Bölünmüş adım yöntemi - Split-step method

İçinde Sayısal analiz, bölünmüş adım (Fourier) yöntem bir sözde spektral Doğrusal olmayanları çözmek için kullanılan sayısal yöntem kısmi diferansiyel denklemler gibi doğrusal olmayan Schrödinger denklemi. İsim iki nedenden dolayı ortaya çıkıyor. İlk olarak, yöntem çözümün küçük adımlarla hesaplanmasına ve doğrusal ve doğrusal olmayan adımların ayrı ayrı ele alınmasına dayanır (aşağıya bakın). İkincisi, gerekli Fourier dönüşümü ileri geri çünkü doğrusal adım frekans alanı doğrusal olmayan adım zaman alanı.

Bu yöntemin kullanımına bir örnek, doğrusal ve doğrusal olmayan mekanizmaların etkileşiminin genel analitik çözümler bulmayı zorlaştırdığı optik fiberlerde ışık atımı yayılımı alanındadır. Bununla birlikte, bölünmüş adım yöntemi, soruna sayısal bir çözüm sağlar. 2010'lardan bu yana çokça ilgi gören bölünmüş adım yönteminin bir başka uygulaması da Kerr frekans tarağı dinamikler optik mikro rezonatörler.^[1][2][3] Göreceli uygulama kolaylığı Lugiato – Lefever denklemi makul sayısal maliyetle, deneysel spektrumları yeniden üretme ve tahmin etme konusundaki başarısı ile birlikte Soliton bu mikro rezonatörlerdeki davranış, yöntemi çok popüler hale getirmiştir.

Yöntemin açıklaması

Örneğin, doğrusal olmayan Schrödinger denklemi^[4]

${displaystyle {kısmi A yerine kısmi z} = - {i eta _ {2} bölü 2} {kısmi ^ {2} A kısmi t ^ {2}} + igamma | A | ^ {2} A = [{şapka {D}} + {hat {N}}] A,}$

nerede ${displaystyle A (t, z)}$ Darbe zarfını zaman içinde tanımlar ${displaystyle t}$ mekansal konumda ${displaystyle z}$. Denklem doğrusal bir parçaya bölünebilir,

${displaystyle {kısmi A_ {D} kısmi z üzerinden} = - {i eta _ {2} 2} {kısmi ^ {2} A kısmi t ^ {2}} = {hat {D}} A,}$

ve doğrusal olmayan bir bölüm,

${displaystyle {kısmi A_ {N} kısmi z} = igamma | A | ^ {2} A = {şapka {N}} A.}$

Hem doğrusal hem de doğrusal olmayan parçaların analitik çözümleri vardır, ancak doğrusal olmayan Schrödinger denklemi her iki parçayı içeren genel bir analitik çözüme sahip değildir.

Ancak, yalnızca 'küçük' bir adım ${displaystyle h}$ birlikte alınır ${displaystyle z}$, bu durumda iki parça yalnızca 'küçük' bir sayısal hata ile ayrı ayrı ele alınabilir. Bu nedenle, önce küçük bir doğrusal olmayan adım atılabilir,

${displaystyle A_ {N} (t, z + h) = exp left [igamma | A (t, z) | ^ {2} hight] A (t, z),}$

analitik çözüm kullanarak. Bu ansatz'ın empoze ettiğine dikkat edin ${ekran stili | A (z) | ^ {2} = sabit.}$ ve sonuç olarak ${mathbb'de displaystyle gama {R}}$.

Dispersiyon adımının analitik bir çözümü vardır. frekans alanı, bu yüzden öncelikle Fourier dönüşümü için gereklidir ${displaystyle A_ {N}}$ kullanma

${displaystyle {ilde {A}} _ {N} (omega, z) = int _ {- infty} ^ {infty} A_ {N} (t, z) exp [i (omega -omega _ {0}) t ] dt}$,

nerede ${displaystyle omega _ {0}}$ nabzın merkez frekansıdır.Yukarıdaki tanım kullanılarak gösterilebilir. Fourier dönüşümü doğrusal olmayan adım için frekans etki alanı çözümüyle değiştirilen doğrusal adımın analitik çözümü,

${displaystyle {ilde {A}} (omega, z + h) = exp left [{i eta _ {2} over 2} (omega -omega _ {0}) ^ {2} hight] {ilde {A}} _ {N} (omega, z).}$

Alarak ters Fourier dönüşümü nın-nin ${displaystyle {ilde {A}} (omega, z + h)}$ biri elde eder ${displaystyle Aleft (t, z + hight)}$; darbe böylece küçük bir adım olarak yayıldı ${displaystyle h}$. Yukarıdakileri tekrarlayarak ${displaystyle N}$ kez, darbe bir süre boyunca yayılabilir ${displaystyle Nh}$.

Yukarıda, bir çözümü uzayda ileriye doğru yaymak için yöntemin nasıl kullanılacağı gösterilmektedir; bununla birlikte, bir parçacığı tanımlayan bir dalga paketinin evrimini incelemek gibi birçok fizik uygulaması, çözümü uzaydan ziyade zamanda ileriye doğru yaymayı gerektirir. Doğrusal olmayan Schrödinger denklemi, bir dalga fonksiyonunun zaman evrimini yönetmek için kullanıldığında, şekli alır.

