, bükülmeden kaynaklanan ve çekirdek kaymasından kaynaklanan sapmaların üst üste gelmesi olduğu varsayılır. ${displaystyle x}$-bükme nedeniyle yüz tabakalarının yön yer değiştirmeleri

${displaystyle u_ {b} ^ {mathrm {face}} (x, z) = - z ~ {cfrac {mathrm {d} w_ {b}} {mathrm {d} x}}}$

Çekirdekteki kayma nedeniyle üst yüzey tabakasının yer değiştirmesi

${displaystyle u_ {s} ^ {mathrm {topface}} (x, z) = - left (zh- {frac {f} {2}} ight) ~ {cfrac {mathrm {d} w_ {s}} {mathrm {d} x}}}$

ve alt yüz sayfasınınki

${displaystyle u_ {s} ^ {mathrm {botface}} (x, z) = - left (z + h + {frac {f} {2}} ight) ~ {cfrac {mathrm {d} w_ {s}} { mathrm {d} x}}}$

İki yüzey sayfasındaki normal suşlar,

${displaystyle varepsilon _ {xx} = {cfrac {kısmi u_ {b}} {kısmi x}} + {cfrac {kısmi u_ {s}} {kısmi x}}}$

Bu nedenle,

${displaystyle varepsilon _ {xx} ^ {mathrm {topface}} = - z ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {b}} {mathrm {d} x ^ {2}}} - sol (zh - {frac {f} {2}} ight) ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {s}} {mathrm {d} x ^ {2}}} ~; ~~ varepsilon _ {xx} ^ {mathrm {botface}} = - z ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {b}} {mathrm {d} x ^ {2}}} - sol (z + h + {frac {f} {2}} ight) ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {s}} {mathrm {d} x ^ {2}}}}$

Gerilme-yer değiştirme ilişkileri

Çekirdekteki kayma gerilmesi,

${displaystyle sigma _ {zx} ^ {mathrm {core}} = C_ {55} ^ {mathrm {core}} ~ varepsilon _ {zx} ^ {mathrm {core}} = {cfrac {C_ {55} ^ {mathrm {core}}} {2}} ~ gamma _ {zx} ^ {mathrm {core}} = {frac {2h + f} {4h}} ~ C_ {55} ^ {mathrm {core}} ~ gamma _ { zx} ^ {mathrm {ışın}}}$

veya,

${displaystyle sigma _ {zx} ^ {mathrm {core}} = {frac {2h + f} {4h}} ~ C_ {55} ^ {mathrm {core}} ~ {cfrac {mathrm {d} w_ {s} } {mathrm {d} x}}}$

Yüzey sayfalarındaki normal gerilmeler şu şekilde verilmiştir:

${displaystyle sigma _ {xx} ^ {mathrm {face}} = C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ varepsilon _ {xx} ^ {mathrm {face}}}$

Bu nedenle

${displaystyle {egin {align} sigma _ {xx} ^ {mathrm {topface}} & = - z ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {b }} {mathrm {d} x ^ {2}}} - left (zh- {frac {f} {2}} ight) ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {s}} {mathrm {d} x ^ {2}}} & = & - z ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}} + sol ({frac {2h + f} {2}} ight) ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {s}} {mathrm {d} x ^ {2}}} sigma _ {xx} ^ {mathrm {botface}} & = - z ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {b}} {mathrm {d} x ^ {2}}} - left (z + h + {frac {f} {2}} ight) ~ C_ {11 } ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {s}} {mathrm {d} x ^ {2}}} & = & - z ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}} - sol ({frac {2h + f} {2}} ight) ~ C_ {11 } ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {s}} {mathrm {d} x ^ {2}}} end {hizalı}}}$

Ortaya çıkan kuvvetler ve momentler

Bir yüz levhasında ortaya çıkan normal kuvvet şu şekilde tanımlanır:

