Riemann-Liouville integrali - Riemann–Liouville integral

İçinde matematik, Riemann-Liouville integrali gerçek bir işlevi ${ displaystyle f: mathbb {R} - mathbb {R}}$ başka bir işlev ${ displaystyle I ^ { alpha} f}$ α> 0 parametresinin her değeri için aynı türden. İntegral, tekrarlanan ters türevi nın-nin ${ displaystyle f}$ α'nın pozitif tam sayı değerleri için, ${ displaystyle I ^ { alpha} f}$ yinelenen ters türevi ${ displaystyle f}$ sipariş α. Riemann-Liouville integralinin adı Bernhard Riemann ve Joseph Liouville olasılığını ilk düşünen ikincisi kesirli hesap 1832'de.^[1] Operatör kabul eder Euler dönüşümü, sonra Leonhard Euler, uygulandığında analitik fonksiyonlar.^[2] Tarafından keyfi boyutlara genelleştirildi Marcel Riesz, kim tanıttı Riesz potansiyeli.

Tanım

Riemann-Liouville integrali şu şekilde tanımlanır:

${ displaystyle I ^ { alpha} f (x) = { frac {1} { Gama ( alpha)}} int _ {a} ^ {x} f (t) (xt) ^ { alpha -1} , dt}$

nerede Γ Gama işlevi ve a keyfi ancak sabit bir temel noktadır. İntegral iyi tanımlanmıştır. ${ displaystyle f}$ bir yerel olarak entegre edilebilir işlev ve α bir karmaşık sayı içinde yarım düzlem re (α)> 0. Taban noktasına bağımlılık a genellikle bastırılır ve içinde bir özgürlüğü temsil eder sabit entegrasyon. Açıkça ${ displaystyle I ^ {1} f}$ ters türevi ${ displaystyle f}$ (birinci dereceden) ve α'nın pozitif tam sayı değerleri için, ${ displaystyle I ^ { alpha} f}$ α düzeninin ters türevi Tekrarlanan entegrasyon için Cauchy formülü. Temel noktayı vurgulayan başka bir gösterim,^[3]

${ displaystyle {} _ {a} D_ {x} ^ {- alpha} f (x) = { frac {1} { Gama ( alpha)}} int _ {a} ^ {x} f (t) (xt) ^ { alpha -1} , dt.}$

Bu aynı zamanda mantıklı a = −∞, uygun kısıtlamalarla ${ displaystyle f}$.

Temel ilişkiler geçerli

${ displaystyle { frac {d} {dx}} I ^ { alpha +1} f (x) = I ^ { alpha} f (x), quad I ^ { alpha} (I ^ { beta} f) = I ^ { alpha + beta} f,}$

ikincisi bir yarı grup Emlak.^[1] Bu özellikler, sadece kesirli entegrasyonun tanımını değil, aynı zamanda kesirli farklılaşmanın da yeterince türevini alarak mümkün kılar. ${ displaystyle I ^ { alpha} f}$.

Özellikleri

Sınırlı bir aralığı (a,b). Operatör ben^α her biri ile ilişkili entegre edilebilir işlev ${ displaystyle f}$ üzerinde (a,b) işlev ${ displaystyle I ^ { alpha} f}$ üzerinde (a,b) ile de entegre edilebilir Fubini teoremi. Böylece ${ displaystyle I ^ { alpha}}$ tanımlar doğrusal operatör açık L¹(a,b):

${ displaystyle I ^ { alpha}: L ^ {1} (a, b) - L ^ {1} (a, b).}$

Fubini teoremi ayrıca bu operatörün sürekli saygıyla Banach alanı L üzerindeki yapı¹ve aşağıdaki eşitsizlik geçerli:

${ displaystyle sol | I ^ { alpha} f sağ | _ {1} leq { frac {| ba | ^ { Re ( alfa)}} { Re ( alfa) | Gama ( alfa) |}} | f | _ {1}.}$

Buraya ${ displaystyle | cdot | _ {1}}$ gösterir norm L'de¹(a,b).

Daha genel olarak Hölder eşitsizliği bunu takip eder eğer ${ displaystyle f in L ^ {p} (a, b),}$ sonra ${ displaystyle I ^ { alpha} f içinde L ^ {p} (a, b)}$ ve benzer eşitsizlik geçerli

${ displaystyle sol | I ^ { alpha} f sağ | _ {p} leq { frac {| ba | ^ { frac { Re ( alpha)} {p}}} { Re ( alfa) | Gama ( alfa) |}} | f | _ {p}}$

nerede ${ displaystyle | cdot | _ {p}}$ ... L^p norm aralıkta (a,b). Böylece sınırlı bir doğrusal operatörümüz var ${ displaystyle I ^ { alpha}: L ^ {p} (a, b) - L ^ {p} (a, b).}$ Ayrıca, ${ displaystyle I ^ { alpha} f ila f}$ içinde L^p gerçek eksen boyunca α → 0 olarak algılayın. Yani

${ displaystyle { underet { alpha> 0} { lim _ { alpha to 0}}} | I ^ { alpha} f-f | _ {p} = 0}$

hepsi için p ≥ 1. Ayrıca, maksimal fonksiyon nın-nin bensınırın ${ displaystyle I ^ { alpha} f ila f}$ noktasal olarak tutar neredeyse heryerde.

