Diferansiyel denklem örnekleri - Examples of differential equations

Diferansiyel denklemler birçok problemde ortaya çıkıyor fizik, mühendislik ve diğer bilimler. Aşağıdaki örnekler, kesin bir çözümün mevcut olduğu birkaç basit durumda diferansiyel denklemlerin nasıl çözüleceğini gösterir.

Ayrılabilir birinci dereceden adi diferansiyel denklemler

Formdaki denklemler ${displaystyle {frac {dy} {dx}} = f (x) g (y)}$ ayrılabilir denir ve çözülür ${displaystyle {frac {dy} {g (y)}} = f (x) dx}$ ve böylece ${displaystyle int {frac {dy} {g (y)}} = int f (x) dx}$ . Bölmeden önce ${displaystyle g (y)}$ sabit (denge olarak da adlandırılır) çözümler olup olmadığını kontrol etmek gerekir ${displaystyle y = const}$ doyurucu ${displaystyle g (y) = 0}$ .

Ayrılabilir (homojen) birinci dereceden doğrusal adi diferansiyel denklemler

Ayrılabilir doğrusal adi diferansiyel denklem birinci dereceden homojen olmalı ve genel forma sahip olmalıdır

{displaystyle {frac {dy} {dt}} + f (t) y = 0}

nerede ${displaystyle f (t)}$ bazı biliniyor işlevi. Bunu şu şekilde çözebiliriz değişkenlerin ayrılması (hareket ettirmek y şartlar bir tarafa ve t diğer tarafa şartlar),

{displaystyle {frac {dy} {y}} = - f (t), dt}

Bu durumda değişkenlerin ayrılması, ysabit fonksiyonun olup olmadığını kontrol etmeliyiz y = 0 orijinal denklemin bir çözümüdür. Önemsizce, eğer y = 0 sonra y '= 0, yani y = 0 aslında orijinal denklemin bir çözümüdür. Bunu not ediyoruz y = 0 dönüştürülmüş denklemde izin verilmez.

Dönüştürülmüş denklemi, önceden ayrılmış değişkenlerle çözüyoruz. Entegrasyon,

{displaystyle ln | y | = sol (-int f (t), dtight) + C}

nerede C keyfi bir sabittir. Sonra üs alma, elde ederiz

{displaystyle y = pm e ^ {left (-int f (t), dtight) + C} = pm e ^ {C} e ^ {- int f (t), dt}}

.

Buraya, ${displaystyle e ^ {C}> 0}$ , yani ${displaystyle pm e ^ {C} eq 0}$ . Ancak bunu bağımsız olarak kontrol ettik y = 0 aynı zamanda orijinal denklemin bir çözümüdür, dolayısıyla

{displaystyle y = Ae ^ {- int f (t), dt}}

.

keyfi bir sabitle Bir, tüm davaları kapsayan. Orijinal diferansiyel denkleme takarak bunun bir çözüm olduğunu doğrulamak kolaydır:

{displaystyle {frac {dy} {dt}} + f (t) y = -f (t) cdot Ae ^ {- int f (t), dt} + f (t) cdot Ae ^ {- int f (t ), dt} = 0}

Biraz ayrıntıya ihtiyaç var çünkü ƒ(t) entegre edilebilir bile olmayabilir. Denklem tam olarak tanımlanmadan önce, ilgili fonksiyonların alanları hakkında da bir şeyler varsayılmalıdır. Yukarıdaki çözüm, gerçek durum.

Eğer ${displaystyle f (t) = alfa}$ sabittir, çözüm özellikle basittir, ${displaystyle y = Ae ^ {- alpha t}}$ ve örneğin if ${displaystyle alpha> 0}$ , radyoaktif malzemenin makroskopik düzeyde üstel bozunması. Eğer değeri ${displaystyle alpha}$ önceden bilinmemektedir, çözümün iki ölçümünden belirlenebilir. Örneğin,

{displaystyle {frac {dy} {dt}} + alfa y = 0, y (1) = 2, y (2) = 1}

verir ${displaystyle alpha = ln (2)}$ ve ${displaystyle y = 4e ^ {- ln (2) t} = 2 ^ {2-t}}$ .

Ayrılamayan (homojen olmayan) birinci dereceden doğrusal adi diferansiyel denklemler

Birinci dereceden homojen olmayan doğrusal ODE'ler (sıradan diferansiyel denklemler ) ayrılabilir değildir. Aşağıdaki yaklaşımla çözülebilirler. bütünleyici faktör yöntem. Genel formdaki birinci dereceden doğrusal ODE'leri düşünün:

{displaystyle {frac {dy} {dx}} + p (x) y = q (x)}

Bu denklemi çözme yöntemi, özel bir entegrasyon faktörüne dayanır, μ:

{displaystyle mu = e ^ {int _ {x_ {0}} ^ {x} p (t), dt}}

Bu integral alma faktörünü seçiyoruz çünkü türevinin kendisi çarpı entegre ettiğimiz fonksiyon olan özel özelliğe sahip, yani:

{displaystyle {frac {d {mu}} {dx}} = e ^ {int _ {x_ {0}} ^ {x} p (t), dt} cdot p (x) = mu p (x)}

Orijinal diferansiyel denklemin her iki tarafını da çarpın: μ almak:

{displaystyle mu {frac {dy} {dx}} + mu {p (x) y} = mu {q (x)}}

Özel yüzünden μ seçtik, ikame edebiliriz dμ/dx için μ p(x), denklemi basitleştirerek:

{displaystyle mu {frac {dy} {dx}} + y {frac {d {mu}} {dx}} = mu {q (x)}}

Kullanmak Ürün kuralı tersine, şunu elde ederiz:

{displaystyle {frac {d} {dx}} {(mu {y})} = mu {q (x)}}

Her iki tarafı da entegre etmek:

{displaystyle mu {y} = sol (int mu q (x), dxight) + C}

Sonunda çözmek için y iki tarafı da böleriz ${displaystyle mu}$ :

{displaystyle y = {frac {left (int mu q (x), dxight) + C} {mu}}}

Dan beri μ bir fonksiyonudur x, daha fazla doğrudan basitleştiremeyiz.