${displaystyle N_ {xx} ^ {mathrm {face}}: = int _ {- f / 2} ^ {f / 2} sigma _ {xx} ^ {mathrm {face}} ~ mathrm {d} z_ {f} }$

ve ortaya çıkan anlar şu şekilde tanımlanır:

${displaystyle M_ {xx} ^ {mathrm {face}}: = int _ {- f / 2} ^ {f / 2} z_ {f} ~ sigma _ {xx} ^ {mathrm {face}} ~ mathrm {d } z_ {f}}$

nerede

${displaystyle z_ {f} ^ {mathrm {topface}}: = zh- {frac {f} {2}} ~; ~~ z_ {f} ^ {mathrm {botface}}: = z + h + {frac {f } {2}}}$

İki yüzey sayfasındaki normal gerilim için ifadelerin kullanılması,

${displaystyle {egin {align} N_ {xx} ^ {mathrm {topface}} & = - fleft (h + {frac {f} {2}} ight) ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {b}} {mathrm {d} x ^ {2}}} = - N_ {xx} ^ {mathrm {botface}} M_ {xx} ^ {mathrm {topface} } & = - {cfrac {f ^ {3} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}}} {12}} sol ({cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {b}} {mathrm { d} x ^ {2}}} + {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {s}} {mathrm {d} x ^ {2}}} ight) = - {cfrac {f ^ {3} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}}} {12}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}} = M_ {xx} ^ { mathrm {botface}} end {align}}}$

Çekirdekte, ortaya çıkan an

${displaystyle M_ {xx} ^ {mathrm {core}}: = int _ {- h} ^ {h} z ~ sigma _ {xx} ^ {mathrm {core}} ~ mathrm {d} z = 0}$

Kirişteki toplam eğilme momenti

${displaystyle M = N_ {xx} ^ {mathrm {topface}} ~ (2h + f) + 2 ~ M_ {xx} ^ {mathrm {topface}}}$

veya,

${displaystyle M = - {cfrac {f (2h + f) ^ {2}} {2}} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {b }} {mathrm {d} x ^ {2}}} - {cfrac {f ^ {3}} {6}} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ { 2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}}}$

Kesme kuvveti ${displaystyle Q_ {x}}$ çekirdek olarak tanımlanır

${displaystyle Q_ {x} ^ {mathrm {core}} = kappa int _ {- h} ^ {h} sigma _ {xz} ~ dz = {frac {kappa (2h + f)} {2}} ~ C_ { 55} ^ {mathrm {core}} ~ {cfrac {mathrm {d} w_ {s}} {mathrm {d} x}}}$

nerede ${displaystyle kappa}$ bir kayma düzeltme katsayısıdır. Yüzey sayfalarındaki kesme kuvveti, ilişki kullanılarak eğilme momentlerinden hesaplanabilir.

${displaystyle Q_ {x} ^ {mathrm {face}} = {cfrac {mathrm {d} M_ {xx} ^ {mathrm {face}}} {mathrm {d} x}}}$

veya,

${displaystyle Q_ {x} ^ {mathrm {face}} = - {cfrac {f ^ {3} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}}} {12}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ { 3} w} {mathrm {d} x ^ {3}}}}$

İnce yüzey sayfaları için, yüzey sayfalarındaki kesme kuvveti genellikle göz ardı edilir.^[2]

Eğilme ve kesme sertliği

Sandviç kirişin bükülme sertliği,

${displaystyle D ^ {mathrm {beam}} = - M / {frac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}}}$

Kirişteki toplam eğilme momentinin ifadesinden,

${displaystyle M = - {cfrac {f (2h + f) ^ {2}} {2}} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {b }} {mathrm {d} x ^ {2}}} - {cfrac {f ^ {3}} {6}} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ { 2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}}}$

Küçük kayma deformasyonları için yukarıdaki ifade şu şekilde yazılabilir:

${displaystyle Mapprox - {cfrac {f [3 (2h + f) ^ {2} + f ^ {2}]} {6}} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d } ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}}}$