Operatör ${ displaystyle I ^ { alpha}}$ tüm gerçek çizgi üzerinde yerel olarak entegre edilebilir işlev kümesi üzerinde iyi tanımlanmıştır ${ displaystyle mathbb {R}.}$ Herhangi birinde sınırlı bir dönüşümü tanımlar. Banach uzayları fonksiyonlarının üstel tür ${ displaystyle X _ { sigma} = L ^ {1} (e ^ {- sigma | t |} dt),}$ norm olan yerel olarak entegre edilebilir fonksiyonlardan oluşur

${ displaystyle | f | = int _ {- infty} ^ { infty} | f (t) | e ^ {- sigma | t |} , dt}$

sonludur. İçin ${ displaystyle f in X _ { sigma},}$ Laplace dönüşümü nın-nin ${ displaystyle I ^ { alpha} f}$ özellikle basit şekli alır

${ displaystyle ({ mathcal {L}} I ^ { alpha} f) (s) = s ^ {- alpha} F (s)}$

yeniden için (s)> σ. Buraya F(s) Laplace dönüşümünü gösterir ${ displaystyle f}$ve bu özellik şunu ifade eder: ${ displaystyle I ^ { alpha}}$ bir Fourier çarpanı.

Kesirli türevler

Kesirli mertebeden türevleri tanımlanabilir ${ displaystyle f}$ tarafından da

${ displaystyle { frac {d ^ { alpha}} {dx ^ { alpha}}} f { taşması { text {def}} {=}} { frac {d ^ { lceil alpha rceil}} {dx ^ { lceil alpha rceil}}} I ^ { lceil alpha rceil - alpha} f}$

nerede ${ displaystyle lceil cdot rceil}$ gösterir tavan işlevi. Biri ayrıca bir farklı integral tanımlayarak farklılaşma ve entegrasyon arasında enterpolasyon

${ displaystyle D_ {x} ^ { alpha} f (x) = { begin {case} { frac {d ^ { lceil alpha rceil}} {dx ^ { lceil alpha rceil}} } I ^ { lceil alpha rceil - alpha} f (x) & alpha> 0 f (x) & alpha = 0 I ^ {- alpha} f (x) & alpha <0. end {vakalar}}}$

Alternatif bir kesirli türev 1967'de Caputo tarafından tanıtıldı ve farklı özelliklere sahip bir türev üretir: sabit fonksiyonlardan sıfır üretir ve daha da önemlisi, başlangıç ​​değer terimlerini üretir. Laplace Dönüşümü Riemann-Liouville türevinde olduğu gibi kesirli mertebeden türevler yerine, bu fonksiyonun ve onun tamsayı dereceli türevinin değerleri aracılığıyla ifade edilir.[1] Taban noktalı Caputo kesirli türevi ${ displaystyle x}$, o zaman:

${ displaystyle D_ {x} ^ { alpha} f (y) = { frac {1} { Gama (1- alpha)}} int _ {x} ^ {y} f '(yu) ( ux) ^ {- alpha} du.}$

Başka bir temsil:

${ displaystyle {} _ {a} { tilde {D}} _ {x} ^ { alpha} f (x) = I ^ { lceil alpha rceil - alpha} sol ({ frac { d ^ { lceil alpha rceil} f} {dx ^ { lceil alpha rceil}}} sağ).}$

Notlar

Referanslar

• Brychkov, Yu.A .; Prudnikov, A.P. (2001) [1994], "Euler dönüşümü", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın.
• Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1974), Fonksiyonel analiz ve yarı gruplarProvidence, R.I .: Amerikan Matematik Derneği, BAY  0423094.
• Lizorkin, P.I. (2001) [1994], "Kesirli entegrasyon ve farklılaşma", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın.
• Miller, Kenneth S .; Ross Bertram (1993), Kesirli Hesap ve Kesirli Diferansiyel Denklemlere Giriş, John Wiley & Sons, ISBN  0-471-58884-9.
• Riesz, Marcel (1949), "L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy", Acta Mathematica, 81 (1): 1–223, doi:10.1007 / BF02395016, ISSN  0001-5962, BAY  0030102.

Dış bağlantılar

• Alan Beardon (2000). "Kesirli hesap II". Cambridge Üniversitesi.
• Alan Beardon (2000). "Kesirli analiz III". Cambridge Üniversitesi.