Mantıkçılık - Logicism - Wikipedia

İçinde matematik felsefesi, mantık bir veya daha fazla tez içeren bir programdır - 'mantık ' — matematik mantığın bir uzantısıdır, matematiğin bir kısmı veya tamamı indirgenebilir mantığa veya matematiğin bir kısmı veya tamamı olabilir modellenmiş mantıkta.[1] Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead başlatan bu programı destekledi Gottlob Frege ve daha sonra tarafından geliştirildi Richard Dedekind ve Giuseppe Peano.

Genel Bakış

Dedekind'in mantıkçılığa giden yolu, aşağıdaki koşulları tatmin eden bir model oluşturabildiğinde bir dönüm noktası oldu. aksiyomlar karakterize etmek gerçek sayılar belirli kümelerini kullanarak rasyonel sayılar. Bu ve ilgili fikirler onu aritmetik, cebir ve analizin doğal sayılara ve sınıfların bir "mantığına" indirgenebilir olduğuna ikna etti. Dahası, 1872'de doğalların kendilerinin setlere ve haritalamalara indirgenebilir olduğu sonucuna vardı. En önemlisi Frege olmak üzere diğer mantıkçılara da 1872 yılında yayınlanan yeni gerçek sayı teorileri rehberlik etmiş olabilir.

Grundlagen der Arithmetik'ten itibaren Frege'nin mantıkçı programının arkasındaki felsefi itici güç, kısmen onun epistemolojik ve ontolojik doğal sayıların o zamanlar var olan açıklamalarının taahhütleri ve Kant'ın doğal sayılarla ilgili gerçekleri örnek olarak kullandığına olan inancı sentetik a priori gerçek yanlıştı.

Bu, temel üsleri Dedekind ve Frege ile mantık için bir genişleme dönemi başlattı. Bununla birlikte, mantıkçı programın bu ilk aşaması, klasik paradoksların keşfedilmesiyle krize girdi. küme teorisi (Cantor 1896, Zermelo ve Russell 1900–1901). Russell fark edip iletişim kurduktan sonra Frege projeden vazgeçti onun paradoksu Grundgesetze der Arithmetik'te ortaya çıkan Frege sistemindeki bir tutarsızlığı tespit etmek. Bunu not et saf küme teorisi ayrıca bu güçlükten muzdariptir.

Öte yandan, Russell yazdı Matematiğin İlkeleri 1903'te paradoksu ve gelişmeleri kullanarak Giuseppe Peano 'nın geometri okulu. Konuyu tedavi ettiğinden beri ilkel kavramlar geometri ve küme teorisinde bu metin, mantığın gelişiminde bir dönüm noktasıdır. Mantıkçılık iddiasının kanıtı Russell ve Whitehead tarafından kendi Principia Mathematica.[2]

Günümüzde, mevcut matematiğin büyük bir kısmının, mantık dışı aksiyomların az sayıdaki aksiyomlarından mantıksal olarak türetilebileceğine inanılıyor. Zermelo – Fraenkel küme teorisi (veya uzantısı ZFC ), henüz hiçbir tutarsızlığın türetilmediği. Bu nedenle, mantıkçı programların unsurlarının uygulanabilir olduğu kanıtlanmıştır, ancak süreçte sınıflar, kümeler ve haritalamaların teorileri ve Henkin semantiği doğası gereği, kısmen de olsa etkisi altında, mantık dışı olarak görülmeye başlanmıştır. Quine daha sonra düşünüldü.

Kurt Gödel 's eksiklik teoremleri Doğal sayılar için Peano aksiyomlarının türetilemeyeceği hiçbir biçimsel sistemin - Russell'ın PM'deki sistemleri gibi - bu sistemin tüm iyi biçimlendirilmiş cümlelerine karar veremeyeceğini gösterin.[3] Bu sonuç, Hilbert'in matematiğin temelleri için programına zarar verdi ve böylelikle PM'ninki gibi 'sonsuz' teorilerin sonlu teorilerden tutarlı olduğu kanıtlanacaktı; bir çelişkinin türetilmesine neden olur. Gödel'in sonucu, mantıkçı bir konumu sürdürmek için, klasik matematiği olabildiğince korurken, kişinin mantığın bir parçası olarak sonsuzluk aksiyomunu kabul etmesi gerektiğini öne sürüyor. Görünüşe bakılırsa, bu, sadece 'sonsuz yöntemler' konusunda zaten şüpheli olanlar için de olsa, mantıkçı programa da zarar verir. Bununla birlikte, hem mantıkçılıktan hem de Hilbert'in sonluluğundan kaynaklanan pozisyonlar, Gödel'in sonucunun yayınlanmasından bu yana öne sürülmeye devam etti.

Mantıktan türetilen programların geçerli kaldığına dair bir argüman, eksiklik teoremlerinin 'tıpkı diğer teoremler gibi mantıkla kanıtlanmış' olması olabilir. Bununla birlikte, bu argümanın teoremleri arasındaki ayrımı kabul etmediği görülmektedir. birinci dereceden mantık ve teoremleri üst düzey mantık. İlki, finistik yöntemler kullanılarak kanıtlanabilirken, ikincisi - genel olarak - kanıtlanamaz. Tarski'nin tanımlanamazlık teoremi Gödel numaralandırmasının sözdizimsel yapıları kanıtlamak için kullanılabileceğini, ancak anlambilimsel iddiaları kanıtlamadığını gösterir. Bu nedenle, mantığın geçerli bir program olarak kaldığı iddiası, doğal sayıların varlığına ve özelliklerine dayanan bir ispat sisteminin belirli bir biçimsel sisteme dayalı olandan daha az ikna edici olduğunu iddia etmeyi taahhüt edebilir.[4]

Mantıkçılık - özellikle de Frege'nin Russell ve Wittgenstein üzerindeki etkisiyle[5] ve daha sonra Dummett - geliştirilmesine önemli bir katkıda bulundu analitik felsefe yirminci yüzyılda.

'Mantık' isminin kökeni

Ivor Grattan-Guinness Fransızca "Logistique" kelimesinin " Couturat ve diğerleri 1904'te Uluslararası Felsefe Kongresi ve o andan itibaren Russell ve diğerleri tarafından çeşitli dillere uygun sürümlerde kullanıldı. "(G-G 2000: 501).

Görünüşe göre Russell'ın ilk (ve tek) kullanımı 1919'da ortaya çıktı: "Russell, Frege'ye birkaç kez atıfta bulunarak onu 'matematiği" mantıklı hale getirmeyi "ilk başaran kişi" olarak tanıttı (s. 7). Yanlış beyan dışında (Russell, matematikte aritmetiğin rolüne ilişkin kendi görüşünü kısmen düzeltti), bu pasaj, tırnak içine aldığı sözcük için dikkate değerdir, ancak varlığı gerginliği akla getirir ve sözcüğü bir daha asla kullanmadı, bu yüzden ' mantık '1920'lerin sonlarına kadar ortaya çıkmadı "(GG 2002: 434).[6]

Carnap (1929) ile hemen hemen aynı zamanda, ancak görünüşe göre bağımsız olarak, Fraenkel (1928) şu kelimeyi kullanmıştır: "Yorum yapmadan Whitehead / Russell konumunu karakterize etmek için 'mantık' adını kullandı (s. 244'teki bölümün başlığında) , s. 263'teki açıklama) "(GG 2002: 269). Carnap biraz farklı bir kelime olan 'Logistik' kullandı; Behmann, Carnap'ın el yazmasındaki kullanımından şikayet etti, bu yüzden Carnap 'Logizismus' kelimesini önerdi, ancak sonunda kelime seçimi 'Logistik'e bağlı kaldı (G-G 2002: 501). Sonuçta "yayılma esas olarak 1930'dan itibaren Carnap'tan kaynaklanıyordu." (G-G 2000: 502).

Mantığın amacı veya amacı

Sembolik mantık: Mantıkçılığın açık amacı, matematiğin tamamını sembolik mantıktan türetmektir (Frege, Dedekind, Peano, Russell.) cebirsel mantık (Boole mantığı ) aritmetik kavramlar kullanan, sembolik mantık çok azaltılmış bir işaret kümesi (aritmetik olmayan semboller), "düşünce yasalarını" içeren birkaç "mantıksal" aksiyom ve işaretlerin nasıl birleştirilip manipüle edileceğini belirleyen çıkarım kuralları ile başlar - örneğin ikame ve modus ponens (yani [1] A'dan maddi olarak B'yi ve [2] A'yı ima eder, biri B'yi türetebilir). Mantıkçılık, Frege'nin temel çalışmasından, doğal dil önermelerinin "özne | yüklem" den ya önermesel "atomlar" a veya "genelleme" nin "argüman | işlevi" ne - "tümü", "bazıları", "sınıf" ( toplama, toplama) ve "ilişki".

Doğal sayıların ve özelliklerinin mantıkçı bir türetilmesinde, sayının hiçbir "sezgisi" bir aksiyom olarak veya tesadüfen "gizlice girmemelidir". Amaç, "önce" ve "sonra" veya "daha az" ve "daha fazla" gibi zımni varsayımlar olmaksızın, sayma sayılarından ve sonra gerçek sayılardan başlayarak tüm matematiği, seçilen bazı "düşünce yasalarından" türetmektir. veya noktaya: "halef" ve "öncül". Gödel 1944, Russell'ın mantıksal "yapılarını", Sezgisellik ve Biçimciliğin ("Hilbert Okulu") temel sistemlerindeki "yapılar" ile karşılaştırıldığında şu şekilde özetledi: "Bu okulların her ikisi de yapılarını, kaçınmaları tam olarak bir olan matematiksel bir sezgiye dayandırıyor. Russell'ın temel amaçlarından yapılandırmacılık "(Gödel 1944 in Derleme 1990:119).