Bu nedenle, sandviç kirişin bükülme sertliği ( ${displaystyle fll 2h}$) tarafından verilir

${displaystyle D ^ {mathrm {ışın}} yaklaşık {cfrac {f [3 (2h + f) ^ {2} + f ^ {2}]} {6}} ~ C_ {11} ^ {mathrm {yüz}} yaklaşık {cfrac {f (2h + f) ^ {2}} {2}} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}}}$

ve yüz sayfalarınınki

${displaystyle D ^ {mathrm {face}} = {cfrac {f ^ {3}} {12}} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}}}$

Kirişin kayma sertliği şu şekilde verilir:

${displaystyle S ^ {mathrm {beam}} = Q_ {x} / {frac {mathrm {d} w_ {s}} {mathrm {d} x}}}$

Bu nedenle, çekirdeğin kayma rijitliğine eşit olan kirişin kayma rijitliği,

${displaystyle S ^ {mathrm {ışın}} = S ^ {mathrm {core}} = {cfrac {kappa (2h + f)} {2}} ~ C_ {55} ^ {mathrm {core}}}$

Eğilme ve kayma sapmaları arasındaki ilişki

Sürekliliği kullanılarak eğilme ve kayma sapmaları arasında bir ilişki elde edilebilir. çekişler çekirdek ve yüzey sayfaları arasında. Çekimleri doğrudan eşitlersek,

${displaystyle n_ {x} ~ sigma _ {xx} ^ {mathrm {face}} = n_ {z} ~ sigma _ {zx} ^ {mathrm {core}}}$

Her iki yüz sayfası çekirdek arayüzünde ${displaystyle n_ {x} = 1}$ ama çekirdeğin tepesinde ${displaystyle n_ {z} = 1}$ ve çekirdeğin altında ${displaystyle n_ {z} = - 1}$. Bu nedenle, çekiş sürekliliği ${displaystyle z = pm h}$ sebep olur

${displaystyle 2fh ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {s}} {mathrm {d} x ^ {2}}} - (2h + f) ~ C_ {55} ^ {mathrm {core}} ~ {cfrac {mathrm {d} w_ {s}} {mathrm {d} x}} = 4h ^ {2} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face} } ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {b}} {mathrm {d} x ^ {2}}}}$

Yukarıdaki ilişki, kayma sapmasının ikinci türevlerinin varlığı nedeniyle nadiren kullanılır. Bunun yerine,

${displaystyle n_ {z} ~ sigma _ {zx} ^ {mathrm {core}} = {cfrac {mathrm {d} N_ {xx} ^ {mathrm {face}}} {mathrm {d} x}}}$

ki bunun anlamı

${displaystyle {cfrac {mathrm {d} w_ {s}} {mathrm {d} x}} = - 2fh ~ sol ({cfrac {C_ {11} ^ {mathrm {yüz}}} {C_ {55} ^ { mathrm {core}}}} ight) ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {3} w_ {b}} {mathrm {d} x ^ {3}}}}$

Yönetim denklemleri

Yukarıdaki tanımları kullanarak, eğilme momenti ve kesme kuvveti için geçerli denge denklemleri

${displaystyle {egin {align} M & = D ^ {mathrm {beam}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {s}} {mathrm {d} x ^ {2}}} - sol (D ^ {mathrm {ışın}} + 2D ^ {mathrm {face}} ight) ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}} Q & = S ^ { mathrm {core}} ~ {cfrac {mathrm {d} w_ {s}} {mathrm {d} x}} - 2D ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {3} w} { matematik {d} x ^ {3}}} son {hizalı}}}$

Yukarıdakileri alternatif olarak çözülebilecek iki denklem olarak ifade edebiliriz ${displaystyle w}$ ve ${displaystyle w_ {s}}$ gibi

