Beta-binom dağılımı - Beta-binomial distribution - Wikipedia

Olasılık kütle fonksiyonu
Beta-binom dağılımı için olasılık kütle fonksiyonu
Kümülatif dağılım fonksiyonu
Beta-binom dağılımı için kümülatif olasılık dağılımı işlevi
ParametrelernN0 - Deneme sayısı
(gerçek )
(gerçek )
Destekk ∈ { 0, …, n }
PMF
CDF

nerede 3F2(a,b, k) ... genelleştirilmiş hipergeometrik fonksiyon
Anlamına gelmek
Varyans
Çarpıklık
Örn. BasıklıkMetni gör
MGF
CF
PGF

İçinde olasılık teorisi ve İstatistik, beta-binom dağılımı ayrık bir ailedir olasılık dağılımları sonlu destek sabit veya bilinen bir sayıdaki başarı olasılığının her birinde ortaya çıkan negatif olmayan tamsayıların sayısı Bernoulli denemeleri ya bilinmiyor ya da rastgele. Beta-binom dağılımı, Binom dağılımı her birinde başarı olasılığının olduğu n denemeler sabit değildir, ancak bir beta dağılımı. Sıklıkla kullanılır Bayes istatistikleri, ampirik Bayes yöntemleri ve klasik istatistikler yakalamak aşırı dağılma binom tipi dağıtılmış verilerde.

Azalır Bernoulli dağılımı özel bir durum olarak n = 1. İçin α = β = 1, bu ayrık düzgün dağılım 0'dann. Aynı zamanda, Binom dağılımı büyük için keyfi olarak iyi α veβ. Benzer şekilde, içerir negatif binom dağılımı sınırda büyük β ve n. Beta-binom, tek boyutlu bir versiyonudur. Dirichlet-multinom dağılımı iki terimli ve beta dağılımları tek değişkenli versiyonları olduğundan çok terimli ve Dirichlet dağılımları sırasıyla.

Motivasyon ve türetme

Bileşik dağıtım olarak

Beta dağılımı bir eşlenik dağılım of Binom dağılımı. Bu gerçek, analitik olarak izlenebilir bir bileşik dağıtım nerede düşünebilir iki terimli dağılımdaki parametrenin bir beta dağılımından rasgele çekildiği gibi. Yani, eğer

sonra

nerede Bin (n,p) kısaltması Binom dağılımı, ve nerede p bir rastgele değişken Birlikte beta dağılımı.

daha sonra bileşik dağılım verilir

Özelliklerini kullanma beta işlevi, bu alternatif olarak yazılabilir

Urn modeli olarak beta-binom

Beta-binom dağılımı ayrıca bir vazo modeli pozitif için tamsayı değerleri α ve β, olarak bilinir Pólya urn modeli. Özellikle, içeren bir vazo hayal edin α kırmızı toplar ve β rastgele çekilişlerin yapıldığı siyah toplar. Kırmızı bir top görülürse, iki kırmızı top torbaya iade edilir. Aynı şekilde, siyah bir top çekilirse, iki siyah top torbaya iade edilir. Bu tekrarlanırsa n kez, sonra gözlemleme olasılığı k kırmızı toplar, parametrelerle birlikte beta-binom dağılımını izler n, α veβ.

Rastgele çekilişler basit değiştirme ile yapılıyorsa (gözlenen topun üzerindeki ve üzerindeki toplar torbaya eklenmezse), dağıtım iki terimli bir dağılım izler ve rastgele çekilişler değiştirilmeden yapılırsa, dağıtım bir hipergeometrik dağılım.

Momentler ve özellikler

İlk üç ham anlar vardır

ve Basıklık dır-dir

İzin vermek Önerdiğimiz gibi, ortalamanın şu şekilde yazılabileceğini not ediyoruz:

ve varyans

nerede . Parametre "sınıf içi" veya "küme içi" korelasyon olarak bilinir. Aşırı dağılmaya neden olan bu pozitif korelasyondur.

Nokta tahminleri

Anlar yöntemi

anlar yöntemi beta-binomun birinci ve ikinci momentleri not edilerek tahminler elde edilebilir:

ve bu ham anları birinci ve ikinci ham anlara eşit olarak ayarlamak örnek anlar sırasıyla

ve çözmek için α ve β biz alırız

Bu tahminler, hassas olmayan bir şekilde negatif olabilir; bu, verilerin iki terimli dağılıma göre dağınık veya az dağınık olduğunun kanıtıdır. Bu durumda, binom dağılımı ve hipergeometrik dağılım sırasıyla alternatif adaylardır.

