Uygun olmayan integral - Improper integral

Birinci türden uygunsuz bir integral. İntegralin sınırsız bir alanda tanımlanması gerekebilir.

İkinci türden uygunsuz bir Riemann integrali. İntegral, bir dikey asimptot işlevde.

İçinde matematiksel analiz, bir uygunsuz integral ... limit bir kesin integral Entegrasyon aralık (lar) ının bir uç noktası olarak ya belirli bir gerçek Numara, ${ displaystyle infty}$, ${ displaystyle - infty}$veya bazı durumlarda her iki uç nokta da sınırlara yaklaştığı için. Böyle bir integral genellikle standart belirli bir integral gibi sembolik olarak yazılır, bazı durumlarda sonsuzluk entegrasyon sınırı olarak.

Özellikle, uygunsuz bir integral formun bir sınırıdır:

${ displaystyle lim _ {b ila infty} int _ {a} ^ {b} f (x) , dx, qquad lim _ {a ila - infty} int _ {a} ^ {b} f (x) , dx,}$

veya

${ displaystyle lim _ {c ile b ^ {-}} int _ {a} ^ {c} f (x) , dx, quad lim _ {c ile bir ^ {+}} int _ {c} ^ {b} f (x) , dx,}$

birinin veya diğerinde (veya bazen her ikisinde) uç noktalarda (Apostol 1967, §10.23).

Tarafından gösterimin kötüye kullanılması, uygun olmayan integraller genellikle standart belirli integraller gibi sembolik olarak yazılır, belki sonsuzluk entegrasyon sınırları arasında. Belirli integral olduğunda (herhangi biri anlamında) Riemann integrali veya daha gelişmiş Lebesgue integrali ), bu belirsizlik, hem uygun hem de uygunsuz integralin değer bakımından çakışacağı için çözülür.

Fonksiyon geleneksel anlamda integrallenebilir olmasa bile çoğu zaman uygun olmayan integraller için değerler hesaplanabilir (bir Riemann integrali, örneğin) nedeniyle tekillik işlevde veya entegrasyonun sınırlarından biri sonsuz olduğu için.

Örnekler

Orijinal tanımı Riemann integrali gibi bir işlev için geçerli değildir ${ displaystyle 1 / {x ^ {2}}}$ [1, ∞) aralığında, çünkü bu durumda entegrasyon alanı sınırsız. Bununla birlikte, Riemann integrali genellikle şu şekilde uzatılabilir: süreklilik uygun olmayan integrali bir limit

${ displaystyle int _ {1} ^ { infty} { frac {1} {x ^ {2}}} , dx = lim _ {b - infty} int _ {1} ^ { b} { frac {1} {x ^ {2}}} , dx = lim _ {b to infty} left (- { frac {1} {b}} + { frac {1 } {1}} sağ) = 1.}$

Riemann integralinin dar tanımı da fonksiyonu kapsamaz ${ displaystyle 1 / { sqrt {x}}}$ [0, 1] aralığında. Buradaki sorun, integrandın sınırsız entegrasyon alanında (tanım, hem entegrasyon alanının hem de integralin sınırlı olmasını gerektirir). Bununla birlikte, limit olarak anlaşılırsa uygunsuz integral mevcuttur.

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} { frac {1} { sqrt {x}}} , dx = lim _ {a ile 0 ^ {+}} int _ {a} ^ {1} { frac {1} { sqrt {x}}} , dx = lim _ {a - 0 ^ {+}} (2-2 { sqrt {a}}) = 2. }$

Uygunsuz integral
${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {dx} {(x + 1) { sqrt {x}}}} = pi}$
hem alan hem de aralık için sınırsız aralıklara sahiptir.

