Mükemmel basamaktan basamağa değişmez - Perfect digit-to-digit invariant

İçinde sayı teorisi, bir mükemmel basamaktan basamağa değişmez (PDDI; olarak da bilinir Munchausen numarası^[1]) bir doğal sayı verilen sayı tabanı ${ displaystyle b}$ bu, her biri kendi gücüne yükseltilmiş rakamlarının toplamına eşittir. Örneğin, 3 tabanında (üçlü ) üç: 1, 12 ve 22. "Munchausen sayısı" terimi Hollandalı matematikçi ve yazılım mühendisi Daan van Berkel tarafından 2009 yılında icat edildi,^[2] bu hikayeyi çağrıştırdığı için Baron Munchausen her rakam kendi gücüne yükseltildiği için kendi at kuyruğuyla kendini yükseltiyor.^[3][4]

Tanım

İzin Vermek ${ displaystyle n}$ doğal bir sayı olabilir. Biz tanımlıyoruz mükemmel basamaktan basamağa değişmez fonksiyon baz için ${ displaystyle b> 1}$ ${ displaystyle F_ {b}: mathbb {N} rightarrow mathbb {N}}$ aşağıdaki gibi:

${ displaystyle F_ {b} (n) = toplam _ {i = 0} ^ {k-1} {d_ {i}} ^ {d_ {i}}}$.

nerede ${ displaystyle k = lfloor log _ {b} {n} rfloor +1}$ baz numaradaki rakamların sayısıdır ${ displaystyle b}$ ve

${ displaystyle d_ {i} = { frac {n { bmod {b ^ {i + 1}}} - n { bmod {b ^ {i}}}} {b ^ {i}}}}$

sayının her basamağının değeridir. Gibi 0⁰ genellikle tanımsızdır, tipik olarak kullanılan iki kural vardır, biri birine eşit olarak alınır ve diğeri sıfıra eşit olarak alınır.^[5][6] Doğal bir sayı ${ displaystyle n}$ bir mükemmel basamaktan basamağa değişmez eğer bir sabit nokta için ${ displaystyle F_ {b}}$, eğer oluşursa ${ displaystyle F_ {b} (n) = n}$. İlk kongre için, ${ displaystyle 1}$ herkes için sabit bir noktadır ${ displaystyle b}$ve dolayısıyla bir önemsiz mükemmel basamaktan basamağa değişmez hepsi için ${ displaystyle b}$ve diğer tüm mükemmel basamaktan basamağa değişmezler önemsiz mükemmel basamaktan basamağa değişmezler. İkinci kongre için her ikisi de ${ displaystyle 0}$ ve ${ displaystyle 1}$ önemsiz, mükemmel rakamdan rakama değişmezlerdir.

Örneğin, tabandaki 3435 sayısı ${ displaystyle b = 10}$ mükemmel bir basamaktan basamağa değişmez çünkü ${ displaystyle 3 ^ {3} + 4 ^ {4} + 3 ^ {3} + 5 ^ {5} = 27 + 256 + 27 + 3125 = 3435}$.

İçin ${ displaystyle b = 2}$ilk kongrede ${ displaystyle 0 ^ {0} = 1}$, ${ displaystyle F_ {b} (n)}$ sadece rakamların sayısıdır ${ displaystyle k}$ temel 2 gösteriminde ve ikinci sözleşmede ${ displaystyle 0 ^ {0} = 0}$, ${ displaystyle F_ {b} (n)}$ sadece rakam toplamı.

Doğal bir sayı ${ displaystyle n}$ bir sosyal basamaktan basamağa değişmez eğer bir periyodik nokta için ${ displaystyle F_ {b}}$, nerede ${ displaystyle F_ {b} ^ {k} (n) = n}$ pozitif bir tam sayı için ${ displaystyle k}$ve oluşturur döngü dönem ${ displaystyle k}$. Mükemmel bir basamaktan basamağa değişmez, sosyal bir basamaktan basamağa değişmezdir. ${ displaystyle k = 1}$ve bir dostane basamaktan basamağa değişmez sosyal bir basamaktan basamağa değişmezdir ${ displaystyle k = 2}$.

Tüm doğal sayılar ${ displaystyle n}$ vardır preperiyodik noktalar için ${ displaystyle F_ {b}}$baz ne olursa olsun. Bunun nedeni, tüm doğal taban sayılarının ${ displaystyle b}$ ile ${ displaystyle k}$ rakamlar tatmin eder ${ displaystyle b ^ {k-1} leq n leq (k) {(b-1)} ^ {b-1}}$. Ancak ne zaman ${ displaystyle k geq b + 1}$, sonra ${ displaystyle b ^ {k-1}> (k) {(b-1)} ^ {b-1}}$, bu yüzden herhangi ${ displaystyle n}$ tatmin edecek ${ displaystyle n> F_ {b} (n)}$ a kadar ${ displaystyle n$. Şundan küçük sonlu sayıda doğal sayı vardır ${ displaystyle b ^ {b + 1}}$, bu nedenle sayının periyodik bir noktaya veya sabit bir noktaya ulaşması garanti edilir. ${ displaystyle b ^ {b + 1}}$, bunu preperiyodik bir nokta yapıyor. Bu aynı zamanda, sonlu sayıda mükemmel basamaktan basamağa değişmez olduğu ve döngüleri herhangi bir baz için ${ displaystyle b}$.

