Yeniden Birleştirme - Repunit

İçinde eğlence matematiği, bir yeniden birleştirme bir numara sadece 1 rakamını içeren 11, 111 veya 1111 gibi - daha spesifik bir yeniden basmak. Terim, temsilciyemek birim tarafından icat edildi ve 1966'da Albert H. Beiler kitabında Sayılar Teorisinde Rekreasyonlar.^{[not 1]}

Bir yeniden birleştirme asal aynı zamanda bir asal sayı. Yeniden birleşen asal sayılar baz-2 vardır Mersenne asalları.

Tanım

Baz-b yeniden birimler (bu b olumlu veya olumsuz olabilir)

${ displaystyle R_ {n} ^ {(b)} equiv 1 + b + b ^ {2} + cdots + b ^ {n-1} = {b ^ {n} -1 over {b-1 }} qquad { mbox {for}} | b | geq 2, n geq 1.}$

Böylece sayı R_n^(b) içerir n tabandaki 1 rakamının kopyalarıb temsil. İlk iki repunits üssü-b için n = 1 ve n = 2

${ displaystyle R_ {1} ^ {(b)} = {b-1 over {b-1}} = 1 qquad { text {ve}} qquad R_ {2} ^ {(b)} = {b ^ {2} -1 over {b-1}} = b + 1 qquad { text {for}} | b | geq 2.}$

Özellikle, ondalık (taban-10) yeniden birlikler genellikle basitçe yeniden birlikler olarak tanımlanır

${ displaystyle R_ {n} equiv R_ {n} ^ {(10)} = {10 ^ {n} -1 {10-1}} üzerinden = {10 ^ {n} -1 9 üzerinden} qquad { mbox {for}} n geq 1.}$

Böylece sayı R_n = R_n⁽¹⁰⁾ içerir n 10 tabanlı gösterimde 1 rakamının kopyaları. Base-10 yeniden birimlerinin sırası şununla başlar:

1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, ... (sıra A002275 içinde OEIS ).

Benzer şekilde, yeniden birimler base-2 şu şekilde tanımlanır:

${ displaystyle R_ {n} ^ {(2)} = {2 ^ {n} -1 over {2-1}} = {2 ^ {n} -1} qquad { mbox {for}} n geq 1.}$

Böylece sayı R_n⁽²⁾ içerir n Baz-2 gösteriminde 1 rakamının kopyaları. Aslında, baz-2 repunits iyi bilinenlerdir Mersenne numaraları M_n = 2ⁿ - 1, şununla başlarlar:

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, ... (sıra A000225 içinde OEIS ).

Özellikleri

• Bileşik sayıda basamağa sahip herhangi bir tabandaki herhangi bir yeniden birim, zorunlu olarak bileşiktir. Yalnızca asal sayıya sahip yeniden birimler (herhangi bir tabanda) asal olabilir. Bu gerekli ancak yeterli olmayan bir koşuldur. Örneğin,

  R₃₅^(b) = 11111111111111111111111111111111111 = 11111 × 1000010000100001000010000100001 = 1111111 × 10000001000000100000010000001,

35 = 7 × 5 = 5 × 7. Bu yeniden birim çarpanlara ayırma tabana bağlı değildir-b yeniden birimin ifade edildiği.

• Eğer p tuhaf bir asal, sonra her asal q bu böler R_p^(b) 1 artı 2'nin katı olmalıdırp, veya bir faktör b - 1. Örneğin, asal çarpanı R₂₉ 62003 = 1 + 2 · 29 · 1069. Nedeni, asal p 1'den büyük olan en küçük üs, öyle ki q böler b^p - 1, çünkü p asal. Bu nedenle, sürece q böler b − 1, p Carmichael işlevini böler nın-nin qeşit ve eşit olan q − 1.
• Repunitin herhangi bir pozitif katı R_n^(b) en azından içerir n tabanda sıfır olmayan rakamlarb.
• Herhangi bir numara x x - 1 tabanında iki basamaklı bir birimdir.
• Aynı anda birden fazla bazda en az 3 basamaklı yeniden birimler olan bilinen tek sayılar 31 (111 taban-5, 11111 taban-2) ve 8191 (111 taban-90, 11111111111 taban-2). Goormaghtigh varsayımı sadece bu iki durum olduğunu söylüyor.
• Kullanmak güvercin deliği prensibi kolayca gösterilebilir nispeten asal doğal sayılar n ve b, üssünde bir geri birim varb bu bir katı n. Bunu görmek için yeniden birlikleri düşünün R₁^(b),...,R_n^(b). Çünkü var n yeniden birleşiyor ama sadece n−1 sıfır olmayan kalıntı modulo n iki yeniden birim var R_ben^(b) ve R_j^(b) 1 ≤ ile ben < j ≤ n öyle ki R_ben^(b) ve R_j^(b) aynı kalıntı modülüne sahip n. Bunu takip eder R_j^(b) − R_ben^(b) 0 modulo kalıntısı var n, yani bölünebilir n. Dan beri R_j^(b) − R_ben^(b) içerir j − ben ardından gelenler ben sıfırlar R_j^(b) − R_ben^(b) = R_j−ben^(b) × b^ben. Şimdi n bu denklemin sol tarafını böler, böylece sağ tarafı da böler, ancak n ve b nispeten asal n bölünmeli R_j−ben^(b).
• Feit-Thompson varsayımı bu mu R_q^(p) asla bölünmez R_p^(q) iki farklı asal için p ve q.
• Kullanmak Öklid Algoritması yeniden birim tanımı için: R₁^(b) = 1; R_n^(b) = R_n−1^(b) × b + 1, herhangi bir ardışık tekrar R_n−1^(b) ve R_n^(b) herhangi bir tabanda nispeten asalb herhangi n.
• Eğer m ve n ortak bölen d, R_m^(b) ve R_n^(b) ortak böleni var R_d^(b) herhangi bir bazdab herhangi m ve n. Yani, sabit bir tabanın yeniden birimleri bir güçlü bölünebilirlik dizisi. Sonuç olarak, If m ve n nispeten asal R_m^(b) ve R_n^(b) nispeten asaldır. Öklid Algoritması temel alır gcd(m, n) = gcd(m − n, n) için m > n. Benzer şekilde, kullanarak R_m^(b) − R_n^(b) × b^m−n = R_m−n^(b)kolayca gösterilebilir gcd(R_m^(b), R_n^(b)) = gcd(R_m−n^(b), R_n^(b)) için m > n. Bu nedenle eğer gcd(m, n) = d, sonra gcd(R_m^(b), R_n^(b)) = R_d^(b).