Bazen integrallerin uygunsuz oldukları yerde iki tekilliği olabilir. Örneğin, işlevi düşünün 1/((x + 1)√x) 0'dan ∞ (sağda gösterilmiştir). Alt sınırda x 0'a gider fonksiyon gider ∞ve üst sınırın kendisi ∞fonksiyon 0'a gitse de, bu iki kat uygunsuz bir integraldir. Diyelim ki 1'den 3'e kadar entegre edilmiş, sıradan bir Riemann toplamı, π/ 6. 1'den ∞Riemann toplamı mümkün değildir. Bununla birlikte, herhangi bir sonlu üst sınır diyelim t (ile t > 1), iyi tanımlanmış bir sonuç verir, 2 arktan (√t) − π/2. Bunun sınırlı bir sınırı vardır. t sonsuza gider, yani π/ 2. Benzer şekilde, 1 / 3'ten 1'e olan integral bir Riemann toplamına da izin verir, tesadüfen tekrar üretir π/ 6. 1 / 3'ü rastgele bir pozitif değerle değiştirme s (ile s < 1) eşit derecede güvenlidir, π/ 2-2 arktan (√s). Bunun da sınırlı bir sınırı vardır. s sıfıra gider, yani π/ 2. İki parçanın sınırlarını birleştirirsek, bu uygunsuz integralin sonucu

${ displaystyle { begin {align} int _ {0} ^ { infty} { frac {dx} {(x + 1) { sqrt {x}}}} & {} = lim _ {s 0 ^ {+}} int _ {s} ^ {1} { frac {dx} {(x + 1) { sqrt {x}}}} + lim _ {t ila infty} int _ {1} ^ {t} { frac {dx} {(x + 1) { sqrt {x}}}} & {} = lim _ {s ile 0 ^ {+}} left ({ frac { pi} {2}} - 2 arctan { sqrt {s}} right) + lim _ {t to infty} left (2 arctan { sqrt {t }} - { frac { pi} {2}} right) & {} = { frac { pi} {2}} + left ( pi - { frac { pi} {2 }} right) & {} = pi. end {hizalı}}}$

Bu süreç başarıyı garanti etmez; bir sınır var olmayabilir veya sonsuz olabilir. Örneğin, 0 ile 1 arasındaki sınırlı aralık üzerinden 1 /x yakınlaşmaz; ve 1'den sınırsız aralığa kadar ∞ 1 / integrali√x yakınlaşmaz.

Uygunsuz integral
${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} { frac {dx} { sqrt [{3}] {x ^ {2}}}} = 6}$
integrand bir iç noktanın yakınında sınırsız olmasına rağmen, hem sol hem de sağ limitler mevcut olduğundan yakınsar.

Bir iç noktanın yakınında bir integralin sınırsız olduğu da olabilir, bu durumda integralin bu noktada bölünmesi gerekir. İntegralin bir bütün olarak yakınsaması için, her iki taraftaki limit integrallerinin var olması ve sınırlanması gerekir. Örneğin:

${ displaystyle { başla {hizalı} int _ {- 1} ^ {1} { frac {dx} { sqrt [{3}] {x ^ {2}}}} & {} = lim _ {s to 0} int _ {- 1} ^ {- s} { frac {dx} { sqrt [{3}] {x ^ {2}}}} + lim _ {t to 0 } int _ {t} ^ {1} { frac {dx} { sqrt [{3}] {x ^ {2}}}} & {} = lim _ {s to 0} 3 (1 - { sqrt [{3}] {s}}) + lim _ {t ila 0} 3 (1 - { sqrt [{3}] {t}}) & {} = 3 +3 & {} = 6. end {hizalı}}}$

Ama benzer integral

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} { frac {dx} {x}}}$

Bu şekilde bir değer atanamaz çünkü sıfırın üstündeki ve altındaki integraller bağımsız olarak yakınsamazlar. (Ancak bkz. Cauchy ana değeri.)

İntegralin yakınsaması

Uygun olmayan bir integral, kendisini tanımlayan limit varsa yakınsar. Böylece, örneğin biri uygunsuz integralin

${ displaystyle lim _ {t ile infty} int _ {a} ^ {t} f (x) , dx}$

var ve eşittir L Sınırın altındaki integraller yeterince büyükse tve limitin değeri eşittir L.

