Ağırlıklı aritmetik ortalama - Weighted arithmetic mean

ağırlıklı aritmetik ortalama sıradan bir şeye benzer aritmetik ortalama (en yaygın türü ortalama ), son ortalamaya eşit katkıda bulunan veri noktalarının her biri yerine, bazı veri noktalarının diğerlerinden daha fazla katkıda bulunması dışında. Ağırlıklı ortalama kavramı, tanımlayıcı istatistikler ve ayrıca matematiğin diğer bazı alanlarında daha genel bir biçimde ortaya çıkar.

Tüm ağırlıklar eşitse, ağırlıklı ortalama ile aynıdır. aritmetik ortalama. Ağırlıklı araçlar genellikle aritmetik araçlara benzer bir şekilde davranırken, örneğin aşağıdaki gibi, birkaç mantık dışı özelliğe sahiptirler. Simpson paradoksu.

Örnekler

Temel örnek

Biri 20 öğrencili ve diğeri 30 öğrencili iki okul sınıfı verildiğinde, bir testteki her sınıftaki notlar şunlardı:

Sabah sınıfı = 62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98

Öğleden sonra sınıfı = 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93 , 94, 95, 96, 97, 98, 99

Sabah dersi için ortalama 80 ve öğleden sonra dersinin ortalaması 90'dır. İki ortalamanın ağırlıksız ortalaması 85'tir. Ancak bu, her sınıftaki öğrenci sayısındaki farkı hesaba katmaz (20'ye karşı 30); dolayısıyla 85 değeri ortalama öğrenci notunu yansıtmaz (sınıftan bağımsız). Ortalama öğrenci notu, sınıflara bakılmaksızın tüm notların ortalaması alınarak elde edilebilir (tüm notları toplayın ve toplam öğrenci sayısına bölün):

${ displaystyle { bar {x}} = { frac {4300} {50}} = 86.}$

Ya da bu, sınıf ortalamasının her sınıftaki öğrenci sayısına göre ağırlıklandırılmasıyla başarılabilir. Büyük sınıfa daha fazla "ağırlık" verilir:

${ displaystyle { bar {x}} = { frac {(20 times 80) + (30 times 90)} {20 + 30}} = 86.}$

Böylece, ağırlıklı ortalama, her öğrencinin puanını bilmeden ortalama öğrenci notunu bulmayı mümkün kılar. Sadece sınıfın araçları ve her sınıftaki öğrenci sayısı gereklidir.

Dışbükey kombinasyon örneği

Sadece akraba ağırlıklar ilgilidir, herhangi bir ağırlıklı ortalama, toplamı bire kadar olan katsayılar kullanılarak ifade edilebilir. Böyle doğrusal bir kombinasyona denir dışbükey kombinasyon.

Önceki örneği kullanarak, aşağıdaki ağırlıkları elde ederiz:

${ displaystyle { frac {20} {20 + 30}} = 0,4}$

${ displaystyle { frac {30} {20 + 30}} = 0.6}$

Ardından ağırlıkları şu şekilde uygulayın:

${ displaystyle { bar {x}} = (0.4 times 80) + (0.6 times 90) = 86.}$

Matematiksel tanım

Resmi olarak, boş olmayan sonlu bir değerin ağırlıklı ortalaması çoklu set verilerin ${ displaystyle {x_ {1}, x_ {2}, noktalar, x_ {n} },}$karşılık gelen negatif olmayan ağırlıklar ${ displaystyle {w_ {1}, w_ {2}, noktalar, w_ {n} }}$ dır-dir

${ displaystyle { bar {x}} = { frac { sum limits _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i}} { sum limits _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}},}$

şuna genişler:

${ displaystyle { bar {x}} = { frac {w_ {1} x_ {1} + w_ {2} x_ {2} + cdots + w_ {n} x_ {n}} {w_ {1} + w_ {2} + cdots + w_ {n}}}.}$

Bu nedenle, yüksek ağırlıklı veri öğeleri, düşük ağırlıklı öğelerden daha fazla ağırlıklı ortalamaya katkıda bulunur. Ağırlıklar negatif olamaz. Bazıları sıfır olabilir, ancak hepsi değil (sıfıra bölmeye izin verilmediğinden).