Ondalık yeniden birimlerin ayrıştırılması

(Renkli asal faktörler kırmızı "yeni faktörler" anlamına gelir, i. e. asal faktör böler R_n ama bölmez R_k hepsi için k < n) (sıra A102380 içinde OEIS )^[2]

En küçük asal çarpanı R_n için n > 1

11, 3, 11, 41, 3, 239, 11, 3, 11, 21649, 3, 53, 11, 3, 11, 2071723, 3, 1111111111111111111, 11, 3, 11, 111111111111111111111, 3, 41, 11, 3, 11, 3191, 3, 2791, 11, 3, 11, 41, 3, 2028119, 11, 3, 11, 83, 3, 173, 11, 3, 11, 35121409, 3, 239, 11, .. . (sıra A067063 içinde OEIS )

Repunit asal sayıları

Yeniden birimlerin tanımı, eğlence amaçlı matematikçiler tarafından motive edildi. asal faktörler bu tür sayıların.

Bunu göstermek kolaydır. n ile bölünebilir a, sonra R_n^(b) ile bölünebilir R_a^(b):

${ displaystyle R_ {n} ^ {(b)} = { frac {1} {b-1}} prod _ {d | n} Phi _ {d} (b),}$

nerede ${ displaystyle Phi _ {d} (x)}$ ... ${ displaystyle d ^ { mathrm {th}}}$ siklotomik polinom ve d bölenleri üzerinde aralıklar n. İçin p önemli,

${ displaystyle Phi _ {p} (x) = toplam _ {i = 0} ^ {p-1} x ^ {i},}$

beklenen bir yeniden birleşme biçimine sahip olan x ile ikame edilir b.

Örneğin, 9, 3'e bölünebilir ve dolayısıyla R₉ ile bölünebilir R₃—Aslında, 111111111 = 111 · 1001001. Karşılık gelen siklotomik polinomlar ${ displaystyle Phi _ {3} (x)}$ ve ${ displaystyle Phi _ {9} (x)}$ vardır ${ displaystyle x ^ {2} + x + 1}$ ve ${ displaystyle x ^ {6} + x ^ {3} +1}$, sırasıyla. Böylece R_n asal olmak n mutlaka asal olmalıdır, ancak bunun için yeterli değildir n asal olmak. Örneğin, R₃ = 111 = 3 · 37 asal değildir. Bu durum dışında R₃, p sadece bölebilir R_n asal için n Eğer p = 2kn Bazıları için + 1 k.

Ondalık yeniden birim asal sayıları

R_n için asal n = 2, 19, 23, 317, 1031, ... (sıra A004023 içinde OEIS ). R₄₉₀₈₁ ve R₈₆₄₅₃ vardır muhtemelen asal. 3 Nisan 2007 Harvey Dubner (kim buldu R₄₉₀₈₁) bunu duyurdu R₁₀₉₂₉₇ olası bir asaldır.^[3] Daha sonra başka kimsenin olmadığını açıkladı R₈₆₄₅₃ -e R₂₀₀₀₀₀.^[4] 15 Temmuz 2007'de Maksym Voznyy R₂₇₀₃₄₃ muhtemelen asal olmak^[5] 400000'e kadar arama yapma niyetiyle birlikte. Kasım 2012 itibarıyla, tüm diğer adaylar R_2500000 test edildi, ancak şimdiye kadar yeni olası asal sayı bulunamadı.

Sonsuz sayıda repunit asal sayısının olduğu varsayılmıştır.^[6] ve yaklaşık olarak asal sayı teoremi tahmin ederdi: üssü N. yeniden birim üssü genellikle (N−1) th.

Asal yeniden birlikler, değişken asallar yani, herhangi birinden sonra asal kalan asal sayılar permütasyon basamakları.

Özel özellikler

• Geri kalanı R_n modulo 3, geri kalanına eşittir n modulo 3. 10 kullanma^a Herhangi biri için ≡ 1 (mod 3) a ≥ 0,
  n ≡ 0 (mod 3) ⇔ R_n ≡ 0 (mod 3) ⇔ R_n ≡ 0 (mod R₃),
  n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R_n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R_n ≡ R₁ ≡ 1 (mod R₃),
  n ≡ 2 (mod 3) ⇔ R_n ≡ 2 (mod 3) ⇔ R_n ≡ R₂ ≡ 11 (mod R₃).
  Bu nedenle, 3 | n ⇔ 3 | R_n ⇔ R₃ | R_n.
• Geri kalanı R_n modulo 9, geri kalanına eşittir n modulo 9. 10 kullanımı^a Herhangi biri için ≡ 1 (mod 9) a ≥ 0,
  n ≡ r (mod 9) ⇔ R_n ≡ r (mod 9) ⇔ R_n ≡ R_r (mod R₉),
  0 ≤ için r < 9.
  Bu nedenle, 9 | n ⇔ 9 | R_n ⇔ R₉ | R_n.

Base 2 repunit asal sayıları

Base-2 repunit asalları denir Mersenne asalları.

Base 3 repunit asal sayıları

İlk birkaç taban-3 repunit asalları

13, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013 (dizi A076481 içinde OEIS ),

karşılık gelen ${ displaystyle n}$ nın-nin

3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, ... (sıra A028491 içinde OEIS ).

Base 4 repunit asal sayıları

Tek taban-4 repunit üssü 5'tir (${ displaystyle 11_ {4}}$). ${ displaystyle 4 ^ {n} -1 = sol (2 ^ {n} +1 sağ) sol (2 ^ {n} -1 sağ)}$ve 3 her zaman böler ${ displaystyle 2 ^ {n} +1}$ ne zaman n garip ve ${ displaystyle 2 ^ {n} -1}$ ne zaman n eşittir. İçin n 2'den büyük, her ikisi de ${ displaystyle 2 ^ {n} +1}$ ve ${ displaystyle 2 ^ {n} -1}$ 3'ten büyüktür, bu nedenle 3'ün çıkarılması, iki faktörün 1'den büyük olmasına neden olur. Bu nedenle, sayı asal olamaz.

Base 5 repunit asal sayıları

İlk birkaç taban-5 repunit asalları

31, 19531, 12.207.031, 305.175.781, 177635683940025046467781066894531, 14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531, 35032461608120426773093239582247903282006548546912894293926707097244777067146515037165954709053039550781, 815663058499815565838786763657068444462645532258620818469829556933715405574685778402862015856733535201783524826169013977050781 (sekans A086122 içinde OEIS ),

karşılık gelen ${ displaystyle n}$ nın-nin

3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, ... (sıra A004061 içinde OEIS ).

