Sürüngen - Rep-tile

"Sfenks" Polyiamond sürüngen. Dört kopyası sfenks daha büyük bir sfenks yapmak için gösterildiği gibi bir araya getirilebilir.

İçinde geometri nın-nin mozaikler, bir sürüngen veya sürüngen olabilen bir şekildir disseke aynı şeklin daha küçük kopyalarına. Terim bir cinas hayvan üzerinde sürüngenler tarafından eğlence matematikçisi Solomon W. Golomb ve tarafından popüler hale getirildi Martin Gardner onun "Matematik Oyunları "Mayıs 1963 sayısındaki sütun Bilimsel amerikalı.[1] 2012 yılında rep-tile olarak adlandırılan bir genelleme kendinden döşemeli karo setleri tarafından tanıtıldı Lee Sallows içinde Matematik Dergisi.[2]

Bir dizi rep-tuğlası, sfenks, iki balık ve 5 üçgen

Terminoloji

Bir rep-tile, rep-n diseksiyon kullanıyorsa n kopyalar. Böyle bir şekil zorunlu olarak prototile uçağın döşenmesi için, çoğu durumda bir periyodik olmayan döşeme. Orijinal şeklin farklı boyutlarını kullanan bir rep-tile diseksiyonuna düzensiz rep-tile veya irreptil denir. Diseksiyon kullanıyorsa n kopyalar, şeklin irrep olduğu söyleniyorn. Tüm bu alt kiremitler farklı boyutlarda ise, döşeme ek olarak mükemmel olarak tanımlanır. Temsili bir şekiln veya irrep-n önemsiz olarak da irrep- (kn − k + n) herhangi k > 1, temsilcideki en küçük karoyu değiştirerek-n tarafından diseksiyon n daha da küçük fayanslar. İster rep-tile ister irrep-tile kullanıyor olsun, bir şeklin sırası, yeterli olabilecek mümkün olan en az karo sayısıdır.[3]

Örnekler

Periyodik olmayan bir döşeme tanımlama ( fırıldak döşeme ) tekrar tekrar kesip şişirerek.

Her Meydan, dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen veya üçgen rep-4'tür. sfenks altı elmas (yukarıda gösterilmektedir) rep-4 ve rep-9'dur ve bilinen birkaç taneden biridir kendini kopyalayan beşgenler. Gosper adası rep-7'dir. Koch kar tanesi irrep-7: aynı boyutta altı küçük kar tanesi, küçük olanların üç katı alana sahip başka bir kar tanesi ile birlikte, daha büyük tek bir kar tanesi oluşturmak için birleşebilir.

Bir sağ üçgen 1: 2 oranındaki yan uzunlukları rep-5'tir ve rep-5 diseksiyonu aperiodik olgunun temelini oluşturur fırıldak döşeme. Tarafından Pisagor teoremi, hipotenüs veya rep-5 üçgeninin eğimli tarafının uzunluğu √5.

Uluslararası standart ISO 216 kullanarak kağıt yapraklarının boyutlarını tanımlar. √2dikdörtgen bir kağıdın uzun kenarı, ikinin karekökü kağıdın kısa kenarının katı. Bu şekildeki dikdörtgenler rep-2'dir. Bir dikdörtgen (veya paralelkenar) temsilidirn eğer onun en boy oranı dır-dir √n: 1. Bir ikizkenar dik üçgen de rep-2'dir.

Rep-fayans ve simetri

Bazı rep-tuğlalar, örneğin Meydan ve eşkenar üçgen, vardır simetrik ve ne zaman aynı kalır aynaya yansır. Diğerleri, gibi sfenks, vardır asimetrik ve içinde var iki farklı form ayna yansıması ile ilişkilidir. Sfenksin ve diğer bazı asimetrik rep-kiremitlerin diseksiyonu, hem orijinal şeklinin hem de ayna görüntüsünün kullanılmasını gerektirir.

Rep-fayans ve poliformlar

Bazı rep-tuğlalar temel alır poliformlar sevmek Polyiamonds ve poliominolar veya döşeme ile oluşturulan şekiller eşkenar üçgenler ve kareler uçtan uca.

Kareler

Bir poliomino düzeltilebilirse, yani bir dikdörtgen, o zaman bu aynı zamanda bir rep-kiremit olacaktır, çünkü dikdörtgenin bir tamsayı kenar uzunluk oranı olacaktır ve bu nedenle bir Meydan. Bu, oktominolar sekiz kareden oluşturulmuş. Bazı octominoların iki kopyası bir kareyi döşeyecektir; bu nedenle bu octominolar aynı zamanda rep-16 rep-karolardır.

Düzeltilebilir tabanlı rep-fayans oktominolar

Bazılarının dört kopyası nonominolar ve Akmayanlar bir kareyi döşer, bu nedenle bunlar poliformlar ayrıca rep-36 rep-karolarıdır.