Maksimum olasılık tahmini

Kapalı formdayken maksimum olasılık tahminleri pdf'nin ortak işlevlerden (gama işlevi ve / veya Beta işlevleri) oluştuğu göz önüne alındığında pratik değildir, bunlar doğrudan sayısal optimizasyon yoluyla kolayca bulunabilirler. Ampirik verilerden elde edilen maksimum olasılık tahminleri, çok terimli Pólya dağılımlarını uydurmak için genel yöntemler kullanılarak hesaplanabilir; (Minka 2003). R vglm fonksiyonu aracılığıyla VGAM paketi, maksimum olasılıkla, glm beta-binom dağılımına göre dağıtılan yanıtlı tip modeller. Gözlemler boyunca n'nin sabit olmasına gerek yoktur.

Misal

Aşağıdaki veriler 19. yüzyılda hastane kayıtlarından alınan 6115 ailede 13 aile büyüklüğündeki ilk 12 çocuk arasında yer alan erkek çocuk sayısını vermektedir. Saksonya (Sokal ve Rohlf, Lindsey'den s.59). 13. çocuk, arzu edilen cinsiyete ulaşıldığında rastgele olmayan ailelerin etkisini azaltmak için göz ardı edilir.

Erkek0123456789101112
Aileler324104286670103313431112829478181457

İlk iki örnek an

ve bu nedenle moment tahmin yöntemi

maksimum olasılık tahminler sayısal olarak bulunabilir

ve maksimize edilmiş günlük olabilirlik

bulduğumuz AIC

Rakip iki terimli model için AIC, AIC = 25070.34'tür ve bu nedenle beta-iki terimli modelin verilere üstün bir uyum sağladığını, yani aşırı dağılım için kanıt olduğunu görüyoruz. Trivers ve Willard heterojenlik için teorik bir gerekçe öne sürün ("patlama ") arasında cinsiyete yatkınlıkta memeli yavrular (yani aşırı dağılım).

Üstün uyum, özellikle kuyruklarda belirgindir

Erkek0123456789101112
Gözlemlenen Aileler324104286670103313431112829478181457
Fitted Beklenen (Beta-Binomial)2.322.6104.8310.9655.71036.21257.91182.1853.6461.9177.943.85.2
Uygun Beklenen (Binom p = 0.519215)0.912.171.8258.5628.11085.21367.31265.6854.2410.0132.826.12.3

Diğer Bayesçi düşünceler

Öncekinin beklenen ortalamasının tek bir parametre olması için dağılımları yeniden parametrelendirmek uygundur: Let

nerede

Böylece

arka dağıtım ρ(θ | k) ayrıca bir beta dağıtımıdır:

Ve

marjinal dağılım m(k|μ, M) tarafından verilir

Geri ikame M ve μ açısından ve , bu şu olur:

parametrelerle birlikte beklenen beta-binom dağılımı ve .

Ayrıca, yinelenen beklentiler yöntemini kullanarak beklenen değer marjinal anların. Modelimizi iki aşamalı bir bileşik örnekleme modeli olarak yazalım. İzin Vermek kben başarı sayısı olmak nben olay için denemeler ben:

İki aşamalı modeldeki dağılımların momentlerini kullanarak ortalama ve varyans için yinelenmiş moment tahminlerini bulabiliriz:

(Burada kullandık toplam beklenti kanunu ve toplam varyans kanunu.)

İçin nokta tahminleri istiyoruz ve . Tahmini ortalama numuneden hesaplanır

Hiperparametrenin tahmini M iki aşamalı modelin varyansı için moment tahminleri kullanılarak elde edilir:

Çözme:

nerede

Artık parametre noktası tahminlerimiz olduğundan, ve , temeldeki dağılım için bir nokta tahmini bulmak istiyoruz olay için başarı olasılığı için ben. Bu, olay tahmininin ağırlıklı ortalamasıdır ve . Öncekine yönelik nokta tahminlerimiz göz önüne alındığında, şimdi arka plan için bir nokta tahmini bulmak için bu değerleri yerine koyabiliriz.

Çekme faktörleri

Posterior tahmini ağırlıklı ortalama olarak yazabiliriz:

nerede denir büzülme faktörü.

İlgili dağılımlar

  • nerede ... ayrık düzgün dağılım.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar