Arnold dili - Arnold tongue

Daire haritasının iki parametresinin farklı değerleri için dönüş sayısı: Ω xeksen ve K üzerinde yeksen. Bazı dil şekilleri görülebilir.

İçinde matematik, Özellikle de dinamik sistemler, Arnold dilleri (adını Vladimir Arnold )^[1]^[2] nasıl olduğunu görselleştirirken ortaya çıkan resimsel bir fenomendir. rotasyon numarası dinamik bir sistemin veya diğer ilgili değişmez özellik iki veya daha fazla parametresine göre değişir. Bazı dinamik sistemlerde sabit dönme sayılı bölgeler oluştuğu gözlemlenmiştir. geometrik şekiller dillere benzer, bu durumda onlara Arnold dilleri denir.^[3]

Arnold dilleri, biyolojik süreçlerde enzimlerin ve substratların konsantrasyonu gibi salınan miktarları içeren çok çeşitli doğal olaylarda gözlemlenir.^[4] ve kardiyak elektrik dalgaları. Bazen salınım frekansı bağlıdır veya sınırlandırılmıştır (yani, faz kilitli veya mod kilitli, bazı bağlamlarda) bir miktar temel alır ve bu ilişkiyi incelemek çoğu zaman ilgi çekicidir. Örneğin, bir tümör bölgede birbirleriyle etkileşime giren bir dizi madde (esas olarak proteinler) salınımlarını tetikler; simülasyonlar, bu etkileşimlerin Arnold dillerinin ortaya çıkmasına neden olduğunu, yani bazı salınımların sıklığının diğerlerini kısıtladığını ve bunun tümör büyümesini kontrol etmek için kullanılabileceğini gösteriyor.^[3]

Arnold dillerinin bulunabileceği diğer örnekler şunları içerir: uyumsuzluk müzik aletlerinin yörünge rezonansı ve gelgit kilitlemesi yörüngeli uyduların mod kilitleme içinde Fiber optik ve faz kilitli döngüler ve diğeri elektronik osilatörler yanı sıra kalp ritimleri, kalp aritmileri ve Hücre döngüsü.^[5]

Mod kilitleme sergileyen en basit fiziksel modellerden biri, zayıf bir yayla birbirine bağlanan iki dönen diskten oluşur. Bir diskin serbestçe dönmesine izin verilir ve diğeri bir motorla tahrik edilir. Mod kilitlemesi, serbestçe dönen disk bir frekansta döndüğünde meydana gelir. akılcı sürülen döndürücünün katı.

Mod kilitlemeyi sergileyen en basit matematiksel model, dönen disklerin hareketini farklı zaman aralıklarında yakalamaya çalışan daire haritasıdır.

Standart daire haritası

Çatallanma diyagramı için

{displaystyle Omega}

sabit tutuldu

{displaystyle 1/3}

.

{displaystyle K}

den gider

{displaystyle 0}

dipte

{displaystyle 4pi}

üstte ve yörüngeler aralıkta gösterilir

{displaystyle [-0,5,0,5]}

onun yerine

{displaystyle [0,1]}

. Siyah bölgeler Arnold dillerine karşılık gelir.

Arnold dilleri en sık osilatörler özellikle bir osilatörün sürücüler bir diğeri. Yani, bir osilatör diğerine bağlıdır, ancak başka bir şekilde değil, bu nedenle birbirlerini olduğu gibi karşılıklı olarak etkilemezler. Kuramoto modelleri, Örneğin. Bu özel bir durumdur tahrikli osilatörler, periyodik bir davranışa sahip bir itici güçle. Pratik bir örnek olarak, kalp hücreleri (harici osilatör) kalp kasılmalarını (tahrik edilen osilatör) uyarmak için periyodik elektrik sinyalleri üretir; burada, muhtemelen daha iyi tasarım yapmak için osilatörlerin frekansı arasındaki ilişkiyi belirlemek yararlı olabilir. yapay kalp pilleri. Daire haritaları ailesi, bu biyolojik fenomen ve diğerleri için faydalı bir matematiksel model görevi görür.^[6]

