Sonlu basit grupların sınıflandırılması - Classification of finite simple groups - Wikipedia

Cebirsel yapı → Grup teorisi Grup teorisi
Temel kavramlar Alt grup Normal alt grup Bölüm grubu (Yarı-)direkt ürün Grup homomorfizmleri çekirdek görüntü doğrudan toplam çelenk ürünü basit sonlu sonsuz sürekli çarpımsal katkı döngüsel değişmeli dihedral üstelsıfır çözülebilir Grup teorisi sözlüğü Grup teorisi konularının listesi
Sonlu gruplar Sonlu basit grupların sınıflandırılması döngüsel değişen Yalan türü ara sıra Cauchy teoremi Lagrange teoremi Sylow teoremleri Hall teoremi p grubu Temel değişmeli grup Frobenius grubu Schur çarpanı Simetrik grup Sn Klein dört grup V Dihedral grubu Dn Kuaterniyon grubu Q Disiklik grup Dicn
Ayrık gruplar Kafesler Tamsayılar (Z) Ücretsiz grup Modüler gruplar PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetik grup Kafes Hiperbolik grup
Topolojik ve Lie grupları Solenoid Daire Genel doğrusal GL (n) Özel doğrusal SL (n) Dikey Ö(n) Öklid E (n) Özel ortogonal YANİ(n) Üniter U (n) Özel üniter SU (n) Semplektik Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Uygun Diffeomorfizm Döngü Sonsuz boyutlu Lie grubu O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Cebirsel gruplar Doğrusal cebirsel grup İndirgeyici grup Abelian çeşitliliği Eliptik eğri

İçinde matematik, sonlu sınıflandırma basit gruplar bir teoremdir ki her sonlu basit grup ya döngüsel veya değişen veya adı verilen geniş sonsuz bir sınıfa aittir. Lie tipi gruplar veya yirmi altı veya yirmi yedi istisnadan biridir, ara sıra. Grup teorisi saf ve uygulamalı matematiğin birçok alanının merkezinde yer alır ve sınıflandırma teoremi, insanlığın en büyük entelektüel başarılarından biri olarak adlandırılır.^[1] Kanıt, çoğu 1955 ile 2004 yılları arasında yayınlanan, yaklaşık 100 yazar tarafından yazılan birkaç yüz dergi makalesinin on binlerce sayfasından oluşmaktadır.

Basit gruplar hepsinin temel yapı taşları olarak görülebilir. sonlu gruplar, şeklini anımsatan asal sayılar temel yapı taşlarıdır doğal sayılar. Jordan-Hölder teoremi sonlu gruplar hakkındaki bu gerçeği belirtmenin daha kesin bir yoludur. Bununla birlikte, önemli bir fark tamsayı çarpanlara ayırma bu tür "yapı bloklarının" benzersiz bir grubu belirlemesi gerekmemesidir, çünkü çok sayıda olmayanizomorf aynı olan gruplar kompozisyon serisi veya başka bir deyişle, uzatma sorunu benzersiz bir çözümü yok.

Gorenstein (ö.1992), Lyons, ve Süleyman ispatın basitleştirilmiş ve gözden geçirilmiş bir versiyonunu kademeli olarak yayınlıyor.

Sınıflandırma teoreminin ifadesi

Sınıflandırma teoremi matematiğin birçok dalında, yapısıyla ilgili sorular olarak sonlu gruplar (ve diğer matematiksel nesneler üzerindeki eylemleri) bazen sonlu basit gruplar hakkındaki sorulara indirgenebilir. Sınıflandırma teoremi sayesinde, bu tür sorular bazen basit grupların her bir ailesini ve her bir sporadik grubu kontrol ederek cevaplanabilir.

Daniel Gorenstein 1983'te sonlu basit grupların hepsinin sınıflandırıldığını açıkladı, ancak bu, sınıflandırmanın kanıtı hakkında yanlış bilgilendirildiği için erken quasithin grupları. Sınıflandırmanın tamamlanmış kanıtı, Aschbacher (2004) Aschbacher ve Smith, eksik quasithin vakası için 1221 sayfalık bir kanıt yayınladıktan sonra.

