Tomografik rekonstrüksiyon - Tomographic reconstruction

Tomografik rekonstrüksiyon çok boyutlu bir türdür ters problem Buradaki zorluk, sınırlı sayıda belirli bir sisteme ilişkin bir tahmin elde etmektir. projeksiyonlar. Tomografik görüntülemenin matematiksel temeli, Johann Radon. Önemli bir uygulama örneği, yeniden yapılanma nın-nin bilgisayarlı tomografi (CT) hastaların kesitsel görüntülerinin invazif olmayan bir şekilde elde edildiği yer. Son gelişmeler, Radon dönüşümü ve tersi, test etmek ve değerlendirmek için gereken gerçekçi nesne yerleştirmeyle ilgili görevler için kullanılır bilgisayarlı tomografi kullanmak Havaalanı güvenliği.^[1]

Bu makale genel olarak her türden yeniden yapılandırma yöntemleri için geçerlidir. tomografi, ancak bazı terimler ve fiziksel açıklamalar doğrudan X-ışını bilgisayarlı tomografinin yeniden yapılandırılması.

Formül ile tanışın

Şekil 1: Tomografi ve tomografik rekonstrüksiyonda kullanılan paralel ışın geometrisi. Belirli bir açı altındaki tomografiden kaynaklanan her izdüşüm, nesnenin içinden geçen çizgi integralleri kümesinden oluşur.

Plastik bir kafatası fantomundan elde edilen tomografik görüntü. Yansıtılan X-ışınları, görüntü olarak CT taraması ile alınan bu dilimde açıkça görülebilir. eserler, açılar üzerinde sınırlı miktarda projeksiyon dilimi nedeniyle.

Belirli bir açıda tomografik ölçüm sürecinden kaynaklanan bir nesnenin izdüşümü ${ displaystyle theta}$, bir dizi oluşur çizgi integralleri (bkz. Şekil 1). 2B'de düzenlenen farklı açılardaki bu tür birçok çıkıntı kümesine sinogram denir (bkz. Şekil 3). X-ışını CT'de, çizgi integrali, ışınının toplam zayıflamasını temsil eder. röntgen nesne boyunca düz bir çizgide ilerlerken. Yukarıda bahsedildiği gibi, ortaya çıkan görüntü bir 2D (veya 3D) modeldir. zayıflama katsayısı. Yani, görüntüyü bulmak istiyoruz ${ displaystyle mu (x, y)}$. Tarama yöntemini görselleştirmenin en basit ve en kolay yolu, paralel izdüşüm, ilk tarayıcılarda kullanıldığı gibi. Bu tartışma için, verilerin pozisyonunda bir dizi paralel ışın olarak toplanacağını düşünüyoruz. ${ displaystyle r}$açılı bir projeksiyon boyunca ${ displaystyle theta}$. Bu, çeşitli açılardan tekrarlanır. Zayıflama oluşur üssel olarak dokuda:

${ displaystyle I = I_ {0} exp sol ({- int mu (x, y) , ds} sağ)}$

nerede ${ displaystyle mu (x, y)}$ konumun bir fonksiyonu olarak zayıflama katsayısıdır. Bu nedenle, genellikle toplam zayıflama ${ displaystyle p}$ pozisyondaki bir ışının ${ displaystyle r}$açılı projeksiyonda ${ displaystyle theta}$, çizgi integrali ile verilir:

${ displaystyle p _ { theta} (r) = ln sol ({ frac {I} {I_ {0}}} sağ) = - int mu (x, y) , ds}$

Şekil 1'deki koordinat sistemini kullanarak, değeri ${ displaystyle r}$ hangi noktada ${ displaystyle (x, y)}$ açılı olarak yansıtılacak ${ displaystyle theta}$ tarafından verilir:

${ displaystyle x cos theta + y sin theta = r }$

Dolayısıyla yukarıdaki denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

${ displaystyle p _ { theta} (r) = int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} f (x, y) delta (x cos theta + y sin theta -r) , dx , dy}$

nerede ${ displaystyle f (x, y)}$ temsil eder ${ displaystyle mu (x, y)}$ ve ${ displaystyle delta ()}$ ... Dirac delta işlevi. Bu işlev olarak bilinir Radon dönüşümü (veya sinogram) 2B nesnenin.