Base 6 repunit asal sayıları

İlk birkaç taban-6 yeniden birim asalları

3 A165210 içinde OEIS ),

karşılık gelen ${ displaystyle n}$ nın-nin

2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, ... (sıra A004062 içinde OEIS ).

Base 7 repunit asal sayıları

İlk birkaç taban-7 repunit asalları

2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457,
138502212710103408700774381033135503926663324993317631729227790657325163310341833227775945426052637092067324133850503035623601

karşılık gelen ${ displaystyle n}$ nın-nin

5, 13, 131, 149, 1699, ... (sıra A004063 içinde OEIS ).

Base 8 repunit asal sayıları

Tek taban-8 yeniden birleştirme üssü 73 (${ displaystyle 111_ {8}}$). ${ displaystyle 8 ^ {n} -1 = sol (4 ^ {n} + 2 ^ {n} +1 sağ) sol (2 ^ {n} -1 sağ)}$ve 7 böler ${ displaystyle 4 ^ {n} + 2 ^ {n} +1}$ ne zaman n 3 ile bölünemez ve ${ displaystyle 2 ^ {n} -1}$ ne zaman n 3'ün katıdır.

Base 9 repunit asal sayıları

Base-9 repunit asalları yoktur. ${ displaystyle 9 ^ {n} -1 = sol (3 ^ {n} +1 sağ) sol (3 ^ {n} -1 sağ)}$, ve ikisi ${ displaystyle 3 ^ {n} +1}$ ve ${ displaystyle 3 ^ {n} -1}$ eşittir ve 4'ten büyüktür.

Base 11 repunit asal sayıları

İlk birkaç taban-11 repunit asalları

50544702849929377, 6115909044841454629, 1051153199500053598403188407217590190707671147285551702341089650185945215953, 567000232521795739625828281267171344486805385881217575081149660163046217465544573355710592079769932651989153833612198334843467861091902034340949

karşılık gelen ${ displaystyle n}$ nın-nin

17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, ... (sıra A005808 içinde OEIS ).

Baz 12 yeniden birleştirme asalları

İlk birkaç taban-12 repunit asalları

13, 157, 22621, 29043636306420266077, 43570062353753446053455610056679740005056966111842089407838902783209959981593077811330507328327968191581, 388475052482842970801320278964160171426121951256610654799120070705613530182445862582590623785872890159937874339918941

karşılık gelen ${ displaystyle n}$ nın-nin

2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, ... (sıra A004064 içinde OEIS ).

Baz 20 repunit asal sayıları

İlk birkaç taban-20 yeniden birleştirme asalları

421, 10778947368421, 689852631578947368421

karşılık gelen ${ displaystyle n}$ nın-nin

3, 11, 17, 1487, ... (sıra A127995 içinde OEIS ).

Bazlar ${ displaystyle b}$ öyle ki ${ displaystyle R_ {p} (b)}$ asal ${ displaystyle p}$

En küçük taban ${ displaystyle b}$ öyle ki ${ displaystyle R_ {p} (b)}$ asal (nerede ${ displaystyle p}$ ... ${ displaystyle n}$asal)

2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12, 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 30, 44, 60, 304, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606, 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, 13, 136, 220, 162, 35, 10, 218, 19, 26, 39, 12, 22, 67, 120, 195, 48, 54, 463, 38, 41, 17, 808, 404, 46, 76, 793, 38, 28, 215, 37, 236, 59, 15, 514, 260, 498, 6, 2, 95, 3, ... (sıra A066180 içinde OEIS )

En küçük taban ${ displaystyle b}$ öyle ki ${ displaystyle R_ {p} (- b)}$ asal (nerede ${ displaystyle p}$ ... ${ displaystyle n}$asal)

3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, 159, 10, 16, 209, 2, 16, 23, 273, 2, 460, 22, 3, 36, 28, 329, 43, 69, 86, 271, 396, 28, 83, 302, 209, 11, 300, 159, 79, 31, 331, 52, 176, 3, 28, 217, 14, 410, 252, 718, 164, ... (sıra A103795 içinde OEIS )