Tarih: Gödel 1944, Leibniz'in tarihsel arka planını Characteristica universalis, Frege ve Peano aracılığıyla Russell'a: "Frege, esas olarak düşüncenin analiziyle ilgileniyordu ve aritmetiği saf mantıktan türetmek için ilk olarak hesaplamasını kullandı", Peano ise "matematikteki uygulamalarıyla daha çok ilgileniyordu". Ama "Sadece [Russell'ın] Principia Mathematica Matematiğin büyük bölümlerini gerçekten birkaç mantıksal kavram ve aksiyomdan türetmek için yeni yöntem tam olarak kullanıldı. Ayrıca, genç bilim yeni bir araçla, soyut ilişkiler teorisiyle zenginleştirildi "(s. 120-121).

Kleene 1952 bunu şu şekilde ifade eder: "Leibniz (1666) mantığı ilk olarak diğer tüm bilimlerin altında yatan fikir ve ilkeleri içeren bir bilim olarak tasarladı. Dedekind (1888) ve Frege (1884, 1893, 1903) matematiksel kavramları terimlerle tanımlamaya başladılar. mantıksal olanlar ve Peano (1889, 1894–1908) matematiksel teoremleri mantıksal bir sembolizmde ifade etmede "(s. 43); önceki paragrafta "mantık okulunun" örnekleri olarak Russell ve Whitehead'i içerir, diğer iki "temel" okul sezgisel ve "biçimsel veya aksiyomatik okul" dur (s. 43).

Frege 1879 niyetini 1879'unun Önsözünde açıklar Begriffsschrift: Bir aritmetik düşüncesiyle başladı: "mantık" dan mı yoksa "deneyimin gerçeklerinden" mi türetildi?

"Öncelikle, tüm ayrıntıları aşan düşünce yasalarının tek desteğiyle, yalnızca çıkarımlar yoluyla aritmetikte ne kadar ilerleyebileceğini araştırmalıydım. İlk adımım, bir sırayla sıralama kavramını buna indirgemekti. nın-nin mantıklı sonuç, oradan sayı kavramına ilerlemek için. Sezgisel herhangi bir şeyin fark edilmeden buraya nüfuz etmesini önlemek için, çıkarımlar zincirini boşluklardan arındırmak için her türlü çabayı sarf etmeliydim. . . Dilin yetersizliğini bir engel olarak buldum; Kabul etmeye hazır olduğum ifadeler ne kadar hantal olursa olsun, ilişkiler giderek daha karmaşık hale geldikçe, amacımın gerektirdiği kesinliğe ulaşma konusunda gittikçe daha az yetenekliydim. Bu eksiklik beni mevcut ideografi fikrine götürdü. Bu nedenle, ilk amacı, bize bir çıkarımlar zincirinin geçerliliğinin en güvenilir testini sağlamak ve fark edilmeden gizlice girmeye çalışan her varsayımı ortaya koymaktır "(Frege 1879, van Heijenoort 1967: 5).

Dedekind 1887 niyetini 1887'nin Birinci Baskıya Önsözünde açıklar. Sayıların Doğası ve Anlamı. O, "en basit bilimin temellerinde; yani, mantığın sayılar teorisiyle ilgilenen kısmının" doğru bir şekilde tartışılmadığına inanıyordu - "kanıtlamaya muktedir hiçbir şey kanıt olmaksızın kabul edilmemelidir":

Mantığın bir parçası olarak aritmetikten (cebir, analiz) bahsederken, sayı kavramını uzay ve zaman sezgilerinden tamamen bağımsız olarak gördüğümü ve onu düşünce yasalarının dolaysız bir sonucu olarak gördüğümü ima etmek istiyorum. . . sayılar insan zihninin özgür yaratımlarıdır. . . [ve] yalnızca sayılar bilimini inşa etmenin tamamen mantıksal süreci yoluyla. . . uzay ve zaman kavramlarımızı zihnimizde yaratılan bu sayı alanıyla ilişkiye sokarak doğru bir şekilde araştırmaya hazır mıyız? "(Dedekind 1887 Dover cumhuriyeti 1963: 31).

Peano 1889 niyetini 1889 önsözünde belirtir. Aritmetiğin İlkeleri:

Matematiğin temelleriyle ilgili sorular, son zamanlarda birçok kişi tarafından ele alınsa da, yine de tatmin edici bir çözümden yoksundur. Zorluğun ana kaynağı dilin muğlaklığındadır. ¶ Bu nedenle, kullandığımız kelimeleri dikkatle incelememiz son derece önemlidir. Amacım bu incelemeyi yapmaktı "(Peano 1889, van Heijenoort 1967: 85).

Russell 1903 niyetini 1903'ün Önsözünde açıklıyor Matematiğin İlkeleri:

"Mevcut çalışmanın iki ana amacı var. Bunlardan biri, kanıt tüm saf matematiğin yalnızca çok az sayıda temel mantıksal kavramla tanımlanabilen kavramlarla ilgilendiğini ve tüm önermelerinin çok az sayıda temel mantıksal ilkeden çıkarılabileceğini "(Önsöz 1903: vi).
"Mevcut çalışmanın kökenine ilişkin birkaç kelime, tartışılan soruların önemini göstermeye hizmet edebilir. Yaklaşık altı yıl önce, Dinamik felsefesi üzerine bir araştırma başlattım ... [İki sorudan - ivme ve mutlak hareket "ilişkisel uzay teorisinde"] Geometri ilkelerinin yeniden incelenmesine, oradan da süreklilik ve sonsuzluk felsefesine ve ardından kelimenin anlamını keşfetme görüşüne yönlendirildim. hiç, Sembolik Mantık'a "(Önsöz 1903: vi-vii).

Epistemoloji, ontoloji ve mantık

Dedekind ve Frege: Dedekind ve Frege'nin epistemolojileri Russell'unkinden daha az iyi tanımlanmış görünmektedir, ancak her ikisi de Önsel basit önermesel ifadeler (genellikle inanç) ile ilgili geleneksel "düşünce yasaları"; bu yasalar, sınıflar ve ilişkiler teorisi ile (ör. x R y) bireyler arasında x ve y genelleme ile bağlantılı R.

Dedekind'in "insan zihninin özgür oluşumları", Kronecker'in "darlıklarının" aksine: Dedekind'in argümanı "1. Bundan sonra şunu anlıyorum: şey düşüncemizin her nesnesi "; biz insanlar zihnimizin bu" şeylerini "tartışmak için semboller kullanırız;" Bir şey, onaylanabilen veya onunla ilgili düşünülebilen her şey tarafından tamamen belirlenir "(s. 44). Sonraki paragrafta Dedekind tartışır. ne bir "sistem S şudur: bir toplamdır, bir manifolddur, ilişkili unsurların (nesnelerin) bir toplamıdır a, b, c"; böyle bir sistemin" S . . . düşüncemizin bir nesnesi olarak aynı şekilde bir şey (1); her şeyle ilgili olarak bir unsur olup olmadığı belirlendiğinde tamamen belirlenir. S ya da değil. * "(s. 45, italik eklendi). *, aşağıdakileri belirttiği bir dipnotu belirtir:

"Kronecker kısa süre önce (Crelle's Journal, Cilt. 99, s. 334-336), matematikte haklı olduğuna inanmadığım serbest kavramların oluşumuna bazı sınırlamalar getirmeye çalışmıştır "(s. 45).

Nitekim, Kronecker'in "bu sınırlamaların gerekliliği veya sadece uygunluğuna ilişkin gerekçelerini yayınlamasını" beklemektedir (s. 45).

Leopold Kronecker, "Tam sayıları Tanrı yarattı, diğer her şey insanın işidir" iddiasıyla ünlü[7] aralarında Hilbert'in de bulunduğu düşmanları vardı. Hilbert, Kronecker a "dogmacı, tamsayıyı temel özellikleriyle bir dogma olarak kabul ettiği ve geriye bakmadığı ölçüde "[8] ve aşırı yapılandırmacı duruşunu Brouwer'inki ile eşitledi. sezgisellik, her ikisini de "öznelcilik" ile suçlayarak: "Bizi keyfilikten, duyarlılıktan ve alışkanlıktan kurtarmak ve bizi Kronecker'in görüşlerinde kendini zaten hissettiren öznelcilikten korumak bilimin görevinin bir parçasıdır ve bana öyle geliyor ki, onu buluyor. sezgisellikte doruk noktası ".[9] Hilbert daha sonra "matematiğin ön varsayımı olmayan bir bilim olduğunu. Onu bulmak için Tanrı'ya ihtiyacım yok, Kronecker gibi ..." diyor. (s. 479).