Sınıflandırma teoreminin ispatına genel bakış

Gorenstein (1982, 1983 ) ispatın düşük dereceli ve garip karakteristik kısımlarını özetleyen iki cilt yazdı ve Michael Aschbacher, Richard Lyons ve Stephen D. Smith vd. (2011 ) kalan karakteristik 2 durumu kapsayan bir 3. cilt yazdı. İspat aşağıdaki gibi birkaç ana parçaya bölünebilir:

2 sıralı küçük gruplar

Basit düşük gruplar 2 sıralı beş alternatif ve yedi karakteristik 2 tip ve dokuz sporadik grup ile birlikte çoğunlukla, garip özellikli alanlar üzerinde Lie tipi küçük dereceli gruplardır.

Küçük 2 sıralı basit gruplar şunları içerir:

• 2 sıralı 0 grupları, diğer bir deyişle tek sıra grupları, bunların tümü çözülebilir tarafından Feit-Thompson teoremi.
• 2 aşamalı 1 grupları. Sylow 2 alt grupları ya döngüseldir ve transfer haritası kullanılarak idare edilmesi kolaydır ya da genelleştirilmiş kuaterniyon ile ele alınan Brauer-Suzuki teoremi: özellikle 2 sıralı 1 basit gruplar yoktur.
• 2 Sıralı 2 Gruplar. Alperin, Sylow alt grubunun dihedral, quasidihedral, çelenkli veya Sylow 2-alt grubu olması gerektiğini gösterdi. U₃(4). İlk vaka, Gorenstein-Walter teoremi bu, tek basit grupların izomorfik olduğunu gösterdi L₂(q) için q tuhaf veya Bir₇ikinci ve üçüncü vakalar, Alperin-Brauer-Gorenstein teoremi bu, tek basit grupların izomorfik olduğunu ima eder L₃(q) veya U₃(q) için q tuhaf veya M₁₁ve son vaka bunu gösteren Lyons tarafından yapıldı. U₃(4) tek basit olasılıktır.
• En fazla 4 sıralı kesitsel 2 sıralı gruplar, Gorenstein-Harada teoremi.

Küçük 2 sıralı grupların sınıflandırılması, özellikle en fazla 2 sıradadır, sınıflandırmanın başka bir yerinde neredeyse hiçbir zaman doğrudan kullanılmayan sıradan ve modüler karakter teorisini yoğun bir şekilde kullanır.

2 sıralı küçük olmayan tüm gruplar iki ana sınıfa ayrılabilir: bileşen tipi grupları ve karakteristik 2 tipi gruplar. Bunun nedeni, eğer bir grup en az 5 kesitsel 2 sıraya sahipse, MacWilliams, Sylow 2 alt gruplarının bağlı olduğunu göstermiş ve denge teoremi bağlı Sylow 2 alt gruplarına sahip herhangi bir basit grubun bileşen tipi veya karakteristik 2 tipi olduğu anlamına gelir. (Düşük 2 sıralı gruplar için bunun kanıtı bozulur, çünkü sinyalizasyon functor teorem yalnızca en az 3. derece temel değişmeli alt grupları olan gruplar için çalışır.)

Bileşen tipi grupları

Bir merkezleyici için bir grubun bileşen türünde olduğu söylenir C bir devrimin C/Ö(C) bir bileşeni vardır (nerede Ö(C) çekirdeğidir CBunlar, az çok büyük dereceli tek karakterli Lie tipi gruplardır ve bazı sporadik gruplarla birlikte değişen gruplardır.Bu durumda önemli bir adım, engelin engellenmesini ortadan kaldırmaktır. bir evrimin çekirdeği. Bu, B-teoremi, her bileşeninin C/Ö(C) bir bileşenin görüntüsüdür C.