Formüller, ağırlıklar toplanacak şekilde normalleştirildiğinde basitleştirilir. ${ displaystyle 1}$yani:

${ displaystyle toplamı _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} '} = 1}$.

Bu tür normalleştirilmiş ağırlıklar için ağırlıklı ortalama şu şekildedir:

${ displaystyle { bar {x}} = toplam _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} 'x_ {i}}}$.

Orijinal ağırlıklarda aşağıdaki dönüşümü yaparak ağırlıkların her zaman normalleştirilebileceğini unutmayın:

${ displaystyle w_ {i} '= { frac {w_ {i}} { toplam _ {j = 1} ^ {n} {w_ {j}}}}}$.

Normalleştirilmiş ağırlığın kullanılması, orijinal ağırlıkların kullanılmasıyla aynı sonuçları verir:

${ displaystyle { begin {align} { bar {x}} & = sum _ {i = 1} ^ {n} w '_ {i} x_ {i} = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {w_ {i}} { sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j}}} x_ {i} = { frac { sum _ {i = 1} ^ { n} w_ {i} x_ {i}} { sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j}}} & = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}. end {hizalı}}}$

sıradan ortalama ${ displaystyle { frac {1} {n}} toplam _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}}}$ tüm verilerin eşit ağırlıklara sahip olduğu ağırlıklı ortalamanın özel bir durumudur.

ağırlıklı ortalamanın standart hatası (birim girdi varyansları), ${ displaystyle sigma _ { bar {x}}}$ aracılığıyla gösterilebilir belirsizlik yayılımı olmak:

${ displaystyle sigma _ { çubuğu {x}} = sol ({ sqrt { toplamı _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i}}}} sağ) ^ {- 1}}$

İstatistiksel özellikler

Ağırlıklı örnek anlamı, ${ displaystyle { çubuğu {x}}}$, kendisi rastgele bir değişkendir. Beklenen değeri ve standart sapması, gözlemlerin beklenen değerleri ve standart sapmaları ile aşağıdaki gibi ilişkilidir. Basit olması için, normalleştirilmiş ağırlıkları varsayıyoruz (ağırlıklar bire eşittir).

Gözlemlerin beklenen değerleri varsa

${ displaystyle E (x_ {i}) = { mu _ {i}},}$

ağırlıklı örnek ortalamasının beklentisi vardır

${ displaystyle E ({ bar {x}}) = toplam _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} ' mu _ {i}}.}$

Özellikle, araçlar eşitse, ${ displaystyle mu _ {i} = mu}$, o zaman ağırlıklı örnek ortalamasının beklentisi bu değer olacaktır,

${ displaystyle E ({ bar {x}}) = mu.}$

Varyanslarla ilintisiz gözlemler için ${ displaystyle sigma _ {i} ^ {2}}$ağırlıklı örnek ortalamasının varyansı^{[kaynak belirtilmeli ]}

${ displaystyle sigma _ { bar {x}} ^ {2} = toplamı _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} '^ {2} sigma _ {i} ^ {2} }}$

kimin karekökü ${ displaystyle sigma _ { bar {x}}}$ denilebilir ağırlıklı ortalamanın standart hatası (genel durum).^{[kaynak belirtilmeli ]}

Sonuç olarak, tüm gözlemler eşit varyansa sahipse, ${ displaystyle sigma _ {i} ^ {2} = sigma _ {0} ^ {2}}$ağırlıklı örnek ortalamasının varyansı olacaktır

${ displaystyle sigma _ { bar {x}} ^ {2} = sigma _ {0} ^ {2} toplamı _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} '^ {2} },}$

nerede ${ displaystyle 1 / n leq toplam _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} '^ {2}} leq 1}$. Varyans maksimum değerine ulaşır, ${ displaystyle sigma _ {0} ^ {2}}$, biri hariç tüm ağırlıklar sıfır olduğunda. Minimum değeri, tüm ağırlıklar eşit olduğunda (yani ağırlıksız ortalama) bulunur, bu durumda elimizde ${ displaystyle sigma _ { bar {x}} = sigma _ {0} / { sqrt {n}}}$yani yozlaşarak ortalamanın standart hatası, kare.

