Anizohedral döşeme - Anisohedral tiling

Uçağın, Heesch'in anizohedral döşemesiyle kısmen döşenmesi. Biri mavi ve yeşil çinileri, diğeri kırmızı ve sarı çinileri içeren iki simetri sınıfı vardır. Heesch'in kanıtladığı gibi, bu karo düzlemi yalnızca bir simetri sınıfı ile döşeyemez.

İçinde geometri bir şeklin olduğu söyleniyor anizohedral eğer kabul ederse döşeme ama böyle bir döşeme yok izohedral (karo geçişli); yani, bu şekle göre herhangi bir döşemede, döşemenin herhangi bir simetrisi altında eşdeğer olmayan iki karo vardır. Anizohedral bir kiremit ile bir döşeme, bir anizohedral döşeme.[1]

Varoluş

İlk bölümü Hilbert'in on sekizinci problemi içinde anizohedral bir çokyüzlü olup olmadığını sordu Öklid 3-uzay; Grünbaum ve Shephard öneriyor[2] Hilbert, düzlemde böyle bir karo olmadığını varsayıyordu. Reinhardt, 1928'de Hilbert'in sorununa bu tür çokyüzlü örnekler bularak cevap verdi ve uçakta böyle bir karo bulunmadığına dair kanıtının yakında ortaya çıkmayacağını iddia etti.[3] Ancak, Heesch 1935'te uçakta bir anizohedral karo örneği verdi.[4]

Dışbükey fayans

Reinhardt daha önce anizohedral sorunu düşünmüştü dışbükey çokgenler anizohedral dışbükey olmadığını gösteren altıgenler ama böyle bir dışbükey olmadığını gösterememek beşgenler, beşi bulurken düzlemi döşeyen dışbükey beşgen türleri izohedral olarak.[2] Kershner, 1968'de üç tür anizohedral dışbükey beşgen verdi; bu karolardan biri sadece direkt izometriler yansımalar ya da kaymalar olmadan, bu yüzden Heesch'in bir sorusuna cevap veriyor.[5]

İzohedral sayılar

Anizohedral döşeme sorunu, izohedral sayı bir karonun en düşük sayısı yörüngeler (eşdeğerlik sınıfları) eylemi altında o karonun herhangi bir döşemesinde simetri grubu ve izohedral numaralı bir karo k dır-dir k-anizohedral. Berglund var mı diye sordu k- herkes için anizohedral fayanslar k, örnekler vermek k ≤ 4 (2-anizohedral ve 3-anisohedral karo örnekleri önceden bilinirken, verilen 4 anizohedral karo, bu tür yayınlanan ilk karo idi).[6] Goodman-Strauss bunu, Myers'ın 10 anizohedral örneğine dikkat çekerek, belirli bir karo veya karo setinin davranışının ne kadar karmaşık olabileceğine ilişkin genel sorular bağlamında değerlendirdi.[7] Grünbaum ve Shephard daha önce aynı soruya ilişkin hafif bir değişiklik ortaya atmıştı.[8]

Socolar 2007'de, karonun bağlantısı kesilirse veya hangi renklerin bitişik olabileceğine ilişkin kısıtlamalara sahip renkli kenarlara sahipse, iki boyutta keyfi olarak yüksek izohedral sayılara ulaşılabileceğini ve renksiz bağlı bir döşemeyle üç boyutta iki boyutta elde edilebileceğini gösterdi. renksiz bağlı bir karo için bilinen en yüksek izohedral sayı 10'dur.[9]

Joseph Myers, yüksek izohedral sayılara sahip bir karo koleksiyonu, özellikle izohedral sayısı 10 olan bir poliheksagon (çeviri altında 20 yörüngede oluşan) ve izohedral numaralı 9 numaralı (çeviri altında 36 yörüngede meydana gelen) bir karo koleksiyonu üretti.[1]

Referanslar

  1. ^ Grünbaum, Branko; Shephard, G.C. (1987). Döşemeler ve Desenler. New York: W. H. Freeman ve Şirketi. ISBN  0-7167-1193-1.
  2. ^ a b Grünbaum ve Shephard, bölüm 9.6
  3. ^ Reinhardt, Karl (1928). "Zur Zerlegung der euklidischen Räume in kongruente Polytope". Sitzungsberichte der Preussischen Akamemie der Wissenschaften Berlin, Physikalisch-Mathematische Klasse: 150–155.
  4. ^ Heesch, H. (1935). "Aufbau der Ebene aus kongruenten Bereichen" (Berglund tarafından transkripsiyon, İngilizce çeviri ile). Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, Neue Folge. 1: 115–117. Alındı 2007-09-09.
  5. ^ Kershner, R.B. (Ekim 1968). "Uçağı Asfaltlama Üzerine". American Mathematical Monthly (ücret gereklidir). The American Mathematical Monthly, Cilt. 75, No. 8. 75 (8): 839–844. doi:10.2307/2314332. JSTOR  2314332.
  6. ^ Berglund, John (1993). "Orada bir k-Anisohedral Çini k ≥ 5?". American Mathematical Monthly (ücret gereklidir). The American Mathematical Monthly, Cilt. 100, No. 6. 100 (6): 585–588. doi:10.2307/2324621. JSTOR  2324621.
  7. ^ Goodman-Strauss, Chaim. "Mozaikler" (PDF).
  8. ^ Grünbaum ve Shephard, egzersiz 9.3.2
  9. ^ Socolar, Joshua E. S. (2007). "Altıgen Parke Döşemeleri: k-İzohedral Monotiles ve Keyfi Büyüklük k" (düzeltilmiş PDF). Matematiksel Zeka. 29: 33–38. doi:10.1007 / bf02986203. Alındı 2007-09-09.

Dış bağlantılar