Nokta süreci - Point process

İçinde İstatistik ve olasılık teorisi, bir nokta süreci veya nokta alanı gerçek çizgi, Kartezyen düzlem veya daha fazla soyut alan gibi bazı temel matematiksel uzayda rastgele yerleştirilmiş matematiksel noktaların bir koleksiyonudur. Nokta süreçleri, bazı uzay türlerinde noktalar olarak temsil edilebilen fenomenlerin veya nesnelerin matematiksel modelleri olarak kullanılabilir.

Rasgele sayma ölçüsü veya rasgele bir küme gibi bir nokta işleminin farklı matematiksel yorumları vardır.^[1][2] Bazı yazarlar bir nokta süreci ve stokastik süreci iki farklı nesne olarak görürler, öyle ki bir nokta süreci bir stokastik süreçten kaynaklanan veya bununla ilişkilendirilen rastgele bir nesnedir.^[3][4] ancak nokta süreçler ile stokastik süreçler arasındaki farkın net olmadığı belirtilmiştir.^[4] Diğerleri bir nokta sürecini, sürecin temel alan kümeleri tarafından indekslendiği bir stokastik süreç olarak kabul eder.^[a] gerçek çizgi gibi tanımlandığı veya ${ displaystyle n}$boyutlu Öklid uzayı.^[7][8] Yenileme ve sayma işlemleri gibi diğer stokastik süreçler nokta süreçler teorisinde incelenir.^[9][10] Bazen "nokta işlem" terimi tercih edilmez, çünkü tarihsel olarak "süreç" kelimesi zaman içinde bir sistemin evrimini ifade eder, bu nedenle nokta işlemine rastgele nokta alanı da denir.^[11]

Nokta süreçleri, olasılık teorisi^[12][13] ve güçlü araçların konusu İstatistik modelleme ve analiz için mekansal veri,^[14][15] ormancılık, bitki ekolojisi, epidemiyoloji, coğrafya, sismoloji, malzeme bilimi, astronomi, telekomünikasyon, hesaplamalı sinirbilim gibi farklı disiplinlerin ilgi alanına giren,^[16] ekonomi^[17] ve diğerleri.

Gerçek hattaki nokta süreçleri, özellikle çalışmaya uygun olan önemli bir özel durum oluşturur,^[18] çünkü noktalar doğal bir şekilde sıralanmıştır ve tüm nokta süreci noktalar arasındaki (rastgele) aralıklarla tamamen tanımlanabilir. Bu nokta süreçleri, müşterilerin kuyrukta gelmesi gibi zaman içindeki rastgele olaylar için model olarak sıklıkla kullanılır (kuyruk teorisi ), bir nörondaki uyarıların (hesaplamalı sinirbilim ), bir içindeki parçacıklar gayger sayacı, radyo istasyonlarının konumu bir telekomünikasyon ağı^[19] veya üzerindeki aramaların Dünya çapında Ağ.

Genel nokta süreç teorisi

Matematikte bir nokta süreci bir rastgele eleman değerleri bir üzerinde "nokta desenleri" olan Ayarlamak S. Tam matematiksel tanımda bir nokta deseni bir yerel olarak sonlu sayma ölçüsü daha uygulamalı amaçlar için bir nokta modelini bir nokta olarak düşünmek yeterlidir. sayılabilir alt kümesi S yok sınır noktaları.^{[açıklama gerekli ]}

Tanım

Genel nokta süreçlerini tanımlamak için bir olasılık alanıyla başlarız ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$ve ölçülebilir bir alan ${ displaystyle (S, { mathcal {S}})}$ nerede ${ displaystyle S}$ bir yerel olarak kompaktikinci sayılabilir Hausdorff alanı ve ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ onunBorel σ-cebir. Şimdi tam sayı değerli yerel olarak sonlu bir çekirdek düşünün ${ displaystyle xi}$itibaren ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}})}$ içine ${ displaystyle (S, { mathcal {S}})}$yani bir eşleme${ displaystyle Omega times { mathcal {S}} mapsto mathbb {Z} _ {+}}$ öyle ki:

1. Her biri için ${ displaystyle omega in Omega}$, ${ displaystyle xi ( omega, cdot)}$ yerel olarak sonlu bir ölçüdür ${ displaystyle S}$.^{[açıklama gerekli ]}
2. Her biri için ${ mathcal {S}}} içinde { displaystyle B$, ${ displaystyle xi ( cdot, B): Omega mapsto mathbb {Z} _ {+}}$ üzerinde rastgele bir değişken ${ displaystyle mathbb {Z} _ {+}}$.