${ displaystyle p}$	üsler ${ displaystyle b}$ öyle ki ${ displaystyle R_ {p} (b)}$ asal (yalnızca pozitif temelleri listeler)	OEIS sıra
2	2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, 306, 310, 312, 316, 330, 336, 346, 348, 352, 358, 366, 372, 378, 382, 388, 396, 400, 408, 418, 420, 430, 432, 438, 442, 448, 456, 460, 462, 466, 478, 486, 490, 498, 502, 508, 520, 522, 540, 546, 556, 562, 568, 570, 576, 586, 592, 598, 600, 606, 612, 616, 618, 630, 640, 642, 646, 652, 658, 660, 672, 676, 682, 690, 700, 708, 718, 726, 732, 738, 742, 750, 756, 760, 768, 772, 786, 796, 808, 810, 820, 822, 826, 828, 838, 852, 856, 858, 862, 876, 880, 882, 886, 906, 910, 918, 928, 936, 940, 946, 952, 966, 970, 976, 982, 990, 996, ...	A006093
3	2, 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99, 101, 105, 110, 111, 117, 119, 131, 138, 141, 143, 147, 150, 153, 155, 161, 162, 164, 167, 168, 173, 176, 188, 189, 192, 194, 203, 206, 209, 215, 218, 231, 236, 245, 246, 266, 272, 278, 279, 287, 288, 290, 293, 309, 314, 329, 332, 336, 342, 344, 348, 351, 357, 369, 378, 381, 383, 392, 395, 398, 402, 404, 405, 414, 416, 426, 434, 435, 447, 453, 455, 456, 476, 489, 495, 500, 512, 518, 525, 530, 531, 533, 537, 540, 551, 554, 560, 566, 567, 572, 579, 582, 584, 603, 605, 609, 612, 621, 624, 626, 635, 642, 644, 668, 671, 677, 686, 696, 701, 720, 726, 728, 735, 743, 747, 755, 761, 762, 768, 773, 782, 785, 792, 798, 801, 812, 818, 819, 825, 827, 836, 839, 846, 855, 857, 860, 864, 875, 878, 890, 894, 897, 899, 911, 915, 918, 920, 927, 950, 959, 960, 969, 974, 981, 987, 990, 992, 993, ...	A002384
5	2, 7, 12, 13, 17, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 40, 43, 44, 50, 62, 63, 68, 73, 74, 77, 79, 83, 85, 94, 99, 110, 117, 118, 120, 122, 127, 129, 134, 143, 145, 154, 162, 164, 165, 172, 175, 177, 193, 198, 204, 208, 222, 227, 239, 249, 254, 255, 260, 263, 265, 274, 275, 277, 285, 288, 292, 304, 308, 327, 337, 340, 352, 359, 369, 373, 393, 397, 408, 414, 417, 418, 437, 439, 448, 457, 459, 474, 479, 490, 492, 495, 503, 505, 514, 519, 528, 530, 538, 539, 540, 550, 557, 563, 567, 568, 572, 579, 594, 604, 617, 637, 645, 650, 662, 679, 694, 699, 714, 728, 745, 750, 765, 770, 772, 793, 804, 805, 824, 837, 854, 860, 864, 868, 880, 890, 919, 942, 954, 967, 968, 974, 979, ...	A049409
7	2, 3, 5, 6, 13, 14, 17, 26, 31, 38, 40, 46, 56, 60, 61, 66, 68, 72, 73, 80, 87, 89, 93, 95, 115, 122, 126, 128, 146, 149, 156, 158, 160, 163, 180, 186, 192, 203, 206, 208, 220, 221, 235, 237, 238, 251, 264, 266, 280, 282, 290, 294, 300, 303, 320, 341, 349, 350, 353, 363, 381, 395, 399, 404, 405, 417, 418, 436, 438, 447, 450, 461, 464, 466, 478, 523, 531, 539, 548, 560, 583, 584, 591, 599, 609, 611, 622, 646, 647, 655, 657, 660, 681, 698, 700, 710, 717, 734, 760, 765, 776, 798, 800, 802, 805, 822, 842, 856, 863, 870, 878, 899, 912, 913, 926, 927, 931, 940, 941, 942, 947, 959, 984, 998, ...	A100330
11	5, 17, 20, 21, 30, 53, 60, 86, 137, 172, 195, 212, 224, 229, 258, 268, 272, 319, 339, 355, 365, 366, 389, 390, 398, 414, 467, 480, 504, 534, 539, 543, 567, 592, 619, 626, 654, 709, 735, 756, 766, 770, 778, 787, 806, 812, 874, 943, 973, ...	A162862
13	2, 3, 5, 7, 34, 37, 43, 59, 72, 94, 98, 110, 133, 149, 151, 159, 190, 207, 219, 221, 251, 260, 264, 267, 282, 286, 291, 319, 355, 363, 373, 382, 397, 398, 402, 406, 408, 412, 436, 442, 486, 489, 507, 542, 544, 552, 553, 582, 585, 592, 603, 610, 614, 634, 643, 645, 689, 708, 720, 730, 744, 769, 772, 806, 851, 853, 862, 882, 912, 928, 930, 952, 968, 993, ...	A217070
17	2, 11, 20, 21, 28, 31, 55, 57, 62, 84, 87, 97, 107, 109, 129, 147, 149, 157, 160, 170, 181, 189, 191, 207, 241, 247, 251, 274, 295, 297, 315, 327, 335, 349, 351, 355, 364, 365, 368, 379, 383, 410, 419, 423, 431, 436, 438, 466, 472, 506, 513, 527, 557, 571, 597, 599, 614, 637, 653, 656, 688, 708, 709, 720, 740, 762, 835, 836, 874, 974, 976, 980, 982, 986, ...	A217071
19	2, 10, 11, 12, 14, 19, 24, 40, 45, 46, 48, 65, 66, 67, 75, 85, 90, 103, 105, 117, 119, 137, 147, 164, 167, 179, 181, 205, 220, 235, 242, 253, 254, 263, 268, 277, 303, 315, 332, 337, 366, 369, 370, 389, 399, 404, 424, 431, 446, 449, 480, 481, 506, 509, 521, 523, 531, 547, 567, 573, 581, 622, 646, 651, 673, 736, 768, 787, 797, 807, 810, 811, 817, 840, 846, 857, 867, 869, 870, 888, 899, 902, 971, 988, 990, 992, ...	A217072
23	10, 40, 82, 113, 127, 141, 170, 257, 275, 287, 295, 315, 344, 373, 442, 468, 609, 634, 646, 663, 671, 710, 819, 834, 857, 884, 894, 904, 992, 997, ...	A217073
29	6, 40, 65, 70, 114, 151, 221, 229, 268, 283, 398, 451, 460, 519, 554, 587, 627, 628, 659, 687, 699, 859, 884, 915, 943, 974, 986, ...	A217074
31	2, 14, 19, 31, 44, 53, 71, 82, 117, 127, 131, 145, 177, 197, 203, 241, 258, 261, 276, 283, 293, 320, 325, 379, 387, 388, 406, 413, 461, 462, 470, 486, 491, 534, 549, 569, 582, 612, 618, 639, 696, 706, 723, 746, 765, 767, 774, 796, 802, 877, 878, 903, 923, 981, 991, 998, ...	A217075
37	61, 77, 94, 97, 99, 113, 126, 130, 134, 147, 161, 172, 187, 202, 208, 246, 261, 273, 285, 302, 320, 432, 444, 503, 523, 525, 563, 666, 680, 709, 740, 757, 787, 902, 962, 964, 969, ...	A217076
41	14, 53, 55, 58, 71, 76, 82, 211, 248, 271, 296, 316, 430, 433, 439, 472, 545, 553, 555, 596, 663, 677, 682, 746, 814, 832, 885, 926, 947, 959, ...	A217077
43	15, 21, 26, 86, 89, 114, 123, 163, 180, 310, 332, 377, 409, 438, 448, 457, 477, 526, 534, 556, 586, 612, 653, 665, 690, 692, 709, 760, 783, 803, 821, 848, 877, 899, 909, 942, 981, ...	A217078
47	5, 17, 19, 55, 62, 75, 89, 98, 99, 132, 172, 186, 197, 220, 268, 278, 279, 288, 439, 443, 496, 579, 583, 587, 742, 777, 825, 911, 966, ...	A217079
53	24, 45, 60, 165, 235, 272, 285, 298, 307, 381, 416, 429, 623, 799, 858, 924, 929, 936, ...	A217080
59	19, 70, 102, 116, 126, 188, 209, 257, 294, 359, 451, 461, 468, 470, 638, 653, 710, 762, 766, 781, 824, 901, 939, 964, 995, ...	A217081
61	2, 19, 69, 88, 138, 155, 205, 234, 336, 420, 425, 455, 470, 525, 555, 561, 608, 626, 667, 674, 766, 779, 846, 851, 937, 971, 998, ...	A217082
67	46, 122, 238, 304, 314, 315, 328, 332, 346, 372, 382, 426, 440, 491, 496, 510, 524, 528, 566, 638, 733, 826, ...	A217083
71	3, 6, 17, 24, 37, 89, 132, 374, 387, 402, 421, 435, 453, 464, 490, 516, 708, 736, 919, 947, 981, ...	A217084
73	11, 15, 75, 114, 195, 215, 295, 335, 378, 559, 566, 650, 660, 832, 871, 904, 966, ...	A217085
79	22, 112, 140, 158, 170, 254, 271, 330, 334, 354, 390, 483, 528, 560, 565, 714, 850, 888, 924, 929, 933, 935, 970, ...	A217086
83	41, 146, 386, 593, 667, 688, 906, 927, 930, ...	A217087
89	2, 114, 159, 190, 234, 251, 436, 616, 834, 878, ...	A217088
97	12, 90, 104, 234, 271, 339, 420, 421, 428, 429, 464, 805, 909, 934, ...	A217089
101	22, 78, 164, 302, 332, 359, 387, 428, 456, 564, 617, 697, 703, 704, 785, 831, 979, ...
103	3, 52, 345, 392, 421, 472, 584, 617, 633, 761, 767, 775, 785, 839, ...
107	2, 19, 61, 68, 112, 157, 219, 349, 677, 692, 700, 809, 823, 867, 999, ...
109	12, 57, 72, 79, 89, 129, 158, 165, 239, 240, 260, 277, 313, 342, 421, 445, 577, 945, ...
113	86, 233, 266, 299, 334, 492, 592, 641, 656, 719, 946, ...
127	2, 5, 6, 47, 50, 126, 151, 226, 250, 401, 427, 473, 477, 486, 497, 585, 624, 644, 678, 685, 687, 758, 896, 897, 936, ...
131	7, 493, 567, 591, 593, 613, 764, 883, 899, 919, 953, ...
137	13, 166, 213, 355, 586, 669, 707, 768, 833, ...
139	11, 50, 221, 415, 521, 577, 580, 668, 717, 720, 738, 902, ...
149	5, 7, 68, 79, 106, 260, 319, 502, 550, 779, 855, ...
151	29, 55, 57, 160, 176, 222, 255, 364, 427, 439, 642, 660, 697, 863, ...
157	56, 71, 76, 181, 190, 317, 338, 413, 426, 609, 694, 794, 797, 960, ...
163	30, 62, 118, 139, 147, 291, 456, 755, 834, 888, 902, 924, ...
167	44, 45, 127, 175, 182, 403, 449, 453, 476, 571, 582, 700, 749, 764, 929, 957, ...
173	60, 62, 139, 141, 303, 313, 368, 425, 542, 663, ...
179	304, 478, 586, 942, 952, 975, ...
181	5, 37, 171, 427, 509, 571, 618, 665, 671, 786, ...
191	74, 214, 416, 477, 595, 664, 699, 712, 743, 924, ...
193	118, 301, 486, 554, 637, 673, 736, ...
197	33, 236, 248, 262, 335, 363, 388, 593, 763, 813, ...
199	156, 362, 383, 401, 442, 630, 645, 689, 740, 921, 936, 944, 983, 988, ...
211	46, 57, 354, 478, 539, 581, 653, 829, 835, 977, ...
223	183, 186, 219, 221, 661, 749, 905, 914, ...
227	72, 136, 235, 240, 251, 322, 350, 500, 523, 556, 577, 671, 688, 743, 967, ...
229	606, 725, 754, 858, 950, ...
233	602, ...
239	223, 260, 367, 474, 564, 862, ...
241	115, 163, 223, 265, 270, 330, 689, 849, ...
251	37, 246, 267, 618, 933, ...
257	52, 78, 435, 459, 658, 709, ...
263	104, 131, 161, 476, 494, 563, 735, 842, 909, 987, ...
269	41, 48, 294, 493, 520, 812, 843, ...
271	6, 21, 186, 201, 222, 240, 586, 622, 624, ...
277	338, 473, 637, 940, 941, 978, ...
281	217, 446, 606, 618, 790, 864, ...
283	13, 197, 254, 288, 323, 374, 404, 943, ...
293	136, 388, 471, ...