Düzeltilebilirden oluşturulan rep-tuğlalar nonominolar ve 9-polykingler (aktif olmayanlar)

Eşkenar üçgenler

Benzer şekilde, eğer bir Polyiamond bir eşkenar üçgeni döşer, aynı zamanda bir rep-kiremit olacaktır.

Eşkenar üçgenlerden oluşturulan rep-karolar


Üç eşkenar üçgene dayanan balık benzeri bir rep-tuğlası
Bir dodeciamond veya kenardan kenara (ve köşeden köşeye) yerleştirilmiş on iki eşkenar üçgenden oluşturulan roket benzeri bir rep-karo

Sağ üçgenler

Bir sağ üçgen 90 ° 'lik bir dik açı içeren bir üçgendir. Dik üçgenin iki özel biçimi, 45 ° -90 ° -45 ° üçgen ve 30 ° -60 ° -90 ° üçgen olan rep-tile araştırmacılarının dikkatini çekmiştir.

45 ° -90 ° -45 ° üçgenler

Poliformlar, ikizkenar dik üçgenler, 1: 1 oranında kenarlarla:√2, olarak bilinir poliabololar. Sonsuz sayısı rep-karolardır. Gerçekten de, tüm rep-karolar arasında en basit olanı tek bir ikizkenar dik üçgendir. Sağ açıyı ikiye bölen tek bir çizgiye bölündüğünde rep-2'dir. hipotenüs. Rep-2 rep-karoları da rep-2'dirn ve rep-4,8,16 + üçgenler daha fazla rep-karolar verir. Bunlar, alt kopyaların yarısını atarak ve kalanını, ayna simetrik dik üçgen içinde. Diğer bir deyişle, iki kopya bir dik üçgeni döşeyecektir. Bu yeni rep-tuğlalardan biri, üç taneden oluşan balığı andırıyor. eşkenar üçgenler.

Dik üçgenlere dayalı rep-tuğlalar
Dört ikizkenar dik üçgene dayanan balık benzeri bir rep-tuğlası

30 ° -60 ° -90 ° üçgenler

30 ° -60 ° -90 ° dik üçgenlere dayanan poliformlar, kenarları 1 oranında:√3 : 2, olarak bilinir Polydrafters. Bazıları aynı poliminolar ve Polyiamonds diğerleri farklıdır.[4]

Üç 30-60-90 ° üçgenden oluşturulmuş bir üçgene veya şekil.
Bir sürüngen olarak tridrafter.
Dört 30-60-90 ° üçgenden oluşturulmuş bir tetradrafter veya şekil.
Bir sürüngen olarak tetradrafter.
Altı 30-60-90 ° üçgenden oluşturulmuş bir hexadrafter veya şekil.
Bir sürüngen olarak hexadrafter.

Çoklu ve değişken rep-tilings

Ortak rep-tuğlaların çoğu rep-n2 tüm pozitif tam sayı değerleri içinn. Özellikle bu üç kişi için doğrudur yamuk üç eşkenar üçgenden oluşan, üç eksene paralel altıgen (L-tromino, L-tetromino ve P-pentomino) ve sfenks hexiamond dahil.[5] Ek olarak, birçok rep-tuğlalar, özellikle daha yüksek rep-n, farklı şekillerde kendinden döşenebilir. Örneğin rep-9 L-tetramino, en az on dört farklı rep-tilting'e sahiptir. Rep-9 sphinx hexiamond, farklı şekillerde de döşenebilir.

Rep-9 L-tetromino'nun varyant rep-tilings'i
Rep-9 sphinx hexiamond'un varyant rep-tilings'i

Sonsuz kenarlı rep-tuğlalar

Boynuzlu üçgen veya teragonik üçgen

En bilinen rep-karolar, sınırlı sayıda kenarı olan poligonlardır, ancak sonsuz sayıda kenarı olan bazı şekiller de rep-tile olabilir. Örneğin, üç köşeli üçgen veya boynuzlu üçgen rep-4'tür. Aynı zamanda bir fraktal rep-kiremit.

Beşgen rep-fayans

Üçgen ve dörtgen (dört kenarlı) rep-karolar yaygındır, ancak beşgen rep-karolar nadirdir. Uzun bir süre için sfenks yaygın olarak bilinen tek örnek olduğuna inanılıyordu, ancak Almanca /Yeni Zelanda matematikçi Karl Scherer ve Amerikalı matematikçi George Sicherman bir çift piramit ve sfenksin uzatılmış bir versiyonu da dahil olmak üzere daha fazla örnek bulmuşlardır. Bu beşgen rep-tuğlalar, Matematik Büyüsü Amerikalı matematikçi tarafından denetlenen sayfalar Erich Friedman.[6] Bununla birlikte, sfenks ve genişletilmiş versiyonları, eşit kopyalarla çoğaltılabilen bilinen tek beşgenlerdir. Sürüngen sayfalar.