Normalize edilmemiş ağırlıkların her zaman normalleştirilmiş ağırlıklara dönüştürülebileceğinden, bu bölümdeki tüm formüllerin tümü değiştirilerek normalize edilmemiş ağırlıklara uyarlanabileceğini unutmayın. ${ displaystyle w_ {i} '= { frac {w_ {i}} { toplam _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i}}}}}$.

Varyans ağırlıkları

Her bir öğenin kendisine ait olduğu bir veri listesinin ağırlıklı ortalaması için ${ displaystyle x_ {i}}$ potansiyel olarak farklı bir olasılık dağılımı bilinen varyans ${ displaystyle sigma _ {i} ^ {2}}$, ağırlıklar için olası bir seçenek, karşılıklı varyans tarafından verilir:

${ displaystyle w_ {i} = { frac {1} { sigma _ {i} ^ {2}}}.}$

Bu durumda ağırlıklı ortalama:

${ displaystyle { bar {x}} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} left ({ dfrac {x_ {i}} { sigma _ {i} ^ {2} }} sağ)} { toplam _ {i = 1} ^ {n} { dfrac {1} { sigma _ {i} ^ {2}}}}},}$

ve ağırlıklı ortalamanın standart hatası (varyans ağırlıklarıyla) dır-dir:

${ displaystyle sigma _ { bar {x}} = { sqrt { frac {1} { sum _ {i = 1} ^ {n} sigma _ {i} ^ {- 2}}}} ,}$

Bunun azaldığına dikkat edin ${ displaystyle sigma _ { bar {x}} ^ {2} = sigma _ {0} ^ {2} / n}$ ne zaman ${ displaystyle sigma _ {i} = sigma _ {0}}$Bir önceki bölümdeki genel formülün özel bir halidir.

${ displaystyle sigma _ { bar {x}} ^ {2} = toplamı _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} '^ {2} sigma _ {i} ^ {2} } = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} { sigma _ {i} ^ {- 4} sigma _ {i} ^ {2}}} { left ( sum _ { i = 1} ^ {n} sigma _ {i} ^ {- 2} sağ) ^ {2}}}.}$

Yukarıdaki denklemler, aşağıdakileri elde etmek için birleştirilebilir:

${ displaystyle { bar {x}} = sigma _ { bar {x}} ^ {2} sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {x_ {i}} { sigma _ {i} ^ {2}}}.}$

Bu seçimin önemi, bu ağırlıklı ortalamanın, maksimum olasılık tahmincisi bağımsız oldukları varsayımı altında olasılık dağılımlarının ortalamasının normal dağılım aynı anlamla.

Aşırı veya yetersiz dağılım için düzeltme

Ağırlıklı ortalamalar tipik olarak teorik olarak oluşturulan verilerden ziyade geçmiş verilerin ağırlıklı ortalamasını bulmak için kullanılır. Bu durumda, her veri noktasının varyansında bazı hatalar olacaktır. Tipik olarak deneysel hatalar, deneycinin her veri noktasının varyansını hesaplarken tüm hata kaynaklarını hesaba katmaması nedeniyle hafife alınabilir. Bu durumda, ağırlıklı ortalamadaki varyans, şu gerçeği hesaba katmak için düzeltilmelidir: ${ displaystyle chi ^ {2}}$ çok geniş. Yapılması gereken düzeltme

${ displaystyle { hat { sigma}} _ { bar {x}} ^ {2} = sigma _ { bar {x}} ^ {2} chi _ { nu} ^ {2}}$

nerede ${ displaystyle chi _ { nu} ^ {2}}$ ... azaltılmış ki-kare:

${ displaystyle chi _ { nu} ^ {2} = { frac {1} {(n-1)}} toplamı _ {i = 1} ^ {n} { frac {(x_ {i} - { bar {x}}) ^ {2}} { sigma _ {i} ^ {2}}};}$

Karekök ${ displaystyle { hat { sigma}} _ { bar {x}}}$ denilebilir ağırlıklı ortalamanın standart hatası (varyans ağırlıkları, ölçek düzeltilmiş).