Buradaki fikir, bu grupların, tümevarımla zaten bilindiği varsayılabilecek, daha küçük bir beşli basit grup olan bir bileşenle bir çözümlemenin merkezileştiricisine sahip olmasıdır. Dolayısıyla, bu grupları sınıflandırmak için, bilinen her sonlu basit grubun her bir merkezi uzantısını alır ve bunun bir bileşen olarak kullanıldığı bir evrim merkezileştiricisine sahip tüm basit grupları bulur. Bu, kontrol etmek için oldukça fazla sayıda farklı durum verir: sadece 26 tek tük grup ve 16 Lie tipi grup ailesi ve alternatif gruplar değil, aynı zamanda küçük dereceli veya küçük alanlar üzerindeki grupların çoğu genelden farklı davranır. durum ve ayrı olarak ele alınmalıdır ve Lie tipi çift ve tek karakterli gruplar da oldukça farklıdır.

Karakteristik 2 tip grupları

Bir grup karakteristik 2 tiptedir. genelleştirilmiş Montaj alt grubu F*(Y) her 2 yerel alt gruptan Y Adından da anlaşılacağı gibi, bunlar kabaca karakteristik 2'nin alanları üzerindeki Lie tipi grupların yanı sıra, değişen veya düzensiz veya garip özelliklere sahip bir avuç diğerleri. Sınıflandırmaları, küçük ve büyük dereceli durumlara bölünmüştür; burada sıra, önemsiz olmayan 2 alt grubu normalleştiren tek değişmeli alt grubun en büyük sıralamasıdır; bu, genellikle (ancak her zaman değil) bir Cartan alt cebirinin sıralaması ile aynıdır. grup, karakteristik 2'deki Lie tipi bir gruptur.

1. sıra grupları Aschbacher tarafından sınıflandırılan ince gruplardır ve 2. sıra olanlar kötü şöhretlidir. quasithin grupları, Aschbacher ve Smith tarafından sınıflandırılmıştır. Bunlar, kabaca, karakteristik 2'nin alanları üzerinde 1 veya 2 sırasındaki Lie tipi gruplara karşılık gelir.

Derece en az 3 olan gruplar ayrıca 3 sınıfa ayrılır. trikotomi teoremi, 3. sıra için Aschbacher ve en az 4. sıra için Gorenstein ve Lyons tarafından kanıtlanmıştır. Üç sınıf, GF (2) tipi gruplardır (esas olarak Timmesfeld tarafından sınıflandırılır), bazı garip asallar için "standart tip" gruplardır ( Gilman-Griess teoremi ve diğerleri tarafından çalışma) ve Aschbacher'in bir sonucunun basit grupların olmadığını ima ettiği benzersizlik tipi grupları. Genel daha yüksek dereceli durum, çoğunlukla, mertebenin 2. karakteristik alanlarına göre Lie tipi gruplardan oluşur. en az 3 veya 4.

Basit grupların varlığı ve benzersizliği

Sınıflandırmanın ana kısmı, her basit grubun bir karakterizasyonunu üretir. Daha sonra her karakterizasyon için basit bir grubun var olup olmadığını ve bunun benzersiz olup olmadığını kontrol etmek gerekir. Bu, çok sayıda ayrı sorun ortaya çıkarır; örneğin, orijinal varoluş delilleri ve canavar grubu toplamda yaklaşık 200 sayfa ve Ree grupları Thompson ve Bombieri tarafından sınıflandırmanın en zor kısımlarından biriydi. Sporadik gruplar için varoluş kanıtlarının çoğu ve bazı benzersizlik kanıtları, başlangıçta bilgisayar hesaplamalarını kullandı ve bunların çoğu, o zamandan beri daha kısa el ispatları ile değiştirildi.