Bu çekirdek, bir rastgele ölçü Aşağıdaki şekilde. Düşünmek isteriz ${ displaystyle xi}$hangi haritaların ${ displaystyle omega in Omega}$ bir ölçüye kadar ${ mathcal {M}} ({ mathcal {S}})} içinde { displaystyle xi _ { omega}$(yani, ${ displaystyle Omega mapsto { mathcal {M}} ({ mathcal {S}})}$),nerede ${ displaystyle { mathcal {M}} ({ mathcal {S}})}$ yerel olarak sonlu ölçüler kümesidir ${ displaystyle S}$Şimdi, bu haritayı ölçülebilir hale getirmek için, bir ${ displaystyle sigma}$tarla bitti ${ displaystyle { mathcal {M}} ({ mathcal {S}})}$.Bu ${ displaystyle sigma}$-field minimal cebir olarak inşa edilmiştir, böylece formun tüm değerlendirme haritaları${ displaystyle pi _ {B}: mu mapsto mu (B)}$, nerede ${ mathcal {S}}} içinde { displaystyle B$ dır-dir nispeten kompakt, ölçülebilir. Bununla donatılmış ${ displaystyle sigma}$-field, sonra ${ displaystyle xi}$ rastgele bir öğedir, her biri için${ displaystyle omega in Omega}$, ${ displaystyle xi _ { omega}}$ yerel olarak sonlu bir ölçüdür ${ displaystyle S}$.

Şimdi, tarafından nokta süreci açık ${ displaystyle S}$ basitçe demek istiyoruz tam sayı değerli rastgele ölçü (veya eşdeğer olarak, tamsayı değerli çekirdek) ${ displaystyle xi}$ Yukarıdaki gibi inşa edilmiştir. Durum uzayı için en yaygın örnek S Öklid uzayı Rⁿ veya bunun bir alt kümesi, burada özellikle ilginç bir özel durum gerçek yarım çizgi [0, ∞) ile verilir. Bununla birlikte, nokta süreçleri bu örneklerle sınırlı değildir ve diğer şeylerin yanı sıra, noktaların kendilerinin kompakt alt kümeleri olması durumunda da kullanılabilir. Rⁿ, bu durumda ξ genellikle bir parçacık süreci.

Not edildi^{[kaynak belirtilmeli ]} bu terim nokta süreci çok iyi değil eğer S gerçek çizginin bir alt kümesi değildir, çünkü ξ'nin bir Stokastik süreç. Bununla birlikte, terim, genel durumda bile sağlam ve tartışmasızdır.

Temsil

Bir noktasal sürecin her örneği (veya olayı) as şu şekilde temsil edilebilir:

${ displaystyle xi = toplam _ {i = 1} ^ {n} delta _ {X_ {i}},}$

nerede ${ displaystyle delta}$ gösterir Dirac ölçüsü, n tam sayı değerli bir rastgele değişkendir ve ${ displaystyle X_ {i}}$ rastgele unsurları S. Eğer ${ displaystyle X_ {i}}$'ler neredeyse kesin farklı (veya eşdeğer olarak, neredeyse kesin ${ displaystyle xi (x) leq 1}$ hepsi için ${ displaystyle x in mathbb {R} ^ {d}}$), sonra nokta işlem olarak bilinir basit.

