Ortalanmış oktahedral sayı - Centered octahedral number - Wikipedia

129 küp ile bir oktahedronun Haüy yapımı

Bir merkezli oktahedral sayı veya Haüy oktahedral sayı bir figür numarası bu, üç boyutlu bir nesnenin nokta sayısını sayar tamsayı kafes içinde yatan sekiz yüzlü başlangıç ​​noktasında ortalanır.^[1] Aynı numaralar, özel durumlardır. Delannoy numaraları, belirli iki boyutlu kafes yollarını sayan.^[2] Haüy oktahedral sayılar, René Just Haüy.

Tarih

"Haüy oktahedral sayı" adı, René Just Haüy, bir Fransız mineralog 18. yüzyılın sonları ve 19. yüzyılın başlarında aktif. Onun "Haüy yapısı" bir oktahedrona yaklaşır. poliküp, eşmerkezli küp katmanlarının merkezi bir küp üzerine toplanmasıyla oluşturulur. Ortalanmış oktahedral sayılar, bu yapı tarafından kullanılan küplerin sayısını sayar.^[3] Haüy, bu yapıyı ve diğer çokyüzlülerin birkaç ilgili yapısını, yapı için bir model olarak önerdi. kristal mineraller.^[4][5]

Formül

İçindeki üç boyutlu kafes noktalarının sayısı n menşe adımları formülle verilir

${ displaystyle { frac {(2n + 1) sol (2n ^ {2} + 2n + 3 sağ)} {3}}}$

Bu sayılardan ilk birkaçı ( n = 0, 1, 2, ...)

1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159, ...^[6]

oluşturma işlevi ortalanmış oktahedral sayılar^[6][7]

${ displaystyle { frac {(1 + x) ^ {3}} {(1-x) ^ {4}}}.}$

Ortalanmış oktahedral sayılar, Tekrarlama ilişkisi^[1]

${ displaystyle C (n) = C (n-1) + 4n ^ {2} +2.}$

Ardışık çiftlerin toplamı olarak da hesaplanabilirler. sekiz yüzlü sayılar.

Alternatif yorumlar

63 Delannoy, 3 × 3 ızgaradan geçer

Kafes noktalarının sayısı ortalanmış oktahedral sayı ile sayılan üç boyutlu tamsayı kafesteki oktahedron bir metrik bilye üç boyutlu için taksi geometrisi, mesafenin koordinatlı mesafelerin toplamı ile ölçüldüğü bir geometri Öklid mesafesi. Bu yüzden, Luther ve Mertens (2011) ortalanmış sekiz yüzlü sayıları "kristal kürenin hacmi" olarak adlandırın.^[7]

Aynı sayılar, bir tarafından oluşturulan ortalanmış figürat sayıları gibi, farklı şekillerde figürlü sayılar olarak görülebilir. beşgen piramit. Yani, biri üç boyutlu bir eşmerkezli kabuk dizisi oluşturuyorsa, burada birinci kabuk tek bir noktadan oluşursa, ikinci kabuk beşgen bir piramidin altı köşesinden oluşur ve birbirini izleyen her kabuk, daha büyük bir beşgen piramit oluşturur. üçgen sayı her üçgen yüzdeki noktaların sayısı ve beşgen sayı Bu konfigürasyondaki toplam nokta sayısı, ortalanmış bir sekiz yüzlü sayıdır.^[1]

Ortalanmış oktahedral sayılar aynı zamanda Delannoy numaraları şeklinde D(3,n). Delannoy sayılarına gelince, daha genel olarak, bu sayılar bir 3 × 'in güneybatı köşesinden gelen yolların sayısını sayar.n bir birim doğuya, kuzeye veya kuzeydoğuya giden basamakları kullanarak kuzeydoğu köşesine ızgara.^[2]

Referanslar