${displaystyle {egin {align} & left ({frac {2D ^ {mathrm {face}}} {S ^ {mathrm {core}}}} ight) {cfrac {mathrm {d} ^ {4} w} {mathrm { d} x ^ {4}}} - sol (1+ {frac {2D ^ {mathrm {face}}} {D ^ {mathrm {beam}}}} ight) {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}} + sol ({cfrac {1} {S ^ {mathrm {core}}}} ight) ~ {cfrac {mathrm {d} Q} {mathrm {d} x}} = {frac {M} {D ^ {mathrm {beam}}}} & left ({frac {D ^ {mathrm {beam}}} {S ^ {mathrm {core}}}} ight) {cfrac {mathrm {d} ^ {3} w_ {s}} {mathrm {d} x ^ {3}}} - sol (1+ {frac {D ^ {mathrm {beam}}} {2D ^ {mathrm {face }}}} ight) {cfrac {mathrm {d} w_ {s}} {mathrm {d} x}} - {cfrac {1} {S ^ {mathrm {core}}}} ~ {cfrac {mathrm {d } M} {mathrm {d} x}} = - sol (1+ {cfrac {D ^ {mathrm {beam}}} {2D ^ {mathrm {face}}}} ight) {frac {Q} {S ^ {mathrm {core}}}}, son {hizalı}}}$

Yaklaşımları kullanma

${displaystyle Qapprox {cfrac {mathrm {d} M} {mathrm {d} x}} ~; ~~ qapprox {cfrac {mathrm {d} Q} {mathrm {d} x}}}$

nerede ${displaystyle q}$ kirişe uygulanan yükün yoğunluğu, elimizde

${displaystyle {egin {align} & left ({frac {2D ^ {mathrm {face}}} {S ^ {mathrm {core}}}} ight) {cfrac {mathrm {d} ^ {4} w} {mathrm { d} x ^ {4}}} - sol (1+ {frac {2D ^ {mathrm {face}}} {D ^ {mathrm {beam}}}} ight) {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}} = {frac {M} {D ^ {mathrm {beam}}}} - {cfrac {q} {S ^ {mathrm {core}}}} & left ({frac {D ^ {mathrm {beam}}} {S ^ {mathrm {core}}}} ight) {cfrac {mathrm {d} ^ {3} w_ {s}} {mathrm {d} x ^ { 3}}} - sol (1+ {frac {D ^ {mathrm {beam}}} {2D ^ {mathrm {face}}}} ight) {cfrac {mathrm {d} w_ {s}} {mathrm {d } x}} = - sol ({cfrac {D ^ {mathrm {beam}}} {2D ^ {mathrm {face}}}} ight) {frac {Q} {S ^ {mathrm {core}}}}, son {hizalı}}}$

Uygulanan yük ve uygulanan eğilme momenti ve yer değiştirme sınır koşulları verilen bu iki bağlı adi diferansiyel denklem sistemini çözmek için çeşitli teknikler kullanılabilir.

Sıcaklığa bağlı alternatif yönetim denklemleri formu

Her bir kısmi kesitin karşıladığını varsayarsak Bernoulli'nin hipotezi, deforme olmuş sandviç kiriş elemanı üzerindeki kuvvetlerin ve momentlerin dengesi, sandviç kirişin bükülme denklemini çıkarmak için kullanılabilir.

Şekil 1 - Saptırılmış bir sandviç kirişin, saptırılmamış kesite kıyasla sıcaklık yükü ve yükü altında dengelenmesi

Kirişin ve enine kesitin gerilme sonuçları ve karşılık gelen deformasyonları Şekil 1'de görülebilir. Aşağıdaki ilişkiler teorisi kullanılarak türetilebilir. doğrusal esneklik:^[3][4]