Daire haritalarının ailesi işlevlerdir (veya endomorfizmler ) çemberin kendisine. Çemberdeki bir noktayı nokta olarak düşünmek matematiksel olarak daha basittir. ${displaystyle x}$ yorumlanması gereken gerçek çizgide modulo ${displaystyle 2pi}$ , noktanın daire içinde bulunduğu açıyı temsil eder. Modulo dışında bir değerle alındığında ${displaystyle 2pi}$ , sonuç yine de bir açıyı temsil eder, ancak tüm aralığın ${displaystyle [0,2pi]}$ temsil edilebilir. Bunu akılda tutarak, ailesi daire haritaları tarafından verilir:^[7]

{displaystyle heta _ {i + 1} = g (heta _ {i}) + Omega}

nerede ${displaystyle Omega}$ osilatörün "doğal" frekansıdır ve ${displaystyle g (heta _ {i})}$ harici osilatörün neden olduğu etkiyi veren periyodik bir fonksiyondur. Unutmayın eğer ${displaystyle g (heta _ {i}) = heta _ {i}}$ parçacık basitçe dairenin etrafında yürür ${displaystyle Omega}$ bir seferde birimler; özellikle eğer ${displaystyle Omega}$ irrasyonel mi harita küçültüldü irrasyonel rotasyon.

Başlangıçta Arnold tarafından incelenen belirli daire haritası,^[8] ve bugünlerde bile faydalı olmaya devam eden şey:

{displaystyle heta _ {i + 1} = heta _ {i} + Omega + {frac {K} {2pi}} günah (2pi heta _ {i})}

nerede ${displaystyle K}$ denir bağlantı gücü, ve ${displaystyle heta _ {i}}$ yorumlanmalı modulo ${displaystyle 1}$ . Bu harita, parametrelere bağlı olarak çok çeşitli davranışlar gösterir. ${displaystyle K}$ ve ${displaystyle Omega}$ ; düzeltirsek ${displaystyle Omega = 1/3}$ ve değişir ${displaystyle K}$ , çatallanma diyagramı bu paragrafın etrafında, gözlemleyebileceğimiz periyodik yörüngeler, dönemi ikiye katlayan çatallanmalar olabildiğince iyi kaotik davranış.

Çember haritasının türetilmesi

Daire haritasının 'doğal olarak' ortaya çıktığı basit modelin tasviri. Kırmızı çizgi

{displaystyle y (t)}

ve sinüzoidal siyah çizgiye her ulaştığında sıfırlanır.

Daire haritasını görüntülemenin başka bir yolu da aşağıdaki gibidir. Bir işlevi düşünün ${displaystyle y (t)}$ eğimle doğrusal olarak azalan ${displaystyle a}$ . Sıfıra ulaştığında, değeri, bir işlev tarafından tanımlanan belirli bir salınımlı değere sıfırlanır. ${displaystyle z (t) = c + bsin (2pi t)}$ . Şimdi zaman dizisiyle ilgileniyoruz ${displaystyle {t_ {n}}}$ y (t) sıfıra ulaştığında.

Bu model bize zamanın ${displaystyle t_ {n-1}}$ bu geçerlidir ${displaystyle y (t_ {n-1}) = c + bsin (2pi t_ {n-1})}$ . Bu noktadan, ${displaystyle y}$ daha sonra doğrusal olarak azalacak ${displaystyle t_ {n}}$ işlev nerede ${displaystyle y}$ sıfırdır, dolayısıyla şunu verir:

{displaystyle {egin {hizalı} 0 & = y (t_ {n-1}) - acdot (t_ {n} -t_ {n-1}) [0.5em] 0 & = sol [c + bsin (2pi t_ {n -1}) ight] -at_ {n} + at_ {n-1} [0.5em] t_ {n} & = {frac {1} {a}} sol [c + bsin (2pi t_ {n-1 }) ight] + t_ {n-1} [0.5em] t_ {n} & = t_ {n-1} + {frac {c} {a}} + {frac {b} {a}} günah ( 2pi t_ {n-1}) uç {hizalı}}}

ve seçerek ${displaystyle Omega = c / a}$ ve ${displaystyle K = 2pi b / a}$ daha önce tartışılan daire haritasını elde ediyoruz:

{displaystyle t_ {n} = t_ {n-1} + Omega + {frac {K} {2pi}} günah (2pi t_ {n-1}).}

Glass, L. (2001) Bu basit modelin, hücrelerdeki veya kandaki madde konsantrasyonunun düzenlenmesi gibi bazı biyolojik sistemlere uygulanabileceğini savunmaktadır. ${displaystyle y (t)}$ yukarıda belirli bir maddenin konsantrasyonunu temsil eder.

Bu modelde, bir faz kilitlemesi ${displaystyle N: M}$ bunun anlamı ${displaystyle y (t)}$ sıfırlandı kesinlikle ${displaystyle N}$ her defasında ${displaystyle M}$ sinüzoidal dönemler ${displaystyle z (t)}$ . Dönüş numarası ise bölüm olacaktır ${displaystyle N / M}$ .^[7]

Özellikleri

Genel daire endomorfizmleri ailesini düşünün:

{displaystyle heta _ {i + 1} = g (heta _ {i}) + Omega}

standart daire haritası için, ${displaystyle g (heta) = heta + (K / 2pi) günah (2pi heta)}$ . Bazen daire haritasını bir eşleme açısından da göstermek uygun olacaktır. ${displaystyle f (heta)}$ :

{displaystyle heta _ {i + 1} = f (heta _ {i}) = heta _ {i} + Omega + {frac {K} {2pi}} günah (2pi heta _ {i}).}

Şimdi bu daire endomorfizmlerinin bazı ilginç özelliklerini listelemeye devam edeceğiz.

S1. ${displaystyle f}$ monoton olarak artıyor ${displaystyle K <1}$ yani bu değerler için ${displaystyle K}$ yinelemeler ${displaystyle heta _ {i}}$ sadece daire içinde ilerleyin, asla geri gitmeyin. Bunu görmek için, türevinin ${displaystyle f}$ dır-dir:

{displaystyle f '(heta) = 1 + Kcos (2pi heta)}

olduğu sürece olumlu olan ${displaystyle K <1}$ .

P2. Yineleme ilişkisini genişletirken, bir formül elde edilir: ${displaystyle heta _ {n}}$ :

{displaystyle heta _ {n} = heta _ {0} + nOmega + {frac {K} {2pi}} toplam _ {i = 0} ^ {n} günah (2pi heta _ {i}).}

S3. Farz et ki ${displaystyle heta _ {n} = heta _ {0} {mod {1}}}$ , bu nedenle bunlar periyodik sabit nokta noktalarıdır ${displaystyle n}$ . Sinüs 1Hz frekansında salındığından, döngü başına sinüs salınımlarının sayısı ${displaystyle heta _ {i}}$ olacak ${displaystyle M = (heta _ {n} - heta _ {0}) cdot 1}$ , böylece bir faz kilitleme nın-nin ${displaystyle n: M}$ .^[7]

S4. Herhangi ${displaystyle pin mathbb {N}}$ bu doğru ${displaystyle f (heta + p) = f (heta) + p}$ bu da demek oluyor ki ${displaystyle f (heta + p) = f (heta) {mod {1}}}$ . Bu nedenle, birçok amaç için yinelemelerin ${displaystyle heta _ {i}}$ modül alınır ${displaystyle 1}$ ya da değil.

P5 (translasyonel simetri).^[9]^[7] Varsayalım ki verilen ${displaystyle Omega}$ var ${displaystyle n: M}$ sistemde faz kilitleme. Bundan dolayı ${displaystyle Omega '= Omega + p}$ tamsayı ile ${displaystyle p}$ orada bir ${displaystyle n: (M + np)}$ faz kilitleme. Bu aynı zamanda şu anlama gelir: ${displaystyle heta _ {0}, dots, heta _ {n}}$ parametre için periyodik bir yörüngedir ${displaystyle Omega}$ , o zaman herhangi biri için periyodik bir yörüngedir. ${displaystyle Omega '= Omega + p, pin mathbb {N}}$ .

