Öteleme simetri - Translational symmetry

Translasyonel değişmez fonksiyonlar için

{ displaystyle f: mathbb {R} ^ {2} rightarrow mathbb {R}}

bu

{ Displaystyle f (A) = f (A + t)}

. Lebesgue ölçümü böyle bir işleve bir örnektir.

İçinde geometri, için Çevirmek geometrik bir şekil onu bir yerden başka bir yere döndürmeden hareket ettirmektir. Bir çeviri bir şeyi "kaydırır" a: T_a(p) = p + a.

İçinde fizik ve matematik, sürekli öteleme simetri ... değişmezlik herhangi bir çeviri altındaki bir denklem sistemi. Ayrık çeviri simetri altında değişmez ayrık tercüme.

Benzer şekilde bir Şebeke Bir bir fonksiyona göre çeviri açısından değişmez olduğu söylenir çeviri operatörü ${ displaystyle T _ { delta}}$ uyguladıktan sonra sonuç Bir argüman işlevi çevrilirse değişmez.Daha doğrusu bunu tutmalıdır

{ displaystyle forall delta Af = A (T _ { delta} f). ,}

Fizik kanunları uzayda farklı noktaları ayırt edemiyorlarsa, bir uzaysal öteleme altında öteleme açısından değişmezler. Göre Noether teoremi, fiziksel bir sistemin uzay öteleme simetrisi, momentum koruma yasası.

Bir nesnenin öteleme simetrisi, belirli bir çevirinin nesneyi değiştirmediği anlamına gelir. Belirli bir nesne için, bunun geçerli olduğu çeviriler bir grup oluşturur, simetri grubu nesnenin veya nesnenin daha fazla çeşit simetriye sahip olması durumunda, simetri grubunun bir alt grubu.

Geometri

Öteleme değişmezliği, en azından bir yönde nesnenin sonsuz olduğunu ifade eder: herhangi bir nokta için p, öteleme simetrisi nedeniyle aynı özelliklere sahip noktalar kümesi sonsuz ayrık kümeyi oluşturur {p + na | n ∈ Z} = p + Z a. Temel alanlar örn. H + [0, 1] a herhangi hiper düzlem H hangisi için a bağımsız bir yönü vardır. Bu 1D a'da çizgi segmenti, 2B'de sonsuz bir şerit ve 3B'de bir levha, öyle ki bir taraftan başlayan vektör diğer tarafta biter. Şerit ve levhanın vektöre dik olması gerekmediğine, dolayısıyla vektörün uzunluğundan daha dar veya daha ince olabileceğine dikkat edin.

1'den büyük boyuta sahip alanlarda, çoklu öteleme simetrisi olabilir. Her set için k bağımsız öteleme vektörleri, simetri grubu izomorfiktir. Z^k. Özellikle, çokluk boyuta eşit olabilir. Bu, nesnenin her yönde sonsuz olduğu anlamına gelir. Bu durumda, tüm çevirilerin kümesi bir kafes. Farklı öteleme vektörleri tabanları aynı kafesi oluşturur ancak ve ancak biri diğerine bir tamsayı katsayıları matrisi ile dönüştürülür. mutlak değer of belirleyici 1. mutlak değer of belirleyici bir dizi öteleme vektörü tarafından oluşturulan matrisin, n-boyutlu paralel yüzlü set alt eğilimleri (aynı zamanda covolume kafesin). Bu paralel yüzlü bir temel bölge simetri: üzerinde veya içinde herhangi bir desen mümkündür ve bu, tüm nesneyi tanımlar. Ayrıca bakınız kafes (grup).