İspatın tarihi

Gorenstein'ın programı

1972'de Gorenstein (1979), Ek), aşağıdaki 16 adımdan oluşan sonlu basit grupların sınıflandırmasını tamamlamak için bir program duyurdu:

1. Düşük 2 sıralı gruplar. Bu esasen Gorenstein ve Harada tarafından yapılmıştır. Grupları en fazla 4 sıralı bölümlü olarak sınıflandırmıştır. 2-sıralı vakaların çoğu, Gorenstein programını duyurduğunda yapılmıştır.
2. 2 tabakanın yarı basitliği. Sorun, basit bir gruptaki bir evrimin merkezleyicisinin 2 katmanının yarı basit olduğunu kanıtlamaktır.
3. Garip karakteristikte standart form. Bir grup, Lie tipi garip özelliklerin bir grubu olan 2 bileşenli bir evrime sahipse, amaç, "standart formda" bir evrim merkezileştiricisine sahip olduğunu göstermektir; Lie tipinin garip karakteristiğidir ve ayrıca 2-rank 1 merkezleyicisine sahiptir.
4. Tek tip grupların sınıflandırılması. Sorun, bir grubun "standart formda" bir merkezileştiriciye sahip olması durumunda, bu grubun Lie tipi tuhaf özelliklerin bir grubu olduğunu göstermektir. Bu, Aschbacher tarafından çözüldü klasik evrişim teoremi.
5. Yarı standart form
6. Merkezi müdahaleler
7. Alternatif grupların sınıflandırılması.
8. Bazı sporadik gruplar
9. İnce gruplar. Basit ince sonlu gruplar, 2-yerel olanlar p- tek asal sayılar için en fazla 1 p, 1978'de Aschbacher tarafından sınıflandırıldı
10. İçin güçlü bir şekilde gömülü alt gruba sahip gruplar p garip
11. Garip asal sayılar için sinyalizasyon functor yöntemi. Asıl sorun, sinyalizasyon functor çözülemeyen sinyalizatör functors için teorem. Bu 1982'de McBride tarafından çözüldü.
12. Karakteristik gruplar p yazın. Bu, güçlü bir p- yerleşik 2 yerel alt grup ile p tuhaf, Aschbacher tarafından ele alındı.
13. Quasithin grupları. Bir Quasithin grubu 2 yerel alt grubu olan p-tüm tek asal sayılar için en fazla 2 sırada pve sorun, karakteristik 2 türünün basit olanlarını sınıflandırmaktır. Bu, Aschbacher ve Smith tarafından 2004 yılında tamamlandı.
14. Düşük 2 yerel 3 sıralı gruplar. Bu esasen Aschbacher tarafından çözüldü. trikotomi teoremi olan gruplar için e(G) = 3. Ana değişiklik, 2 yerel 3 sıranın 2 yerel ile değiştirilmesidir. p-tuhaf asallar için sıralandı.
15. Standart formda 3 elemanlı merkezleyiciler. Bu, esasen Trikotomi teoremi.
16. Karakteristik 2 tipteki basit grupların sınıflandırılması. Bu, tarafından ele alındı Gilman-Griess teoremi 3 elemanlı p- garip asal elementler.

İspatın zaman çizelgesi

Aşağıdaki listedeki öğelerin çoğu, Süleyman (2001). Verilen tarih genellikle bir sonucun tam kanıtının yayınlanma tarihidir, bu bazen sonucun ispatından veya ilk duyurulmasından birkaç yıl sonradır, bu nedenle bazı öğeler "yanlış" sırada görünür.

İkinci nesil sınıflandırma

Teoremin kanıtı, 1985 civarında olduğu gibi, denilebilir birinci nesil. Birinci nesil kanıtın aşırı uzunluğu nedeniyle, daha basit bir ispat bulmak için çok çaba sarf edildi. ikinci nesil sınıflandırma kanıtı. "Revizyonizm" olarak adlandırılan bu çaba, başlangıçta Daniel Gorenstein.

