Mutlu numara - Happy number

İçinde sayı teorisi, bir mutlu numara her basamağın karelerinin toplamı ile değiştirildiğinde sonunda 1'e ulaşan bir sayıdır. Örneğin, 13 mutlu bir sayıdır çünkü ${ displaystyle 1 ^ {2} + 3 ^ {2} = 10}$ ve ${ displaystyle 1 ^ {2} + 0 ^ {2} = 1}$. Öte yandan, 4 mutlu bir sayı değildir çünkü dizi ile başlayan ${ displaystyle 4 ^ {2} = 16}$ ve ${ displaystyle 1 ^ {2} + 6 ^ {2} = 37}$ sonunda ulaşır ${ displaystyle 2 ^ {2} + 0 ^ {2} = 4}$, diziyi başlatan sayıdır ve böylece süreç 1'e ulaşmadan sonsuz bir döngüde devam eder. Mutlu olmayan bir sayı denir üzgün veya mutsuz.

Daha genel olarak, bir ${ displaystyle b}$-mutlu numara bir doğal sayı verilen sayı tabanı ${ displaystyle b}$ üzerinde yinelendiğinde sonunda 1'e ulaşan mükemmel dijital değişmez fonksiyon için ${ displaystyle p = 2}$.^[1]

Mutlu sayıların kökeni net değil. Mutlu numaralar dikkatine sunuldu Reg Allenby (İngiliz yazar ve kıdemli öğretim görevlisi saf matematik -de Leeds Üniversitesi ) onları okulda öğrenen kızı tarafından. Ancak, "Rusya'da ortaya çıkmış olabilirler" (Guy 2004: §E34).

Mutlu sayılar ve mükemmel dijital değişmezler

Resmen izin ver ${ displaystyle n}$ doğal bir sayı olabilir. Verilen mükemmel dijital değişmez fonksiyon

${ displaystyle F_ {p, b} (n) = toplam _ {i = 0} ^ { lfloor log _ {b} {n} rfloor} { sol ({ frac {n { bmod { b ^ {i + 1}}} - n { bmod {b ^ {i}}}} {b ^ {i}}} sağ)} ^ {p}}$.

baz için ${ displaystyle b> 1}$, bir sayı ${ displaystyle n}$ dır-dir ${ displaystyle b}$-varsa mutlu ${ displaystyle j}$ öyle ki ${ displaystyle F_ {2, b} ^ {j} (n) = 1}$, nerede ${ displaystyle F_ {2, b} ^ {j}}$ temsil etmek ${ displaystyle j}$-nci yineleme nın-nin ${ displaystyle F_ {2, b}}$, ve ${ displaystyle b}$Aksi takdirde mutsuz. Bir sayı bir önemsiz mükemmel dijital değişmez nın-nin ${ displaystyle F_ {2, b}}$, sonra öyle ${ displaystyle b}$-mutsuz.

Örneğin 19, 10-mutludur

${ displaystyle F_ {2,10} (19) = 1 ^ {2} + 9 ^ {2} = 82}$

${ displaystyle F_ {2,10} ^ {2} (19) = F_ {2,10} (82) = 8 ^ {2} + 2 ^ {2} = 68}$

${ displaystyle F_ {2,10} ^ {3} (19) = F_ {2,10} (68) = 6 ^ {2} + 8 ^ {2} = 100}$

${ displaystyle F_ {2,10} ^ {4} (19) = F_ {2,10} (100) = 1 ^ {2} + 0 ^ {2} + 0 ^ {2} = 1}$

Örneğin, 347 6-mutludur

${ displaystyle F_ {2,6} (347) = F_ {2,6} (1335_ {6}) = 1 ^ {2} + 3 ^ {2} + 3 ^ {2} + 5 ^ {2} = 44}$

${ displaystyle F_ {2,6} ^ {2} (347) = F_ {2,6} (44) = F_ {2,6} (112_ {6}) = 1 ^ {2} + 1 ^ {2 } + 2 ^ {2} = 6}$