Bir olayın başka bir farklı ancak faydalı temsili (olay uzayındaki bir olay, yani bir dizi nokta), her bir örneğin bir ${ displaystyle N (t)}$ tamsayı değerleri alan sürekli bir işlev olan işlev: ${ displaystyle N: { mathbb {R}} rightarrow { mathbb {Z} ^ {+}}}$:

${ displaystyle N (t_ {1}, t_ {2}) = int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} xi (t) dt}$

gözlem aralığındaki olayların sayısı ${ displaystyle (t_ {1}, t_ {2}]}$. Bazen şu şekilde gösterilir ${ displaystyle N_ {t_ {1}, t_ {2}}}$, ve ${ displaystyle N_ {T}}$ veya ${ displaystyle N (T)}$ anlamına gelmek ${ displaystyle N_ {0, T}}$.

Beklenti ölçüsü

beklenti ölçüsü Eξ (Ayrıca şöyle bilinir ortalama ölçü) nokta sürecin ξ bir ölçüsüdür S her Borel alt kümesine atayan B nın-nin S beklenen puan sayısı ξ içinde B. Yani,

${ displaystyle E xi (B): = E { bigl (} xi (B) { bigr)} quad { text {her için}} B { mathcal {B}} içinde.}$

Laplace işlevi

Laplace işlevi ${ displaystyle Psi _ {N} (f)}$ bir nokta sürecin N tüm pozitif değerli işlevler kümesinden farklıdır f durum uzayında N, için ${ displaystyle [0, infty)}$ aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

${ displaystyle Psi _ {N} (f) = E [ exp (-N (f))]}$

Benzer bir rol oynarlar. karakteristik fonksiyonlar için rastgele değişken. Önemli bir teorem şöyle der: Laplace fonksiyonelleri eşitse iki noktalı süreçler aynı yasaya sahiptir.

Moment ölçüsü

${ displaystyle n}$nokta işlemin gücü, ${ displaystyle xi ^ {n},}$ ürün alanında tanımlanır ${ displaystyle S ^ {n}}$ aşağıdaki gibi :

${ displaystyle xi ^ {n} (A_ {1} times cdots times A_ {n}) = prod _ {i = 1} ^ {n} xi (A_ {i})}$

Tarafından monoton sınıf teoremi bu, ürün ölçüsünü benzersiz bir şekilde tanımlar. ${ displaystyle (S ^ {n}, B (S ^ {n})).}$ Beklenti ${ displaystyle E xi ^ {n} ( cdot)}$ denir ${ displaystyle n}$ inci moment ölçüsü. İlk moment ölçüsü, ortalama ölçüdür.

İzin Vermek ${ displaystyle S = mathbb {R} ^ {d}}$ . eklem yoğunlukları bir nokta sürecin ${ displaystyle xi}$ w.r.t. Lebesgue ölçümü fonksiyonlardır ${ displaystyle rho ^ {(k)}: ( mathbb {R} ^ {d}) ^ {k} ile [0, infty)}$ öyle ki herhangi bir ayrık sınırlı Borel alt kümeleri için ${ displaystyle B_ {1}, ldots, B_ {k}}$

${ displaystyle E sol ( prod _ {i} xi (B_ {i}) sağ) = int _ {B_ {1} times cdots times B_ {k}} rho ^ {(k )} (x_ {1}, ldots, x_ {k}) , dx_ {1} cdots dx_ {k}.}$

Nokta prosesler için ortak yoğunluklar her zaman mevcut değildir. Verilen anlar bir rastgele değişken Birçok durumda rastgele değişkeni belirlerken, eklem yoğunlukları için benzer bir sonuç beklenir. Aslında, bu birçok durumda gösterilmiştir.^[13]

Durağanlık

Bir nokta süreci ${ displaystyle xi alt küme mathbb {R} ^ {d}}$ olduğu söyleniyor sabit Eğer ${ displaystyle xi + x: = toplam _ {i = 1} ^ {N} delta _ {X_ {i} + x}}$ ile aynı dağılıma sahiptir ${ displaystyle xi}$ hepsi için ${ displaystyle x in mathbb {R} ^ {d}.}$ Durağan nokta süreci için ortalama ölçü ${ displaystyle E xi ( cdot) = lambda | cdot |}$ bazı sabitler için ${ displaystyle lambda geq 0}$ ve nerede ${ displaystyle | cdot |}$ Lebesgue ölçümü anlamına gelir. Bu ${ displaystyle lambda}$ denir yoğunluk nokta sürecin. Üzerinde durağan nokta süreci ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ toplamda neredeyse kesinlikle 0 veya sonsuz sayıda puana sahiptir. Durağan nokta süreçleri ve rastgele ölçüm hakkında daha fazla bilgi için Daley & Vere-Jones Bölüm 12'ye bakın.^[13] Durağanlık, daha genel uzaylarda nokta süreçler için tanımlanmış ve çalışılmıştır. ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$.