2019 itibariyle^{[Güncelleme]}ikinci nesil kanıtın sekiz cildi yayınlanmıştır (Gorenstein, Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b). 2012 yılında Solomon projenin 5 cilde daha ihtiyaç duyacağını tahmin etti, ancak ilerlemenin yavaş olduğunu söyledi. Yeni kanıtın sonunda yaklaşık 5.000 sayfayı dolduracağı tahmin ediliyor. (Bu uzunluk, kısmen, ikinci nesil ispatın daha rahat bir tarzda yazılmasından kaynaklanmaktadır.) Aschbacher ve Smith, bu ciltler ikinci nesil ispatın bir parçası olabilecek şekilde, quasithin vakasına ayrılmış iki cildini yazdılar.

Gorenstein ve arkadaşları, daha basit bir ispatın mümkün olmasının birkaç nedenini öne sürdüler.

• En önemli şey, teoremin doğru, son ifadesinin artık biliniyor olmasıdır. Sonlu basit olduğunu bildiğimiz grup türleri için yeterli olduğu bilinen daha basit teknikler uygulanabilir. Buna karşılık, birinci nesil kanıt üzerinde çalışanlar, kaç tane sporadik grup olduğunu bilmiyorlardı ve aslında bazı düzensiz gruplar (örneğin, Janko grupları ), sınıflandırma teoreminin diğer durumlarını kanıtlarken keşfedildi. Sonuç olarak, teoremin birçok parçası aşırı genel teknikler kullanılarak kanıtlandı.
• Sonuç bilinmediğinden, ilk nesil kanıt, önemli özel durumlarla ilgilenen birçok bağımsız teoremden oluşur. Bu teoremleri kanıtlama çalışmalarının çoğu, çok sayıda özel durumun analizine adanmıştır. Daha büyük, planlanmış bir kanıt verildiğinde, bu özel durumların çoğuyla ilgilenmek, en güçlü varsayımlar uygulanana kadar ertelenebilir. Bu gözden geçirilmiş strateji kapsamında ödenen bedel, bu ilk nesil teoremlerin artık nispeten kısa kanıtlara sahip olmaması, bunun yerine tam sınıflandırmaya dayanmasıdır.
• Birçok ilk nesil teorem örtüşür ve bu nedenle olası durumları verimsiz yollarla böler. Sonuç olarak, sonlu basit grupların aileleri ve alt aileleri birçok kez tanımlandı. Gözden geçirilmiş ispat, farklı vakaların alt bölümlerine dayanarak bu fazlalıkları ortadan kaldırır.
• Sonlu grup teorisyenleri bu tür bir alıştırmada daha fazla deneyime sahiptir ve emrinde yeni tekniklere sahiptir.

Aschbacher (2004) Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth ve diğer birkaç kişinin sınıflandırma problemi üzerine yaptığı çalışmayı üçüncü nesil program. Bunun bir amacı, karakteristik 2'deki tüm grupları amalgam yöntemini kullanarak eşit şekilde tedavi etmektir.

Kanıt neden bu kadar uzun?

Gorenstein, aşağıdaki sınıflandırmaya benzer sınıflandırmanın kısa bir kanıtı olmamasının nedenlerinden bazılarını tartışmıştır. kompakt Lie grupları.

• Bunun en açık nedeni, basit grupların listesinin oldukça karmaşık olmasıdır: 26 sporadik grupla, herhangi bir kanıtta dikkate alınması gereken birçok özel durum olması muhtemeldir. Şimdiye kadar hiç kimse, kompakt Lie gruplarının parametreleştirmesine benzer sonlu basit grupların temiz ve tekdüze bir tanımını henüz bulamadı. Dynkin diyagramları.
• Atiyah ve diğerleri, grupların etki ettiği bazı geometrik nesneler oluşturarak ve ardından bu geometrik yapıları sınıflandırarak sınıflandırmanın basitleştirilmesi gerektiğini öne sürdüler. Sorun şu ki, hiç kimse basit bir grupla ilişkilendirilmiş böyle bir geometrik yapıyı bulmanın kolay bir yolunu önerememiştir. Bir anlamda sınıflandırma, aşağıdaki gibi geometrik yapılar bularak çalışır. BN çiftleri, ancak bu yalnızca sonlu basit bir grubun yapısının çok uzun ve zor bir analizinin sonunda gelir.
• Kanıtı basitleştirmek için bir başka öneri de, temsil teorisi. Buradaki sorun, temsil teorisinin iyi çalışması için bir grubun alt grupları üzerinde çok sıkı kontrol gerektiriyor gibi görünmesidir. Küçük dereceli gruplar için böyle bir kontrol ve temsil teorisi çok iyi işliyor, ancak daha büyük dereceli gruplar için hiç kimse sınıflandırmayı basitleştirmek için onu kullanmayı başaramadı. Sınıflandırmanın ilk günlerinde, temsil teorisini kullanmak için önemli bir çaba sarf edildi, ancak bu, daha yüksek dereceli durumda hiçbir zaman fazla başarıya ulaşamadı.