${ displaystyle F_ {2,6} ^ {3} (347) = F_ {2,6} (6) = F_ {2,6} (10_ {6}) = 1 ^ {2} + 0 ^ {2 } = 1}$

Sonsuz sayıda vardır ${ displaystyle b}$- 1 a olduğu için mutlu sayılar ${ displaystyle b}$mutlu numara ve her biri için ${ displaystyle n}$, ${ displaystyle b ^ {n}}$ (${ displaystyle 10 ^ {n}}$ üssünde ${ displaystyle b}$) dır-dir ${ displaystyle b}$toplamı 1 olduğundan mutlu. mutluluk Bir sayı, çapraz toplama katkıda bulunmadığından, isteğe bağlı olarak sıfırlar eklenerek veya kaldırılarak korunur.

Doğal yoğunluk ${ displaystyle b}$mutlu numaralar

İlk milyon kadar 10 mutlu sayının incelendiğinde, onların bir doğal yoğunluk 0.15 civarında. Belki de şaşırtıcı bir şekilde, 10 mutlu sayıların asimptotik bir yoğunluğu yoktur. Mutlu sayıların üst yoğunluğu 0.18577'den büyük ve düşük yoğunluk 0.1138'den az.^[2]

Mutlu üsler

Matematikte çözülmemiş problem: Are temel 2 ve temel 4 mutlu olan tek üsler? (matematikte daha fazla çözülmemiş problem)

Mutlu bir temel sayı tabanıdır ${ displaystyle b}$ her numara nerede ${ displaystyle b}$-mutlu. Şundan az tek mutlu temel 5×10⁸ vardır temel 2 ve temel 4.^[3]

Özel ${ displaystyle b}$mutlu numaralar

4 mutlu sayılar

İçin ${ displaystyle b = 4}$için tek pozitif mükemmel dijital değişmez ${ displaystyle F_ {2, b}}$ önemsiz mükemmel dijital değişmezdir 1 ve başka döngü yoktur. Çünkü tüm sayılar preperiyodik noktalar için ${ displaystyle F_ {2, b}}$, tüm sayılar 1'e çıkar ve mutludur. Sonuç olarak, temel 4 mutlu bir üs.

6 mutlu sayılar

İçin ${ displaystyle b = 6}$için tek pozitif mükemmel dijital değişmez ${ displaystyle F_ {2, b}}$ önemsiz mükemmel dijital değişmez 1 ve tek döngü sekiz sayı döngüdür

5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5 → ...

ve çünkü tüm sayılar için preperiodik noktalar ${ displaystyle F_ {2, b}}$, tüm sayılar ya 1'e çıkar ve mutludur ya da döngüye götürür ve mutsuzdur. Taban 6'nın 1 dışında başka mükemmel dijital değişmezleri olmadığından, 1'den başka hiçbir pozitif tam sayı, kendi rakamlarının karelerinin toplamı değildir.

10 tabanında, 1296 = 6'ya kadar 74 6-mutlu sayı⁴ şunlardır:

1, 6, 36, 44, 49, 79, 100, 160, 170, 216, 224, 229, 254, 264, 275, 285, 289, 294, 335, 347, 355, 357, 388, 405, 415, 417, 439, 460, 469, 474, 533, 538, 580, 593, 600, 608, 628, 638, 647, 695, 707, 715, 717, 767, 777, 787, 835, 837, 847, 880, 890, 928, 940, 953, 960, 968, 1010, 1018, 1020, 1033, 1058, 1125, 1135, 1137, 1168, 1178, 1187, 1195, 1197, 1207, 1238, 1277, 1292, 1295

10 mutlu sayı

İçin ${ displaystyle b = 10}$için tek pozitif mükemmel dijital değişmez ${ displaystyle F_ {2, b}}$ önemsiz mükemmel dijital değişmez 1 ve tek döngü sekiz sayı döngüdür

4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → ...

ve çünkü tüm sayılar için preperiodik noktalar ${ displaystyle F_ {2, b}}$, tüm sayılar ya 1'e çıkar ve mutludur ya da döngüye götürür ve mutsuzdur. 10 tabanının 1 dışında başka mükemmel dijital değişmezleri olmadığından, 1'den başka hiçbir pozitif tam sayı, kendi rakamlarının karelerinin toplamı değildir.