Fourier dönüşümü projeksiyonun oranı olarak yazılabilir

${ displaystyle P _ { theta} ( omega) = int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} f (x, y) exp [-j omega (x cos theta + y sin theta)] , dx , dy = F ( Omega _ {1}, Omega _ {2})}$ nerede ${ displaystyle Omega _ {1} = omega cos theta, Omega _ {2} = omega sin theta}$^[2]

${ displaystyle P _ { theta} ( omega)}$ 2D Fourier dönüşümünün bir dilimini temsil eder. ${ displaystyle f (x, y)}$ açıda ${ displaystyle theta}$. Kullanmak ters Fourier dönüşümü ters Radon dönüşümü formülü kolaylıkla türetilebilir.

${ displaystyle f (x, y) = { frac {1} {2 pi}} int limits _ {0} ^ { pi} g _ { theta} (x cos theta + y sin theta) d theta}$

nerede ${ displaystyle g _ { theta} (x cos theta + y sin theta)}$ türevidir Hilbert dönüşümü nın-nin ${ displaystyle p _ { theta} (r)}$

Teorik olarak, ters Radon dönüşümü orijinal görüntüyü verecektir. izdüşüm-dilim teoremi bize, sonsuz sayıda açıyla alınan bir nesnenin sonsuz sayıda tek boyutlu izdüşümüne sahip olsaydık, orijinal nesneyi mükemmel bir şekilde yeniden oluşturabileceğimizi söyler, ${ displaystyle f (x, y)}$. Ancak, pratikte yalnızca sınırlı sayıda projeksiyon mevcut olacaktır.

Varsayım ${ displaystyle f (x, y)}$ etkili çapa sahiptir ${ displaystyle d}$ ve istenen çözünürlük ${ displaystyle R_ {s}}$temel kural, yeniden yapılandırma için gerekli projeksiyon sayısı ${ displaystyle N> pi d / R_ {s}}$^[2]

Yeniden yapılandırma algoritmaları

Pratik yeniden yapılandırma algoritmaları projeksiyonlarından 3 boyutlu bir nesnenin yeniden yapılanma sürecini uygulamak için geliştirilmiştir.^[3][2] Bunlar algoritmalar büyük ölçüde matematiğe dayalı olarak tasarlanmıştır. Radon dönüşümü, veri toplama sürecinin istatistiksel bilgisi ve veri görüntüleme sisteminin geometrisi.

Fourier Alanında Yeniden Yapılandırma Algoritması

Yeniden yapılandırma enterpolasyon kullanılarak yapılabilir. Varsaymak ${ displaystyle N}$-projeksiyonları ${ displaystyle f (x, y)}$ eşit aralıklı açılarda oluşturulur, her biri aynı hızda örneklenir. Ayrık Fourier dönüşümü her projeksiyonda frekans alanında örnekleme elde edilecektir. Tüm frekans örneklemeli projeksiyonları birleştirmek, frekans alanında kutupsal bir tarama oluşturacaktır. Kutupsal tarama seyrek olacaktır, bu nedenle bilinmeyen DFT noktalarını doldurmak için enterpolasyon kullanılır ve yeniden yapılandırma, ters Ayrık Fourier dönüşümü.^[4] Yeniden yapılandırma performansı, kutupsal rasterin seyrekliğini değiştirmek için yöntemler tasarlayarak geliştirebilir ve enterpolasyonun etkinliğini kolaylaştırabilir.

Örneğin, frekans alanında bir eşmerkezli kare raster, her bir projeksiyon arasındaki açı aşağıdaki gibi değiştirilerek elde edilebilir:

${ displaystyle theta '= { frac {R_ {0}} { max {| cos theta |, | sin theta | }}}}$

nerede ${ displaystyle R_ {0}}$ değerlendirilecek en yüksek frekanstır.