Realist olarak Russell: Russell's Gerçekçilik ona İngilizlere panzehir olarak hizmet etti İdealizm,[10] Avrupa'dan ödünç alınan kısımlarla Akılcılık ve İngiliz deneycilik.[11] Öncelikle, "Russell iki anahtar konu hakkında bir realistti: evrenseller ve maddi nesneler" (Russell 1912: xi). Russell için tablolar, gözlemci Russell'dan bağımsız olarak var olan gerçek şeylerdir. Rasyonalizm, Önsel bilgi,[12] deneysellik ise deneyimsel bilginin rolüne katkıda bulunurken (deneyimden indüksiyon).[13] Russell, "a priori" bilgi fikrini Kant'a borçludur, ancak "ölümcül" olarak gördüğü Kant'a bir itirazda bulunur: "[dünyanın] gerçekleri her zaman mantığa ve aritmetiğe uygun olmalıdır. Mantık ve aritmetiğin geçerli olduğunu söylemek için bizim tarafımızdan yapılan katkı bunu hesaba katmaz "(1912: 87); Russell şu sonuca varıyor: Önsel Sahip olduğumuz bilgi "şeyler hakkındadır, sadece düşünceler hakkında değildir" (1912: 89). Ve bu Russell'ın epistemolojisinde, Dedekind'in "sayıların insan zihninin özgür yaratımları olduğu" inancından farklı görünüyor (Dedekind 1887: 31)[14]

Ama doğuştan olanla ilgili epistemolojisi (o sözcüğü tercih ediyor Önsel mantıksal ilkelere uygulandığında, cf. 1912: 74) karmaşıktır. Şiddetle, açık bir şekilde desteğini ifade ederdi. platonik "evrenseller" (çapraz başvuru 1912: 91-118) ve o, gerçeğin ve yanlışlığın "dışarıda" olduğu sonucuna varacaktı; zihinler yaratır inançlar ve bir inancı doğru kılan bir gerçektir, "ve bu gerçek (istisnai durumlar dışında) inancı olan kişinin aklını içermez" (1912: 130).

Russell bu epistemik nosyonları nereden elde etti? Bize 1903'ün Önsözünde anlatıyor Matematiğin İlkeleri. "Emily bir tavşandır" inancının olmadığını ve yine de bu var olmayan önermenin gerçeğinin herhangi bir biliş zihninden bağımsız olduğunu iddia ettiğine dikkat edin; Emily gerçekten bir tavşansa, bu gerçeğin gerçeği, Russell veya başka bir akıl canlı ya da ölü olsun ya da olmasın vardır ve Emily'nin tavşan kafasıyla ilişkisi "nihai" dir:

"Felsefenin temel sorunlarında, benim konumum, tüm temel özellikleriyle, Bay GE Moore'dan türetilmiştir. Ondan önermelerin varolmayan doğasını (varoluşu ileri sürenler hariç) ve herhangi bir bilgiden bağımsız olduklarını kabul ettim. akıl; aynı zamanda dünyayı, hem var olanların hem de varlıkların dünyasını, sonsuz sayıda karşılıklı bağımsız varlıktan oluşan, nihai olan ve kendi terimlerinin sıfatlarına ya da bunların tümünün sıfatlarına indirgenemeyen ilişkilerle gören çoğulculuk. Az önce bahsedilen doktrinler, benim görüşüme göre, tahammül edilebilir derecede tatmin edici herhangi bir matematik felsefesi için oldukça vazgeçilmezdir, umarım sonraki sayfalarda da gösterilecektir ... Biçimsel olarak, önermelerim basitçe varsayılır; ama gerçek şu ki matematiğin doğru olmasına izin veriyorlar ki günümüz felsefelerinin çoğunun yapmadığı, kesinlikle onların lehine güçlü bir argümandır. " (Önsöz 1903: viii)

Russell paradoksu: 1902'de Russell bir "kısır döngü" keşfetti (Russell paradoksu ) Frege's Grundgesetze der Arithmetik, Frege'nin Temel Kanunu V'den alınmıştır ve 1903'te tekrar etmemeye kararlıdır. Matematiğin İlkeleri. Son dakikada eklenen iki Ek'te 28 sayfayı hem Frege'nin teorisinin kendisininkiyle çelişen ayrıntılı bir analizine hem de paradoks için bir düzeltmeye ayırdı. Ancak sonuç konusunda iyimser değildi:

"Sınıflar söz konusu olduğunda, itiraf etmeliyim ki, sınıf kavramı için gerekli koşulları karşılayan herhangi bir kavramı algılayamadım. Ve Bölüm x'te tartışılan çelişki bir şeyin yanlış olduğunu kanıtlıyor, ama bu şimdiye kadar başarısız oldum (Russell 1903'e Önsöz: vi) "

"Kurgusalcılık" ve Russell'ın sınıfsız teorisi: Gödel, 1944'te 1903'ün genç Russell'ına katılmıyordu ("[benim öncüllerim) matematiğin doğru olmasına izin veriyor") ama muhtemelen Russell'ın yukarıda alıntılanan ifadesine ("bir şeyler yanlış") katılacaktır; Russell'ın teorisi, matematiğin tatmin edici bir temeline ulaşmakta başarısız olmuştu: sonuç "esasen olumsuzdu; yani bu şekilde tanıtılan sınıflar ve kavramlar, matematiğin kullanımı için gerekli tüm özelliklere sahip değiller" (Gödel 1944: 132).

Russell bu duruma nasıl geldi? Gödel, Russell'ın şaşırtıcı bir "realist" olduğunu gözlemliyor: Russell'ın 1919: 169 "Mantık, gerçek dünyayla zooloji kadar gerçekle ilgileniyor" (Gödel 1944: 120). Ancak, "somut bir soruna başladığında, analiz edilecek nesnelerin (örneğin sınıflar veya önermeler) kısa süre sonra büyük bir kısmının" mantıksal kurgulara "dönüştüğünü gözlemler ... [yani] sadece doğrudan bir algıya sahip olmadığımız anlamına gelir. onları. " (Gödel 1944: 120)

Russell'ın mantıkçılığına ilişkin bir gözlemde Perry, Russell'ın gerçekçiliğin üç aşamasından geçtiğini belirtir: aşırı, ılımlı ve yapıcı (Perry 1997: xxv). 1903'te aşırı safhadaydı; 1905'te ılımlı evresine girecekti. Birkaç yıl içinde, bir sonraki kitabında "dünyanın mobilyalarının temel parçaları olarak fiziksel veya maddi nesnelerden vazgeçecekti. Bunları duyu verilerinden inşa etmeye çalışacaktı" Dış Dünya hakkındaki bilgimiz [1914] "(Perry 1997: xxvi).

Gödel'in 1944 adını verdiği bu yapılar "nominalist yapılandırmacılık. . . hangisi daha iyi denilebilir kurgusallık "Russell'ın" daha radikal fikri, sınıfsızlık teorisinden "türetilmiştir (s. 125):

"hangi sınıflara veya kavramlara göre asla gerçek nesneler olarak mevcuttur ve bu terimleri içeren cümleler ancak yorumlanabildikleri için anlamlıdır. . . başka şeyler hakkında konuşma şekli "(s. 125).

Aşağıdaki Eleştiri bölümlerinde daha fazlasını görün.

Doğal sayıların mantıkçı inşasına bir örnek: Russell'ın Principia

Frege ve Dedekind'in mantığı Russell'ınkine benzer, ancak ayrıntılardaki farklılıklarla (bkz. Aşağıdaki Eleştiriler). Genel olarak, doğal sayıların mantıkçı türetmeleri, örneğin Zermelo'nun küme teorisi ('Z') aksiyomlarından türetilmelerinden farklıdır. Oysa, Z'den türetmelerde "sayı" nın bir tanımı, bu sistemin bir aksiyomunu kullanır - eşleştirme aksiyomu - bu "sıralı çift" tanımına götürür - hayır açık sayı aksiyomu, doğal sayıların türetilmesine izin veren çeşitli mantıkçı aksiyom sistemlerinde mevcuttur. Bir sayının tanımını türetmek için gereken aksiyomların, her durumda küme teorisi için aksiyom sistemleri arasında farklılık gösterebileceğini unutmayın. Örneğin, ZF ve ZFC'de, eşleştirme aksiyomu ve dolayısıyla sıralı bir çift kavramı, Sonsuzluk Aksiyomu ve Değiştirme Aksiyomundan türetilebilir ve Von Neumann rakamlarının tanımında gereklidir (ancak Zermelo NFU'da Frege sayıları, Grundgesetze'deki türetilmelerine benzer bir şekilde türetilebilir.

Principiaöncüsü gibi Grundgesetze, sayıların inşasına "sınıf", "önerme işlevi" gibi ilkel önermelerden ve özellikle "benzerlik" ("eşitlik": koleksiyon öğelerini bire bir yazışmalara yerleştirme) ve " sıralama "(eşit sayıdaki sınıfların koleksiyonlarını sıralamak için" ardılını "kullanarak)".[15] Mantıksal türetme, Kardinal sayılar inşa edilmiş bu şekilde doğal sayılara gidersiniz ve bu sayılar, sınıfların sınıfları gibi aynı "tip" e sahip olurken, bazı set teorik yapılarda - örneğin von Neumman ve Zermelo rakamları - her sayının bir alt küme olarak bir öncülü vardır . Kleene şunları gözlemler. (Kleene'nin varsayımları (1) ve (2), 0'ın özelliğe sahip olduğunu belirtir. P ve n+1 mülke sahip P her ne zaman n mal var P.)

"Buradaki bakış açısı, [Kronecker] 'in' Tanrı tamsayıları yarattı 'atasözünden çok farklıdır. Peano'nun aksiyomları sayı ve matematiksel tümevarım], burada doğal sayı dizisinin sezgisel bir kavramsallaşmasını önceden varsaydığımız ve ondan, belirli bir özellik olduğunda P (1) ve (2) gibi doğal sayılar verilirse, verilen herhangi bir doğal sayı özelliğe sahip olmalıdır P. "(Kleene 1952: 44).

Doğal sayıların oluşturulmasının mantıkçı programının önemi, Russell'ın "Tüm geleneksel saf matematiğin doğal sayılardan türetilebileceği, uzun zamandır şüphelenilmesine rağmen, oldukça yeni bir keşiftir" (1919: 4) iddiasından kaynaklanmaktadır. Bir türevi gerçek sayılar teorisinden türemiştir Dedekind kesimleri rasyonel sayılarda, rasyonel sayılar da doğallardan türetilir. Bunun nasıl yapıldığına dair bir örnek yararlı olsa da, önce doğal sayıların türetilmesine dayanır. Dolayısıyla, doğal sayıların mantıkçı bir türetilmesinde felsefi zorluklar ortaya çıkarsa, bu sorunlar çözülene kadar programı durdurmak için yeterli olmalıdır (bkz. Aşağıdaki Eleştiriler).

Doğal sayıları oluşturmaya yönelik bir girişim Bernays 1930-1931 tarafından özetlenmiştir.[16] Ancak Bernays'in bazı ayrıntılarda eksik olan précisini kullanmak yerine, Russell'ın yapısının bazı sonlu örnekleri içeren bir yorumlama girişimi aşağıda belirtilmiştir:

Ön bilgiler

Russell için koleksiyonlar (sınıflar), önermelerin (bir şey veya şeyler hakkındaki gerçek iddiaları) sonucu ortaya çıkan, özel isimlerle belirtilen "şeylerin" toplamalarıdır. Russell bu genel fikri analiz etti. Aşağıdaki gibi analiz ettiği cümlelerde "terimler" ile başlar:

Koşullar: Russell için "terimler" ya "şeyler" ya da "kavramlar" dır: "Her ne olursa olsun bir düşünce nesnesi olabilir veya herhangi bir doğru veya yanlış önermede ortaya çıkabilir veya tek olarak sayılabilir, ben dönem. O halde bu, felsefi kelime dağarcığındaki en geniş sözcüktür. Onunla eşanlamlı olarak kelimeleri, birimi, kişiyi ve varlığı kullanacağım. İlk ikisi, her terimin bir olduğu gerçeğini vurgularken, üçüncüsü her terimin bir varlığa sahip olduğu, yani bir anlamda var olduğu gerçeğinden türemiştir. Bir adam, bir an, bir sayı, bir sınıf, bir ilişki, bir kimera veya bahsedilebilecek başka herhangi bir şey kesinlikle bir terim olacaktır; ve böyle bir şeyin bir terim olduğunu reddetmek her zaman yanlış olmalıdır "(Russell 1903: 43)

Şeyler özel isimlerle belirtilmiştir; kavramlar sıfatlar veya fiillerle gösterilir: "Terimler arasında, sırasıyla diyeceğim iki türü ayırt etmek mümkündür. bir şeyler ve kavramlar; ilki özel adlarla gösterilen terimlerdir, ikincisi ise diğer tüm sözcüklerle gösterilen terimlerdir. . . Kavramlar arasında yine en azından iki tür ayırt edilmelidir, yani sıfatlarla gösterilenler ve fiillerle gösterilenler "(1903: 44).

Kavram sıfatları "yüklemlerdir"; kavram fiiller "ilişkilerdir": "İlk tür genellikle yüklemler veya sınıf kavramları olarak adlandırılır; ikincisi her zaman veya neredeyse her zaman ilişkidir." (1903: 44)

Bir önermede görünen "değişken" bir özne kavramı: "Ben bahsedeceğim şartlar bir önermede ortaya çıkan ve önermenin konusu olduğu konular olarak kabul edilebilen, ancak çok sayıda olan bu terimler olarak bir önermenin. Bir önermeye sahip olmayı bırakmadan, bunlardan herhangi birinin başka herhangi bir varlık ile değiştirilebilmesi, bir önermenin şartlarının bir özelliğidir. Bu nedenle "Sokrates insandır" ifadesinin yalnızca bir terimi olan bir önerme olduğunu söyleyeceğiz; önermenin geri kalan bileşeninden biri fiil, diğeri ise yüklemdir ... . Öyleyse yüklemler, fiillerden başka kavramlardır ve yalnızca bir terime veya konuya sahip önermelerde ortaya çıkar. "(1903: 45)

Hakikat ve yanlışlık: Birinin bir nesneyi işaret edip şöyle dediğini varsayalım: "Önümdeki 'Emily' adlı bu nesne bir kadın." Bu, dış dünyanın "gerçeklerine" karşı sınanacak, konuşmacının inancının bir iddiası olan bir önermedir: "Zihinler oluşturmak gerçek ya da yanlış. İnançlar yaratırlar. . . bir inancı doğru yapan şey bir gerçekve bu gerçek (istisnai durumlar dışında) hiçbir şekilde inancı olan kişinin zihnini kapsamaz. "(1912: 130). Eğer ifade ve" gerçek "ile olan yazışmanın incelenmesi sonucunda Russell, Emily'nin bir tavşan, o zaman ifadesi "yanlış" olarak kabul edilir; eğer Emily dişi bir insansa (Russell'ın insanları çağırmayı sevdiği şekliyle "tüysüz iki ayaklı" bir dişi Diogenes Laërtius Platon hakkındaki anekdotu), sonra söylediği söz "doğru" kabul edilir.

Sınıflar (kümeler, kompleksler): "Sınıf kavramının aksine sınıf, verilen yüklemeye sahip tüm terimlerin toplamı veya birleşimidir" (1903 s. 55). Sınıflar, uzantı ile (üyelerini listeleyerek) veya niyetle, yani "x bir u'dur" veya "x, v'dir" gibi bir "önerme işlevi" ile belirtilebilir. Ancak "uzantıyı saf alırsak, sınıfımız terimlerinin numaralandırılmasıyla tanımlanır ve bu yöntem, Sembolik Mantık'ın yaptığı gibi sonsuz sınıflarla uğraşmamıza izin vermez. Bu nedenle sınıflarımız genel olarak kavramlarla gösterilen nesneler olarak görülmelidir. ve bu kapsamda niyetin bakış açısı esastır. " (1909 s. 66)

Önerme fonksiyonları: "Genel olarak terimlerden farklı olarak, bir sınıf kavramının özelliği," x bir u'dur ", ancak ve sadece u bir sınıf kavramı olduğunda önermeye dayalı bir işlevdir." (1903: 56)

Bir sınıfın kapsamlı ve içsel tanımı: "71. Sınıf, uzamsal veya içsel olarak tanımlanabilir. Yani, bir sınıf olan nesnenin türünü veya bir sınıfı ifade eden bir kavram türünü tanımlayabiliriz: bu, uzantının karşıtlığının tam anlamıdır. Ancak genel kavram bu iki katlı biçimde tanımlanabilse de, belirli sınıflar, sonlu oldukları durumlar dışında, yalnızca içsel olarak, yani bu ve benzeri kavramlarla gösterilen nesneler olarak tanımlanabilir. . mantıksal olarak; genişleme tanımı, sonsuz sınıflar için de aynı ölçüde uygulanabilir görünmektedir, ancak pratikte, eğer bunu denersek, Ölüm, övgüye değer çabamızı amacına ulaşmadan önce yarıda keserdi. "(1903: 69)

Doğal sayıların tanımı

Prinicipia'da doğal sayılar şunlardan türemiştir: herşey hakkında ileri sürülebilecek önermeler hiç varlıkların koleksiyonu. Russell bunu aşağıdaki ikinci (italik) cümlede açıklıyor.

"İlk olarak, sayıların kendisi sonsuz bir koleksiyon oluşturur ve bu nedenle numaralandırma ile tanımlanamaz. İkinci olarak, belirli sayıda terime sahip koleksiyonların kendileri muhtemelen sonsuz bir koleksiyon oluştururlar: örneğin, dünyada sonsuz bir üçlü koleksiyonu olduğu varsayılmalıdır., çünkü eğer durum böyle olmasaydı dünyadaki toplam şey sayısı sonlu olurdu, ki bu mümkün olsa da pek olası görünmüyor. Üçüncü olarak, "sayı" yı sonsuz sayıların mümkün olabileceği şekilde tanımlamak istiyoruz; bu nedenle, sonsuz bir koleksiyondaki terimlerin sayısından söz edebilmeliyiz ve böyle bir koleksiyon, niyetle, yani tüm üyeleri için ortak ve onlara özgü bir özellik ile tanımlanmalıdır. "(1919: 13)

Göstermek için, aşağıdaki sonlu örneği düşünün: Bir sokakta 12 aile olduğunu varsayalım. Bazılarının çocuğu var, bazılarının yok. Bu hanelerdeki çocukların isimlerini tartışmak için 12 önerme gerekiyor "Çocuk adı F1, F2, ... adlarına sahip ailelerin belirli bir sokağındaki bu haneler koleksiyonuna uygulanan Fn ailesindeki bir çocuğun adıdır. F12. 12 önermenin her biri "argüman" olup olmadığına ilişkin Çocuk adı belirli bir hanedeki bir çocuk için geçerlidir. Çocukların isimleri (Çocuk adı), f (x) önermeli fonksiyonundaki x olarak düşünülebilir, burada fonksiyon "Fn adıyla ailedeki bir çocuğun adı" dır.[17][orjinal araştırma? ]

Adım 1: Tüm sınıfları bir araya getirin: Önceki örnek, sonlu önerme fonksiyonu üzerinde sonlu iken "çocuk isimleri Sonlu sayıda ailenin sonlu sokağındaki Fn '"ailesindeki çocukların arasında, Russell görünüşe göre aşağıdakileri, tüm sayıların yaratılmasına izin vermek için sonsuz bir alan üzerinde uzanan tüm önerme işlevlerini genişletmeyi amaçladı.