10 tabanında, 1000'e kadar olan 143 10 mutlu sayı şunlardır:

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496, 536, 556, 563, 565, 566, 608, 617, 622, 623, 632, 635, 637, 638, 644, 649, 653, 655, 656, 665, 671, 673, 680, 683, 694, 700, 709, 716, 736, 739, 748, 761, 763, 784, 790, 793, 802, 806, 818, 820, 833, 836, 847, 860, 863, 874, 881, 888, 899, 901, 904, 907, 910, 912, 913, 921, 923, 931, 932, 937, 940, 946, 964, 970, 973, 989, 998, 1000 (sıra A007770 içinde OEIS ).

1000'in altındaki 10 mutlu sayı oluşturan farklı basamak kombinasyonları şunlardır (geri kalanlar yalnızca yeniden düzenlemeler ve / veya sıfır basamak eklemeleridir):

1, 7, 13, 19, 23, 28, 44, 49, 68, 79, 129, 133, 139, 167, 188, 226, 236, 239, 338, 356, 367, 368, 379, 446, 469, 478, 556, 566, 888, 899. (sıra A124095 içinde OEIS ).

İlk ardışık 10 mutlu sayı çifti 31 ve 32'dir.^[4] Üç ardışık ilk set 1880, 1881 ve 1882'dir.^[5] Herhangi bir doğal sayı uzunluğunda ardışık mutlu sayı dizilerinin var olduğu kanıtlanmıştır.^[6] En azından ilk çalıştırmanın başlangıcı n ardışık 10 mutlu sayılar n = 1, 2, 3, ...^[7]

1, 31, 1880, 7839, 44488, 7899999999999959999999996, 7899999999999959999999996, ...

Robert Styer'in bu seriyi hesaplayan makalesinde belirttiği gibi: "Şaşırtıcı bir şekilde, ardışık altı mutlu sayının en küçük dizisinden başlayan aynı N değeri, aynı zamanda en az yedi ardışık mutlu sayının dizisini de başlatır."^[8]

10'a kadar 10'lu mutlu sayıların sayısıⁿ 1 ≤ içinn ≤ 20^[9]

3, 20, 143, 1442, 14377, 143071, 1418854, 14255667, 145674808, 1492609148, 15091199357, 149121303586, 1443278000870, 13770853279685, 130660965862333, 1245219117260664, 12024696404768025, 118226055080025491, 1183229962059381238, 12005034444292997294.

Mutlu asal

Bir ${ displaystyle b}$-happy asal, her ikisi de olan bir sayıdır ${ displaystyle b}$-mutlu ve önemli. Mutlu sayılardan farklı olarak, bir sayıların rakamlarını yeniden düzenlemek ${ displaystyle b}$-mutlu asal mutlaka başka bir mutlu asal yaratmayacaktır. Örneğin, 19, 10 mutlu bir asal iken, 91 = 13 × 7 asal değildir (ama yine de 10-mutludur).

Tüm asal sayılar 2-mutlu ve 4-mutlu asallardır. temel 2 ve temel 4 mutlu üsler.