Bunu görmek için, özellik 2'deki yineleme ilişkisinin şu hale geleceğini unutmayın:

{displaystyle {egin {align} heta _ {n} '& = heta _ {0} + nOmega' + {frac {K} {2pi}} toplam _ {i = 0} ^ {n} günah (2pi heta _ { i}) & = heta _ {0} + n (Omega + p) + {frac {K} {2pi}} toplam _ {i = 0} ^ {n} sin (2pi heta _ {i}) & = heta _ {n} + np, end {hizalı}}}

o zamandan beri

{displaystyle heta _ {n} - heta _ {0} = M}

orijinal faz kilitleme nedeniyle, şimdi sahip olacaktık

{displaystyle heta _ {n} '- heta _ {0} = heta _ {n} + np- heta _ {0} = M + np}

.

P6. İçin ${displaystyle K = 0}$ ne zaman olursa olsun faz kilitlemesi olacak ${displaystyle Omega}$ rasyoneldir. Üstelik izin ver ${displaystyle Omega = p / qin mathbb {Q}}$ , sonra faz kilitleme ${displaystyle q: p}$ .

Mülkiyet 2'deki tekrarlama ilişkisine bakıldığında, rasyonel bir

{displaystyle Omega = p / q}

şu anlama gelir:

{displaystyle heta _ {n} = heta _ {0} + n {frac {p} {q}}}

ve eşitlik modülü ${displaystyle 1}$ sadece ne zaman tutacak ${displaystyle n (p / q)}$ bir tam sayıdır ve ilk ${displaystyle n}$ bu tatmin edici ${displaystyle n = q}$ . Sonuç olarak:

{displaystyle heta _ {q} = heta _ {0} + p}

{displaystyle (heta _ {q} - heta _ {0}) = p}

anlam a ${displaystyle q: p}$ faz kilitleme.

İrrasyonel için

{displaystyle Omega}

(bir irrasyonel rotasyon ), sahip olmak gerekli olacaktır

{displaystyle nOmega = k}

tamsayılar için

{displaystyle n}

ve

{displaystyle k}

, ama sonra

{displaystyle Omega = k / n}

ve

{displaystyle Omega}

rasyoneldir, bu da ilk hipotezle çelişir.

Mod kilitleme

Standart daire haritası için Arnold dillerinden bazıları, ε = K/2

π

Rotasyon numarası Ω ile bir fonksiyonu olarak K sabit tutuldu K = 1

Küçük ila orta değerler için K (yani, aralığında K = 0 ila yaklaşık K = 1) ve belirli Ω değerleri, harita adı verilen bir fenomeni sergiler. mod kilitleme veya faz kilitleme. Faz kilitli bir bölgede değerler θ_n esasen ilerlemek rasyonel çoklu nın-nin nküçük ölçekte çok düzensiz yapsalar da.

Mod kilitli bölgelerdeki sınırlayıcı davranış, rotasyon numarası.

{displaystyle omega = lim _ {n o infty} {frac {heta _ {n}} {n}}.}

^[10]

bazen harita olarak da anılır sargı numarası.

Faz kilitli bölgeler veya Arnold dilleri, sağdaki şekilde sarı renkte gösterilmiştir. Bu tür V şeklindeki her bölge, rasyonel bir değere değinir Ω =p/q sınırında K → 0. (K, Ω) bu bölgelerden birinde, dönme numarasının ω = p/q. Örneğin, tüm (K, Ω) şeklin alt ortasındaki büyük V şeklindeki bölgede, bir dönüş sayısına karşılık gelir ω = 1/2. "Kilitleme" teriminin kullanılmasının bir nedeni, bireysel değerlerin θ_n oldukça büyük rastgele rahatsızlıklar tarafından rahatsız edilebilir (belirli bir değer için dilin genişliğine kadar) K), sınırlayıcı rotasyon numarasını bozmadan. Yani, diziye önemli miktarda gürültü eklenmesine rağmen dizi sinyale "kilitli" kalır. θ_n. Gürültünün varlığında bu "kilitlenme" yeteneği, faz-kilitli döngü elektronik devresinin kullanımının merkezidir.^{[kaynak belirtilmeli ]}