Kleene, Russell'ın bir cezalandırıcı Çözmesi gerekeceği tanım veya buna benzer bir şey türetme riski Russell paradoksu. "Burada bunun yerine, doğal sayı dizisinin tanımlanmasından önce, mantıkta var olduğu şekliyle kardinal sayıların tüm özelliklerinin toplamını varsayıyoruz" (Kleene 1952: 44). Sorun, burada sunulan sonlu örnekte bile, Russell birim sınıfla uğraşırken ortaya çıkacaktır (çapraz başvuru Russell 1903: 517).

Soru, tam olarak "sınıfın" ne olduğu dır-dir veya olmalıdır. Dedekind ve Frege için, bir sınıf kendi başına ayrı bir varlıktır, bazı F önermesel fonksiyonlarını karşılayan tüm bu varlıklar x ile özdeşleştirilebilen bir "birlik" tir (Bu sembolizm, burada Frege'ye atfedilen Russell'da yer almaktadır: " bir işlevin özü, x alınır, yani yukarıdaki örnekte, 2 ()3 + (). Argüman x işleve ait değildir, ancak ikisi birlikte bir bütün oluşturur (ib. s. 6 [yani, Frege'nin 1891 Function und Begriff]" (Russell 1903:505).) For example, a particular "unity" could be given a name; suppose a family Fα has the children with the names Annie, Barbie and Charles:

{ a, b, c }Fα

This notion of collection or class as object, when used without restriction, results in Russell paradoksu; see more below about impredicative definitions. Russell's solution was to define the notion of a class to be only those elements that satisfy the proposition, his argument being that, indeed, the arguments x do not belong to the propositional function aka "class" created by the function. The class itself is not to be regarded as a unitary object in its own right, it exists only as a kind of useful fiction: "We have avoided the decision as to whether a class of things has in any sense an existence as one object. A decision of this question in either way is indifferent to our logic" (First edition of Principia Mathematica 1927:24).

Russell continues to hold this opinion in his 1919; observe the words "symbolic fictions":[orjinal araştırma? ]

"When we have decided that classes cannot be things of the same sort as their members, that they cannot be just heaps or aggregates, and also that they cannot be identified with propositional functions, it becomes very difficult to see what they can be, if they are to be more than symbolic fictions. And if we can find any way of dealing with them as symbolic fictions, we increase the logical security of our position, since we avoid the need of assuming that there are classes without being compelled to make the opposite assumption that there are no classes. We merely abstain from both assumptions. . . . But when we refuse to assert that there are classes, we must not be supposed to be asserting dogmatically that there are none. We are merely agnostic as regards them . . .." (1919:184)

And in the second edition of ÖS (1927) Russell holds that "functions occur only through their values, . . . all functions of functions are extensional, . . . [and] consequently there is no reason to distinguish between functions and classes . . . Thus classes, as distinct from functions, lose even that shadowy being which they retain in *20" (p. xxxix). In other words, classes as a separate notion have vanished altogether.

Step 2: Collect "similar" classes into 'bundles' : These above collections can be put into a "binary relation" (comparing for) similarity by "equinumerosity", symbolized here by ≈, i.e. one-one correspondence of the elements,[18] and thereby create Russellian classes of classes or what Russell called "bundles". "We can suppose all couples in one bundle, all trios in another, and so on. In this way we obtain various bundles of collections, each bundle consisting of all the collections that have a certain number of terms. Each bundle is a class whose members are collections, i.e. classes; thus each is a class of classes" (Russell 1919:14).

Step 3: Define the null class: Notice that a certain class of classes is special because its classes contain no elements, i.e. no elements satisfy the predicates whose assertion defined this particular class/collection.

The resulting entity may be called "the null class" or "the empty class". Russell symbolized the null/empty class with Λ. So what exactly is the Russellian null class? İçinde ÖS Russell says that "A class is said to var olmak when it has at least one member . . . the class which has no members is called the "null class" . . . "α is the null-class" is equivalent to "α does not exist". The question naturally arises whether the null class itself 'exists'? Difficulties related to this question occur in Russell's 1903 work.[19] After he discovered the paradox in Frege's Grundgesetze he added Appendix A to his 1903 where through the analysis of the nature of the null and unit classes, he discovered the need for a "doctrine of types"; see more about the unit class, the problem of impredicative definitions and Russell's "vicious circle principle" below.[19]

Step 4: Assign a "numeral" to each bundle: For purposes of abbreviation and identification, to each bundle assign a unique symbol (aka a "numeral"). These symbols are arbitrary.

Step 5: Define "0" Following Frege, Russell picked the empty or boş class of classes as the appropriate class to fill this role, this being the class of classes having no members. This null class of classes may be labelled "0"

Step 6: Define the notion of "successor": Russell defined a new characteristic "hereditary" (cf Frege's 'ancestral'), a property of certain classes with the ability to "inherit" a characteristic from another class (which may be a class of classes) i.e. "A property is said to be "hereditary" in the natural-number series if, whenever it belongs to a number n, it also belongs to n+1, the successor of n". (1903:21). He asserts that "the natural numbers are the gelecek nesil — the "children", the inheritors of the "successor" — of 0 with respect to the relation "the immediate predecessor of (which is the converse of "successor") (1919:23).

Note Russell has used a few words here without definition, in particular "number series", "number n", and "successor". He will define these in due course. Observe in particular that Russell does not use the unit class of classes "1" to construct the successor. The reason is that, in Russell's detailed analysis,[20] if a unit class becomes an entity in its own right, then it too can be an element in its own proposition; this causes the proposition to become "impredicative" and result in a "vicious circle". Rather, he states: "We saw in Chapter II that a cardinal number is to be defined as a class of classes, and in Chapter III that the number 1 is to be defined as the class of all unit classes, of all that have just one member, as we should say but for the vicious circle. Of course, when the number 1 is defined as the class of all unit classes, unit classes must be defined so as not to assume that we know what is meant by bir (1919:181).

For his definition of successor, Russell will use for his "unit" a single entity or "term" as follows:

"It remains to define "successor". Given any number n İzin Vermek α be a class which has n members, and let x be a term which is not a member of α. Then the class consisting of α ile x added on will have +1 üyeler. Thus we have the following definition:
the successor of the number of terms in the class α is the number of terms in the class consisting of α together with x where x is not any term belonging to the class." (1919:23)

Russell's definition requires a new "term" which is "added into" the collections inside the bundles.

Step 7: Construct the successor of the null class.

Step 8: For every class of equinumerous classes, create its successor.

Step 9: Order the numbers: The process of creating a successor requires the relation " . . . is the successor of . . .", which may be denoted "S", between the various "numerals". "We must now consider the seri character of the natural numbers in the order 0, 1, 2, 3, . . . We ordinarily think of the numbers as in this order, and it is an essential part of the work of analysing our data to seek a definition of "order" or "series " in logical terms. . . . The order lies, not in the sınıf of terms, but in a relation among the members of the class, in respect of which some appear as earlier and some as later." (1919:31)

Russell applies to the notion of "ordering relation" three criteria: First, he defines the notion of "asymmetry" i.e. given the relation such as S (" . . . is the successor of . . . ") between two terms x, and y: x S y ≠ y S x. Second, he defines the notion of "transitivity" for three numerals x, y and z: if x S y and y S z then x S z. Third, he defines the notion of "connected": "Given any two terms of the class which is to be ordered, there must be one which precedes and the other which follows. . . . A relation is connected when, given any two different terms of its field [both domain and converse domain of a relation e.g. husbands versus wives in the relation of married] the relation holds between the first and the second or between the second and the first (not excluding the possibility that both may happen, though both cannot happen if the relation is asymmetrical).(1919:32)

He concludes: ". . . [natural] number m is said to be less than another number n when n possesses every hereditary property possessed by the successor of m. It is easy to see, and not difficult to prove, that the relation "less than", so defined, is asymmetrical, transitive, and connected, and has the [natural] numbers for its field [i.e. both domain and converse domain are the numbers]." (1919:35)

Eleştiri

The presumption of an 'extralogical' notion of iteration: Kleene notes that "the logicistic thesis can be questioned finally on the ground that logic already presupposes mathematical ideas in its formulation. In the Intuitionistic view, an essential mathematical kernel is contained in the idea of iteration" (Kleene 1952:46)

Bernays 1930–1931 observes that this notion "two things" already presupposes something, even without the claim of existence of two things, and also without reference to a predicate, which applies to the two things; it means, simply, "a thing and one more thing. . . . With respect to this simple definition, the Number concept turns out to be an elementary structural concept . . . the claim of the logicists that mathematics is purely logical knowledge turns out to be blurred and misleading upon closer observation of theoretical logic. . . . [one can extend the definition of "logical"] however, through this definition what is epistemologically essential is concealed, and what is peculiar to mathematics is overlooked" (in Mancosu 1998:243).

Hilbert 1931:266-7, like Bernays, considers there is "something extra-logical" in mathematics: "Besides experience and thought, there is yet a third source of knowledge. Even if today we can no longer agree with Kant in the details, nevertheless the most general and fundamental idea of the Kantian epistemology retains its significance: to ascertain the intuitive Önsel mode of thought, and thereby to investigate the condition of the possibility of all knowledge. In my opinion this is essentially what happens in my investigations of the principles of mathematics. Önsel is here nothing more and nothing less than a fundamental mode of thought, which I also call the finite mode of thought: something is already given to us in advance in our faculty of representation: certain extra-logical concrete objects that exist intuitively as an immediate experience before all thought. If logical inference is to be certain, then these objects must be completely surveyable in all their parts, and their presentation, their differences, their succeeding one another or their being arrayed next to one another is immediately and intuitively given to us, along with the objects, as something that neither can be reduced to anything else, nor needs such a reduction." (Hilbert 1931 in Mancosu 1998: 266, 267).