Eş merkezli kare tarama, tüm enterpolasyon pozisyonlarının dikdörtgen DFT kafesi üzerinde olmasına izin vererek hesaplama verimliliğini artırır. Ayrıca, enterpolasyon hatasını azaltır.^[4] Yine de, Fourier-Dönüşümü algoritmasının doğası gereği gürültülü çıktı üretme dezavantajı vardır.

Geri Projeksiyon Algoritması

Tomografik görüntü rekonstrüksiyonu uygulamasında, genellikle stabilize ve ihtiyatlı ters Radon dönüşümü olarak bilinen versiyonu kullanılır. filtrelenmiş geri projeksiyon algoritması.^[2]

Örneklenmiş ayrık bir sistemle, ters Radon Dönüşümü

${ displaystyle f (x, y) = { frac {1} {2 pi}} toplamı _ {i = 0} ^ {N-1} Delta theta _ {i} g _ { theta _ { i}} (x cos theta _ {i} + y sin theta _ {i})}$

${ displaystyle g _ { theta} (t) = p _ { theta} (t) cdot k (t)}$

nerede ${ displaystyle Delta theta}$ çıkıntılar arasındaki açısal aralıktır ve ${ displaystyle k (t)}$ frekans yanıtlı radon çekirdeğidir ${ displaystyle | omega |}$.

Geri-projeksiyon adı, bir 2D sinyal elde etmek için 1B projeksiyonun 1D Radon çekirdeği (geri projeksiyonlu) tarafından filtrelenmesi gerektiğinden gelir. Kullanılan filtre DC kazancı içermiyor, bu nedenle DC önyargı arzu edilebilir. Geri projeksiyon kullanılarak yeniden yapılandırma, yukarıda açıklanan enterpolasyon yönteminden daha iyi çözünürlüğe izin verir. Bununla birlikte, filtre yüksek frekanslı içeriği yükseltmeye eğilimli olduğundan daha fazla gürültüye neden olur.

Yinelemeli Yeniden Yapılandırma Algoritması

Yinelemeli algoritma hesaplama açısından yoğundur ancak dahil edilmesine izin verir Önsel sistem hakkında bilgi ${ displaystyle f (x, y)}$.^[2]

İzin Vermek ${ displaystyle N}$ projeksiyonların sayısı, ${ displaystyle D_ {i}}$ bozulma operatörü olmak ${ displaystyle i}$açılı olarak alınan projeksiyon ${ displaystyle theta _ {i}}$. ${ displaystyle { lambda _ {i} }}$ yinelemelerin dönüşümünü optimize etmek için parametreler kümesidir.

${ displaystyle f_ {0} (x, y) = toplam _ {i = 1} ^ {N} lambda _ {i} p _ { theta _ {i}} (r)}$

Shepp-Logan Phantom'un farklı sensör aralıklarına sahip bir yelpaze-ışın rekonstrüksiyonu. Sensörler arasındaki daha küçük boşluk, daha ince yeniden yapılandırmaya izin verir. Rakam MATLAB kullanılarak oluşturulmuştur.

${ displaystyle f_ {k} (x, y) = f_ {k-1} (x, y) + toplamı _ {i = 1} ^ {N} lambda _ {i} [p _ { theta _ { i}} (r) -D_ {i} f_ {k-1} (x, y)]}$

Yinelemeli tomografik rekonstrüksiyon algoritmalarının alternatif bir ailesi, Cebirsel Yeniden Yapılandırma Teknikleri ve yinelemeli Seyrek Asimptotik Minimum Varyans.

Fan-Kiriş Yeniden Yapılandırması

Birleştirilmemiş fan ışınının kullanımı yaygındır, çünkü paralel radyasyon ışını elde etmek zordur. Fan kirişleri, projeksiyonlar olarak birbirine paralel olmayan bir dizi çizgi integralleri oluşturacaktır. Fan-ışın sistemi, mekanik kısıtlama getiren 360 derecelik açı aralığı gerektirecektir, ancak, tıp alanı gibi belirli ortamlarda avantajlı olabilecek daha hızlı sinyal edinim süresine izin verir. Geri projeksiyon, filtrelenmiş projeksiyonlardan elde edilen ağırlıklı toplam geri projeksiyonları hesaplayarak yeniden yapılanma sağlayan benzer bir 2 adımlı prosedürü takip eder.