6 mutlu asal

İçinde taban 6 1296 = 6'nın altındaki 6 mutlu asal⁴ vardır

211, 1021, 1335, 2011, 2425, 2555, 3351, 4225, 4441, 5255, 5525

10 mutlu asal

İçinde 10 taban 500'ün altındaki 10 mutlu asal

7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487 (sıra A035497 içinde OEIS ).

palindromik asal 10¹⁵⁰⁰⁰⁶ + 7426247×10⁷⁵⁰⁰⁰ + 1 10 mutlu asal 150007 rakamlar, çünkü çok sayıda 0, kare rakamların toplamına katkıda bulunmaz ve 1² + 7² + 4² + 2² + 6² + 2² + 4² + 7² + 1² = 176, bu 10 mutlu bir sayıdır. Paul Jobling, asal sayıları 2005 yılında keşfetti.^[10]

2010 itibariyle^{[Güncelleme]}, bilinen en büyük 10 mutlu asal 2'dir^42643801 - 1 (bir Mersenne asal ).^{[şüpheli – tartışmak]} Ondalık açılımı 12837064 rakamlar.^[11]

12 mutlu asal

İlginçtir ki 12 taban 10000'den az 12 mutlu asal yoktur, ilk 12 mutlu asal

11031, 1233E, 13011, 1332E, 16377, 17367, 17637, 22E8E, 2331E, 233E1, 23955, 25935, 25X8E, 28X5E, 28XE5, 2X8E5, 2E82E, 2E8X5, 31011, 31101, 3123E, 3132E, 31677 35567, 35765, 35925, 36557, 37167, 37671, 39525, 4878E, 4X7X7, 53567, 55367, 55637, 56357, 57635, 58XX5, 5X82E, 5XX85, 606EE, 63575, 63771, 66E0E, 67335, 67371, 67517, 67371 71367, 71637, 73167, 76137, 7XX47, 82XE5, 82EX5, 8487E, 848E7, ​​84E87, 8874E, 8X1X7, 8X25E, 8X2E5, 8X5X5, 8XX17, 8XX3571, 8E2X5, 8E847, 92355, 93255, 8E847, 92355, 93255 X285E, X2E85, X85X5, X8X17, XX477, XX585, E228E, E606E, E822E, EX825, ...

Programlama örneği

Aşağıdaki örnekler, aşağıdakiler için mükemmel dijital değişmez işlevi uygular: ${ displaystyle p = 2}$ ve varsayılan bir üs ${ displaystyle b = 10}$ bu makalenin başında verilen mutluluk tanımında defalarca anlatılan; her seferinde, her iki durma koşulunu da kontrol ederler: 1'e ulaşma ve bir sayıyı tekrarlamak.

Basit bir test Python bir numaranın mutlu olup olmadığını kontrol etmek için:

def pdi_function(numara, temel: int = 10):    "" "Mükemmel dijital değişmez fonksiyon." ""    Toplam = 0    süre numara > 0:        Toplam = Toplam + pow(numara % temel, 2)        numara = numara // temel    dönüş Toplamdef mutlu(numara: int) -> bool:    "" "Belirtilen sayının mutlu sayı olup olmadığını belirleyin." ""    görülen_sayılar = []    süre numara > 1 ve numara değil içinde görülen_sayılar:        görülen_sayılar.eklemek(numara)        numara = pdi_function(numara)    dönüş numara == 1

Ayrıca bakınız

• Aritmetik dinamik
• Şanslı numara
• Harshad numarası
• Şanslı numara
• Mükemmel dijital değişmez

Referanslar

Edebiyat

• Guy, Richard (2004). Sayı Teorisinde Çözülmemiş Problemler (3. baskı). Springer-Verlag. ISBN  0-387-20860-7.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı)

Dış bağlantılar

• Schneider, Walter: Mathews: Mutlu Sayılar.
• Weisstein, Eric W. "Mutlu Numara". MathWorld.
• bir sayının mutlu olup olmadığını hesapla
• Mutlu Sayılar Matematik Forumunda.
• 145 ve Melankoil Numberphile'da.
• Symonds, Ria. "7 ve Mutlu Sayılar". Numberphile. Brady Haran. Arşivlenen orijinal 15 Ocak 2018. Alındı 2 Nisan 2013.