Uygun olmayan bir integralin sonsuza sapması da mümkündür. Bu durumda, integrale ∞ (veya -∞) değeri atanabilir. Örneğin

${ displaystyle lim _ {b ila infty} int _ {1} ^ {b} { frac {1} {x}} , dx = infty.}$

Bununla birlikte, diğer uygun olmayan integraller belirli bir yönde uzaklaşmayabilir, örneğin

${ displaystyle lim _ {b ile infty} int _ {1} ^ {b} x sin (x) , dx,}$

var olmayan bir genişletilmiş gerçek sayı. Buna salınımla ıraksama denir.

Uygunsuz entegrasyon tekniğinin bir sınırlaması, sınırın her seferinde bir uç noktaya göre alınması gerekliliğidir. Bu nedenle, örneğin, formun uygunsuz bir integrali

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f (x) , dx}$

iki ayrı limit alınarak tanımlanabilir; zekaya

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f (x) , dx = lim _ {bir ila - infty} lim _ {b ila infty} int _ {a } ^ {b} f (x) , dx}$

çift ​​sınırın sonlu olması koşuluyla. Ayrıca, birinci türden bir çift farklı uygunsuz integral olarak da tanımlanabilir:

${ displaystyle lim _ {a - infty} int _ {a} ^ {c} f (x) , dx + lim _ {b - infty} int _ {c} ^ {b } f (x) , dx}$

nerede c entegrasyonun başlatılacağı uygun herhangi bir noktadır. Bu tanım, bu integrallerden biri sonsuz olduğunda veya aynı işarete sahiplerse her ikisi için de geçerlidir.

Her iki uç noktanın da sonsuz olduğu uygunsuz integrale bir örnek, Gauss integrali ${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ {2}} , dx = { sqrt { pi}}}$. Sonsuz olarak değerlendirilen bir örnek ${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {x} , dx}$. Ancak bu türden diğer integralleri açık bir şekilde tanımlayamazsınız, örneğin ${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} x , dx}$çift ​​limit sonsuz olduğundan ve iki integralli yöntem olduğundan

${ displaystyle lim _ {a - infty} int _ {a} ^ {c} x , dx + lim _ {b - infty} int _ {c} ^ {b} x , dx}$

verim ${ displaystyle infty - infty}$. Bu durumda, ancak anlamında uygunsuz bir integral tanımlanabilir Cauchy ana değeri:

${ displaystyle operatorname {pv} int _ {- infty} ^ { infty} x , dx = lim _ {b ila infty} int _ {- b} ^ {b} x , dx = 0.}$

Uygun olmayan bir integrali belirlerken ele alınması gereken sorular şunlardır:

• Limit var mı?
• Limit hesaplanabilir mi?

İlk soru şudur: matematiksel analiz. İkincisi, analiz teknikleriyle ele alınabilir, ancak bazı durumlarda kontur entegrasyonu, Fourier dönüşümleri ve diğer daha gelişmiş yöntemler.

İntegral türleri

Birden fazla teori var entegrasyon. Analiz açısından bakıldığında, Riemann integrali teori genellikle varsayılan teori olarak kabul edilir. Uygun olmayan integralleri kullanırken, hangi entegrasyon teorisinin oyunda olduğu önemli olabilir.

• Riemann integrali için (veya Darboux integrali, buna eşdeğerdir), uygunsuz entegrasyon gereklidir her ikisi de Sınırsız aralıklar için (aralık, sonlu uzunluktaki sonlu sayıda alt aralığa bölünemediğinden) ve sonlu integrali olan sınırsız fonksiyonlar için (çünkü yukarıda sınırsız olduğunu varsayarsak, üst integral sonsuz olacak, ancak alt integral sonlu olacaktır).
• Lebesgue integrali Sınırsız alanlar ve sınırsız fonksiyonlarla farklı şekilde ilgilenir, böylece genellikle yalnızca uygunsuz bir Riemann integrali olarak var olan bir integral (uygun) bir Lebesgue integrali olarak var olur, örneğin ${ displaystyle int _ {1} ^ { infty} { frac {1} {x ^ {2}}} , dx}$. Öte yandan, uygunsuz bir Riemann integraline sahip olan ancak (uygun) bir Lebesgue integrali olmayan integraller de vardır, örneğin ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin x} {x}} , dx}$. Lebesgue teorisi bunu bir eksiklik olarak görmüyor: bakış açısından teori ölçmek, ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin x} {x}} , dx = infty - infty}$ ve tatmin edici bir şekilde tanımlanamaz. Bununla birlikte, bazı durumlarda, örneğin, tanımlanırken olduğu gibi uygun olmayan Lebesgue integrallerini kullanmak uygun olabilir. Cauchy ana değeri. Lebesgue integrali, aşağı yukarı teorik tedavide önemlidir. Fourier dönüşümü, integrallerin tüm gerçek çizgi üzerinde yaygın kullanımı ile.
• İçin Henstock-Kurzweil integrali, uygunsuz entegrasyon gerekli değilve bu teorinin bir gücü olarak görülüyor: tüm Lebesgue integrallenebilir ve uygunsuz Riemann integrallenebilir fonksiyonlarını kapsar.