Yineleme sayısı ${ displaystyle i}$ ihtiyaç var ${ displaystyle F_ {b} ^ {i} (n)}$ sabit bir noktaya ulaşmak ${ displaystyle b}$-factorion işlevi sebat nın-nin ${ displaystyle n}$ve hiçbir zaman sabit bir noktaya ulaşmazsa tanımsız.

Mükemmel basamaktan basamağa değişmezler ve döngüleri ${ displaystyle F_ {b}}$ spesifik için ${ displaystyle b}$

Tüm sayılar bazda temsil edilir ${ displaystyle b}$.

ortak düşünce ${ displaystyle 0 ^ {0} = 1}$

Baz	Sıradan olmayan mükemmel basamaktan basamağa değişmezler (${ displaystyle n neq 1}$)	Döngüleri
2	10	${ displaystyle varnothing}$
3	12, 22	2 → 11 → 2
4	131, 313	2 → 10 → 2
5	${ displaystyle varnothing}$	2 → 4 → 2011 → 12 → 10 → 2 104 → 2013 → 113 → 104
6	22352, 23452	4 → 1104 → 1111 → 4 23445 → 24552 → 50054 → 50044 → 24503 → 23445
7	13454	12066 → 536031 → 265204 → 265623 → 551155 → 51310 → 12125 → 12066
8		405 → 6466 → 421700 → 3110776 → 6354114 → 142222 → 421 → 405
9	31, 156262, 1656547
10	3435
11
12	3A67A54832

ortak düşünce ${ displaystyle 0 ^ {0} = 0}$

Baz	Sıradan olmayan mükemmel basamaktan basamağa değişmezler (${ displaystyle n neq 0}$, ${ displaystyle n neq 1}$)[1]	Döngüleri
2	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
3	12, 22	2 → 11 → 2
4	130, 131, 313	${ displaystyle varnothing}$
5	103, 2024	2 → 4 → 2011 → 11 → 2 9 → 2012 → 9
6	22352, 23452	5 → 22245 → 23413 → 1243 → 1200 → 5 53 → 22332 → 150 → 22250 → 22305 → 22344 → 2311 → 53
7	13454
8	400, 401
9	30, 31, 156262, 1647063, 1656547, 34664084
10	3435, 438579088
11	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
12	3A67A54832

Programlama örnekleri

Aşağıdaki örnekler, yukarıdaki tanımda açıklanan mükemmel basamaktan basamağa değişmez işlevi uygular. mükemmel basamaktan basamağa değişmezleri ve döngüleri aramak için içinde Python iki konvansiyon için.

ortak düşünce ${ displaystyle 0 ^ {0} = 1}$

def pddif(x: int, b: int) -> int:    Toplam = 0    süre x > 0:        Toplam = Toplam + pow(x % b, x % b)        x = x // b    dönüş Toplamdef pddif_cycle(x: int, b: int) -> Liste[int]:    görüldü = []    süre x değil içinde görüldü:        görüldü.eklemek(x)        x = pddif(x, b)    döngü = []    süre x değil içinde döngü:        döngü.eklemek(x)        x = pddif(x, b)    dönüş döngü

ortak düşünce ${ displaystyle 0 ^ {0} = 0}$

def pddif(x: int, b: int) -> int:    Toplam = 0    süre x > 0:        Eğer x % b > 0:            Toplam = Toplam + pow(x % b, x % b)        x = x // b    dönüş Toplamdef pddif_cycle(x: int, b: int) -> Liste[int]:    görüldü = []    süre x değil içinde görüldü:        görüldü.eklemek(x)        x = pddif(x, b)    döngü = []    süre x değil içinde döngü:        döngü.eklemek(x)        x = pddif(x, b)    dönüş döngü

Ayrıca bakınız

• Aritmetik dinamik
• Düdeney numarası
• Factorion
• Mutlu numara
• Kaprekar sabiti
• Kaprekar numarası
• Meertens numarası
• Narsistik sayı
• Mükemmel dijital değişmez
• Toplam ürün numarası

Referanslar

1. ^ ^{a b} van Berkel, Daan (2009). "3435'in ilginç bir mülkünde". arXiv:0911.3038 [matematik.HO ].
2. ^ Olry, Regis ve Duane E. Haines. "Münchhausen Sendromlarının Tarihsel ve Edebi Kökleri", Literature, Neurology, and Neuroscience: Neurological and Psychiatric Disorders, Stanley Finger, Francois Boller, Anne Stiles, eds. Elsevier, 2013. s. 136.
3. ^ Daan van Berkel, 3435'in ilginç bir mülkünde.
4. ^ Parker, Matt (2014). Dördüncü Boyutta Yapılması ve Yapılması Gerekenler. Penguin UK. s. 28. ISBN  9781846147654. Alındı 2 Mayıs 2015.
5. ^ Narcisstic Numarası, Harvey Heinz
6. ^ Wells, David (1997). Meraklı ve İlginç Sayıların Penguen Sözlüğü. Londra: Penguen. s. 185. ISBN  0-14-026149-4.

Dış bağlantılar

• Parker, Matt. "3435". Numberphile. Brady Haran. Arşivlenen orijinal 2017-04-13 tarihinde. Alındı 2013-04-01.