Sınıflandırmanın sonuçları

Bu bölümde, sonlu basit grupların sınıflandırılması kullanılarak kanıtlanmış bazı sonuçlar listelenmektedir.

• Schreier varsayımı
• Signalizer functor teoremi
• B varsayımı
• Schur-Zassenhaus teoremi tüm gruplar için (ancak bu yalnızca Feit-Thompson teoremi ).
• 1'den fazla elemanı olan sonlu bir küme üzerindeki geçişli permütasyon grubu, sabit noktasız asal güç düzenine sahiptir.
• Sınıflandırılması 2 geçişli permütasyon grupları.
• Sınıflandırılması sıralama 3 permütasyon grupları.
• Sims varsayımı^[3]
• Frobenius'un varsayımı çözüm sayısı üzerine xⁿ = 1.

Ayrıca bakınız

• O'Nan-Scott teoremi

Notlar

Referanslar

• Aschbacher, Michael (2004). "Sonlu Basit Grupların Sınıflandırılmasının Durumu" (PDF). American Mathematical Society'nin Bildirimleri. 51 (7). s. 736–740.
• Aschbacher, Michael; Lyons, Richard; Smith, Stephen D .; Süleyman, Ronald (2011), Sonlu Basit Grupların Sınıflandırılması: Karakteristik 2 Tipi Gruplar, Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar, 172, ISBN  978-0-8218-5336-8
• Conway, John Horton; Curtis, Robert Turner; Norton, Simon Phillips; Parker, Richard A; Wilson, Robert Arnott (1985), Sonlu Gruplar Atlası: Basit Gruplar için Maksimal Alt Gruplar ve Sıradan Karakterler, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853199-9
• Gorenstein, D. (1979), "Sonlu basit grupların sınıflandırılması. I. Basit gruplar ve yerel analiz", Amerikan Matematik Derneği. Bülten. Yeni seri, 1 (1): 43–199, doi:10.1090 / S0273-0979-1979-14551-8, ISSN  0002-9904, BAY  0513750
• Gorenstein, D. (1982), Sonlu basit gruplar, Matematikte Üniversite Dizisi, New York: Plenum Publishing Corp., ISBN  978-0-306-40779-6, BAY  0698782
• Gorenstein, D. (1983), Sonlu basit grupların sınıflandırılması. Cilt 1. Karakteristik olmayan 2 tip gruplar, Matematikte Üniversite Dizisi, Plenum Press, ISBN  978-0-306-41305-6, BAY  0746470
• Daniel Gorenstein (1985), "Muazzam Teorem", Bilimsel amerikalı, 1 Aralık 1985, cilt. 253, hayır. 6, sayfa 104–115.
• Gorenstein, D. (1986), "Sonlu basit grupları sınıflandırmak", Amerikan Matematik Derneği. Bülten. Yeni seri, 14 (1): 1–98, doi:10.1090 / S0273-0979-1986-15392-9, ISSN  0002-9904, BAY  0818060
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Süleyman, Ronald (1994), Sonlu basit grupların sınıflandırılması, Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar, 40Providence, R.I .: Amerikan Matematik Derneği, ISBN  978-0-8218-0334-9, BAY  1303592
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Süleyman, Ronald (1996), 2 Numaralı sonlu basit grupların sınıflandırılması, Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar, 40Providence, R.I .: Amerikan Matematik Derneği, ISBN  978-0-8218-0390-5, BAY  1358135
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Süleyman, Ronald (1998), 3 Numaralı sonlu basit grupların sınıflandırılması, Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar, 40Providence, R.I .: Amerikan Matematik Derneği, ISBN  978-0-8218-0391-2, BAY  1490581