Nokta süreç örnekleri

Bazı nokta süreç örneklerini göreceğiz. ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}.}$

Poisson noktası süreci

Nokta sürecinin en basit ve en yaygın örneği, Poisson noktası süreciuzaysal bir genellemedir. Poisson süreci. Çizgi üzerindeki bir Poisson (sayma) işlemi iki özellik ile karakterize edilebilir: ayrık aralıklardaki noktaların (veya olayların) sayısı bağımsızdır ve bir Poisson Dağılımı. Bu iki özellik kullanılarak bir Poisson noktası süreci de tanımlanabilir. Yani nokta süreç diyoruz ${ displaystyle xi}$ aşağıdaki iki koşul geçerliyse bir Poisson puan sürecidir

1) ${ displaystyle xi (B_ {1}), ldots, xi (B_ {n})}$ ayrık alt kümeler için bağımsızdır${ displaystyle B_ {1}, ldots, B_ {n}.}$

2) Herhangi bir sınırlı alt küme için ${ displaystyle B}$, ${ displaystyle xi (B)}$ var Poisson Dağılımı parametre ile ${ displaystyle lambda | B |,}$ nerede${ displaystyle | cdot |}$ gösterir Lebesgue ölçümü.

İki koşul birleştirilebilir ve aşağıdaki gibi yazılabilir: Herhangi bir ayrık sınırlı alt kümeler için ${ displaystyle B_ {1}, ldots, B_ {n}}$ ve negatif olmayan tamsayılar ${ displaystyle k_ {1}, ldots, k_ {n}}$ bizde var

${ displaystyle Pr [ xi (B_ {i}) = k_ {i}, 1 leq i leq n] = prod _ {i} e ^ {- lambda | B_ {i} |} { frac {( lambda | B_ {i} |) ^ {k_ {i}}} {k_ {i}!}}.}$

Sabit ${ displaystyle lambda}$ Poisson noktası sürecinin yoğunluğu denir. Poisson noktası sürecinin tek parametre ile karakterize edildiğine dikkat edin ${ displaystyle lambda.}$ Bu basit, durağan bir nokta sürecidir.Daha spesifik olmak gerekirse, yukarıdaki nokta sürecini homojen bir Poisson noktası süreci olarak adlandırır. Bir homojen olmayan Poisson süreci yukarıdaki gibi tanımlanır, ancak değiştirilerek ${ displaystyle lambda | B |}$ ile ${ displaystyle { stackrel {} {}} int _ {B} lambda (x) , dx}$ nerede ${ displaystyle lambda}$ negatif olmayan bir fonksiyondur ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}.}$

Cox noktası süreci

Bir Cox süreci (adını Efendim David Cox ), kullandığımız Poisson nokta sürecinin bir genellemesidir rastgele önlemler yerine ${ displaystyle lambda | B |}$. Daha resmi olarak ${ displaystyle Lambda}$ olmak rastgele ölçü. Tarafından yönlendirilen bir Cox puanı süreci rastgele ölçü ${ displaystyle Lambda}$ nokta süreci ${ displaystyle xi}$ aşağıdaki iki özelliğe sahip:

1. Verilen ${ displaystyle Lambda ( cdot)}$, ${ displaystyle xi (B)}$ Poisson parametre ile dağıtılır ${ displaystyle Lambda (B)}$ herhangi bir sınırlı alt küme için ${ displaystyle B.}$
2. Ayrık alt kümelerin sonlu bir koleksiyonu için ${ displaystyle B_ {1}, ldots, B_ {n}}$ ve şartlı ${ displaystyle Lambda (B_ {1}), ldots, Lambda (B_ {n}),}$ bizde var ${ displaystyle xi (B_ {1}), ldots, xi (B_ {n})}$ bağımsızdır.