Repunit asal tabanının listesi ${ displaystyle b}$

En küçük asal ${ displaystyle p> 2}$ öyle ki ${ displaystyle R_ {p} (b)}$ asaldır (ile başlayın ${ displaystyle b = 2}$, 0 yoksa böyle ${ displaystyle p}$ var)

3, 3, 0, 3, 3, 5, 3, 0, 19, 17, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 25667, 19, 3, 3, 5, 5, 3, 0, 7, 3, 5, 5, 5, 7, 0, 3, 13, 313, 0, 13, 3, 349, 5, 3, 1319, 5, 5, 19, 7, 127, 19, 0, 3, 4229, 103, 11, 3, 17, 7, 3, 41, 3, 7, 7, 3, 5, 0, 19, 3, 19, 5, 3, 29, 3, 7, 5, 5, 3, 41, 3, 3, 5, 3, 0, 23, 5, 17, 5, 11, 7, 61, 3, 3, 4421, 439, 7, 5, 7, 3343, 17, 13, 3, 0, .. . (sıra A128164 içinde OEIS )

En küçük asal ${ displaystyle p> 2}$ öyle ki ${ displaystyle R_ {p} (- b)}$ asaldır (ile başlayın ${ displaystyle b = 2}$, 0 yoksa böyle ${ displaystyle p}$ var, bu terim şu anda bilinmiyorsa soru işareti)

3, 3, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 5, 5, 5, 3, 7, 3, 3, 7, 3, 17, 5, 3, 3, 11, 7, 3, 11, 0, 3, 7, 139, 109, 0, 5, 3, 11, 31, 5, 5, 3, 53, 17, 3, 5, 7, 103, 7, 5, 5, 7, 1153, 3, 7, 21943, 7, 3, 37, 53, 3, 17, 3, 7, 11, 3, 0, 19, 7, 3, 757, 11, 3, 5, 3, 7, 13, 5, 3, 37, 3, 3, 5, 3, 293, 19, 7, 167, 7, 7, 709, 13, 3, 3, 37, 89, 71, 43, 37,?, 19, 7, 3, .. . (sıra A084742 içinde OEIS )

