Stokastik analiz - Stochastic calculus

Bu makale şunları içerir: referans listesi, ilgili okuma veya Dış bağlantılar, ancak kaynakları belirsizliğini koruyor çünkü eksik satır içi alıntılar. Lütfen yardım edin geliştirmek bu makale tanıtım daha kesin alıntılar. (Ağustos 2011) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Stokastik analiz bir dalı matematik üzerinde çalışır Stokastik süreçler. Tutarlı bir entegrasyon teorisinin tanımlanmasına izin verir integraller stokastik süreçlere göre stokastik süreçlerin. Rastgele davranan sistemleri modellemek için kullanılır.

Stokastik analizin uygulandığı en iyi bilinen stokastik süreç, Wiener süreci (onuruna adlandırıldı Norbert Wiener ), modelleme için kullanılan Brown hareketi tanımladığı gibi Louis Bachelier 1900 ve sonrası Albert Einstein 1905'te ve diğer fiziksel yayılma rastgele kuvvetlere maruz kalan parçacıkların uzayındaki işlemler. 1970'lerden beri, Wiener süreci yaygın olarak Finansal matematik ve ekonomi hisse senedi fiyatları ve tahvil faiz oranlarının zamanındaki değişimi modellemek.

Stokastik analizin ana lezzetleri şunlardır: Itô hesap ve varyasyonel göreceli Malliavin hesabı. Teknik nedenlerden ötürü, Itô integrali, genel süreç sınıfları için en kullanışlı olanıdır, ancak ilgili Stratonovich integrali problem formülasyonunda (özellikle mühendislik disiplinlerinde) sıklıkla faydalıdır. Stratonovich integrali, Itô integrali cinsinden kolaylıkla ifade edilebilir. Stratonovich integralinin ana yararı, olağan koşullara uymasıdır. zincir kuralı ve bu nedenle gerektirmez Itô lemması. Bu, problemlerin bir koordinat sistemi değişmez formunda ifade edilmesini sağlar; bu, aşağıdakilerden farklı manifoldlar üzerinde stokastik hesap geliştirirken paha biçilmezdir. Rⁿ.The hakim yakınsama teoremi Stratonovich integrali için geçerli değildir; sonuç olarak integralleri Itô biçiminde yeniden ifade etmeden sonuçları kanıtlamak çok zordur.

Itô integral

Itô integral stokastik analiz çalışmasının merkezidir. İntegral ${ displaystyle int H , dX}$ için tanımlanmıştır yarıartingale X ve yerel olarak sınırlı tahmin edilebilir süreç H.^{[kaynak belirtilmeli ]}

Stratonovich integrali

Stratonovich integrali yarıartingale ${ displaystyle X}$ diğerine karşı yarıartingale Y Itô integrali açısından şu şekilde tanımlanabilir:

${ displaystyle int _ {0} ^ {t} X_ {s -} circ dY_ {s}: = int _ {0} ^ {t} X_ {s-} dY_ {s} + { frac { 1} {2}} sol [X, Y sağ] _ {t} ^ {c},}$

nerede [X, Y]_t^c gösterir ikinci dereceden kovaryasyon sürekli kısımlarının XveY. Alternatif gösterim

${ displaystyle int _ {0} ^ {t} X_ {s} , kısmi Y_ {s}}$

Stratonovich integralini belirtmek için de kullanılır.

Başvurular

Stokastik analizin önemli bir uygulaması şu şekildedir: matematiksel finans Varlık fiyatlarının genellikle takip ettiği varsayılır stokastik diferansiyel denklemler. İçinde Black – Scholes modeli fiyatların takip edeceği varsayılır geometrik Brown hareketi.

Referanslar

• Fima C Klebaner, 2012, Uygulamalı Stokastik Hesaplamaya Giriş (3. Baskı). World Scientific Publishing, ISBN  9781848168312
• Szabados, T. S .; Székely, B.Z. (2008). "Basit, Simetrik Rastgele Yürüyüşlere Dayalı Stokastik Entegrasyon". Kuramsal Olasılık Dergisi. 22: 203. arXiv:0712.3908. doi:10.1007 / s10959-007-0140-8. Ön baskı