Hatalı Riemann integralleri ve Lebesgue integralleri

Şekil 1

şekil 2

Bazı durumlarda integral

${ displaystyle int _ {a} ^ {c} f (x) , dx}$

bir integral (a Lebesgue integrali, örneğin) sınıra bakmadan

${ displaystyle lim _ {b ile c ^ {-}} int _ {a} ^ {b} f (x) , dx}$

ancak başka türlü uygun şekilde hesaplanamaz. Bu genellikle işlevin f entegre olmak a -e c var dikey asimptot -de c, ya da eğer c = ∞ (bakınız Şekil 1 ve 2). Bu gibi durumlarda, uygun olmayan Riemann integrali, fonksiyonun Lebesgue integralinin hesaplanmasına izin verir. Özellikle, aşağıdaki teorem (Apostol 1974 Teorem 10.33):

• Eğer bir işlev f Riemann [a,b] her biri için b ≥ ave kısmi integraller

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} | f (x) | , dx}$

olarak sınırlandırılmıştır b → ∞, sonra uygunsuz Riemann integralleri

${ displaystyle int _ {a} ^ { infty} f (x) , dx, quad { mbox {ve}} int _ {a} ^ { infty} | f (x) | , dx}$

ikisi de var. Ayrıca, f Lebesgue integrallenebilir mi [a, ∞) ve Lebesgue integrali, uygunsuz Riemann integraline eşittir.

Örneğin, integral

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {dx} {1 + x ^ {2}}}}$

alternatif olarak uygunsuz integral olarak yorumlanabilir

${ displaystyle lim _ {b ila infty} int _ {0} ^ {b} { frac {dx} {1 + x ^ {2}}} = lim _ {b ila infty} arctan {b} = { frac { pi} {2}},}$

veya bunun yerine bir Lebesgue integrali setin üzerinde (0, ∞). Bu tür integrallerin her ikisi de aynı fikirde olduğundan, sonuçta onu bir Lebesgue integrali olarak görmek istese bile, integralin değerini hesaplamak için ilk yöntemi seçmekte özgürdür. Dolayısıyla, uygunsuz integraller, integrallerin gerçek değerlerini elde etmek için açıkça faydalı araçlardır.

Diğer durumlarda, ancak, sonlu uç noktalar arasındaki bir Lebesgue integrali tanımlanamayabilir, çünkü pozitif ve negatif kısımların integralleri f her ikisi de sonsuzdur, ancak uygun olmayan Riemann integrali hala mevcut olabilir. Bu tür durumlar "tam anlamıyla uygunsuz" integrallerdir, yani değerleri bu tür sınırlar dışında tanımlanamaz. Örneğin,

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin (x)} {x}} , dx}$

Lebesgue integrali olarak yorumlanamaz, çünkü

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} sol | { frac { sin (x)} {x}} sağ | , dx = infty.}$

Fakat ${ displaystyle f (x) = { frac { sin (x)} {x}}}$ yine de herhangi iki sonlu uç nokta arasında integrallenebilir ve 0 ile ∞ arasındaki integrali genellikle integralin sınırı olarak anlaşılır:

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin (x)} {x}} , dx = lim _ {b - infty} int _ {0} ^ { b} { frac { sin (x)} {x}} , dx = { frac { pi} {2}}.}$

Tekillikler

Biri konuşabilir tekillikler uygunsuz bir integralin, yani genişletilmiş gerçek sayı doğrusu hangi limitlerde kullanılır.

