Schröder – Hipparchus numarası - Schröder–Hipparchus number

Bir beşgenin on bir alt bölümü

İçinde kombinatorik, Schröder – Hipparchus sayıları erkek için tamsayı dizisi sayısını saymak için kullanılabilir Çınar ağacı belirli bir yaprak kümesiyle, bir diziye parantez ekleme yollarının sayısı ve bir dışbükey çokgeni köşegenler ekleyerek daha küçük çokgenlere ayırmanın yollarının sayısı. Bu numaralar başlıyor

1, 1, 3, 11, 45, 197, 903, 4279, 20793, 103049, ... (sıra A001003 içinde OEIS ).

Ayrıca süper Katalan sayılar, küçük Schröder sayıları, ya da Hipparchus numaraları, sonra Eugène Charles Katalanca ve onun Katalan numaraları, Ernst Schröder ve yakından ilgili Schröder numaraları ve eski Yunan matematikçi Hipparchus Kanıttan görünen Plutarch bu sayıları bilmek.

Kombinatoryal numaralandırma uygulamaları

Bir çokgenin, çınar ağaçlarının ve parantezlerin alt bölümleri arasındaki kombinatoryal eşdeğerlik

Schröder-Hipparchus sayıları, birbiriyle yakından ilişkili birkaç kombinatoryal nesneyi saymak için kullanılabilir:[1][2][3][4]

  • nSıradaki sayı, bir çokgeni ile alt bölümlere ayırmanın farklı yollarının sayısını sayar. n Orijinal çokgenin köşegenlerini ekleyerek + 1 kenarları daha küçük çokgenlere dönüştürün.
  • nnumara farklı sayıları sayar Çınar ağacı ile n yapraklar ve iki veya daha fazla çocuğu olan tüm iç köşeler.
  • n. sayı, bir diziye parantez eklemenin farklı yollarının sayısını sayar. n + 1 sembol, her bir çift parantez iki veya daha fazla sembolü veya parantezli grubu çevreliyor ve tüm diziyi çevreleyen parantezler olmadan.
  • nnumara, bir nesnenin tüm boyutlarının yüzlerinin sayısını sayar. yüzlü Kn + 1 boyut n - 1, bir yüz olarak ilişkiliahedronun kendisi dahil, ancak boş set dahil değil. Örneğin, iki boyutlu birleşik yüzlü K4 bir Pentagon; toplam 11 yüz için beş köşesi, beş yüzü ve bir tam yüzlü vardır.

Şekilde görüldüğü gibi, bu nesneler arasında basit bir kombinatoryal eşdeğerlik vardır: bir çokgen altbölümünün bir şekli olarak bir çınar ağacı vardır ikili grafik ağacın yaprakları parantezli bir dizideki sembollere karşılık gelir ve ağacın kök dışındaki iç düğümleri parantezli gruplara karşılık gelir. Parantez içindeki dizinin kendisi, sembolleri çokgenin kenarlarında ve seçilen köşegenlerin uç noktalarında parantezlerle çokgenin çevresi etrafına yazılabilir. Bu eşdeğerlik bir önyargılı kanıt tüm bu tür nesnelerin tek bir tamsayı dizisi ile sayıldığını.[2]

Aynı sayılar aynı zamanda çift ​​permütasyonlar (1'den 1'e kadar olan sayı dizileri n, her numara iki kez görünür ve her sayının ilk geçtiği sırayla sıralı bir şekilde) permütasyon kalıpları 12312 ve 121323.[5]

İlgili diziler

Yakından ilgili büyük Schröder sayıları Schröder-Hipparchus sayılarının iki katına eşittir ve aynı zamanda belirli kafes yolları, bir dikdörtgenin yinelemeli dilimleme ile daha küçük dikdörtgenlere bölünmesi ve içinde bir çift parantez bulunan parantezler dahil olmak üzere çeşitli kombinatoryal nesneleri saymak için de kullanılabilir. tüm öğe sırasına da izin verilir. Katalan numaraları ayrıca, bir çokgenin üçgenler halinde alt bölümleri, tüm iç düğümlerin tam olarak iki çocuğu olduğu çınar ağaçları ve her bir parantez çiftinin tam olarak iki sembol veya parantezli grubu çevrelediği parantezler dahil olmak üzere yakından ilişkili nesne kümelerini sayın.[3]

Katalan sayılarının dizisi ve sonsuz boyutlu olarak görülen Schröder-Hipparchus sayılarının dizisi vektörler benzersiz özvektörler sayı dizileri üzerinde doğal olarak tanımlanmış doğrusal operatörler dizisindeki ilk ikisi için.[6][7] Daha genel olarak, kBu tamsayı dizileri dizisindeki. dizi (x1, x2, x3, ...) sayıların xn toplamı olarak hesaplanır Narayana numaraları ile çarpılırk. Bu şu şekilde ifade edilebilir: hipergeometrik fonksiyon:

İkame k Bu formüle = 1 Katalan sayılarını verir ve k = 2 bu formüle Schröder – Hipparchus sayılarını verir.[7]

Schröder-Hipparchus'un özelliği ile bağlantılı olarak, bir ilişkili yüz yüzlünün sayma yüzlerinin sayıları, birleşik yüz yüzünün köşelerinin sayısı Katalan sayıları ile verilir. İçin karşılık gelen numaralar permutohedron sırasıyla sıralı zil numaraları ve faktöriyeller.