Derin öğrenme rekonstrüksiyonu

Poisson gürültüsünün U-Net'in mevcut bir yüksek kontrastlı lezyon benzeri nesneyi yeniden inşa edememesine neden olduğu derin öğrenme rekonstrüksiyonunda Poisson gürültüsünün etkisi.

Derin öğrenme yöntemleri günümüzde görüntü rekonstrüksiyonuna yaygın olarak uygulanmaktadır ve düşük dozda gürültü giderme, seyrek görünüm rekonstrüksiyonu, sınırlı açılı tomografi ve metal artefakt azaltma dahil olmak üzere çeşitli görüntü yeniden yapılandırma görevlerinde etkileyici sonuçlar elde etmiştir. Özel sayıda mükemmel bir genel bakış bulunabilir ^[5] Tıbbi Görüntülemede IEEE İşlemi. Bir grup derin öğrenme yeniden yapılandırma algoritması, girdi görüntülerinin geleneksel yeniden yapılandırma yöntemleriyle yeniden yapılandırıldığı görüntüden görüntüye yeniden yapılandırma elde etmek için işlem sonrası sinir ağlarını uygular. Sınırlı açılı tomografide U-Net kullanılarak artefakt azaltma böyle bir örnek uygulamadır.^[6] Ancak tamamen veriye dayalı bir yöntemle yeniden oluşturulan bir görüntüde yanlış yapılar oluşabilir,^[7] şekilde gösterildiği gibi. Bu nedenle, bilinen operatörlerin sinir ağlarının mimari tasarımına entegrasyonu, hassas öğrenme kavramında açıklandığı gibi faydalı görünmektedir.^[8] Örneğin, projeksiyon verilerinden doğrudan görüntü rekonstrüksiyonu, filtrelenmiş geri projeksiyon çerçevesinden öğrenilebilir.^[9] Başka bir örnek, yinelemeli yeniden yapılandırma algoritmalarını açarak sinir ağları oluşturmaktır.^[10] Hassas öğrenme dışında, önceden derin öğrenme rekonstrüksiyonu ile geleneksel yeniden yapılandırma yöntemlerini kullanma ^[11] ayrıca derin öğrenme yeniden yapılandırmasının görüntü kalitesini iyileştirmek için alternatif bir yaklaşımdır.

