Palindromik sayı - Palindromic number - Wikipedia

Bir palindromik sayı (olarak da bilinir sayısal palindrom veya a sayısal palindrom) basamakları ters çevrildiğinde aynı kalan bir sayıdır (16461 gibi). Başka bir deyişle, yansıma simetri dikey bir eksen boyunca. Dönem palindromik den türetilmiştir palindrom, bir kelimeyi ifade eder (örneğin rotor veya yarış arabası) harfleri ters çevrildiğinde yazımı değişmeyen. İlk 30 palindromik sayı ( ondalık ) şunlardır:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202,… (sıra A002113 içinde OEIS ).

Palindromik sayılar en çok ilgiyi şu alemde alır: eğlence matematiği. Tipik bir problem, belirli bir özelliğe sahip sayıları ister ve palindromiktir. Örneğin:

• palindromik asal 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151,… (sıra A002385 içinde OEIS ).
• Palindromik kare sayılar 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321,… (sıra A002779 içinde OEIS ).

Açıktır ki herhangi bir temel var sonsuz sayıda palindromik sayılar, çünkü herhangi bir temelde sonsuz sıra 101, 1001, 10001, 100001, vb. olarak yazılan sayıların yüzdesi yalnızca palindromik sayılardan oluşur.

Resmi tanımlama

Palindromik sayılar çoğunlukla ondalık sistemi, kavramı palindromisite uygulanabilir doğal sayılar herhangi birinde sayı sistemi. Bir sayı düşünün n > 0 inç temel b ≥ 2, standart gösterimle yazıldığı yerde k+1 rakamlar a_ben gibi:

${ displaystyle n = toplam _ {i = 0} ^ {k} a_ {i} b ^ {i}}$

her zamanki gibi 0 ≤a_ben < b hepsi için ben ve a_k ≠ 0. Sonra n palindromiktir ancak ve ancak a_ben = a_k−ben hepsi için ben. Sıfır herhangi bir tabanda 0 yazılır ve ayrıca tanımı gereği palindromiktir.

Ondalık palindromik sayılar

İçindeki tüm sayılar 10 taban (ve aslında herhangi bir temelde) biriyle hane palindromiktir, bu nedenle tek basamaklı on ondalık palindromik sayı vardır:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

İki basamaklı 9 palindromik sayı vardır:

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

Üç basamaklı 90 palindromik sayı vardır ( Ürün kuralı: Üçüncü basamağı da belirleyen ilk basamak için 9 seçenek, ikinci basamak için 10 seçenekle çarpılır):

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, …, 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

Aynı şekilde dört basamaklı 90 palindromik sayı vardır (yine, ilk basamak için 9 seçenek, ikinci basamak için on seçenekle çarpılır. Diğer iki basamak, ilk ikisinin seçimiyle belirlenir):

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, …, 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

yani 10'un altında 199 palindromik sayı var⁴.

10'un altında⁵ 1099 palindromik sayı vardır ve 10'un diğer üsleri içinⁿ elimizde: 1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999,… (dizi A070199 içinde OEIS ). Başka bir özelliği olan palindromik sayıların sayısı aşağıda listelenmiştir:

Mükemmel güçler

Birçok palindromik var mükemmel güçler n^k, nerede n doğal bir sayıdır ve k 2, 3 veya 4'tür.

• Palindromik kareler: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944, ... (sıra A002779 içinde OEIS )
• Palindromik küpler: 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001, ... (sıra A002781 içinde OEIS )
• Palindromik dördüncü güçler: 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001, ... (sıra A186080 içinde OEIS )

Dizinin ilk dokuz terimi 1², 11², 111², 1111², ... palindromları 1, 121, 12321, 1234321, ... oluşturur (dizi A002477 içinde OEIS )

Küpü palindrom olan bilinen tek palindromik olmayan sayı 2201'dir ve tüm palindrom dördüncü güçlerinin dördüncü kökü 100000 ... 000001 (10ⁿ + 1).

G. J. Simmons, hiçbir biçim palindromu olmadığını varsaydı n^k için k > 4 (ve n > 1).^[2]

Diğer üsler

Palindromik sayılar şu şekilde düşünülebilir: sayı sistemleri ondan başka ondalık. Örneğin, ikili palindromik sayılar:

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, ... (sıra A057148 içinde OEIS )

veya ondalık olarak:

0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, ... (sıra A006995 içinde OEIS )

Fermat asalları ve Mersenne asalları ikili palindromik asalların bir alt kümesini oluşturur.

Herhangi bir numara ${ displaystyle n}$ tüm bazlarda palindromiktir ${ displaystyle b}$ ile ${ displaystyle b> n}$ (önemsiz şekilde, çünkü ${ displaystyle n}$ daha sonra tek basamaklı bir sayıdır) ve ayrıca taban olarak ${ displaystyle n-1}$ (Çünkü ${ displaystyle n}$ o zaman ${ displaystyle 11_ {n-1}}$). Sayının tabandan daha küçük olduğu durumlar hariç tutulsa bile, çoğu sayı birden fazla bazda palindromiktir. Örneğin, ${ displaystyle 1221_ {4} = 151_ {8} = 77_ {14} = 55_ {20} = 33_ {34} = 11_ {104}}$, ${ displaystyle 1991_ {10} = 7C7_ {16}}$. Tüm bazlarda palindromik olmayan bir sayı ${ displaystyle b}$ nerede ${ displaystyle 1$ denir kesinlikle palindromik olmayan sayı.

İçinde temel 7, çünkü 101₇ iki kez tam bir karedir (5²=34₇), katlarından birkaçı palindromik karelerdir:

İçinde temel 18, yedinin bazı güçleri palindromiktir:

Ve 24 taban beşin ilk sekiz gücü de palindromiktir:

Tabanda bir palindromik sayı b palindromik uzunluk dizilerinden oluşan l palindromik bir düzende düzenlenmiş (örneğin, 101111010111101₂) temelde palindromiktir b^l (örneğin, yukarıdaki ikili sayı 2 tabanında palindromiktir³= 8 (57275'e eşittir₈))

133 kare₁₀ 30 tabanında 4D₃₀² = KKK₃₀ = 3R₃₆² = DPD₃₆24. tabanda 5'e bağlı olarak daha fazla palindromik kareler var.² = 11. Ve 1666 ... 6667 biçimindeki tüm sayıların kareleri (1 ile 7 arasında herhangi bir sayıda 6 ') palindromiktir. 167² = 1E5E1, 1667² = 1E3K3E1, 16667² = 1E3H8H3E1.

Lychrel süreci