Karl Scherer tarafından keşfedilen beşgen bir rep-tile

Rep-fayans ve fraktallar

Fraktal olarak rep-fayans

Rep-tiles oluşturmak için kullanılabilir fraktallar veya olan şekiller kendine benzeyen daha küçük ölçeklerde. Rep-döşemenin alt bölümlere ayrılması, alt bölümlere ayrılmış şeklin bir veya daha fazla kopyasının çıkarılması ve ardından devam edilmesiyle bir rep-tile fraktal oluşturulur. tekrarlı. Örneğin, Sierpinski halı bu şekilde bir karenin yeniden döşenmesinden 27 daha küçük kareye dönüştürülür ve Sierpinski üçgeni bir eşkenar üçgenin dört küçük üçgene yeniden döşenmesinden oluşur. Bir alt kopya atıldığında, rep-4 L-triomino aşağıdakiler dışında ikisi aynı olan dört fraktal oluşturmak için kullanılabilir oryantasyon.

Bir L-triomino'nun geometrik diseksiyonu (rep-4)
L-triomino (rep-4) tabanlı bir fraktal
L-triomino bazlı başka bir fraktal
L-triomino bazlı başka bir fraktal

Fraktaller rep-tile olarak

Çünkü fraktallar daha küçük ve daha küçük ölçeklerde kendine benzerdir, çoğu bir rep-tile gibi kendi kopyalarına ayrışabilir. Bununla birlikte, fraktalda boş bir iç, bu ayrışma tüm düzlemde bir döşemeye yol açmayabilir. Örneğin, Sierpinski üçgeni rep-3, kendisinin üç kopyası ile döşenmiştir ve Sierpinski halı rep-8, kendisinin sekiz kopyası ile döşenmiştir, ancak bu ayrıştırmaların tekrarlanması bir döşeme oluşturmaz. Öte yandan, ejderha eğrisi bir boşluk doldurma eğrisi içi boş olmayan; rep-4'tür ve bir döşeme oluşturur. Benzer şekilde, Gosper adası rep-7, boşluk dolduran Gosper eğrisinden oluşur ve yine bir döşeme oluşturur.

Yapısal olarak, herhangi bir fraktal tarafından tanımlanan yinelenen işlev sistemi aynı orandaki n adet sözleşmeli haritanın içinde rep-n'dir.

Bir Sierpinski üçgeninin üç küçük kopyasına dayanan bir Sierpinski üçgeni
Bir Sierpinski halısının sekiz küçük kopyasına dayanan bir Sierpinski halısı
Bir ejderha eğrisinin 4 küçük kopyasına dayanan bir ejderha eğrisi

Sonsuz döşeme

Normal çokgenler arasında, yalnızca üçgen ve kare, kendilerinin daha küçük eşit boyutlu kopyalarına bölünebilir. Ancak, düzenli bir altıgen her biri normal bir altıgen ve üç tane daha eşkenar üçgene bölünebilen altı eşkenar üçgene bölünebilir. Bu sonsuzluğun temelidir döşeme altıgen ile altıgen. Altıgen bu nedenle bir irrep-∞ veya irrep-infinity irreptile.

Kendisinin sonsuz kopyası ile döşenmiş normal altıgen

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ Bir Gardner'ın Düzinesi - Martin'in Scientific American Kapak Hikayeleri
  2. ^ Sallows (2012).
  3. ^ Gardner (2001).
  4. ^ Polydrafter Irreptiling
  5. ^ Niţică (2003).
  6. ^ Matematik Büyüsü, Ayın Sorunu (Ekim 2002)

Referanslar

  • Gardner, M. (2001), "Rep-Tiles", Devasa Matematik Kitabı: Klasik Bulmacalar, Paradokslar ve Sorunlar, New York: W. W. Norton, s. 46–58
  • Gardner, M. (1991), "Chapter 19: Rep-Tiles, Replicating Figure on the Plane", Beklenmedik Asılı ve Diğer Matematiksel Sapmalar, Chicago, IL: Chicago University Press, s. 222–233
  • Langford, C. D. (1940), "Geometrik Bulmacanın Kullanımları", Matematiksel Gazette, 24 (260): 209–211, doi:10.2307/3605717
  • Niţică, Viorel (2003), "Rep-tiles revisited", KÜTLE selectaProvidence, RI: American Mathematical Society, s. 205–217, BAY  2027179
  • Sallows, Lee (2012), "Kendinden döşemeli karo setleri üzerine", Matematik Dergisi, 85 (5): 323–333, doi:10.4169 / math.mag.85.5.323, BAY  3007213
  • Scherer, Karl (1987), Sürüngenlere ve İlgili Hayvanlara Şaşırtıcı Bir Yolculuk
  • Wells, D. (1991), Meraklı ve İlginç Geometri Penguen Sözlüğü, Londra: Penguin, s. 213–214

Dış bağlantılar

Rep-fayans

Irrep-fayans