Kare üçgen sayı - Square triangular number

Üçgen sayı ve kare sayı olarak gösterilen kare üçgen sayı 36.

İçinde matematik, bir kare üçgen sayı (veya üçgen kare sayı) hem a olan bir sayıdır üçgen sayı ve bir mükemmel kare. Var sonsuz sayıda kare üçgen sayılar; ilk birkaç tanesi:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 (sıra A001110 içinde OEIS )

Açık formüller

Yazmak $N k$ için $k$ inci kare üçgen sayı ve yazın $s k$ ve $t k$ karşılık gelen kare ve üçgenin kenarları için, böylece

{ displaystyle N_ {k} = s_ {k} ^ {2} = { frac {t_ {k} (t_ {k} +1)} {2}}.}

Tanımla üçgen kök üçgen bir sayının $N = n (n + 1) / 2$ olmak $n$ . Bu tanımdan ve ikinci dereceden formülden,

{ displaystyle n = { frac {{ sqrt {8N + 1}} - 1} {2}}.}

Bu nedenle, $N$ üçgen ( $n$ tam sayıdır) ancak ve ancak $8 N + 1$ kare. Sonuç olarak, bir kare sayı $M 2$ aynı zamanda üçgendir, ancak ve ancak $8 M 2 + 1$ kare, yani sayılar var $x$ ve $y$ öyle ki $x 2 - 8 y 2 = 1$ . Bu bir örneğidir Pell denklemi ile $n = 8$ . Tüm Pell denklemlerinin önemsiz çözümü vardır $x = 1, y = 0$ herhangi $n$ ; buna sıfırıncı çözüm denir ve $(x 0, y 0) = (1,0)$ . Eğer $(x k, y k)$ gösterir $k$ belirli bir Pell denkleminin önemsiz çözümü $n$ iniş yöntemi ile gösterilebilir ki

{ displaystyle { begin {align} x_ {k + 1} & = 2x_ {k} x_ {1} -x_ {k-1}, y_ {k + 1} & = 2y_ {k} x_ {1 } -y_ {k-1}. end {hizalı}}}

Bu nedenle, önemsiz olmayan bir Pell denkleminin olduğu ve her zaman geçerli olan sonsuz bir çözümü vardır. $n$ kare değil. Önemsiz olmayan ilk çözüm ne zaman $n = 8$ bulmak kolaydır: (3,1) 'dir. Bir çözüm $(x k, y k)$ için Pell denklemine $n = 8$ bir kare üçgen sayısı verir ve kare ve üçgen kökleri aşağıdaki gibidir:

{ displaystyle s_ {k} = y_ {k}, quad t_ {k} = { frac {x_ {k} -1} {2}}, quad N_ {k} = y_ {k} ^ {2 }.}

Bu nedenle, (3,1) 'den türetilen ilk kare üçgen sayı 1'dir ve diğeri, 6 × (3,1) − (1,0) = (17,6), 36'dır.

Diziler $N k$ , $s k$ ve $t k$ bunlar OEIS diziler OEIS: A001110, OEIS: A001109, ve OEIS: A001108 sırasıyla.

1778'de Leonhard Euler açık formülü belirledi^[1]^[2]^:12–13

{ displaystyle N_ {k} = sol ({ frac { sol (3 + 2 { sqrt {2}} sağ) ^ {k} - sol (3-2 { sqrt {2}} sağ) ^ {k}} {4 { sqrt {2}}}} sağ) ^ {2}.}

Uygun olabilecek diğer eşdeğer formüller (bu formül genişletilerek elde edilir) şunları içerir:

{ displaystyle { begin {align} N_ {k} & = { tfrac {1} {32}} left ( left (1 + { sqrt {2}} right) ^ {2k} - sol (1 - { sqrt {2}} sağ) ^ {2k} sağ) ^ {2} & = { tfrac {1} {32}} left ( left (1 + { sqrt { 2}} sağ) ^ {4k} -2+ left (1 - { sqrt {2}} right) ^ {4k} right) & = { tfrac {1} {32}} left ( left (17 + 12 { sqrt {2}} right) ^ {k} -2+ left (17-12 { sqrt {2}} sağ) ^ {k} sağ). son {hizalı}}}

İlgili açık formüller $s k$ ve $t k$ şunlardır:^[2]^:13

{ displaystyle { begin {align} s_ {k} & = { frac { left (3 + 2 { sqrt {2}} right) ^ {k} - left (3-2 { sqrt { 2}} sağ) ^ {k}} {4 { sqrt {2}}}}, t_ {k} & = { frac { left (3 + 2 { sqrt {2}} right ) ^ {k} + left (3-2 { sqrt {2}} right) ^ {k} -2} {4}}. end {hizalı}}}

Pell denklemi

Kare üçgen sayı bulma sorunu şu şekildedir: Pell denklemi Aşağıdaki şekilde.^[3]