Her rasyonel sayı için mod kilitli bir bölge vardır p/q. Bazen daire haritasının rasyonelleri, bir dizi sıfır ölçmek -de K = 0, sıfır olmayan ölçü kümesine K ≠ 0. Boyuta göre sıralanmış en büyük diller, Farey fraksiyonları. Sabitleme K ve bu görüntüden bir kesit alarak ω Ω'nin bir fonksiyonu olarak çizilir ve genel olarak şeye benzer bir şekil olan "Şeytanın merdiveni" ni verir. Kantor işlevi Biri bunu için gösterebilir K <1, çember haritası bir diffeomorfizmdir, tek bir kararlı çözüm vardır. Ancak K> 1 bu artık geçerli değildir ve iki örtüşen kilitleme bölgesinin bölgeleri bulunabilir. Daire haritası için, bu bölgede ikiden fazla sabit mod kilitleme bölgesinin üst üste gelemeyeceği gösterilebilir, ancak genel senkronize sistemler için çakışan Arnold dillerinin sayısında herhangi bir sınır varsa bilinmemektedir.^{[kaynak belirtilmeli ]}

Daire haritası ayrıca harmonik altı yollar kaosa, yani 3, 6, 12, 24, .... şeklinin ikiye katlanması.

Chirikov standart haritası

Chirikov standart haritası benzer yineleme ilişkilerine sahip olan daire haritası ile ilgilidir ve şöyle yazılabilir:

{displaystyle {egin {align} heta _ {n + 1} & = heta _ {n} + p_ {n} + {frac {K} {2pi}} günah (2pi heta _ {n}) p_ {n + 1} & = heta _ {n + 1} - heta _ {n} end {hizalı}}}

her iki yinelemede modulo 1 alınmıştır. Temelde, standart harita bir momentum sağlar p_n daire haritasında olduğu gibi zorla sabitlenmek yerine dinamik olarak değişmesine izin verilir. Standart harita üzerinde çalışılmaktadır fizik vasıtasıyla tekme rotor Hamiltoniyen.

Başvurular

Arnold dilleri,

Kardiyak ritimler - görmek Glass, L. vd. (1983) ve McGuinness, M. vd. (2004)
Bir rezonansın senkronizasyonu tünel diyot osilatörleri^[11]

Fotoğraf Galerisi

Mod kilitli bölgeleri veya Arnold dillerini siyah olarak gösteren daire haritası. Ω, 0 ile 1 arasında değişir. xeksen ve K altta 0 ile 4 arasında değişir

π

zirvede. Renk ne kadar kırmızı olursa tekrarlama süresi o kadar uzun olur.

Dönüş numarası, siyah 0'a karşılık gelir, yeşil 1/2 ve kırmızıdan 1'e kadar, 0'dan 1'e değişir. xeksen ve K altta 0 ile 2 arasında değişir

π

zirvede.