${displaystyle ihbar {kısmi t üzerinden kısmi psi} = - {{hbar} ^ {2} {2m}} üzerinden {kısmi ^ {2} psi, kısmi x ^ {2}} + gama | psi | ^ {2} psi = [{hat {D}} + {hat {N}}] psi,}$

nerede ${displaystyle psi (x, t)}$ pozisyondaki dalga fonksiyonunu açıklar ${displaystyle x}$ ve zaman ${displaystyle t}$. Bunu not et

${displaystyle {hat {D}} = - {{hbar} ^ {2}, {2m}} {kısmi ^ {2} kısmi x ^ {2}}} üzerinden$ ve ${displaystyle {hat {N}} = gama | psi | ^ {2}}$, ve şu ${displaystyle m}$ parçacığın kütlesi ve ${displaystyle hbar}$ Planck değişmez mi ${displaystyle 2pi}$.

Bu denklemin biçimsel çözümü karmaşık bir üstel çözümdür, dolayısıyla bizde

${displaystyle psi (x, t) = e ^ {- it ({hat {D}} + {hat {N}}) / hbar} psi (x, 0)}$.

Dan beri ${displaystyle {şapka {D}}}$ ve ${displaystyle {şapka {N}}}$ operatör, genel olarak işe gidip gelmiyorlar. Bununla birlikte, Baker-Hausdorff formülü, onlara öyle davranıyormuş gibi davranmanın hatalı olacağını göstermek için uygulanabilir. ${displaystyle dt ^ {2}}$ küçük ama sınırlı bir zaman adımı atıyorsak ${displaystyle dt}$. Bu nedenle yazabiliriz

${displaystyle psi (x, t + dt) yaklaşık e ^ {- idt {hat {D}} / hbar} e ^ {- idt {hat {N}} / hbar} psi (x, t)}$.

Bu denklemin içeren kısmı ${displaystyle {şapka {N}}}$ o anda dalga fonksiyonu kullanılarak doğrudan hesaplanabilir ${displaystyle t}$, ancak üstel olanı hesaplamak için ${displaystyle {şapka {D}}}$ Frekans uzayında, kısmi türev operatörünün ikame edilerek bir sayıya dönüştürülebileceği gerçeğini kullanıyoruz ${displaystyle ik}$ için ${kısmi x yerine kısmi displaystyle}$, nerede ${displaystyle k}$ bir uzamsal değişkenle uğraşırken ve böylece üzerinde çalışılan her şeyin Fourier dönüşümü ile ilişkili bir uzamsal frekanslar alanına (yani dalga sayılarına) dönüştüğümüz için frekanstır (veya daha doğrusu dalga numarası). Böylece, Fourier dönüşümünü alıyoruz

${displaystyle e ^ {- idt {hat {N}} / hbar} psi (x, t)}$,

ilişkili dalga numarasını kurtar, miktarı hesapla

${displaystyle e ^ {idtk ^ {2}}}$,

ve bunu içeren karmaşık üstellerin çarpımını bulmak için kullanın ${displaystyle {şapka {N}}}$ ve ${displaystyle {şapka {D}}}$ aşağıdaki gibi frekans uzayında:

${displaystyle e ^ {idtk ^ {2}} F [e ^ {- idt {hat {N}}} psi (x, t)]}$,

nerede ${displaystyle F}$ bir Fourier dönüşümünü belirtir. Daha sonra, fiziksel uzayda nihai sonucu bulmak için bu ifadeyi ters çeviririz ve nihai ifadeyi veririz.

${displaystyle psi (x, t + dt) = F ^ {- 1} [e ^ {idtk ^ {2}} F [e ^ {- idt {hat {N}}} psi (x, t)]]}$.

Bu yöntemin bir varyasyonu, bir operatör kullanarak yarım zaman adımı alan, ardından yalnızca diğeriyle tam zamanlı bir adım atan ve ardından yalnızca ilkiyle ikinci bir yarı zamanlı adımı tekrar atan simetrik bölünmüş adımlı Fourier yöntemidir. Bu yöntem, genel bölünmüş aşamalı Fourier yöntemine göre bir gelişmedir çünkü hatası sıralıdır. ${displaystyle dt ^ {3}}$ bir zaman adımı için ${displaystyle dt}$.The Fourier dönüşümleri bunun algoritma kullanılarak nispeten hızlı hesaplanabilir hızlı Fourier dönüşümü (FFT). Bölünmüş adımlı Fourier yöntemi bu nedenle tipik olandan çok daha hızlı olabilir sonlu fark yöntemleri.^[5]

Referanslar

Dış referanslar

• Thomas E. Murphy, Yazılım, http://www.photonics.umd.edu/software/ssprop/
• Andrés A. Rieznik, Yazılım, http://www.freeopticsproject.org
• Prof. G. Agrawal, Yazılım, http://www.optics.rochester.edu/workgroups/agrawal/grouphomepage.php?pageid=software
• Thomas Schreiber, Yazılım, http://www.fiberdesk.com
• Edward J. Grace, Yazılım, http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/24016