Her üçgen sayı formdadır $t (t + 1) / 2$ . Bu nedenle tamsayılar arıyoruz $t$ , $s$ öyle ki

{ displaystyle { frac {t (t + 1)} {2}} = s ^ {2}.}

Yeniden düzenleme, bu olur

{ displaystyle sol (2t + 1 sağ) ^ {2} = 8s ^ {2} +1,}

ve sonra izin vermek $x = 2 t + 1$ ve $y = 2 s$ , anlıyoruz Diyofant denklemi

{ displaystyle x ^ {2} -2y ^ {2} = 1,}

bir örneği olan Pell denklemi. Bu özel denklem şu şekilde çözülür: Pell sayıları $P k$ gibi^[4]

{ displaystyle x = P_ {2k} + P_ {2k-1}, quad y = P_ {2k};}

ve bu nedenle tüm çözümler

{ displaystyle s_ {k} = { frac {P_ {2k}} {2}}, quad t_ {k} = { frac {P_ {2k} + P_ {2k-1} -1} {2} }, quad N_ {k} = left ({ frac {P_ {2k}} {2}} sağ) ^ {2}.}

Pell sayıları hakkında birçok kimlik vardır ve bunlar kare üçgen sayılarla ilgili kimliklere dönüşür.

Tekrarlama ilişkileri

Var tekrarlama ilişkileri kare üçgen sayıların yanı sıra ilgili kare ve üçgenin kenarları için. Sahibiz^[5]^:(12)

{ displaystyle { begin {align} N_ {k} & = 34N_ {k-1} -N_ {k-2} +2 ve { text {with}} N_ {0} & = 0 { text { ve}} N_ {1} = 1; N_ {k} & = left (6 { sqrt {N_ {k-1}}} - { sqrt {N_ {k-2}}} sağ) ^ {2} ve { text {with}} N_ {0} & = 0 { text {ve}} N_ {1} = 1. End {hizalı}}}

Sahibiz^[1]^[2]^:13

{ displaystyle { begin {align} s_ {k} & = 6s_ {k-1} -s_ {k-2} ve { text {with}} s_ {0} & = 0 { text {ve} } s_ {1} = 1; t_ {k} & = 6t_ {k-1} -t_ {k-2} +2 ve { text {with}} t_ {0} & = 0 { text {ve}} t_ {1} = 1. end {hizalı}}}

Diğer karakterizasyonlar

Tüm kare üçgen sayıların şekli vardır $b 2 c 2$ , nerede $b / c$ bir yakınsak için sürekli kesir genişlemesi nın-nin √2.^[6]

A.V.Sylwester, sonsuz sayıda kare üçgen sayı olduğuna dair kısa bir kanıt verdi:^[7] Eğer $n$ üçlü sayı $n (n + 1) / 2$ kare, o zaman daha büyük $4 n (n + 1)$ Üçgen sayı, çünkü:

{ displaystyle { frac {{ bigl (} 4n (n + 1) { bigr)} { bigl (} 4n (n + 1) +1 { bigr)}} {2}} = 4 , { frac {n (n + 1)} {2}} , left (2n + 1 right) ^ {2}.}

Üç karenin çarpımı olarak sağ taraf karedir. Üçgen kökler $t k$ dönüşümlü olarak eşzamanlı olarak bir kareden küçük ve iki kez karedir $k$ eşittir ve aynı anda bir kare ve bir karenin iki katından küçükse $k$ garip. Böylece,

49 = 7² = 2 × 5² − 1,

288 = 17² − 1 = 2 × 12², ve

1681 = 41² = 2 × 29² − 1.

Her durumda, ilgili iki kare kök çarpılarak $s k$ : 5 × 7 = 35, 12 × 17 = 204, ve 29 × 41 = 1189.^{[kaynak belirtilmeli ]}

Bunlara ek olarak:

{ displaystyle N_ {k} -N_ {k-1} = s_ {2k-1};}

36 − 1 = 35, 1225 − 36 = 1189, ve 41616 − 1225 = 40391. Başka bir deyişle, iki ardışık kare üçgen sayı arasındaki fark, başka bir kare üçgen sayının kareköküdür.^{[kaynak belirtilmeli ]}

Kare üçgen sayılar için oluşturma işlevi şöyledir:^[8]

{ displaystyle { frac {1 + z} {(1-z) sol (z ^ {2} -34z + 1 sağ)}} = 1 + 36z + 1225z ^ {2} + cdots}

Sayısal veri

Gibi $k$ oran büyür $t k / s k$ yaklaşımlar √2 ≈ 1.41421356ve ardışık kare üçgen sayıların oranı yaklaşır (1 + √2)⁴ = 17 + 12√2 ≈ 33.970562748. Aşağıdaki tablo değerleri göstermektedir $k$ 0 ile 11 arasında, bu sayıya kadar tüm kare üçgen sayıları 10¹⁶.