Ayrıca bakınız

Sturmian kelime

Notlar

^ Arnol'd, V.I. (1961). "Küçük paydalar. I. Çemberi kendi üzerinde haritalama". Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya. 25 (1): 21–86. Sayfa 78'deki Bölüm 12, Arnold dillerini gösteren bir şekle sahiptir.
^ Arnold'un makalesinin İngilizceye çevirisi: S. Adjan; V. I. Arnol'd; S. P. Demuškin; Ju. S. Gurevič; S. S. Kemhadze; N. I. Klimov; Ju. V. Linnik; A. V. Malyšev; P. S. Novikov; D. A. Suprunenko; V. A. Tartakovskiĭ; V. Tašbaev. Karmaşık Bir Değişkenin Sayı Teorisi, Cebiri ve Fonksiyonları Üzerine On Bir Makale. 46. American Mathematical Society Çevirileri Serisi 2.
^ ^a ^b Jensen, M.H .; Krishna, S. (2012). "Hücresel osilatörlerde, tahrik uyaranlarını modüle ederek faz kilitlemesini ve kaosu tetiklemek". FEBS Mektupları. 586 (11): 1664–1668. arXiv:1112.6093. doi:10.1016 / j.febslet.2012.04.044. PMID 22673576. S2CID 2959093.
^ Gérard, C .; Goldbeter, A. (2012). "Hücre döngüsü bir sınır döngüsüdür". Doğal Olayların Matematiksel Modellemesi. 7 (6): 126–166. doi:10.1051 / mmnp / 20127607.
^ Nakao, M .; Enkhkhudulmur, T.E .; Katayama, N .; Karashima, A. (2014). Hücre kütlesinin üstel büyümesiyle hücre döngüsü osilatör modellerinin sürüklenebilirliği. Tıp ve Biyoloji Derneği Mühendislik Konferansı. IEEE. s. 6826–6829.
^ Glass, L. (2001). "Fizyolojide senkronizasyon ve ritmik süreçler". Doğa. 410 (6825): 277–284. Bibcode:2001Natur.410..277G. doi:10.1038/35065745. PMID 11258383. S2CID 4379463.
^ ^a ^b ^c ^d Glass, L .; Perez, R. (1982). "Faz kilitlemenin ince yapısı". Fiziksel İnceleme Mektupları. 48 (26): 1772. Bibcode:1982PhRvL..48.1772G. doi:10.1103 / PhysRevLett.48.1772.
^ Sinüs yerine kosinüs kullanarak çalıştı; bkz. sayfa 78 Arnol'd, V.I. (1961).
^ Guevara, M.R .; Glass, L. (1982). "Periyodik olarak tahrik edilen bir osilatörün matematiksel bir modelinde faz kilitleme, periyot ikiye katlama çatallanmaları ve kaos: Biyolojik osilatörlerin sürüklenmesi ve kardiyak disritmilerin oluşumu için bir teori". Matematiksel Biyoloji Dergisi. 14 (1): 1–23. doi:10.1007 / BF02154750. PMID 7077182. S2CID 2273911.
^ Weisstein, Eric. "Harita Sargı Numarası". MathWorld. Alındı 20 Haziran 2016.
^ Romeira, B .; Figueiredo, J.M .; Ironside, C.N .; Hafif, T. (2009). "Rezonant tünelleme optoelektronik voltaj kontrollü osilatörlerde kaotik dinamikler". IEEE Fotonik Teknoloji Mektupları. 21 (24): 1819–1821. Bibcode:2009 IPTL ... 21.1819R. doi:10.1109 / LPT.2009.2034129. S2CID 41327316.

Referanslar

Weisstein, Eric W. "Daire Haritası". MathWorld.
Boyland, P.L. (1986). "Daire haritalarının çatallanmaları: Arnol'ün dilleri, iki kararlılık ve döndürme aralıkları". Matematiksel Fizikte İletişim. 106 (3): 353–381. Bibcode:1986CMaPh.106..353B. doi:10.1007 / BF01207252. S2CID 121088353.
Gilmore, R .; Lefranc, M. (2002). Kaos Topolojisi: Streç ve Sıkıştırma Alanında Alice. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-40816--6. - Bölüm 2.12'de temel gerçeklerin kısa bir incelemesini sunar..
Glass, L.; Guevara, M.R .; Shrier, A .; Perez, R. (1983). "Periyodik olarak uyarılan bir kalp osilatöründe çatallanma ve kaos". Physica D: Doğrusal Olmayan Olaylar. 7 (1–3): 89–101. Bibcode:1983 PhyD ... 7 ... 89G. doi:10.1016/0167-2789(83)90119-7. - Ayrıntılı bir analiz gerçekleştirir kalp daire haritası bağlamında kalp ritimleri.
McGuinness, M .; Hong, Y .; Galletly, D .; Larsen, P. (2004). "Arnold, insan kardiyorespiratuar sistemlerinde dilleri". Kaos. 14 (1): 1–6. Bibcode:2004Chaos. 14 .... 1M. doi:10.1063/1.1620990. PMID 15003038.