Tekrarlama

Yukarıdaki toplama formülünün yanı sıra, Schröder-Hipparchus sayıları bir Tekrarlama ilişkisi:

Stanley bu gerçeği kullanarak fonksiyonlar üretmek[8] Foata ve Zeilberger ise doğrudan bir kombinatoryal kanıt sağlar.[9]

Tarih

Plutarch's diyalog Sofra sohbeti şu satırı içerir:

Chrysippus, yalnızca on basit önermeden yapılabilecek bileşik önermelerin sayısının bir milyonu aştığını söylüyor. (Hipparchus, kuşkusuz, olumlu tarafta 103.049 birleşik ifadeler olduğunu ve olumsuz tarafta 310.952 olduğunu göstererek bunu reddetti.)[8]

Bu ifade, 1994'te yüksek lisans öğrencisi olan David Hough'a kadar açıklanamadı. George Washington Üniversitesi, on maddelik bir diziye parantez eklemenin 103049 yolu olduğu görülmüştür.[1][8][10] Matematik tarihçisi Fabio Acerbi (CNRS ) diğer sayı için de benzer bir açıklamanın yapılabileceğini göstermiştir: onuncu ve on birinci Schröder-Hipparchus sayılarının ortalamasına çok yakındır, 310954 ve on terimin parantezlerini negatif bir parçacıkla birlikte sayar.[10]

Parantezleri sayma sorunu, modern matematiğe, Schröder (1870).[11]

Plutarch'ın Hipparchus'un iki sayısını anlatması, Hipparchus ile daha önceki Stoacı filozof arasındaki bir anlaşmazlığı kaydeder. Chrysippus, 10 basit önermeden yapılabilecek bileşik önermelerin sayısının bir milyonu geçtiğini iddia etmişti. Çağdaş filozof Susanne Bobzien  (2011 ), Chrysippus'un hesaplamasının doğru hesap olduğunu, analizine dayanarak Stoacı mantık. Bobzien, hem Chrysippus hem de Hipparchus'un hesaplamalarını yeniden yapılandırıyor ve Hipparchus'un matematiğini nasıl doğru yaptığını, ancak Stoacı mantığının yanlış olduğunu göstermenin, Stoacı bağlaçlar ve savunulabilir kavramlarına yeni bir ışık tutabileceğini söylüyor.[12]

Referanslar

  1. ^ a b Stanley, Richard P. (1997, 1999), Numaralandırmalı Kombinatorik, Cambridge University Press. Egzersiz 1.45, cilt. Ben, s. 51; vol. II, s. 176–178 ve s. 213.
  2. ^ a b Shapiro, Louis W.; Sulanke, Robert A. (2000), "Schröder sayıları için Bijections", Matematik Dergisi, 73 (5): 369–376, doi:10.2307/2690814, BAY  1805263.
  3. ^ a b Etherington, I.M.H. (1940), "İlişkisel olmayan kombinasyonların bazı sorunları (I)", Edinburgh Matematik Notları, 32: 1–6, doi:10.1017 / S0950184300002639.
  4. ^ Holtkamp, ​​Ralf (2006), "Serbest operadlar üzerinden Hopf cebir yapıları üzerine", Matematikteki Gelişmeler, 207 (2): 544–565, arXiv:matematik / 0407074, doi:10.1016 / j.aim.2005.12.004, BAY  2271016.
  5. ^ Chen, William Y. C .; Mansour, Toufik; Yan, Sherry H.F. (2006), "Kısmi kalıplardan kaçınan eşleşmeler", Elektronik Kombinatorik Dergisi, 13 (1): Araştırma Makalesi 112, 17 s. (Elektronik), BAY  2274327.
  6. ^ Bernstein, M .; Sloane, N.J.A. (1995), "Bazı kanonik tam sayı dizileri", Doğrusal Cebir ve Uygulamaları, 226/228: 57–72, arXiv:matematik / 0205301, doi:10.1016/0024-3795(94)00245-9, BAY  1344554.
  7. ^ a b Coker, Curtis (2004), "Özdeyişler ailesi", Ayrık Matematik, 282 (1–3): 249–250, doi:10.1016 / j.disc.2003.12.008, BAY  2059525.
  8. ^ a b c Stanley, Richard P. (1997), "Hipparchus, Plutarch, Schröder ve Hough" (PDF), American Mathematical Monthly, 104 (4): 344–350, doi:10.2307/2974582, BAY  1450667.
  9. ^ Foata, Dominique; Zeilberger, Doron (1997), "Çok klasik bir sekans için bir yinelemenin klasik bir kanıtı", Kombinatoryal Teori Dergisi, Seri A, 80 (2): 380–384, arXiv:math / 9805015, doi:10.1006 / jcta.1997.2814, BAY  1485153.
  10. ^ a b Acerbi, F. (2003), "Hipparchus'un omuzlarında: Antik Yunan kombinatoriklerinin yeniden değerlendirilmesi" (PDF), Tam Bilimler Tarihi Arşivi, 57: 465–502, doi:10.1007 / s00407-003-0067-0, dan arşivlendi orijinal (PDF) 2011-07-21 tarihinde.
  11. ^ Schröder, Ernst (1870), "Vier kombinatorische Probleme", Zeitschrift für Mathematik ve Physik, 15: 361–376.
  12. ^ Bobzien, Susanne (Yaz 2011), "Stoik Birleşimin Kombinatorikleri: Hipparchus yalanladı, Chrysippus doğruladı" (PDF), Antik Felsefede Oxford Çalışmaları, XL: 157–188.

Dış bağlantılar