In brief, according to Hilbert and Bernays, the notion of "sequence" or "successor" is an Önsel notion that lies outside symbolic logic.

Hilbert dismissed logicism as a "false path": "Some tried to define the numbers purely logically; others simply took the usual number-theoretic modes of inference to be self-evident. On both paths they encountered obstacles that proved to be insuperable." (Hilbert 1931 in Mancoso 1998:267). The incompleteness theorems arguably constitute a similar obstacle for Hilbertian finitism.

Mancosu states that Brouwer concluded that: "the classical laws or principles of logic are part of [the] perceived regularity [in the symbolic representation]; they are derived from the post factum record of mathematical constructions . . . Theoretical logic . . . [is] an empirical science and an application of mathematics" (Brouwer quoted by Mancosu 1998:9).

Gödel 1944: With respect to the teknik aspects of Russellian logicism as it appears in Principia Mathematica (either edition), Gödel was disappointed:

"It is to be regretted that this first comprehensive and thorough-going presentation of a mathematical logic and the derivation of mathematics from it [is?] so greatly lacking in formal precision in the foundations (contained in *1–*21 of Principia) that it presents in this respect a considerable step backwards as compared with Frege. What is missing, above all, is a precise statement of the syntax of the formalism" (cf. footnote 1 in Gödel 1944 Derleme 1990:120).

In particular he pointed out that "The matter is especially doubtful for the rule of substitution and of replacing defined symbols by their definiens" (Russell 1944:120)

With respect to the philosophy that might underlie these foundations, Gödel considered Russell's "no-class theory" as embodying a "nominalistic kind of constructivism . . . which might better be called fictionalism" (cf. footnote 1 in Gödel 1944:119) — to be faulty. See more in "Gödel's criticism and suggestions" below.

Grattan-Guinness: A complicated theory of relations continued to strangle Russell's explanatory 1919 Matematik Felsefesine Giriş and his 1927 second edition of Principia. Set theory, meanwhile had moved on with its reduction of relation to the ordered pair of sets. Grattan-Guinness observes that in the second edition of Principia Russell ignored this reduction that had been achieved by his own student Norbert Wiener (1914). Perhaps because of "residual annoyance, Russell did not react at all".[21] By 1914 Hausdorff would provide another, equivalent definition, and Kuratowski in 1921 would provide the one in use today.[22]

The unit class, impredicativity, and the vicious circle principle

A benign impredicative definition: Suppose a librarian wants to index her collection into a single book (call it Ι for "index"). Her index will list all the books and their locations in the library. As it turns out, there are only three books, and these have titles Ά, β, and Γ. To form her index I, she goes out and buys a book of 200 blank pages and labels it "I". Now she has four books: I, Ά, β, and Γ. Her task is not difficult. When completed, the contents of her index I are 4 pages, each with a unique title and unique location (each entry abbreviated as Title.LocationT):

I ← { I.Lben, Ά.LΆ, β.Lβ, Γ.LΓ}.

This sort of definition of I was deemed by Poincaré to be "cezalandırıcı ". He seems to have considered that only predicative definitions can be allowed in mathematics:

"a definition is 'predicative' and logically admissible only if it hariç tutar all objects that are dependent upon the notion defined, that is, that can in any way be determined by it".[23]

By Poincaré's definition, the librarian's index book is "impredicative" because the definition of I is dependent upon the definition of the totality I, Ά, β, and Γ. As noted below, some commentators insist that belirsizlik in commonsense versions is harmless, but as the examples show below there are versions which are not harmless. In response to these difficulties, Russell advocated a strong prohibition, his "vicious circle principle":

"No totality can contain members definable only in terms of this totality, or members involving or presupposing this totality" (vicious circle principle)" (Gödel 1944 appearing in Collected Works Vol. II 1990:125).[24]

A pernicious impredicativity: α = NOT-α: To illustrate what a pernicious instance of impredicativity might be, consider the consequence of inputting argument α into the işlevi f with output ω = 1 – α. This may be seen as the equivalent 'algebraic-logic' expression to the 'symbolic-logic' expression ω = NOT-α, with truth values 1 and 0. When input α = 0, output ω = 1; when input α = 1, output ω = 0.

To make the function "impredicative", identify the input with the output, yielding α = 1-α

Within the algebra of, say, rational numbers the equation is satisfied when α = 0.5. But within, for instance, a Boolean algebra, where only "truth values" 0 and 1 are permitted, then the equality olumsuz be satisfied.

Fatal impredicativity in the definition of the unit class: Some of the difficulties in the logicist programme may derive from the α = NOT-α paradox[25] Russell discovered in Frege's 1879 Begriffsschrift[26] that Frege had allowed a function to derive its input "functional" (value of its variable) not only from an object (thing, term), but also from the function's own output.[27]

As described above, Both Frege's and Russell's constructions of the natural numbers begin with the formation of equinumerous classes of classes ("bundles"), followed by an assignment of a unique "numeral" to each bundle, and then by the placing of the bundles into an order via a relation S that is asymmetric: x S y ≠ y S x. But Frege, unlike Russell, allowed the class of unit classes to be identified as a unit itself:

But, since the class with numeral 1 is a single object or unit in its own right, it too must be included in the class of unit classes. This inclusion results in an "infinite regress" (as Gödel called it) of increasing "type" and increasing content.

Russell avoided this problem by declaring a class to be more or a "fiction". By this he meant that a class could designate only those elements that satisfied its propositional function and nothing else. As a "fiction" a class cannot be considered to be a thing: an entity, a "term", a singularity, a "unit". It is an montaj but is not in Russell's view "worthy of thing-hood":

"The class as many . . . is unobjectionable, but is many and not one. We may, if we choose, represent this by a single symbol: thus x ε sen will mean " x biridir sen 's." This must not be taken as a relation of two terms, x ve sen, Çünkü sen as the numerical conjunction is not a single term . . . Thus a class of classes will be many many's; its constituents will each be only many, and cannot therefore in any sense, one might suppose, be single constituents.[etc]" (1903:516).

This supposes that "at the bottom" every single solitary "term" can be listed (specified by a "predicative" predicate) for any class, for any class of classes, for class of classes of classes, etc, but it introduces a new problem—a hierarchy of "types" of classes.

A solution to impredicativity: a hierarchy of types

Classes as non-objects, as useful fictions: Gödel 1944:131 observes that "Russell adduces two reasons against the extensional view of classes, namely the existence of (1) the null class, which cannot very well be a collection, and (2) the unit classes, which would have to be identical with their single elements." He suggests that Russell should have regarded these as fictitious, but not derive the further conclusion that herşey classes (such as the class-of-classes that define the numbers 2, 3, etc) are fictions.

But Russell did not do this. After a detailed analysis in Appendix A: The Logical and Arithmetical Doctrines of Frege in his 1903, Russell concludes:

"The logical doctrine which is thus forced upon us is this: The subject of a proposition may be not a single term, but essentially many terms; this is the case with all propositions asserting numbers other than 0 and 1" (1903:516).

In the following notice the wording "the class as many"—a class is an aggregate of those terms (things) that satisfy the propositional function, but a class is not a kendinde-şey:

"Thus the final conclusion is, that the correct theory of classes is even more extensional than that of Chapter VI; that the class as many is the only object always defined by a propositional function, and that this is adequate for formal purposes" (1903:518).

It is as if a rancher were to round up all his livestock (sheep, cows and horses) into three fictitious corrals (one for the sheep, one for the cows, and one for the horses) that are located in his fictitious ranch. What actually exist are the sheep, the cows and the horses (the extensions), but not the fictitious "concepts" corrals and ranch.[orjinal araştırma? ]

Ramified theory of types: function-orders and argument-types, predicative functions: When Russell proclaimed herşey classes are useful fictions he solved the problem of the "unit" class, but the genel problem did not go away; rather, it arrived in a new form: "It will now be necessary to distinguish (1) terms, (2) classes, (3) classes of classes, and so on sonsuza dek; we shall have to hold that no member of one set is a member of any other set, and that x ε sen requires that x should be of a set of a degree lower by one than the set to which sen belongs. Böylece x ε x will become a meaningless proposition; and in this way the contradiction is avoided" (1903:517).

This is Russell's "doctrine of types". To guarantee that impredicative expressions such as x ε x can be treated in his logic, Russell proposed, as a kind of working hypothesis, that all such impredicative definitions have predicative definitions. This supposition requires the notions of function-"orders" and argument-"types". First, functions (and their classes-as-extensions, i.e. "matrices") are to be classified by their "order", where functions of individuals are of order 1, functions of functions (classes of classes) are of order 2, and so forth. Next, he defines the "type" of a function's arguments (the function's "inputs") to be their "range of significance", i.e. what are those inputs α (individuals? classes? classes-of-classes? etc.) that, when plugged into f(x), yield a meaningful output ω. Note that this means that a "type" can be of mixed order, as the following example shows:

"Joe DiMaggio and the Yankees won the 1947 World Series".

This sentence can be decomposed into two clauses: "x won the 1947 World Series" + "y won the 1947 World Series". The first sentence takes for x an individual "Joe DiMaggio" as its input, the other takes for y an aggregate "Yankees" as its input. Thus the composite-sentence has a (mixed) type of 2, mixed as to order (1 and 2).