Dış bağlantılar

Çember haritası etkileşimli Java uygulaması ile

[arnold-1] Arnol'd, V.I. (1961). "Küçük paydalar. I. Çemberi kendi üzerinde haritalama". Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya. 25 (1): 21–86. Sayfa 78'deki Bölüm 12, Arnold dillerini gösteren bir şekle sahiptir.

[2] Arnold'un makalesinin İngilizceye çevirisi: S. Adjan; V. I. Arnol'd; S. P. Demuškin; Ju. S. Gurevič; S. S. Kemhadze; N. I. Klimov; Ju. V. Linnik; A. V. Malyšev; P. S. Novikov; D. A. Suprunenko; V. A. Tartakovskiĭ; V. Tašbaev. Karmaşık Bir Değişkenin Sayı Teorisi, Cebiri ve Fonksiyonları Üzerine On Bir Makale. 46. American Mathematical Society Çevirileri Serisi 2.

[jensen-3] Jensen, M.H .; Krishna, S. (2012). "Hücresel osilatörlerde, tahrik uyaranlarını modüle ederek faz kilitlemesini ve kaosu tetiklemek". FEBS Mektupları. 586 (11): 1664–1668. arXiv:1112.6093. doi:10.1016 / j.febslet.2012.04.044. PMID 22673576. S2CID 2959093.

[4] Gérard, C .; Goldbeter, A. (2012). "Hücre döngüsü bir sınır döngüsüdür". Doğal Olayların Matematiksel Modellemesi. 7 (6): 126–166. doi:10.1051 / mmnp / 20127607.

[5] Nakao, M .; Enkhkhudulmur, T.E .; Katayama, N .; Karashima, A. (2014). Hücre kütlesinin üstel büyümesiyle hücre döngüsü osilatör modellerinin sürüklenebilirliği. Tıp ve Biyoloji Derneği Mühendislik Konferansı. IEEE. s. 6826–6829.

[glass-synchronization-6] Glass, L. (2001). "Fizyolojide senkronizasyon ve ritmik süreçler". Doğa. 410 (6825): 277–284. Bibcode:2001Natur.410..277G. doi:10.1038/35065745. PMID 11258383. S2CID 4379463.

[glass-perez-7] Glass, L .; Perez, R. (1982). "Faz kilitlemenin ince yapısı". Fiziksel İnceleme Mektupları. 48 (26): 1772. Bibcode:1982PhRvL..48.1772G. doi:10.1103 / PhysRevLett.48.1772.

[8] Sinüs yerine kosinüs kullanarak çalıştı; bkz. sayfa 78 Arnol'd, V.I. (1961).

[9] Guevara, M.R .; Glass, L. (1982). "Periyodik olarak tahrik edilen bir osilatörün matematiksel bir modelinde faz kilitleme, periyot ikiye katlama çatallanmaları ve kaos: Biyolojik osilatörlerin sürüklenmesi ve kardiyak disritmilerin oluşumu için bir teori". Matematiksel Biyoloji Dergisi. 14 (1): 1–23. doi:10.1007 / BF02154750. PMID 7077182. S2CID 2273911.

[10] Weisstein, Eric. "Harita Sargı Numarası". MathWorld. Alındı 20 Haziran 2016.

[11] Romeira, B .; Figueiredo, J.M .; Ironside, C.N .; Hafif, T. (2009). "Rezonant tünelleme optoelektronik voltaj kontrollü osilatörlerde kaotik dinamikler". IEEE Fotonik Teknoloji Mektupları. 21 (24): 1819–1821. Bibcode:2009 IPTL ... 21.1819R. doi:10.1109 / LPT.2009.2034129. S2CID 41327316.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]