Tüm veri varyansları eşit olduğunda, ${ displaystyle sigma _ {i} = sigma _ {0}}$, ağırlıklı ortalama varyansta birbirini götürürler, ${ displaystyle sigma _ { bar {x}} ^ {2}}$, yine ortalamanın standart hatası (kare), ${ displaystyle sigma _ { bar {x}} ^ {2} = sigma ^ {2} / n}$açısından formüle edilmiştir Numune standart sapması (kare),

${ displaystyle sigma ^ {2} = { frac { toplamı _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - { çubuğu {x}}) ^ {2}} {n-1} }.}$

Önyükleme doğrulaması

Tarafından gösterilmiştir önyükleme Aşağıdakilerin ortalamanın standart hatasının karesi için doğru bir tahmin olduğu yöntemler (genel durum):^[1]

${ displaystyle sigma _ { bar {x}} ^ {2} = { frac {n} {(n-1) w_ {s} ^ {2}}} sol [ toplamı (w_ {i} x_ {i} -w_ {s} { bar {x}}) ^ {2} -2 { bar {x}} toplamı (w_ {i} -w_ {s}) (w_ {i} x_ { i} -w_ {s} { bar {x}}) + { bar {x}} ^ {2} sum (w_ {i} -w_ {s}) ^ {2} sağ]}$

nerede ${ displaystyle w_ {s} = toplam w_ {i}}$. Daha fazla basitleştirme yol açar

${ displaystyle sigma _ { bar {x}} ^ {2} = { frac {n} {(n-1) w_ {s} ^ {2}}} toplamı w_ {i} ^ {2} (x_ {i} - { çubuğu {x}}) ^ {2}}$

Ağırlıklı örnek varyansı

Tipik olarak bir ortalama hesaplandığında, şunu bilmek önemlidir: varyans ve standart sapma bu demek oluyor. Ağırlıklı bir ortalama ${ displaystyle mu ^ {*}}$ kullanıldığında, ağırlıklı örneklemin varyansı ağırlıksız örneğin varyansından farklıdır.

önyargılı ağırlıklı örnek varyans ${ displaystyle { hat { sigma}} _ { mathrm {w}} ^ {2}}$ normale benzer şekilde tanımlanır önyargılı örnek varyans ${ displaystyle { hat { sigma}} ^ {2}}$:

${ displaystyle { begin {align} { hat { sigma}} ^ {2} & = { frac { sum limits _ {i = 1} ^ {N} left (x_ {i} - mu right) ^ {2}} {N}} { hat { sigma}} _ { mathrm {w}} ^ {2} & = { frac { sum limits _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} left (x_ {i} - mu ^ {*} sağ) ^ {2}} {V_ {1}}} end {hizalı}}}$

nerede ${ displaystyle V_ {1} = toplam _ {i = 1} ^ {N} w_ {i}}$, hangisi ${ displaystyle N}$ normalleştirilmiş ağırlıklar için. Ağırlıklar ise frekans ağırlıkları (ve dolayısıyla rastgele değişkenlerdir), gösterilebilir ${ displaystyle { hat { sigma}} _ { mathrm {w}} ^ {2}}$ maksimum olasılık tahmin edicisidir ${ displaystyle sigma ^ {2}}$ için iid Gauss gözlemleri.

Küçük numuneler için gelenekseldir. tarafsız tahminci popülasyon varyansı için. Normal ağırlıksız örneklerde, N paydada (örneklem büyüklüğüne karşılık gelir) şu şekilde değiştirilir: N - 1 (bkz. Bessel düzeltmesi ). Ağırlıklı ortamda, aslında iki farklı yansız tahminci vardır, biri frekans ağırlıkları ve durum için başka güvenilirlik ağırlıkları.

Frekans ağırlıkları

Ağırlıklar ise frekans ağırlıkları^{[tanım gerekli ]}, o zaman tarafsız tahminci:

${ displaystyle { begin {align} s ^ {2} & = { frac { sum limits _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} left (x_ {i} - mu ^ {*} sağ) ^ {2}} {V_ {1} -1}} uç {hizalı}}}$

Bu, Bessel'in frekans ağırlıkları düzeltmesini etkili bir şekilde uygular.