Cauchy ana değeri

İki sınırın değerlerindeki farkı düşünün:

${ displaystyle lim _ {a ile 0 ^ {+}} left ( int _ {- 1} ^ {- a} { frac {dx} {x}} + int _ {a} ^ { 1} { frac {dx} {x}} sağ) = 0,}$

${ displaystyle lim _ {a ile 0 ^ {+}} left ( int _ {- 1} ^ {- a} { frac {dx} {x}} + int _ {2a} ^ { 1} { frac {dx} {x}} sağ) = - ln 2.}$

İlki, aksi takdirde kötü tanımlanmış ifadenin Cauchy temel değeridir

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} { frac {dx} {x}} {} left ({ mbox {hangi}} { mbox {verir}} - infty + infty doğru).}$

Benzer şekilde bizde

${ displaystyle lim _ {a ile infty} int _ {- a} ^ {a} { frac {2x , dx} {x ^ {2} +1}} = 0,}$

fakat

${ displaystyle lim _ {a ile infty} int _ {- 2a} ^ {a} { frac {2x , dx} {x ^ {2} +1}} = - ln 4.}$

İlki, aksi takdirde kötü tanımlanmış ifadenin temel değeridir

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {2x , dx} {x ^ {2} +1}} {} sol ({ mbox {hangisi}} { mbox {verir}} - infty + infty right).}$

Yukarıdaki sınırların tümü, belirsiz form ∞ − ∞.

Bunlar patolojiler "Lebesgue integrallenebilen" fonksiyonları etkilemez, yani integralleri olan fonksiyonlar mutlak değerler sonludur.

Toplanabilirlik

Uygun olmayan bir integral, kendisini tanımlayan limitin var olmaması anlamında farklılaşabilir. Bu durumda, uygun olmayan integral için yakınsak bir değer üretebilen limitin daha karmaşık tanımları vardır. Bunlara denir toplanabilirlik yöntemler.

Bir toplanabilirlik yöntemi, popüler Fourier analizi, şu mu Cesàro toplamı. İntegral

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} f (x) , dx}$

Cesàro toplanabilir (C, α) ise

${ displaystyle lim _ { lambda ile infty} int _ {0} ^ { lambda} sol (1 - { frac {x} { lambda}} sağ) ^ { alpha} f (x) , dx}$

var ve sonlu (Titchmarsh 1948, §1.15). Varsa, bu sınırın değeri integralin (C, α) toplamıdır.

Bir integral, tam olarak uygunsuz bir integral olarak var olduğunda (C, 0) toplanabilir. Bununla birlikte, uygunsuz integraller olarak yakınsama yapamayan (Riemann veya Lebesgue anlamında) α> 0 için toplanabilen (C, α) integraller vardır. Bir örnek integraldir

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} sin x , dx}$

uygunsuz bir integral olarak varolmayan, ancak her α> 0 için (C, α) toplanabilir. Bu, integral bir versiyonudur. Grandi dizisi.

Çok değişkenli uygunsuz integraller

Uygun olmayan integral, birkaç değişkenli fonksiyonlar için de tanımlanabilir. Tanım, sınırsız bir alan üzerinden entegrasyon gerektirip gerektirmediğine bağlı olarak biraz farklıdır. ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$veya bir işlevi tekilliklerle bütünleştiriyor, örneğin ${ displaystyle f (x, y) = günlük (x ^ {2} + y ^ {2})}$.

Rasgele etki alanları üzerinde yanlış integraller

Eğer ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} - mathbb {R}}$ formun her kompakt küpü üzerine entegre edilebilen Riemann olan negatif olmayan bir fonksiyondur ${ displaystyle [-a, a] ^ {n}}$, için ${ displaystyle a> 0}$, sonra uygunsuz integrali f bitmiş ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ limit olarak tanımlandı

${ displaystyle lim _ {a ile infty} int _ {[- a, a] ^ {n}} f,}$

mevcut olması koşuluyla.