$k$	$N k$	$s k$	$t k$	$t k / s k$	$N k / N k - 1$
0	0	0	0	$t k / s k$
1	1	1	1	1
2	36	6	8	1.33333333	36
3	1225	35	49	1.4	34.027777778
4	41616	204	288	1.41176471	33.972244898
5	1413721	1189	1681	1.41379310	33.970612265
6	48024900	6930	9800	1.41414141	33.970564206
7	1631432881	40391	57121	1.41420118	33.970562791
8	55420693056	235416	332928	1.41421144	33.970562750
9	1882672131025	1372105	1940449	1.41421320	33.970562749
10	63955431761796	7997214	11309768	1.41421350	33.970562748
11	2172602007770041	46611179	65918161	1.41421355	33.970562748

Ayrıca bakınız

Cannonball sorunu, aynı anda kare ve kare piramidal olan sayılarda
Altıncı güç, aynı anda kare ve kübik olan sayılar

Notlar

^ ^a ^b Dickson, Leonard Eugene (1999) [1920]. Sayılar Teorisinin Tarihi. 2. Providence: Amerikan Matematik Derneği. s. 16. ISBN 978-0-8218-1935-7.
^ ^a ^b ^c Euler, Leonhard (1813). "Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (integral sayılarla hızlı bir şekilde çözülecek olan Diophantine problemleri için kolay bir kural). Mémoires de l'Académie des Sciences de St.-Pétersbourg (Latince). 4: 3–17. Alındı 2009-05-11. Kayıtlara göre, 4 Mayıs 1778'de St.Petersburg Akademisi'ne sunuldu.
^ Barbeau Edward (2003). Pell Denklemi. Matematikte Problem Kitapları. New York: Springer. pp.16 –17. ISBN 978-0-387-95529-2. Alındı 2009-05-10.
^ Hardy, G.H.; Wright, E.M. (1979). Sayılar Teorisine Giriş (5. baskı). Oxford University Press. s.210. ISBN 0-19-853171-0. Teorem 244
^ Weisstein, Eric W. "Kare Üçgen Sayı". MathWorld.
^ Top, W.W. Rouse; Coxeter, H. S. M. (1987). Matematiksel Rekreasyonlar ve Denemeler. New York: Dover Yayınları. s.59. ISBN 978-0-486-25357-2.
^ Pietenpol, J. L .; Sylwester, A. V .; Sadece Erwin; Warten, R.M. (Şubat 1962). "Temel Problemler ve Çözümleri: E 1473, Kare Üçgen Sayılar". American Mathematical Monthly. Amerika Matematik Derneği. 69 (2): 168–169. doi:10.2307/2312558. ISSN 0002-9890. JSTOR 2312558.
^ Plouffe, Simon (Ağustos 1992). "1031 Oluşturma İşlevleri" (PDF). Quebec Üniversitesi, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique. s. A.129. Alındı 2009-05-11.

Dış bağlantılar

[Dickson-1] Dickson, Leonard Eugene (1999) [1920]. Sayılar Teorisinin Tarihi. 2. Providence: Amerikan Matematik Derneği. s. 16. ISBN 978-0-8218-1935-7.

[Euler-2] Euler, Leonhard (1813). "Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (integral sayılarla hızlı bir şekilde çözülecek olan Diophantine problemleri için kolay bir kural). Mémoires de l'Académie des Sciences de St.-Pétersbourg (Latince). 4: 3–17. Alındı 2009-05-11. Kayıtlara göre, 4 Mayıs 1778'de St.Petersburg Akademisi'ne sunuldu.

[3] Barbeau Edward (2003). Pell Denklemi. Matematikte Problem Kitapları. New York: Springer. pp.16 –17. ISBN 978-0-387-95529-2. Alındı 2009-05-10.

[4] Hardy, G.H.; Wright, E.M. (1979). Sayılar Teorisine Giriş (5. baskı). Oxford University Press. s.210. ISBN 0-19-853171-0. Teorem 244

[5] Weisstein, Eric W. "Kare Üçgen Sayı". MathWorld.

[Ball-6] Top, W.W. Rouse; Coxeter, H. S. M. (1987). Matematiksel Rekreasyonlar ve Denemeler. New York: Dover Yayınları. s.59. ISBN 978-0-486-25357-2.

[Sylwester-7] Pietenpol, J. L .; Sylwester, A. V .; Sadece Erwin; Warten, R.M. (Şubat 1962). "Temel Problemler ve Çözümleri: E 1473, Kare Üçgen Sayılar". American Mathematical Monthly. Amerika Matematik Derneği. 69 (2): 168–169. doi:10.2307/2312558. ISSN 0002-9890. JSTOR 2312558.

[8] Plouffe, Simon (Ağustos 1992). "1031 Oluşturma İşlevleri" (PDF). Quebec Üniversitesi, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique. s. A.129. Alındı 2009-05-11.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]