Örneğin, eğer değerler ${ displaystyle {2,2,4,5,5,5 }}$ aynı dağılımdan alınırsa, bu seti ağırlıksız bir örnek olarak değerlendirebiliriz veya onu ağırlıklı örnek olarak değerlendirebiliriz ${ displaystyle {2,4,5 }}$ karşılık gelen ağırlıklarla ${ displaystyle {2,1,3 }}$ve her iki şekilde de aynı sonucu elde ederiz.

Frekans ağırlıkları ise ${ displaystyle {w_ {i} }}$ 1'e normalleştirilir, sonra Bessel düzeltmesinden sonra doğru ifade

${ displaystyle { begin {align} s ^ {2} & = { frac {V_ {1}} {V_ {1} -1}} sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i } left (x_ {i} - mu ^ {*} sağ) ^ {2} end {hizalı}}}$

toplam örnek sayısı nerede ${ displaystyle V_ {1}}$ (değil ${ displaystyle N}$). Her durumda, tarafsız bir düzeltme elde etmek için toplam numune sayısı hakkındaki bilgiler gereklidir, ${ displaystyle w_ {i}}$ frekans ağırlığı dışında farklı bir anlama sahiptir.

Tahmin edicinin, ancak ağırlıklar olmadığında tarafsız olabileceğini unutmayın. standartlaştırılmış ne de normalleştirilmiş, bu süreçler verilerin ortalamasını ve varyansını değiştirir ve böylece bir taban oran kaybı (Bessel'in düzeltmesi için bir gereklilik olan nüfus sayımı).

Güvenilirlik ağırlıkları

Ağırlıklar rastgele değilse (güvenilirlik ağırlıkları^{[tanım gerekli ]}), tarafsız bir tahminci elde etmek için bir düzeltme faktörü belirleyebiliriz. Her bir rastgele değişkenin ortalama ile aynı dağılımdan örneklendiğini varsayarsak ${ displaystyle mu}$ ve gerçek varyans ${ displaystyle sigma _ { text {gerçek}} ^ {2}}$, sahip olduğumuz beklentileri alarak,

${ displaystyle { begin {align} operatorname {E} [{ hat { sigma}} ^ {2}] & = { frac { sum limits _ {i = 1} ^ {N} operatorname {E} [(x_ {i} - mu) ^ {2}]} {N}} & = operatöradı {E} [(X- operatöradı {E} [X]) ^ {2}] - { frac {1} {N}} operatöradı {E} [(X- operatöradı {E} [X]) ^ {2}] & = sol ({ frac {N-1} { N}} sağ) sigma _ { text {gerçek}} ^ {2} operatör adı {E} [{ hat { sigma}} _ { mathrm {w}} ^ {2}] & = { frac { sum limits _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} operatorname {E} [(x_ {i} - mu ^ {*}) ^ {2}]} {V_ {1}}} & = operatöradı {E} [(X- operatöradı {E} [X]) ^ {2}] - { frac {V_ {2}} {V_ {1} ^ {2 }}} operatöradı {E} [(X- operatöradı {E} [X]) ^ {2}] & = left (1 - { frac {V_ {2}} {V_ {1} ^ {2}}} sağ) sigma _ { text {gerçek}} ^ {2} end {hizalı}}}$

nerede ${ displaystyle V_ {2} = toplam _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} ^ {2}}$. Bu nedenle, tahmincimizdeki önyargı ${ displaystyle sol (1 - { frac {V_ {2}} {V_ {1} ^ {2}}} sağ)}$benzer ${ displaystyle sol ({ frac {N-1} {N}} sağ)}$ ağırlıksız tahmin edicideki sapma (ayrıca dikkat edin ${ displaystyle V_ {1} ^ {2} / V_ {2} = N_ {eff}}$ ... etkili örnek boyutu ). Bu, tahmin edicimizi çözmek için önceden bölümlememiz gerektiği anlamına gelir ${ displaystyle 1- sol (V_ {2} / V_ {1} ^ {2} sağ)}$tahmin edilen varyansın beklenen değerinin, örnekleme dağılımının gerçek varyansına eşit olmasını sağlamak.