${ displaystyle b}$	sayılar ${ displaystyle n}$ öyle ki ${ displaystyle R_ {n} (b)}$ asaldır (bazı büyük terimler yalnızca karşılık gelir olası asal sayılar, bunlar ${ displaystyle n}$ 100000'e kadar kontrol edilir)	OEIS sıra
−50	1153, 26903, 56597, ...	A309413
−49	7, 19, 37, 83, 1481, 12527, 20149, ...	A237052
−48	2*, 5, 17, 131, 84589, ...	A236530
−47	5, 19, 23, 79, 1783, 7681, ...	A236167
−46	7, 23, 59, 71, 107, 223, 331, 2207, 6841, 94841, ...	A235683
−45	103, 157, 37159, ...	A309412
−44	2*, 7, 41233, ...	A309411
−43	5, 7, 19, 251, 277, 383, 503, 3019, 4517, 9967, 29573, ...	A231865
−42	2*, 3, 709, 1637, 17911, 127609, 172663, ...	A231604
−41	17, 691, 113749, ...	A309410
−40	53, 67, 1217, 5867, 6143, 11681, 29959, ...	A229663
−39	3, 13, 149, 15377, ...	A230036
−38	2*, 5, 167, 1063, 1597, 2749, 3373, 13691, 83891, 131591, ...	A229524
−37	5, 7, 2707, 163193, ...	A309409
−36	31, 191, 257, 367, 3061, 110503, ...	A229145
−35	11, 13, 79, 127, 503, 617, 709, 857, 1499, 3823, 135623, ...	A185240
−34	3, 294277, ...
−33	5, 67, 157, 12211, ...	A185230
−32	2* (başka kimse)
−31	109, 461, 1061, 50777, ...	A126856
−30	2*, 139, 173, 547, 829, 2087, 2719, 3109, 10159, 56543, 80599, ...	A071382
−29	7, 112153, 151153, ...	A291906
−28	3, 19, 373, 419, 491, 1031, 83497, ...	A071381
−27	(Yok)
−26	11, 109, 227, 277, 347, 857, 2297, 9043, ...	A071380
−25	3, 7, 23, 29, 59, 1249, 1709, 1823, 1931, 3433, 8863, 43201, 78707, ...	A057191
−24	2*, 7, 11, 19, 2207, 2477, 4951, ...	A057190
−23	11, 13, 67, 109, 331, 587, 24071, 29881, 44053, ...	A057189
−22	3, 5, 13, 43, 79, 101, 107, 227, 353, 7393, 50287, ...	A057188
−21	3, 5, 7, 13, 37, 347, 17597, 59183, 80761, 210599, 394579, ...	A057187
−20	2*, 5, 79, 89, 709, 797, 1163, 6971, 140053, 177967, 393257, ...	A057186
−19	17, 37, 157, 163, 631, 7351, 26183, 30713, 41201, 77951, 476929, ...	A057185
−18	2*, 3, 7, 23, 73, 733, 941, 1097, 1933, 4651, 481147, ...	A057184
−17	7, 17, 23, 47, 967, 6653, 8297, 41221, 113621, 233689, 348259, ...	A057183
−16	3, 5, 7, 23, 37, 89, 149, 173, 251, 307, 317, 30197, 1025393, ...	A057182
−15	3, 7, 29, 1091, 2423, 54449, 67489, 551927, ...	A057181
−14	2*, 7, 53, 503, 1229, 22637, 1091401, ...	A057180
−13	3, 11, 17, 19, 919, 1151, 2791, 9323, 56333, 1199467, ...	A057179
−12	2*, 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, 495953, ...	A057178
−11	5, 7, 179, 229, 439, 557, 6113, 223999, 327001, ...	A057177
−10	5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, ...	A001562
−9	3, 59, 223, 547, 773, 1009, 1823, 3803, 49223, 193247, 703393, ...	A057175
−8	2* (başka kimse)
−7	3, 17, 23, 29, 47, 61, 1619, 18251, 106187, 201653, 1178033, ...	A057173
−6	2*, 3, 11, 31, 43, 47, 59, 107, 811, 2819, 4817, 9601, 33581, 38447, 41341, 131891, 196337, 1313371, ...	A057172
−5	5, 67, 101, 103, 229, 347, 4013, 23297, 30133, 177337, 193939, 266863, 277183, 335429, 1856147, ...	A057171
−4	2*, 3 (diğerleri yok)
−3	2*, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 281, 359, 487, 577, 1579, 1663, 1741, 3191, 9209, 11257, 12743, 13093, 17027, 26633, 104243, 134227, 152287, 700897, 1205459, ...	A007658
−2	3, 4*, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, ..., 13347311, 13372531, ...	A000978
2	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, ..., 57885161, ..., 74207281, ..., 77232917, ...	A000043
3	3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, 2215303, ...	A028491
4	2 (diğerleri yok)
5	3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, ...	A004061
6	2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, ...	A004062
7	5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ...	A004063
8	3 (diğerleri yok)
9	(Yok)
10	2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ...	A004023
11	17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, ...	A005808
12	2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ...	A004064
13	5, 7, 137, 283, 883, 991, 1021, 1193, 3671, 18743, 31751, 101089, ...	A016054
14	3, 7, 19, 31, 41, 2687, 19697, 59693, 67421, 441697, ...	A006032
15	3, 43, 73, 487, 2579, 8741, 37441, 89009, 505117, 639833, ...	A006033
16	2 (diğerleri yok)
17	3, 5, 7, 11, 47, 71, 419, 4799, 35149, 54919, 74509, ...	A006034
18	2, 25667, 28807, 142031, 157051, 180181, 414269, ...	A133857
19	19, 31, 47, 59, 61, 107, 337, 1061, 9511, 22051, 209359, ...	A006035
20	3, 11, 17, 1487, 31013, 48859, 61403, 472709, ...	A127995
21	3, 11, 17, 43, 271, 156217, 328129, ...	A127996
22	2, 5, 79, 101, 359, 857, 4463, 9029, 27823, ...	A127997
23	5, 3181, 61441, 91943, 121949, ...	A204940
24	3, 5, 19, 53, 71, 653, 661, 10343, 49307, 115597, 152783, ...	A127998
25	(Yok)
26	7, 43, 347, 12421, 12473, 26717, ...	A127999
27	3 (diğerleri yok)
28	2, 5, 17, 457, 1423, 115877, ...	A128000
29	5, 151, 3719, 49211, 77237, ...	A181979
30	2, 5, 11, 163, 569, 1789, 8447, 72871, 78857, 82883, ...	A098438
31	7, 17, 31, 5581, 9973, 101111, ...	A128002
32	(Yok)
33	3, 197, 3581, 6871, 183661, ...	A209120
34	13, 1493, 5851, 6379, 125101, ...	A185073
35	313, 1297, ...
36	2 (diğerleri yok)
37	13, 71, 181, 251, 463, 521, 7321, 36473, 48157, 87421, 168527, ...	A128003
38	3, 7, 401, 449, 109037, ...	A128004
39	349, 631, 4493, 16633, 36341, ...	A181987
40	2, 5, 7, 19, 23, 29, 541, 751, 1277, ...	A128005
41	3, 83, 269, 409, 1759, 11731, ...	A239637
42	2, 1319, ...
43	5, 13, 6277, 26777, 27299, 40031, 44773, ...	A240765
44	5, 31, 167, 100511, ...	A294722
45	19, 53, 167, 3319, 11257, 34351, ...	A242797
46	2, 7, 19, 67, 211, 433, 2437, 2719, 19531, ...	A243279
47	127, 18013, 39623, ...	A267375
48	19, 269, 349, 383, 1303, 15031, ...	A245237
49	(Yok)
50	3, 5, 127, 139, 347, 661, 2203, 6521, ...	A245442

^* Negatif taban ve hatta yeniden birleşmeler n negatiftir. Mutlak değerleri asal ise, yukarıya dahil edilirler ve bir yıldız işaretiyle işaretlenirler. İlgili OEIS dizilerine dahil edilmezler.