Keyfi bir etki alanındaki bir işlev Bir içinde ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ bir işleve genişletildi ${ displaystyle { tilde {f}}}$ açık ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ sıfır dışında Bir:

${ displaystyle { tilde {f}} (x) = { begin {case} f (x) & x in A 0 & x not in A end {case}}}$

Sınırlı bir alan üzerinden bir fonksiyonun Riemann integrali Bir daha sonra genişletilmiş işlevin integrali olarak tanımlanır ${ displaystyle { tilde {f}}}$ bir küpün üzerinde ${ displaystyle [-a, a] ^ {n}}$ kapsamak Bir:

${ displaystyle int _ {A} f = int _ {[- a, a] ^ {n}} { tilde {f}}.}$

Daha genel olarak, eğer Bir sınırsız ise, sonra rasgele bir etki alanı üzerindeki uygunsuz Riemann integrali ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ limit olarak tanımlanır:

${ displaystyle int _ {A} f = lim _ {a - infty} int _ {A cap [-a, a] ^ {n}} f = lim _ {a - infty } int _ {[- a, a] ^ {n}} { tilde {f}}.}$

Tekillikleri olan uygunsuz integraller

Eğer f bir etki alanında sınırsız olan negatif olmayan bir işlevdir Bir, sonra uygunsuz integrali f kırpılarak tanımlanır f biraz kesintide M, sonuçta ortaya çıkan işlevi entegre etmek ve ardından sınırı M sonsuzluğa meyillidir. Bu ${ displaystyle M> 0}$, Ayarlamak ${ displaystyle f_ {M} = min {f, M }}$. Sonra tanımlayın

${ displaystyle int _ {A} f = lim _ {M ila infty} int _ {A} f_ {M}}$

bu sınırın mevcut olması koşuluyla.

Hem pozitif hem de negatif değerli işlevler

Bu tanımlar, negatif olmayan işlevler için geçerlidir. Daha genel bir işlev f olumlu kısmının bir farkı olarak ayrıştırılabilir ${ displaystyle f _ {+} = maks {f, 0 }}$ ve olumsuz kısım ${ displaystyle f _ {-} = maks {- f, 0 }}$, yani

${ displaystyle f = f _ {+} - f _ {-}}$

ile ${ displaystyle f _ {+}}$ ve ${ displaystyle f _ {-}}$ her ikisi de negatif olmayan fonksiyonlar. İşlev f uygun olmayan bir Riemann integraline sahiptir. ${ displaystyle f _ {+}}$ ve ${ displaystyle f _ {-}}$ bir tane vardır, bu durumda bu uygunsuz integralin değeri şu şekilde tanımlanır:

${ displaystyle int _ {A} f = int _ {A} f _ {+} - int _ {A} f _ {-}.}$

Bu anlamda var olabilmek için, uygunsuz integralin mutlaka mutlak yakınsaması, çünkü

${ displaystyle int _ {A} | f | = int _ {A} f _ {+} + int _ {A} f _ {-}.}$^[1][2]

Notlar

Kaynakça

• Apostol, T (1974), Matematiksel analiz, Addison-Wesley, ISBN  978-0-201-00288-1.
• Apostol, T (1967), Matematik, Cilt. 1 (2. baskı), Jon Wiley & Sons.
• Autar Kaw, Egwu Kalu (2008), Uygulamalar ile Sayısal Yöntemler (1. baskı), autarkaw.com
• Titchmarsh, E (1948), Fourier integralleri teorisine giriş (2. baskı), New York, NY: Chelsea Pub. Co. (1986'da yayınlandı), ISBN  978-0-8284-0324-5.
• Cooper, Jeffery (2005), Çalışma analizi, Gulf Professional
• Ghorpade, Sudhir; Limaye, Balmohan (2010), Çok değişkenli analiz ve analiz dersi, Springer

Dış bağlantılar

• Yanlış İntegralleri Çözmenin Sayısal Yöntemleri Bütünsel Sayısal Yöntemler Enstitüsü'nde