Örnek varyansının nihai tarafsız tahmini şudur:

${ displaystyle { begin {align} s _ { mathrm {w}} ^ {2} & = { frac {{ hat { sigma}} _ { mathrm {w}} ^ {2}} { 1- (V_ {2} / V_ {1} ^ {2})}} & = { frac { sum limits _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} (x_ {i} - mu ^ {*}) ^ {2}} {V_ {1} - (V_ {2} / V_ {1})}} end {hizalı}}}$,^[2]

nerede ${ displaystyle operatorname {E} [s _ { mathrm {w}} ^ {2}] = sigma _ { text {gerçek}} ^ {2}}$.

Ağırlıklı, tarafsız örnek varyansının serbestlik dereceleri buna göre değişir. N - 1'den 0'a.

Standart sapma, yukarıdaki varyansın kareköküdür.

Bir yan not olarak, ağırlıklı örnek varyansını hesaplamak için başka yaklaşımlar açıklanmıştır.^[3]

Ağırlıklı örnek kovaryansı

Ağırlıklı bir örnekte, her satır vektörü ${ displaystyle textstyle { textbf {x}} _ {i}}$ (her biri için tek bir gözlem grubu) K rastgele değişkenler) bir ağırlık atanır ${ displaystyle textstyle w_ {i} geq 0}$.

Sonra ağırlıklı ortalama vektör ${ displaystyle textstyle mathbf { mu ^ {*}}}$ tarafından verilir

${ displaystyle mathbf { mu ^ {*}} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} mathbf {x} _ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i}}}.}$

Ve ağırlıklı kovaryans matrisi şu şekilde verilir:^[4]

${ displaystyle { begin {align} mathbf {C} & = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} sağ) ^ {T} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} sağ)} {V_ {1}}}. end {hizalı}}}$

Ağırlıklı örnek varyansına benzer şekilde, ağırlıkların türüne bağlı olarak iki farklı yansız tahminci vardır.

Frekans ağırlıkları

Ağırlıklar ise frekans ağırlıkları, tarafsız kovaryans matrisinin ağırlıklı tahmini ${ displaystyle textstyle mathbf {C}}$, Bessel'in düzeltmesiyle verilir:^[4]

${ displaystyle { begin {align} mathbf {C} & = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} sağ) ^ {T} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} sağ)} {V_ {1} -1}}. end {hizalı} }}$

Bu tahmincinin yalnızca ağırlıklar olmadığında tarafsız olabileceğini unutmayın. standartlaştırılmış ne de normalleştirilmiş, bu süreçler verilerin ortalamasını ve varyansını değiştirir ve böylece bir taban oran kaybı (Bessel'in düzeltmesi için bir gereklilik olan nüfus sayımı).

Güvenilirlik ağırlıkları

Bu durumuda güvenilirlik ağırlıklarıağırlıklar normalleştirilmiş:

${ displaystyle V_ {1} = toplam _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} = 1.}$

(Değilse, hesaplamadan önce normalize etmek için ağırlıkları toplamlarına bölün. ${ displaystyle V_ {1}}$:

${ displaystyle w_ {i} '= { frac {w_ {i}} { toplam _ {i = 1} ^ {N} w_ {i}}}}$

Sonra ağırlıklı ortalama vektör ${ displaystyle textstyle mathbf { mu ^ {*}}}$ basitleştirilebilir

${ displaystyle mathbf { mu ^ {*}} = toplam _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} mathbf {x} _ {i}.}$

ve tarafsız kovaryans matrisinin ağırlıklı tahmini ${ displaystyle textstyle mathbf {C}}$ dır-dir:^[5]

${ displaystyle { begin {align} mathbf {C} & = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i}} { left ( sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} sağ) ^ {2} - toplam _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} ^ {2}}} toplam _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} sağ) ^ {T} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} sağ ) & = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} sağ) ^ {T } left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} sağ)} {V_ {1} - (V_ {2} / V_ {1})}}. end {hizalı}} }$

Buradaki mantık önceki bölümdekiyle aynıdır.

Ağırlıkların normalize edildiğini varsaydığımız için, ${ displaystyle V_ {1} = 1}$ ve bu şu şekilde azalır:

${ displaystyle mathbf {C} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} sol ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} sağ ) ^ {T} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} sağ)} {1-V_ {2}}}.}$

Tüm ağırlıklar aynıysa, yani ${ displaystyle textstyle w_ {i} / V_ {1} = 1 / N}$, daha sonra ağırlıklı ortalama ve kovaryans, ağırlıksız örnek ortalamasına ve yukarıdaki kovaryansa indirgenir.