Daha fazla bilgi için bakınız.^{[7][8][9][10]}

Genelleştirilmiş yeniden birim sayılarının cebir çarpanlarına ayırma

Eğer b bir mükemmel güç (şu şekilde yazılabilir mⁿ, ile m, n tamsayılar, n > 1) 1'den farklıdır, o zaman tabanda en fazla bir repunit vardır.b. Eğer n bir asal güç (şu şekilde yazılabilir p^r, ile p önemli, r tamsayı p, r > 0), sonra tüm üs-b bir yana asal değil R_p ve R₂. R_p ya asal ya da bileşik olabilir, önceki örnekler, b = −216, −128, 4, 8, 16, 27, 36, 100, 128, 256, vb., Son örnekler, b = −243, −125, −64, −32, −27, −8, 9, 25, 32, 49, 81, 121, 125, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 289, vb., ve R₂ asal olabilir (ne zaman p 2'den farklıdır) sadece b negatiftir, 2 kuvvetidir, örneğin, b = −8, −32, −128, −8192, vb. Aslında, R₂ bileşik de olabilir, örneğin b = −512, −2048, −32768, vb. Eğer n asal bir güç değil, o zaman temel yok-b repunit prime var, örneğin, b = 64, 729 (ile n = 6), b = 1024 (ile n = 10) ve b = −1 veya 0 ( n herhangi bir doğal sayı). Bir başka özel durum ise b = −4k⁴, ile k pozitif tamsayı aurifeuillean çarpanlara ayırma, Örneğin, b = −4 (ile k = 1, sonra R₂ ve R₃ asaldır) ve b = −64, −324, −1024, −2500, −5184, ... (ile k = 2, 3, 4, 5, 6, ...), sonra baz yok-b repunit prime var. Ayrıca ne zaman b ne mükemmel bir güç ne de −4k⁴ ile k pozitif tamsayı, o zaman sonsuz birçok taban vardır.b yeniden birleştirme asalları.

Genelleştirilmiş yeniden birleşme varsayımı

Genelleştirilmiş yeniden birleşme asallarıyla ilgili bir varsayım:^[11][12] (varsayım, bir sonraki genelleştirilmiş Mersenne asalının nerede olduğunu öngörür, eğer varsayım doğruysa, o zaman tüm üsler için sonsuz sayıda yeniden birleştirme asalı vardır. ${ displaystyle b}$)

Herhangi bir tam sayı için ${ displaystyle b}$, koşulları karşılayan:

1. ${ displaystyle | b |> 1}$.
2. ${ displaystyle b}$ değil mükemmel güç. (ne zamandan beri ${ displaystyle b}$ mükemmel ${ displaystyle r}$güç, en fazla bir tane olduğu gösterilebilir. ${ displaystyle n}$ böyle değer ${ displaystyle { frac {b ^ {n} -1} {b-1}}}$ asal ve bu ${ displaystyle n}$ değer şudur ${ displaystyle r}$ kendisi veya bir kök nın-nin ${ displaystyle r}$)
3. ${ displaystyle b}$ formda değil ${ displaystyle -4k ^ {4}}$. (eğer öyleyse, sayı aurifeuillean çarpanlara ayırma )

formun yeniden birleştirme asallarını genelleştirdi

${ displaystyle R_ {p} (b) = { frac {b ^ {p} -1} {b-1}}}$

asal için ${ displaystyle p}$, asal sayılar en uygun çizginin yakınında dağıtılacaktır

${ displaystyle Y = G cdot log _ {| b |} sol ( log _ {| b |} sol (R _ {(b)} (n) sağ) sağ) + C,}$

sınır nerede ${ displaystyle n rightarrow infty}$, ${ displaystyle G = { frac {1} {e ^ { gamma}}} = 0,561459483566 ...}$

ve hakkında

${ displaystyle sol ( log _ {e} (N) + m cdot log _ {e} (2) cdot log _ {e} { büyük (} log _ {e} (N) { büyük)} + { frac {1} { sqrt {N}}} - delta right) cdot { frac {e ^ { gamma}} { log _ {e} (| b | )}}}$

tabanb yeniden birleştirme asal sayıları N.

• ${ displaystyle e}$ ... doğal logaritma tabanı.
• ${ displaystyle gamma}$ dır-dir Euler – Mascheroni sabiti.
• ${ displaystyle log _ {| b |}}$ ... logaritma içinde temel ${ displaystyle | b |}$
• ${ displaystyle R _ {(b)} (n)}$ ... ${ displaystyle n}$tabanda genelleştirilmiş yeniden birim asalb (asal p)
• ${ displaystyle C}$ ile değişen bir veri uydurma sabitidir ${ displaystyle b}$.
• ${ displaystyle delta = 1}$ Eğer ${ displaystyle b> 0}$, ${ displaystyle delta = 1,6}$ Eğer ${ displaystyle b <0}$.
• ${ displaystyle m}$ en büyük doğal sayıdır öyle ki ${ displaystyle -b}$ bir ${ displaystyle 2 ^ {m-1}}$inci güç.

Ayrıca aşağıdaki 3 mülkümüz var:

1. Formun asal sayılarının sayısı ${ displaystyle { frac {b ^ {n} -1} {b-1}}}$ (asal ${ displaystyle p}$) küçüktür veya eşittir ${ displaystyle n}$ hakkında ${ displaystyle e ^ { gamma} cdot log _ {| b |} { büyük (} log _ {| b |} (n) { büyük)}}$.
2. Formun beklenen asal sayı sayısı ${ displaystyle { frac {b ^ {n} -1} {b-1}}}$ asal ${ displaystyle p}$ arasında ${ displaystyle n}$ ve ${ displaystyle | b | cdot n}$ hakkında ${ displaystyle e ^ { gamma}}$.
3. Formun sayısının olasılığı ${ displaystyle { frac {b ^ {n} -1} {b-1}}}$ asaldır (asal ${ displaystyle p}$) hakkında ${ displaystyle { frac {e ^ { gamma}} {p cdot log _ {e} (| b |)}}}$.