By "predicative", Russell meant that the function must be of an order higher than the "type" of its variable(s). Thus a function (of order 2) that creates a class of classes can only entertain arguments for its variable(s) that are classes (type 1) and individuals (type 0), as these are lower types. Type 3 can only entertain types 2, 1 or 0, and so forth. But these types can be mixed (for example, for this sentence to be (sort of) true: " z won the 1947 World Series " could accept the individual (type 0) "Joe DiMaggio" and/or the names of his other teammates, ve it could accept the class (type 1) of individual players "The Yankees".

The axiom of reducibility: indirgenebilirlik aksiyomu hipotez mi hiç fonksiyonu hiç order can be reduced to (or replaced by) an equivalent öngörücü function of the appropriate order.[28] A careful reading of the first edition indicates that an ninci order predicative function need not be expressed "all the way down" as a huge "matrix" or aggregate of individual atomic propositions. "For in practice only the akraba types of variables are relevant; thus the lowest type occurring in a given context may be called that of individuals" (p. 161). But the axiom of reducibility proposes that in theory a reduction "all the way down" is possible.

Russell 1927 abandons the axiom of reducibility: By the 2nd edition of ÖS of 1927, though, Russell had given up on the axiom of reducibility and concluded he would indeed force any order of function "all the way down" to its elementary propositions, linked together with logical operators:

"All propositions, of whatever order, are derived from a matrix composed of elementary propositions combined by means of the stroke" (ÖS 1927 Appendix A, p. 385)

(The "stroke" is Sheffer's stroke — adopted for the 2nd edition of PM — a single two argument logical function from which all other logical functions may be defined.)

The net result, though, was a collapse of his theory. Russell arrived at this disheartening conclusion: that "the theory of ordinals and cardinals survives . . . but irrationals, and real numbers generally, can no longer be adequately dealt with. . . . Perhaps some further axiom, less objectionable than the axiom of reducibility, might give these results, but we have not succeeded in finding such an axiom" (ÖS 1927:xiv).

Gödel 1944 agrees that Russell's logicist project was stymied; he seems to disagree that even the integers survived:

"[In the second edition] The axiom of reducibility is dropped, and it is stated explicitly that all primitive predicates belong to the lowest type and that the only purpose of variables (and evidently also of constants) of higher orders and types is to make it possible to assert more complicated truth-functions of atomic propositions" (Gödel 1944 in Derleme:134).

Gödel asserts, however, that this procedure seems to presuppose arithmetic in some form or other (p. 134). He deduces that "one obtains integers of different orders" (p. 134-135); the proof in Russell 1927 ÖS Appendix B that "the integers of any order higher than 5 are the same as those of order 5" is "not conclusive" and "the question whether (or to what extent) the theory of integers can be obtained on the basis of the ramified hierarchy [classes plus types] must be considered as unsolved at the present time". Gödel concluded that it wouldn't matter anyway because propositional functions of order n (any n) must be described by finite combinations of symbols (all quotes and content derived from page 135).

Gödel's criticism and suggestions

Gödel, in his 1944 work, identifies the place where he considers Russell's logicism to fail and offers suggestions to rectify the problems. He submits the "vicious circle principle" to re-examination, splitting it into three parts "definable only in terms of", "involving" and "presupposing". It is the first part that "makes impredicative definitions impossible and thereby destroys the derivation of mathematics from logic, effected by Dedekind and Frege, and a good deal of mathematics itself". Since, he argues, mathematics sees to rely on its inherent impredicativities (e.g. "real numbers defined by reference to all real numbers"), he concludes that what he has offered is "a proof that the vicious circle principle is false [rather] than that classical mathematics is false" (all quotes Gödel 1944:127).

Russell's no-class theory is the root of the problem: Gödel believes that impredicativity is not "absurd", as it appears throughout mathematics. Russell's problem derives from his "constructivistic (or nominalistic"[29]) standpoint toward the objects of logic and mathematics, in particular toward propositions, classes, and notions . . . a notion being a symbol . . . so that a separate object denoted by the symbol appears as a mere fiction" (p. 128).

Indeed, Russell's "no class" theory, Gödel concludes:

"is of great interest as one of the few examples, carried out in detail, of the tendency to eliminate assumptions about the existence of objects outside the "data" and to replace them by constructions on the basis of these data33. The "data" are to understand in a relative sense here; i.e. in our case as logic without the assumption of the existence of classes and concepts]. The result has been in this case essentially negative; i.e. the classes and concepts introduced in this way do not have all the properties required from their use in mathematics. . . . All this is only a verification of the view defended above that logic and mathematics (just as physics) are built up on axioms with a real content which cannot be explained away" (p. 132)

He concludes his essay with the following suggestions and observations:

"One should take a more conservative course, such as would consist in trying to make the meaning of terms "class" and "concept" clearer, and to set up a consistent theory of classes and concepts as objectively existing entities. This is the course which the actual development of mathematical logic has been taking and which Russell himself has been forced to enter upon in the more constructive parts of his work. Major among the attempts in this direction . . . are the simple theory of types . . . and axiomatic set theory, both of which have been successful at least to this extent, that they permit the derivation of modern mathematics and at the same time avoid all known paradoxes . . . ¶ It seems reasonable to suspect that it is this incomplete understanding of the foundations which is responsible for the fact that mathematical logic has up to now remained so far behind the high expectations of Peano and others . . .." (p. 140)

Neo-logicism

Neo-logicism describes a range of views considered by their proponents to be successors of the original logicist program.[30] More narrowly, neo-logicism may be seen as the attempt to salvage some or all elements of Frege's programme through the use of a modified version of Frege's system in the Grundgesetze (which may be seen as a kind of ikinci dereceden mantık ).

For instance, one might replace Basic Law V (benzer axiom schema of unrestricted comprehension içinde saf küme teorisi ) with some 'safer' axiom so as to prevent the derivation of the known paradoxes. The most cited candidate to replace BLV is Hume ilkesi, the contextual definition of '#' given by '#F = #G if and only if there is a birebir örten between F and G'.[31] This kind of neo-logicism is often referred to as neo-Fregeanism.[32] Proponents of neo-Fregeanism include Crispin Wright ve Bob Hale bazen de Scottish School veya abstractionist Platonism,[33] who espouse a form of epistemik temelcilik.[34]

Other major proponents of neo-logicism include Bernard Linsky ve Edward N. Zalta bazen denir Stanford–Edmonton School, abstract structuralism veya modal neo-logicism who espouse a form of aksiyomatik metafizik.[34][32] Modal neo-logicism derives the Peano aksiyomları içinde ikinci emir modal nesne teorisi.[35][36]

Another quasi-neo-logicist approach has been suggested by M. Randall Holmes. In this kind of amendment to the Grundgesetze, BLV remains intact, save for a restriction to stratifiable formulae in the manner of Quine's NF and related systems. Essentially all of the Grundgesetze then 'goes through'. The resulting system has the same consistency strength as Jensen 's NFU + Rosser 's Axiom of Counting.[37]