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Süleyman, Ronald (1999), Sonlu basit grupların sınıflandırılması, Numara 4. Kısım II, Bölüm 1-4: Teklik Teoremleri, Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar, 40Providence, R.I .: Amerikan Matematik Derneği, ISBN  978-0-8218-1379-9, BAY  1675976
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Süleyman, Ronald (2002), 5 Numaralı sonlu basit grupların sınıflandırılması, Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar, 40Providence, R.I .: Amerikan Matematik Derneği, ISBN  978-0-8218-2776-5, BAY  1923000
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Süleyman, Ronald (2005), Sonlu basit grupların sınıflandırılması, Sayı 6: Kısım IV: Özel Tek Durum, Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar, 40Providence, R.I .: Amerikan Matematik Derneği, ISBN  978-0-8218-2777-2, BAY  2104668
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Süleyman, Ronald (2018), Sonlu basit grupların sınıflandırılması, Sayı 7: Bölüm III, Bölüm 7-11: Genel Durum, Aşama 3b ve 4a, Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar, 40Providence, R.I .: Amerikan Matematik Derneği, ISBN  978-0-8218-4069-6, BAY  3752626
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Süleyman, Ronald (2018), Sonlu Basit Grupların Sınıflandırılması, Sayı 8: Kısım III, Bölüm 12–17: Genel Durum, Tamamlandı, Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar, 40Providence, R.I .: Amerikan Matematik Derneği, ISBN  978-1-4704-4189-0
• Mark Ronan, Simetri ve Canavar, ISBN  978-0-19-280723-6, Oxford University Press, 2006. (Uzman olmayan okuyucular için kısa giriş)
• Marcus du Sautoy, Moonshine BulmakDördüncü Emlak, 2008, ISBN  978-0-00-721461-7 (meslekten olmayan okuyucu için başka bir giriş)
• Ron Solomon (1995) "Sonlu Basit Gruplar ve Sınıflandırılması Üzerine," American Mathematical Society'nin Bildirimleri. (Çok teknik değil ve tarihte iyi değil)
• Süleyman, Ronald (2001), "Sonlu basit grupların sınıflandırmasının kısa bir tarihi" (PDF), Amerikan Matematik Derneği. Bülten. Yeni seri, 38 (3): 315–352, doi:10.1090 / S0273-0979-01-00909-0, ISSN  0002-9904, BAY  1824893 - makale kazandı Levi L. Conant ödülü sergi için
• Thompson, John G. (1984), "Sonlu çözülemeyen gruplar", Gruenberg, K. W .; Roseblade, J. E. (editörler), Grup teorisi. Philip Hall için Denemeler, Boston, MA: Akademik Basın, s. 1–12, ISBN  978-0-12-304880-6, BAY  0780566
• Wilson, Robert A. (2009), Sonlu basit gruplar, Matematikte Lisansüstü Metinler 251, 251, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN  978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012

Dış bağlantılar

• Sonlu Grup Temsillerinin ATLAS'ı. Aranabilir veritabanı temsiller ve birçok sonlu basit grup için diğer veriler.
• Elwes, Richard "Muazzam bir teorem: sonlu basit grupların sınıflandırılması," Plus Dergisi, Sayı 41, Aralık 2006. Meslekten olmayanlar için.
• Madore, David (2003) Babil olmayan basit grupların sıralaması. 10 sıraya kadar tüm etiket olmayan basit grupların bir listesini içerir¹⁰.
• Tüm sonlu grupların sınıflandırılması hangi anlamda “imkansızdır”?