Tomografik rekonstrüksiyon yazılımı

Esnek tomografik rekonstrüksiyon için, PYRO-NN gibi açık kaynak araç kutuları mevcuttur,^[12] TomoPy,^[13] CONRAD,^[14] ODL, ASTRA araç kutusu,^[15][16] ve TIGRE.^[17] TomoPy, tomografik veri işleme ve görüntü rekonstrüksiyon görevlerini şu anda gerçekleştirmek için açık kaynaklı bir Python araç kutusudur. Gelişmiş Foton Kaynağı -de Argonne Ulusal Laboratuvarı. TomoPy araç kutusu, senkrotron tesisinin ışın hattında kullanımı ve konuşlandırılması kolay olacak şekilde özel olarak tasarlanmıştır. Bilimsel Veri Değişimi aracılığıyla diskten birçok yaygın senkrotron veri formatının okunmasını destekler,^[18] ve senkrotron verileri için yaygın olarak kullanılan birkaç başka işleme algoritmasını içerir. TomoPy ayrıca çok çekirdekli iş istasyonlarında ve büyük ölçekli bilgi işlem tesislerinde çalıştırılabilen birkaç yeniden yapılandırma algoritması içerir.^[19] ASTRA Araç Kutusu, 2009–2014 yılları arasında Antwerp Üniversitesi iMinds-Vision Lab tarafından geliştirilen ve 2014'ten beri iMinds-VisionLab (şimdi imec-VisionLab) tarafından ortaklaşa geliştirilen 2D ve 3D tomografi için yüksek performanslı GPU temellerinden oluşan bir MATLAB ve Python araç kutusudur , UAntwerpen ve CWI, Amsterdam. Araç kutusu, oldukça esnek kaynak / dedektör konumlandırması ile paralel, fan ve koni kirişini destekler. FBP, Gridrec dahil olmak üzere TomoPy ve ASTRA araç kiti aracılığıyla çok sayıda yeniden yapılandırma algoritması mevcuttur. SANAT, SIRT, SART, BART, CGLS, PML, MLEM ve OSEM. Yakın zamanda, ASTRA araç kutusu TomoPy çerçevesine entegre edildi.^[20] ASTRA araç kutusunu TomoPy çerçevesine entegre ederek, optimize edilmiş GPU tabanlı yeniden yapılandırma yöntemleri senkrotron ışın hattı kullanıcıları için kolayca kullanılabilir hale gelir ve ASTRA araç kutusu kullanıcıları verileri daha kolay okuyabilir ve TomoPy'nin veri filtreleme ve yapay düzeltme için diğer işlevlerini kullanabilir.

Fotoğraf Galerisi

Galeride gösterilen, basit bir obje tomografisi ve ART'ye dayalı aşağıdaki tomografik rekonstrüksiyon için tam bir süreçtir.

• 

  İncir. 2: Hayalet nesne, iki kedicik köşeli kare.

• 

  Şekil 3: Tomografiden elde edilen fantom nesnenin sinogramı (Şekil 2). 50 projeksiyon dilimi 180 derecelik açı üzerinden alındı, eşit mesafeli örneklendi (yalnızca tesadüfen x ekseni işaretleri -50/50 birimde yer değiştirme).

• 

  Şekil 4: SANAT Şekil 3'teki sinogramın temelli tomografik rekonstrüksiyonu, yinelemeli rekonstrüksiyon süreci üzerinde animasyon olarak sunulmuştur. Ortaya çıkan görüntünün bazı özellikleri olduğundan, orijinal nesne yaklaşık olarak yeniden yapılandırılabilir. görsel eserler.

Ayrıca bakınız

• Bilgisayarlı tomografi operasyonu # Tomografik rekonstrüksiyon
• Koni kiriş rekonstrüksiyonu
• Endüstriyel CT taraması
• Endüstriyel Tomografi Sistemleri

Referanslar

daha fazla okuma

• Avinash Kak & Malcolm Slaney (1988), Bilgisayarlı Tomografik Görüntüleme İlkeleri, IEEE Press, ISBN  0-87942-198-3.
• Bruyant, P.P. "SPECT'te analitik ve yinelemeli yeniden yapılandırma algoritmaları" Nükleer Tıp Dergisi 43 (10): 1343-1358, 2002

Dış bağlantılar

• Slaney, A. C. Kak ve Malcolm. "Bilgisayarlı Tomografik Görüntülemenin İlkeleri". Slaney.org. Alındı 7 Eylül 2018.
• Insight ToolKit; açık kaynak tomografik destek yazılımı
• "TomoPy - TomoPy 1.1.3 belgeleri". Tomopy.readthedocs.org. Alındı 7 Eylül 2018.
• ASTRA (Tüm Ölçekler Tomografik Rekonstrüksiyon Antwerp) araç kutusu; bilgisayarlı tomografik rekonstrüksiyon için çok esnek, hızlı ve açık kaynaklı yazılım
• NiftyRec; kapsamlı açık kaynaklı tomografik yeniden yapılandırma yazılımı; Matlab ve Python komut dosyası yazılabilir
• Açık kaynaklı tomografik yeniden yapılandırma ve görselleştirme aracı
• "ITS plc - Endüstriyel Görselleştirme İçin Elektriksel Proses Tomografisi". Itoms.com. Alındı 7 Eylül 2018.