Notlar

  1. ^ Mantıkçılık Arşivlendi 2008-02-20 Wayback Makinesi
  2. ^ Zalta, Edward N. (ed.). "Principia Mathematica". Stanford Felsefe Ansiklopedisi.
  3. ^ "On the philosophical relevance of Gödel's incompleteness theorems"
  4. ^ Gabbay, Dov M. (2009). Studies In Logic And The Foundations Of Mathematics (Volume 153 ed.). Amsterdam: Elsevier, inc. sayfa 59–90. ISBN  978-0-444-52012-8. Alındı 1 Eylül 2019.
  5. ^ Reck, Erich (1997), Frege's Influence on Wittgenstein: Reversing Metaphysics via the Context Principle (PDF)
  6. ^ The exact quote from Russell 1919 is the following: "It is time now to turn to the considerations which make it necessary to advance beyond the standpoint of Peano, who represents the last perfection of the "arithmetisation" of mathematics, to that of Frege, who first succeeded in "logicising" mathematics, i.e. in reducing to logic the arithmetical notions which his predecessors had shown to be sufficient for mathematics." (Russell 1919/2005:17).
  7. ^ For example, von Neumann 1925 would cite Kronecker as follows: "The denumerable infinite . . . is nothing more the general notion of the positive integer, on which mathematics rests and of which even Kronecker and Brouwer admit that it was "created by God"" (von Neumann 1925 An axiomatization of set theory in van Heijenoort 1967:413).
  8. ^ Hilbert 1904 On the foundations of logic and arithmetic in van Heijenoort 1967:130.
  9. ^ Pages 474–5 in Hilbert 1927, The Foundations of Mathematics in: van Heijenoort 1967:475.
  10. ^ Perry in his 1997 Introduction to Russell 1912:ix)
  11. ^ Cf. Russell 1912:74.
  12. ^ "It must be admitted . . . that logical principles are known to us, and cannot be themselves proved by experience, since all proof presupposes them. In this, therefore . . . the rationalists were in the right" (Russell 1912:74).
  13. ^ "Nothing can be known to var olmak except by the help of experience" (Russell 1912:74).
  14. ^ He drives the point home (pages 67-68) where he defines four conditions that determine what we call "the numbers" (cf. (71)). Definition, page 67: the successor set N' is a part of the collection N, there is a starting-point "1Ö" [base number of the number-series N], this "1" is not contained in any successor, for any n in the collection there exists a transformation φ(n) bir benzersiz (distinguishable) n (cf. (26). Definition)). He observes that by establishing these conditions "we entirely neglect the special character of the elements; simply retaining their distinguishability and taking into account only the relation to one another . . . by the order-setting transformation φ. . . . With reference to this freeing the elements from every other content (abstraction) we are justified in calling numbers a free creation of the human mind." (p. 68)
  15. ^ In his 1903 and in ÖS Russell refers to such assumptions (there are others) as "primitive propositions" ("pp" as opposed to "axioms" (there are some of those, too). But the reader is never certain whether these pp are axioms/axiom-schemas or construction-devices (like substitution or modus ponens), or what, exactly. Gödel 1944:120 comments on this absence of formal syntax and the absence of a clearly specified substitution process.
  16. ^ Cf. The Philosophy of Mathematics and Hilbert's Proof Theory 1930:1931 in Mancosu, p. 242.
  17. ^ To be precise both childname = variable x ve soyadı Fn are variables. Childname 's domain is "all childnames", and family name Fn has a domain consisting of the 12 families on the street.
  18. ^ "If the predicates are partitioned into classes with respect to equinumerosity in such a way that all predicates of a class are equinumerous to one another and predicates of different classes are not equinumerous, then each such class represents the Numara, which applies to the predicates that belong to it" (Bernays 1930-1 in Mancosu 1998:240.
  19. ^ a b Cf. sections 487ff (pages 513ff in the Appendix A).
  20. ^ 1909 Appendix A
  21. ^ Russell deemed Wiener "the infant phenomenon . . . more infant than phenomenon"; görmek Russell's confrontation with Wiener in Grattan-Guinness 2000:419ff.
  22. ^ See van Heijenoort's commentary and Norbert Wiener's 1914 A simplification of the logic of relations in van Heijenoort 1967:224ff.
  23. ^ Zermelo 1908 in van Heijenoort 1967:190. See the discussion of this very quotation in Mancosu 1998:68.
  24. ^ This same definition appears also in Kleene 1952:42.
  25. ^ One source for more detail is Fairouz Kamareddine, Twan Laan and Rob Nderpelt, 2004, A Modern Perspective on Type Theory, From its Origins Until Today, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, ISBN. They give a demonstration of how to create the paradox (pages 1–2), as follows: Define an aggregate/class/set y this way: ∃y∀x[x ε y ↔ Φ(x)]. (This says: There exists a class y such that for HİÇ input x, x is an element of set y if and only if x satisfies the given function Φ.) Note that (i) input x is unrestricted as to the "type" of thing that it can be (it can be a thing, or a class), and (ii) function Φ is unrestricted as well. Pick the following tricky function Φ(x) = ¬(x ε x). (This says: Φ(x) is satisfied when x is NOT an element of x)). Because y (a class) is also "unrestricted" we can plug "y" in as input: ∃y[y ε y ↔ ¬(y ε y)]. This says that "there exists a class y that is an element of itself only if it is NOT and element of itself. That is the paradox.
  26. ^ Russell's letter to Frege announcing the "discovery", and Frege's letter back to Russell in sad response, together with commentary, can be found in van Heijenoort 1967:124-128. Zermelo in his 1908 claimed priority to the discovery; cf. footnote 9 on page 191 in van Heijenoort.
  27. ^ van Heijenoort 1967:3 and pages 124-128
  28. ^ "The axiom of reducibility is the assumption that, given any function φẑ, there is a formally equivalent, öngörücü function, i.e. there is a predicative function which is true when φz is true and false when φz is false. In symbols, the axiom is: ⊦ :(∃ψ) : φz. ≡z .ψ!z." (ÖS 1913/1962 edition:56, the original uses x with a circumflex). Here φẑ indicates the function with variable ẑ, i.e. φ(x) where x is argument "z"; φz indicates the value of the function given argument "z"; ≡z indicates "equivalence for all z"; ψ!z indicates a predicative function, i.e. one with no variables except individuals.
  29. ^ Perry observes that Plato and Russell are "enthusiastic" about "universals", then in the next sentence writes: " 'Nominalists' think that all that particulars really have in common are the words we apply to them" (Perry in his 1997 Introduction to Russell 1912:xi). Perry adds that while your sweatshirt and mine are different objects generalized by the word "sweatshirt", you have a relation to yours and I have a relation to mine. And Russell "treated relations on par with other universals" (p. xii). But Gödel is saying that Russell's "no-class" theory denies the numbers the status of "universals".
  30. ^ Bernard Linsky and Edward N. Zalta, "What is Neologicism?", Sembolik Mantık Bülteni, 12(1) (2006): 60–99.
  31. ^ PHIL 30067: Logicism and Neo-Logicism Arşivlendi 2011-07-17 de Wayback Makinesi
  32. ^ a b Zalta, Edward N. (ed.). "Mantıkçılık ve Neolojizm". Stanford Felsefe Ansiklopedisi.
  33. ^ Bob Hale ve Crispin Wright (2002), "Benacerraf'ın ikilemi yeniden ziyaret edildi", Avrupa Felsefe Dergisi 10(1): 101–129, özellikle. "6. İtirazlar ve Nitelikler".
  34. ^ a b st-andrews.ac.uk Arşivlendi 2006-12-24'te Wayback Makinesi
  35. ^ Edward N. Zalta, "Soyut Nesneler Olarak Doğal Sayılar ve Doğal Kardinaller: Frege'nin Kısmi Yeniden İnşası Grundgesetze Nesne Teorisinde ", Journal of Philosophical Logic, 28(6) (1999): 619–660/
  36. ^ Edward N. Zalta, "Neo-Logisizm? Matematiğin Metafiziğe Ontolojik Bir İndirgeme", Erkenntnis, 53(1–2) (2000), 219–265.
  37. ^ M. Randall Holmes, "Frege’in Mantığını Onarmak", 2015.

Kaynakça

  • Richard Dedekind, 1858, 1878 dolayları, Sayılar Teorisi Üzerine Denemeler, Open Court Publishing Company 1901 tarafından yayınlanan İngilizce çevirisi, Dover yayını 1963, Mineola, NY, ISBN  0-486-21010-3. İki deneme içerir - I. Süreklilik ve İrrasyonel Sayılar orjinal Önsöz, II. Sayıların Doğası ve Anlamı İki Önsöz (1887,1893) ile.
  • Howard Eves, 1990, Matematiğin Temelleri ve Temel Kavramları Üçüncü BaskıDover Yayınları, Inc, Mineola, NY, ISBN  0-486-69609-X.
  • I. Grattan-Guinness, 2000, Matematiksel Köklerin Arayışı, 1870–1940: Mantık, Küme Teorileri ve Matematiğin Temelleri Cantor'dan Russell'a Gödel'e, Princeton University Press, Princeton NJ, ISBN  0-691-05858-X.
  • Jean van Heijenoort, 1967, Frege'den Gödel'e: Matematiksel Mantıkta Bir Kaynak Kitap, 1879–1931, 3. baskı 1976, Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN  0-674-32449-8. Frege'nin 1879'unu içerir Begriffsschrift van Heijenoort'un yorumuyla, Russell's 1908 Türler teorisine dayalı matematiksel mantık Willard V. Quine'in yorumuyla, Zermelo'nun 1908'i İyi bir sipariş olasılığının yeni bir kanıtı van Heijenoort'un yorumları, Russell'dan Frege'ye ve Russell'dan Frege'ye mektupları vb.
  • Stephen C. Kleene, 1971, 1952, Metamathematiğe Giriş 1991 10. izlenim,, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, NY, ISBN  0-7204-2103-9.
  • Mario Livio Ağustos 2011 "Matematik Neden Çalışıyor: Matematik icat edildi mi yoksa keşfedildi mi? Önde gelen bir astrofizikçi bin yıllık sorunun cevabının her ikisi de olduğunu öne sürüyor" Bilimsel amerikalı (ISSN 0036-8733), Cilt 305, Sayı 2, Ağustos 2011, Nature America, Inc, New York, NY'nin Scientific American bölümü.
  • Bertrand Russell, 1903, Matematik İlkeleri Cilt. ben, Cambridge: University Press, Cambridge, Birleşik Krallık'ta.
  • Paolo Mancosu, 1998, Brouwer'dan Hilbert'e: 1920'lerde Matematiğin Temelleri Üzerine Tartışma, Oxford University Press, New York, NY, ISBN  0-19-509632-0.
  • Bertrand Russell, 1912, Felsefenin Sorunları (John Perry 1997 tarafından Giriş ile), Oxford University Press, New York, NY, ISBN  0-19-511552-X.
  • Bertrand Russell, 1919, Matematik Felsefesine GirişBarnes & Noble, Inc, New York, NY, ISBN  978-1-4114-2942-0. Bu, matematiksel olmayan bir arkadaştır. Principia Mathematica.
    • Amit Hagar 2005 Giriş Bertrand Russell'a, 1919, Matematik Felsefesine GirişBarnes & Noble, Inc, New York, NY, ISBN  978-1-4114-2942-0.
  • Alfred North Whitehead ve Bertrand Russell, 1927 2. baskı, (ilk baskı 1910–1913), Principia Mathematica - 56,1962 Sürümü, Cambridge at the University Press, Cambridge UK, no ISBN. İkinci baskı, * 56 olarak kısaltılmıştır. İkinci Baskıya Giriş sayfalar Xiii-xlvi ve yeni Ek A (* 8 Görünen Değişkenleri İçeren Öneriler) değiştirmek için * 9 Görünen Değişkenler Teorisive Ek C Gerçek-İşlevler ve Diğerleri.

Dış bağlantılar