Vektör değerli tahminler

Yukarıdakiler, vektör değerli tahminlerin ortalamasını alma durumuna kolayca genelleşir. Örneğin, bir düzlemdeki konum tahminleri, bir yönde diğerine göre daha az kesinliğe sahip olabilir. Skaler durumda olduğu gibi, birden fazla tahminin ağırlıklı ortalaması bir maksimum olasılık tahmin. Sadece varyansı değiştiriyoruz ${ displaystyle sigma ^ {2}}$ tarafından kovaryans matrisi ${ displaystyle mathbf {C}}$ ve aritmetik ters tarafından matris tersi (her ikisi de aynı şekilde üst simge olarak gösterilir); ağırlık matrisi şunu okur:^[6]

${ displaystyle mathbf {W} _ {i} = mathbf {C} _ {i} ^ {- 1}.}$

Bu durumda ağırlıklı ortalama:

${ displaystyle { bar { mathbf {x}}} = mathbf {C} _ { bar { mathbf {x}}} left ( sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf { W} _ {i} mathbf {x} _ {i} sağ),}$

(nerede sipariş matris vektör çarpımı değil değişmeli ), ağırlıklı ortalamanın kovaryansı açısından:

${ displaystyle mathbf {C} _ { bar { mathbf {x}}} = sol ( toplamı _ {i = 1} ^ {n} mathbf {W} _ {i} sağ) ^ { -1},}$

Örneğin, ikinci bileşende yüksek varyanslı [1 0] ve birinci bileşende yüksek varyansa sahip [0 1] noktasının ağırlıklı ortalamasını düşünün. Sonra

${ displaystyle mathbf {x} _ {1}: = { begin {bmatrix} 1 & 0 end {bmatrix}} ^ { top}, qquad mathbf {C} _ {1}: = { begin { bmatrix} 1 ve 0 0 ve 100 end {bmatrix}}}$

${ displaystyle mathbf {x} _ {2}: = { begin {bmatrix} 0 & 1 end {bmatrix}} ^ { top}, qquad mathbf {C} _ {2}: = { begin { bmatrix} 100 ve 0 0 ve 1 end {bmatrix}}}$

o zaman ağırlıklı ortalama:

${ displaystyle { begin {align} { bar { mathbf {x}}} & = left ( mathbf {C} _ {1} ^ {- 1} + mathbf {C} _ {2} ^ {-1} sağ) ^ {- 1} left ( mathbf {C} _ {1} ^ {- 1} mathbf {x} _ {1} + mathbf {C} _ {2} ^ { -1} mathbf {x} _ {2} right) [5pt] & = { begin {bmatrix} 0.9901 & 0 0 & 0.9901 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 0.9901 0.9901 end {bmatrix}} end {hizalı}}}$

bu mantıklıdır: [1 0] tahmini ikinci bileşende "uyumludur" ve [0 1] tahmini birinci bileşende uyumludur, bu nedenle ağırlıklı ortalama [1 1] 'dir.

Korelasyonların muhasebesi

Genel durumda, varsayalım ki ${ displaystyle mathbf {X} = [x_ {1}, noktalar, x_ {n}] ^ {T}}$, ${ displaystyle mathbf {C}}$ ... kovaryans matrisi miktarları ilişkilendirmek ${ displaystyle x_ {i}}$, ${ displaystyle { çubuğu {x}}}$ tahmin edilecek ortak ortalamadır ve ${ displaystyle mathbf {J}}$ bir tasarım matrisi eşittir olanların vektörü ${ displaystyle [1, ..., 1] ^ {T}}$ (uzunluk ${ displaystyle n}$). Gauss-Markov teoremi minimum varyansa sahip ortalamanın tahmininin şu şekilde verildiğini belirtir:

${ displaystyle sigma _ { bar {x}} ^ {2} = ( mathbf {J} ^ {T} mathbf {W} mathbf {J}) ^ {- 1},}$

ve

${ displaystyle { bar {x}} = sigma _ { bar {x}} ^ {2} ( mathbf {J} ^ {T} mathbf {W} mathbf {X}),}$

nerede:

${ displaystyle mathbf {W} = mathbf {C} ^ {- 1}.}$

Etkileşim gücünün azalması

Bağımsız bir değişkenin zaman serisini düşünün ${ displaystyle x}$ ve bağımlı değişken ${ displaystyle y}$, ile ${ displaystyle n}$ farklı zamanlarda örneklenen gözlemler ${ displaystyle t_ {i}}$. Pek çok yaygın durumda, değeri ${ displaystyle y}$ zamanda ${ displaystyle t_ {i}}$ sadece bağlı değil ${ displaystyle x_ {i}}$ ama aynı zamanda geçmiş değerlerinde. Zamanla gözlemlerin ayrılması arttıkça bu bağımlılığın gücü genellikle azalır. Bu durumu modellemek için bağımsız değişkeni kayan ortalama ile değiştirebilir. ${ displaystyle z}$ pencere boyutu için ${ displaystyle m}$.

${ displaystyle z_ {k} = toplam _ {i = 1} ^ {m} w_ {i} x_ {k + 1-i}.}$

Katlanarak azalan ağırlıklar

Önceki bölümde açıklanan senaryoda, en sık etkileşim gücündeki azalma, negatif bir üstel yasaya uyar. Gözlemler eşit mesafeli zamanlarda örneklenirse, üstel azalma sabit bir kesirle azalmaya eşdeğerdir ${ displaystyle 0 < Delta <1}$ her adımda. Ayar ${ displaystyle w = 1- Delta}$ tanımlayabiliriz ${ displaystyle m}$ normalleştirilmiş ağırlıklar

${ displaystyle w_ {i} = { frac {w ^ {i-1}} {V_ {1}}},}$

nerede ${ displaystyle V_ {1}}$ normalize edilmemiş ağırlıkların toplamıdır. Bu durumda ${ displaystyle V_ {1}}$ basitçe

${ displaystyle V_ {1} = toplam _ {i = 1} ^ {m} {w ^ {i-1}} = { frac {1-w ^ {m}} {1-w}},}$

yaklaşan ${ displaystyle V_ {1} = 1 / (1-w)}$ büyük değerler için ${ displaystyle m}$.

Sönümleme sabiti ${ displaystyle w}$ etkileşim gücündeki gerçek azalmaya karşılık gelmelidir. Bu teorik değerlendirmelerle belirlenemiyorsa, katlanarak azalan ağırlıkların aşağıdaki özellikleri uygun bir seçim yapmak için kullanışlıdır: adımda ${ displaystyle (1-w) ^ {- 1}}$ağırlık yaklaşık olarak eşittir ${ displaystyle {e ^ {- 1}} (1-w) = 0,39 (1-w)}$kuyruk alanı değeri ${ displaystyle e ^ {- 1}}$baş bölgesi ${ displaystyle {1-e ^ {- 1}} = 0,61}$. Adımdaki kuyruk alanı ${ displaystyle n}$ dır-dir ${ displaystyle leq {e ^ {- n (1-w)}}}$. Öncelikle en yakın nerede ${ displaystyle n}$ gözlemler önemlidir ve kalan gözlemlerin etkisi güvenle göz ardı edilebilir, ardından ${ displaystyle w}$ öyle ki kuyruk alanı yeterince küçük.

Fonksiyonların ağırlıklı ortalamaları

Ağırlıklı ortalama kavramı işlevlere genişletilebilir.^[7] Fonksiyonların ağırlıklı ortalamaları, ağırlıklı diferansiyel ve integral hesap sistemlerinde önemli bir rol oynar.^[8]

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma

• Bevington, Philip R (1969). Fiziksel Bilimler için Veri Azaltma ve Hata Analizi. New York, NY: McGraw-Hill. OCLC  300283069.
• Strutz, T. (2010). Veri Uydurma ve Belirsizlik (Ağırlıklı en küçük kareler ve ötesine pratik bir giriş). Vieweg + Teubner. ISBN  978-3-8348-1022-9.

Dış bağlantılar

• David Terr. "Ağırlıklı Ortalama". MathWorld.