İkinci dereceden doğrusal adi diferansiyel denklemler

Basit bir örnek

Yaya, kütleye çekici bir kuvvet uygulayan bir kütlenin bağlı olduğunu varsayalım. orantılı yayın uzatmasına / sıkıştırmasına. Şimdilik, diğer güçleri görmezden gelebiliriz (Yerçekimi, sürtünme, vb.). Baharın uzantısını bir seferde yazacağız t gibix(t). Şimdi, kullanarak Newton'un ikinci yasası yazabiliriz (uygun birimler kullanarak):

{displaystyle m {frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + kx = 0,}

nerede m kütle ve k yay sertliğinin bir ölçüsünü temsil eden yay sabitidir. Basitlik uğruna, alalım m = k Örnek olarak.

Forma sahip çözümler ararsak ${displaystyle Ce ^ {lambda t}}$ , nerede C sabittir, ilişkiyi keşfederiz ${displaystyle lambda ^ {2} + 1 = 0}$ , ve böylece ${displaystyle lambda}$ biri olmalı Karışık sayılar ${displaystyle i}$ veya ${displaystyle -i}$ . Böylece kullanarak Euler formülü çözümün şu şekilde olması gerektiğini söyleyebiliriz:

{displaystyle x (t) = Acos t + Bsin t}

Bkz çözüm tarafından WolframAlpha.

Bilinmeyen sabitleri belirlemek için Bir ve B, ihtiyacımız var başlangıç koşulları, yani belirli bir zamanda sistemin durumunu belirten eşitlikler (genelliklet = 0).

Örneğin, varsayarsak t = 0 uzantı bir birim mesafedir (x = 1) ve parçacık hareket etmiyor (dx/dt = 0). Sahibiz

{displaystyle x (0) = Acos 0 + Bsin 0 = A = 1,}

ve bu yüzdenBir = 1.

{displaystyle x '(0) = - Asin 0 + Bcos 0 = B = 0,}

ve bu yüzden B = 0.

Bu nedenle x(t) = cost. Bu bir örnektir basit harmonik hareket.

Bkz çözüm tarafından Wolfram Alpha.

Daha karmaşık bir model

Bir yay üzerinde salınan bir kütlenin yukarıdaki modeli makuldür, ancak çok gerçekçi değildir: pratikte, sürtünme kütleyi yavaşlatma eğilimi gösterecek ve hızıyla orantılı büyüklüğe sahip olacaktır (yanidx/dt). İvme ve kuvvetlerin dengelenmesini ifade eden yeni diferansiyel denklemimiz,

{displaystyle m {frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + c {frac {dx} {dt}} + kx = 0,}

nerede ${displaystyle c}$ sürtünmeyi temsil eden sönümleme katsayısıdır. Yine formun çözümlerini arıyorum ${displaystyle Ce ^ {lambda t}}$ , onu bulduk

{displaystyle mlambda ^ {2} + clambda + k = 0.}

Bu bir ikinci dereceden denklem biz çözebiliriz. Eğer ${displaystyle c ^ {2} <4km}$ iki karmaşık eşlenik kök var a ± ibve çözüm (yukarıdaki sınır koşullarında) şöyle görünecektir:

{displaystyle x (t) = e ^ {at} sol (cos bt- {frac {a} {b}} günah btight)}

Basitlik için alalım ${displaystyle m = 1}$ , sonra ${displaystyle 0$ ve ${displaystyle k = a ^ {2} + b ^ {2}}$ .

Denklem ayrıca MATLAB sembolik araç kutusunda şu şekilde çözülebilir:

x = dsolve('D2x + c * Dx + k * x = 0','x (0) = 1','Dx (0) = 0')

çözüm oldukça çirkin görünse de

x = (c + (c^2 - 4*k)^(1/2))/(2*tecrübe(t*(c/2 - (c^2 - 4*k)^(1/2)/2))*(c^2 - 4*k)^(1/2)) -     (c - (c^2 - 4*k)^(1/2))/(2*tecrübe(t*(c/2 + (c^2 - 4*k)^(1/2)/2))*(c^2 - 4*k)^(1/2))

Bu bir modeldir sönümlü osilatör. Zamana karşı yerinden edilme planı şöyle görünecektir:

Bu, titreşimli bir yayın sistemdeki enerjiyi sürtünme gibi uzaklaştırırken nasıl davranacağını beklediğine benzer.

ODE'lerin lineer sistemleri

Aşağıdaki birinci dereceden ODE doğrusal sistemleri örneği

{displaystyle y_ {1} '= y_ {1} + 2y_ {2} + t}

{displaystyle y_ {2} '= 2y_ {1} -2y_ {2} + günah (t)}

kullanarak sembolik olarak kolayca çözülebilir sayısal analiz yazılımı.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

A. D. Polyanin ve V.F. Zaitsev, Sıradan Diferansiyel Denklemler için Kesin Çözümler El Kitabı, 2. Baskı, Chapman & Hall /CRC Basın, Boca Raton, 2003; ISBN 1-58488-297-2.

Dış bağlantılar

Sıradan Diferansiyel Denklemler EqWorld'de: Matematiksel Denklemlerin Dünyası.