${displaystyle {egin {align} M ^ {mathrm {core}} & = D ^ {mathrm {beam}} left ({cfrac {mathrm {d} gamma _ {2}} {mathrm {d} x}} + vartheta ight) = D ^ {mathrm {ışın}} sol ({cfrac {mathrm {d} gamma} {mathrm {d} x}} - {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}} + vartheta ight) M ^ {mathrm {face}} & = - D ^ {mathrm {face}} {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}} Q ^ {mathrm {core}} & = S ^ {mathrm {core}} gamma Q ^ {mathrm {face}} & = - D ^ {mathrm {face}} {cfrac {mathrm { d} ^ {3} w} {mathrm {d} x ^ {3}}} end {hizalı}},}$

nerede

${displaystyle w,}$	kirişin enine yer değiştirmesi
${görüntü stili gama,}$	Sandviçteki ortalama kayma gerilimi	${displaystyle gama = gama _ {1} + gama _ {2},}$
${displaystyle gama _ {1},}$	Yüz sayfalarının dönüşü	${displaystyle gamma _ {1} = {cfrac {mathrm {d} w} {mathrm {d} x}},}$
${displaystyle gama _ {2},}$	Çekirdekte kayma gerilmesi
${displaystyle M ^ {mathrm {çekirdek}},}$	Çekirdekte bükülme momenti
${displaystyle D ^ {mathrm {ışın}},}$	Sandviç kirişin bükülme sertliği
${displaystyle M ^ {mathrm {face}},}$	Yüz sayfalarında bükülme anı
${displaystyle D ^ {mathrm {face}},}$	Yüz sayfalarının bükülme sertliği
${displaystyle Q ^ {mathrm {çekirdek}},}$	Çekirdekteki kesme kuvveti
${displaystyle Q ^ {mathrm {face}},}$	Yüzey sayfalarındaki kesme kuvveti
${displaystyle S ^ {mathrm {çekirdek}},}$	Çekirdeğin kayma sertliği
${displaystyle vartheta,}$	Sıcaklık düşüşünün bir sonucu olarak ek eğilme	${displaystyle vartheta = {frac {alfa (T_ {o} -T_ {u})} {e}},}$
${görüntü stili alfa,}$	Sıcaklık katsayısı dönüşümlerin genişlemesinin

Yüzey tabakaları ve çekirdek için denklemlerin üst üste gelmesi, toplam kesme kuvveti için aşağıdaki denklemlere yol açar ${displaystyle Q}$ ve toplam eğilme momenti ${displaystyle M}$:

${displaystyle {egin {alignat} {3} & S ^ {mathrm {core}} gamma -D ^ {mathrm {face}} {cfrac {mathrm {d} ^ {3} w} {mathrm {d} x ^ {3 }}} = Q & quad quad & (1) & D ^ {mathrm {ışın}} left ({cfrac {mathrm {d} gamma} {mathrm {d} x}} + vartheta ight) -left (D ^ {mathrm { ışın}} + D ^ {mathrm {face}} ight) {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}} = M & quad quad & (2), end {alignat }}}$

Yukarıdakileri alternatif olarak çözülebilecek iki denklem olarak ifade edebiliriz ${displaystyle w}$ ve ${displaystyle gamma}$yani

${displaystyle {egin {align} & left ({frac {D ^ {mathrm {face}}} {S ^ {mathrm {core}}}} ight) {cfrac {mathrm {d} ^ {4} w} {mathrm { d} x ^ {4}}} - sol (1+ {frac {D ^ {mathrm {face}}} {D ^ {mathrm {beam}}}} ight) {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}} = {frac {M} {D ^ {mathrm {beam}}}} - {cfrac {q} {S ^ {mathrm {core}}}} - vartheta & left ({frac {D ^ {mathrm {beam}}} {S ^ {mathrm {core}}}} ight) {cfrac {mathrm {d} ^ {2} gamma} {mathrm {d} x ^ {2 }}} - sol (1+ {frac {D ^ {mathrm {beam}}} {D ^ {mathrm {face}}}} ight) gamma = -left ({cfrac {D ^ {mathrm {beam}}} {D ^ {mathrm {face}}}} ight) {frac {Q} {S ^ {mathrm {core}}}}, end {align}}}$