Örneğin. yerine 2B'de a ve b biz de alabiliriz a ve a − bvb. Genel olarak 2D'de, pa + qb ve ra + sb tamsayılar için p, q, r, ve s öyle ki ps − qr 1 veya -1'dir. Bu, a ve b kendileri diğer iki vektörün tamsayı doğrusal kombinasyonlarıdır. Değilse, diğer çiftle tüm çeviriler mümkün değildir. Her bir çift a, b hepsi aynı alana sahip bir paralelkenarı tanımlar, Çapraz ürün. Bir paralelkenar tüm nesneyi tam olarak tanımlar. Daha fazla simetri olmaksızın, bu paralelkenar temel bir alandır. Vektörler a ve b karmaşık sayılarla temsil edilebilir. Verilen iki kafes noktası için, bir kafes şekli oluşturmak için üçüncü bir noktanın seçimlerinin denkliği, modüler grup, görmek kafes (grup).

Alternatif olarak, ör. bir dikdörtgen, bir öteleme vektörüne paralel iki kenarı varsa, öteleme vektörleri dik olmasa bile tüm nesneyi tanımlayabilirken, dikdörtgenin bir tarafından başlayan öteki çevirme vektörü karşı kenarda biter.

Örneğin, üzerlerinde asimetrik bir desen bulunan eşit dikdörtgen karolara sahip, sıralar halinde aynı yönlendirilmiş, her satır için bir döşemenin yarısı değil, bir kısmının kayması, her zaman aynı olan bir döşeme düşünün. sadece öteleme simetrisi, duvar kağıdı grubu p1 (aynısı vardiya olmadan da geçerlidir). Elimizdeki karo üzerindeki desenin ikinci sırasının dönme simetrisi ile p2 (karo üzerindeki desenin daha fazla simetrisi, karoların düzenlenmesinden dolayı bunu değiştirmez). Dikdörtgen, bir döşemenin bir kısmı ve bir diğerinin bir kısmından oluşan bir paralelkenardan temel alan (veya ikisinin kümesi) olarak düşünülmesi daha uygun bir birimdir.

2D'de, herhangi bir uzunluktaki vektörler için bir yönde öteleme simetrisi olabilir. Aynı yönde olmayan bir satır tüm nesneyi tam olarak tanımlar. Benzer şekilde, 3B'de herhangi bir uzunluktaki vektörler için bir veya iki yönde öteleme simetrisi olabilir. Bir uçak (enine kesit ) veya satır, sırasıyla tüm nesneyi tam olarak tanımlar.

Örnekler

Metin

2D nr'de tek yönde öteleme simetrisi örneği. 1):

Not: Örnek, dönme simetrisinin bir örneği değildir.

örnek örnek örnek örnek örnek örnek örnek

(bir satır aşağı ve iki konum sağa hareket ettirerek aynısını elde edin) ve 2B'de iki yönde öteleme simetrisi (duvar kağıdı grubu p1):

* |* |* |* | |* |* |* |*|* |* |* |** |* |* |* | |* |* |* |*|* |* |* |*

(üç konumu sağa veya bir satır aşağı ve iki konumu sağa hareket ettirerek aynı şeyi elde edin; sonuç olarak aynı hareket eden üç satırı da aşağı alın).

Her iki durumda da ne ayna görüntüsü simetrisi ne de dönme simetrisi vardır.

Belirli bir alan çevirisi için, nesnelerin karşılık gelen çevirisini düşünebiliriz. En azından karşılık gelen öteleme simetrisine sahip nesneler, sabit noktalar ikincisi, varolmayan uzay çevirisinin sabit noktaları ile karıştırılmamalıdır.

Matematik

Gerçek sayılar üzerindeki ilişkiden küçük, çeviri sırasında değişmez.

Fourier dönüşümü mutlak değerlerin müteakip hesaplanmasıyla, çeviriyle değişmeyen bir operatördür.
A'dan eşleme Polinom fonksiyonu polinom derecesine göre öteleme değişmez bir işlevseldir.
Lebesgue ölçümü bir tamamlayınız çeviri değişmez ölçü.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Stenger, Victor J. (2000) ve MahouShiroUSA (2007). Zamansız Gerçeklik. Prometheus Kitapları. Özellikle chpt. 12. Teknik Olmayan.