Poisson nokta sürecinin (homojen ve homojen olmayan), Cox nokta işlemlerinin özel durumlarını takip ettiğini görmek kolaydır. Cox puan sürecinin ortalama ölçüsü ${ displaystyle E xi ( cdot) = E Lambda ( cdot)}$ ve bu nedenle, Poisson nokta sürecinin özel durumunda, ${ displaystyle lambda | cdot |.}$

Cox puan süreci için, ${ displaystyle Lambda ( cdot)}$ denir yoğunluk ölçüsü. Ayrıca, eğer ${ displaystyle Lambda ( cdot)}$ (rastgele) yoğunluğa sahiptir (Radon-Nikodym türevi ) ${ displaystyle lambda ( cdot)}$ yani

${ displaystyle Lambda (B) { stackrel { text {a.s.}} {=}} int _ {B} lambda (x) , dx,}$

sonra ${ displaystyle lambda ( cdot)}$ denir yoğunluk alanı Cox puan sürecinin. Yoğunluk ölçülerinin veya yoğunluk alanlarının durağanlığı, karşılık gelen Cox noktası işlemlerinin durağanlığını ifade eder.

Aşağıdakiler gibi ayrıntılı olarak incelenen birçok özel Cox noktası süreci sınıfı vardır:

• Gaussian Cox nokta işlemlerini günlüğe kaydet:^[20] ${ displaystyle lambda (y) = exp (X (y))}$ için Gauss rasgele alanı ${ displaystyle X (.)}$
• Atış gürültüsü Cox nokta işlemleri:,^[21] ${ displaystyle lambda (y) = toplamı _ {X in Phi} h (X, y)}$ Poisson puan süreci için ${ displaystyle Phi ( cdot)}$ ve çekirdek ${ displaystyle h ( cdot, cdot)}$
• Genelleştirilmiş atış gürültüsü Cox nokta işlemleri:^[22] ${ displaystyle lambda (y) = toplamı _ {X in Phi} h (X, y)}$ bir nokta süreci için ${ displaystyle Phi ( cdot)}$ ve çekirdek ${ displaystyle h (.,.)}$
• Lévy tabanlı Cox puan süreçleri:^[23] ${ displaystyle lambda (y) = int h (x, y) L (dx)}$ bir Lévy temeli için ${ displaystyle L ( cdot)}$ ve çekirdek ${ displaystyle h (.,.)}$, ve
• Kalıcı Cox puan süreçleri:^[24] ${ displaystyle lambda (y) = X_ {1} ^ {2} (y) + cdots + X_ {k} ^ {2} (y)}$ için k bağımsız Gauss rasgele alanları ${ displaystyle X_ {i} ( cdot)}$'s
• Sigmoidal Gaussian Cox nokta işlemleri:^[25] ${ displaystyle lambda (y) = lambda ^ { yıldız} / (1+ exp (-X (y)))}$ bir Gauss rasgele alanı için ${ displaystyle X ( cdot)}$ ve rastgele ${ displaystyle lambda ^ { yıldız}> 0}$

Jensen'in eşitsizliği ile, Cox nokta süreçlerinin aşağıdaki eşitsizliği karşıladığı doğrulanabilir: tüm sınırlı Borel alt kümeleri için ${ displaystyle B}$,

${ displaystyle operatorname {Var} ( xi (B)) geq operatorname {Var} ( xi _ { alpha} (B)),}$

nerede ${ displaystyle xi _ { alpha}}$ yoğunluk ölçülü Poisson nokta sürecini temsil eder ${ displaystyle alpha ( cdot): = E xi ( cdot) = E Lambda ( cdot).}$ Bu nedenle noktalar, Poisson noktası sürecine kıyasla bir Cox nokta işleminde daha fazla değişkenlikle dağıtılır. Bu bazen denir kümeleme veya çekici mülk Cox puan sürecinin.