Tarih

Daha sonra bu adla bilinmemelerine rağmen, 10 tabanındaki yeniden birimler, on dokuzuncu yüzyılda birçok matematikçi tarafından, döngüsel kalıplarını hesaplama ve tahmin etme çabasıyla incelendi. tekrar eden ondalık sayılar.^[13]

Herhangi bir asal için çok erken bulundu p 5'ten büyükse dönem 1 / ondalık açılımınınp ile bölünebilen en küçük repunit sayısının uzunluğuna eşittir p. 60.000'e kadar olan karşılıklı asal dönem tabloları 1860'a kadar yayımlanmış ve çarpanlara ayırma Reuschle gibi matematikçiler tarafından tüm yeniden birimlerin R₁₆ ve daha büyük olanlar. 1880'de, hatta R₁₇ -e R₃₆ faktörlü^[13] ve merak ediyor ki Édouard Lucas üç milyonun altında bir asal dönem olmadığını gösterdi on dokuz yirminci yüzyılın başlarına kadar asallık için herhangi bir geri dönüşü test etme girişiminde bulunulmadı. Amerikalı matematikçi Oscar Hoppe kanıtladı R₁₉ 1916'da asal olmak^[14] ve Lehmer ve Kraitchik bağımsız olarak bulundu R₂₃ 1929'da asal olmak.

Geri birim çalışmalarında daha fazla ilerleme, bilgisayarların birçok yeni yeniden birim faktörünün bulunmasına izin verdiği ve daha önceki prime dönem tablolarındaki boşlukların düzeltildiği 1960'lara kadar gerçekleşmedi. R₃₁₇ olarak bulundu muhtemel asal 1966 dolaylarında ve on bir yıl sonra asal olduğu kanıtlandı. R₁₀₃₁ on binden daha az rakamla olası tek birincil yeniden birleşme olduğu gösterildi. 1986'da asal olduğu kanıtlandı, ancak sonraki on yılda daha fazla birincil yeniden birleşme arayışları tutarlı bir şekilde başarısız oldu. Bununla birlikte, genelleştirilmiş yeniden birimler alanında çok sayıda yeni asal ve olası asal sayı üreten büyük bir yan gelişme vardı.

1999'dan bu yana, muhtemelen dört ana yeniden birlikler daha bulundu, ancak bunların herhangi birinin büyük boyutları nedeniyle öngörülebilir gelecekte asal olduğu kanıtlanamayacak.

Cunningham projesi yeniden birimlerin (diğer sayıların yanı sıra) 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 ve 12 tabanlarına tam sayı çarpanlarına ayırmalarını belgelemeye çalışır.

Demlo numaraları

D. R. Kaprekar Demlo numaralarını, sol ve sağ kısımların aynı uzunlukta (sola doğru olası bir sıfıra kadar) olması gereken ve bir repdigit numarasına kadar eklemesi gereken bir sol, orta ve sağ kısımların birleşimi olarak tanımlamıştır. bölüm bu tekrarlanan rakamın herhangi bir ek numarasını içerebilir.^[15] Adını alırlar Demlo tren istasyonu Bombay'dan 30 mil uzakta G.I.P. Demiryolu Kaprekar'ın onları araştırmaya başladığı yer. Harika Demlo numaraları 1, 121, 12321, 1234321, ..., 12345678987654321 biçimindekiler. Bunların yeniden birimlerin kareleri olması, bazı yazarların Demlo sayılarını bunların sonsuz dizisi olarak adlandırmasına neden olmuştur.^[16], 1, 121, 12321, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ..., (sıra A002477 içinde OEIS ), ancak bunların Demlo numaraları olmadığı kontrol edilebilir. p = 10, 19, 28, ...

Ayrıca bakınız

• Hepsi bir polinom - Başka bir genelleme
• Goormaghtigh varsayımı
• Yinelenen ondalık
• Repdigit
• Wagstaff prime - yeniden birleştirme asalları olarak düşünülebilir negatif taban ${ displaystyle b = -2}$

Dipnotlar

Notlar

Referanslar

Referanslar

• Beiler, Albert H. (2013) [1964], Sayılar Teorisinde Rekreasyonlar: Matematik Kraliçesi Eğlendirir, Dover Recreational Math (2. Revize Edilmiş), New York: Dover Publications, ISBN  978-0-486-21096-4
• Dickson, Leonard Eugene; Cresse, G.H. (1999-04-24), Sayılar Teorisinin Tarihi, AMS Chelsea Publishing, Cilt I (2. Yeniden Basım), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN  978-0-8218-1934-0
• Francis, Richard L. (1988), "Matematiksel Tınazlar: Yeniden Birleştirme Sayılarına Başka Bir Bakış", Kolej Matematik Dergisi, 19 (3): 240–246
• Günjikar, K. R.; Kaprekar, D. R. (1939), "Demlo sayılarının teorisi" (PDF), Bombay Üniversitesi Dergisi, VIII (3): 3–9
• Kaprekar, D. R. (1938), "Harika Demlo sayılarında", Matematik Öğrencisi, 6: 68
• Kaprekar, D. R. (1938), "Demlo numaraları", J. Phys. Sci. Üniv. Bombay, VII (3)
• Kaprekar, D. R. (1948), Demlo numaraları, Devlali, Hindistan: Khareswada
• Ribenboim, Paulo (1996-02-02), Yeni Asal Sayı Kayıtları Kitabı, Computers and Medicine (3. baskı), New York: Springer, ISBN  978-0-387-94457-9
• Yates, Samuel (1982), Tekrarlar ve tekrarlar, FL: Delray Plajı, ISBN  978-0-9608652-0-8

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Yeniden Birleştirme". MathWorld.
• Ana tablolar of Cunningham projesi.
• Yeniden Birleştirme -de Ana Sayfalar Chris Caldwell tarafından.
• Yeniden birlikler ve ana faktörleri -de World! Of Numbers.
• Birincil genelleştirilmiş yeniden birimler Andy Steward tarafından en az 1000 ondalık basamak
• Repunit Primes Projesi Giovanni Di Maria'nın repunit primes sayfası.
• (B ^ p-1) / (b-1) ve (b ^ p + 1) / (b + 1) 2 <= b <= 1024 için asal olacak şekilde en küçük tek asal p
• Yeniden birim numaralarının ayrıştırılması
• -50'den 50'ye kadar tabanda genelleştirilmiş yeniden birim asalları