Belirleyici nokta süreçleri

Önemli bir nokta süreçleri sınıfı, fizik, rastgele matris teorisi, ve kombinatorik, şu mu belirleyici nokta süreçleri.^[26]

Hawkes (kendi kendini uyaran) süreçler

Bir Hawkes süreci ${ displaystyle N_ {t}}$kendi kendini uyaran bir sayma süreci olarak da bilinen, koşullu yoğunluğu şu şekilde ifade edilebilen basit bir nokta işlemidir

${ displaystyle { begin {dizi} {ll} lambda (t) & = mu (t) + int _ {- infty} ^ {t} nu (ts) dN_ {s} & = mu (t) + toplam _ {T_ {k}$

nerede ${ displaystyle nu: mathbb {R} ^ {+} rightarrow mathbb {R} ^ {+}}$ geçmiş olayların olumlu etkisini ifade eden bir çekirdek işlevidir ${ displaystyle T_ {i}}$ yoğunluk sürecinin mevcut değeri hakkında ${ displaystyle lambda (t)}$, ${ displaystyle mu (t)}$ yoğunluğun beklenen, öngörülebilir veya deterministik bölümünü temsil eden, muhtemelen durağan olmayan bir fonksiyondur ve ${ displaystyle {T_ {i}: T_ {i}$ işlemin i-inci olayının meydana geldiği zamandır.^{[kaynak belirtilmeli ]}

Geometrik süreçler

Negatif olmayan rastgele değişkenler dizisi verildiğinde:${ displaystyle {X_ {k}, k = 1,2, noktalar }}$bağımsız iseler ve cdf ${ displaystyle X_ {k}}$ tarafından verilir ${ displaystyle F (a ^ {k-1} x)}$ için ${ displaystyle k = 1,2, noktalar}$, nerede ${ displaystyle a}$ pozitif bir sabittir, o zaman ${ displaystyle {X_ {k}, k = 1,2, ldots }}$ geometrik süreç (GP) olarak adlandırılır ^[27].

Geometrik sürecin birkaç uzantısı vardır. α- serisi süreç^[28] ve iki kat geometrik süreç ^[29].

Gerçek yarım çizgide nokta işlemleri

Tarihsel olarak incelenen ilk nokta süreçleri gerçek yarı çizgiye sahipti R₊ = [0, ∞) durum uzayı olarak, bu bağlamda genellikle zaman olarak yorumlanır. Bu çalışmalar, telekomünikasyon sistemlerini modelleme isteği ile motive edildi,^[30] noktaların, bir telefon santraline yapılan aramalar gibi zaman içindeki olayları temsil ettiği.

Nokta işlemleri R₊ tipik olarak (rastgele) olaylar arası zamanlarının (T₁, T₂, ...), buradan gerçek sıra (X₁, X₂, ...) olay zamanları şu şekilde elde edilebilir:

${ displaystyle X_ {k} = toplam _ {j = 1} ^ {k} T_ {j} quad { text {for}} k geq 1.}$

Olaylar arası zamanlar bağımsız ise ve aynı şekilde dağıtılmışsa, elde edilen nokta prosesi bir yenileme süreci.

Noktasal sürecin yoğunluğu

yoğunluk λ(t | H_t) bir filtrasyona göre gerçek yarı çizgi üzerinde bir nokta işlemin H_t olarak tanımlanır

${ displaystyle lambda (t mid H_ {t}) = lim _ { Delta t ila 0} { frac {1} { Delta t}} Pr ({ text { zaman aralığı}} , [t, t + Delta t] mid H_ {t}),}$

H_t zamandan önceki olay noktası zamanlarının geçmişini gösterebilir t ancak diğer filtrelemelere de karşılık gelebilir (örneğin bir Cox işlemi durumunda).

İçinde ${ displaystyle N (t)}$-notasyon, bu daha kompakt bir biçimde yazılabilir:${ displaystyle lambda (t orta H_ {t}) = lim _ { Delta t ila 0} { frac {1} { Delta t}} Pr (N (t + Delta t) -N (t) = 1 mid H_ {t})}$.

dengeleyici bir nokta sürecin, aynı zamanda ikili öngörülebilir projeksiyon, tarafından tanımlanan entegre koşullu yoğunluk işlevidir

${ displaystyle Lambda ^ {} (s _ {}, u) = int _ {s} ^ {u} lambda ^ {} (t | H_ {t}) mathrm {d} t}$

İlgili işlevler

Papangelou yoğunluk fonksiyonu

Papangelou yoğunluk fonksiyonu bir nokta sürecin ${ displaystyle N}$ içinde ${ displaystyle n}$boyutlu Öklid uzayı ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$olarak tanımlanır

${ displaystyle lambda _ {p} (x) = lim _ { delta ile 0} { frac {1} {| B _ { delta} (x) |}} {P} {{ text {}} , B _ { delta} (x) mid sigma [N ( mathbb {R} ^ {n} setminus B _ { delta} (x))] } konumunda bir olay meydana gelir},}$

nerede ${ displaystyle B _ { delta} (x)}$ topun ortalanması ${ displaystyle x}$ bir yarıçapın ${ displaystyle delta}$, ve ${ displaystyle sigma [N ( mathbb {R} ^ {n} setminus B _ { delta} (x))]}$ nokta işlemin bilgilerini belirtir ${ displaystyle N}$dışarıda ${ displaystyle B _ { delta} (x)}$.

Olabilirlik işlevi

Bazı gözlemlenen verilere bağlı olan parametreleştirilmiş basit nokta işleminin logaritmik olasılığı şu şekilde yazılır:

${ displaystyle ln { mathcal {L}} (N (t) _ {t in [0, T]}) = int _ {0} ^ {T} (1- lambda (s)) ds + int _ {0} ^ {T} ln lambda (s) dN_ {s}}$^[31]

Uzamsal istatistikte nokta süreçleri

Kompakt bir alt kümede nokta deseni verilerinin analizi S nın-nin Rⁿ içinde önemli bir çalışma nesnesidir mekansal istatistikler. Bu tür veriler çok çeşitli disiplinlerde görünür,^[32] aralarında

• ormancılık ve bitki ekolojisi (genel olarak ağaçların veya bitkilerin konumları)
• epidemiyoloji (enfekte hastaların ev konumları)
• zooloji (hayvan yuvaları veya yuvaları)
• coğrafya (insan yerleşimlerinin, kasabaların veya şehirlerin konumları)
• sismoloji (depremlerin merkez üsleri)
• malzeme bilimi (endüstriyel malzemelerdeki kusurların konumları)
• astronomi (yıldızların veya galaksilerin yerleri)
• hesaplamalı sinirbilim (nöronların sivri uçları).

Bu tür verileri modellemek için nokta süreçlerini kullanma ihtiyacı, içsel mekansal yapılarında yatmaktadır. Buna göre, ilk ilgilenilen soru genellikle verilen verilerin sergileyip sergilemeyeceğidir. tam uzaysal rastgelelik (yani bir uzaysal Poisson süreci ) uzamsal kümelenme veya uzamsal engelleme sergilemenin aksine.

Buna karşılık, klasik olarak düşünülen birçok veri kümesi çok değişkenli istatistikler bir veya birkaç ortak değişken tarafından yönetilebilen bağımsız olarak oluşturulmuş veri noktalarından oluşur (tipik olarak uzamsal olmayan).

Konumsal istatistikteki uygulamaların yanı sıra nokta süreçler, stokastik geometri. Araştırma ayrıca Voronoi Mozaikler, Rastgele geometrik grafikler, Boole modeli vb. Gibi nokta süreçleri üzerine inşa edilmiş çeşitli modellere de yoğun bir şekilde odaklanmıştır.

Ayrıca bakınız

• Ampirik ölçü
• Rastgele ölçü
• Nokta işlem notasyonu
• Nokta işlem işlemi
• Poisson süreci
• Yenileme teorisi
• Değişmez ölçü
• Transfer operatörü
• Koopman operatörü
• Vardiya operatörü

Notlar

Referanslar